2.7利用等价无穷小量代换求极限
高等数学等价无穷小替换公式
高等数学等价无穷小替换公式
高等数学中，等价无穷小是指两个无穷小在某一极限下的比值趋近于1。
等价无穷小替换公式是指在极限运算中，可以用一个等价无穷小代替另一个等价无穷小，而不改变极限的值。
以下是一些常见的高等数学等价无穷小替换公式：
1. 当x趋近于0时，sin(x)和x等价。
即：sin(x) ~ x。
2. 当x趋近于0时，tan(x)和x等价。
即：tan(x) ~ x。
3. 当x趋近于0时，1-cos(x)和x等价。
即：1-cos(x) ~ x。
4. 当x趋近于0时，e^x-1和x等价。
即：e^x-1 ~ x。
5. 当x趋近于0时，ln(1+x)和x等价。
即：ln(1+x) ~ x。
6. 当x趋近于0时，arcsin(x)和x等价。
即：arcsin(x) ~ x。
7. 当x趋近于0时，arctan(x)和x等价。
即：arctan(x) ~ x。
8. 当x趋近于0时，(1+x)^a-1和ax等价。
即：(1+x)^a-1 ~ ax。
9. 当x趋近于0时，(1+x)^n-1和nx等价。
即：(1+x)^n-1 ~ nx。
以上就是高等数学中常用的等价无穷小替换公式，掌握这些公式对于解题和理解极限概念都非常有帮助。
- 1 -。
有理运算求极限和等价无穷小代换
有理运算求极限和等价无穷小代换有理运算求极限和等价无穷小代换一、引言在微积分中，求极限是一个重要的概念。
在实际应用中，我们常常需要通过极限来求解各种问题，比如求函数在某点的导数、计算曲线的切线斜率等。
而有理运算求极限和等价无穷小代换是求解极限问题中的重要方法，本文将对这两个概念进行深入探讨。
二、有理运算求极限有理运算求极限是指利用有理运算的性质来简化复杂极限表达式，从而更容易求得极限值。
有理运算包括加减乘除四则运算，以及幂函数和指数函数的运算。
在求极限过程中，我们可以利用有理运算的性质，对极限表达式进行分子有理化、分母有理化等操作，以便更方便地求出极限值。
为了更好地理解有理运算求极限的方法，我们以一个具体的例子来说明。
考虑极限lim(x→1)((2x^2-1)/(x-1))，我们可以利用有理运算的性质对分子进行分解，得到lim(x→1)((2x^2-1)/(x-1))=lim(x→1)((2x+1)(x-1)/(x-1))。
我们可以简化分母的表达式，得到lim(x→1)(2x+1)，最终得到极限的值为3。
通过这个例子，我们可以看到有理运算求极限的思路和方法。
三、等价无穷小代换等价无穷小代换是指在求极限过程中，将一个无穷小量替换为另一个与之等价的无穷小量，以简化极限的计算。
在实际应用中，等价无穷小代换是一个很有用的技巧，可以帮助我们更快地求得极限值。
为了更好地理解等价无穷小代换的方法，我们以一个具体的例子来说明。
考虑极限lim(x→0)((sinx)/x)，我们可以利用等价无穷小代换的方法，将sinx替换为x，得到lim(x→0)((x)/x)=lim(x→0)1=1。
通过这个例子，我们可以看到等价无穷小代换的思路和方法。
四、总结和回顾通过对有理运算求极限和等价无穷小代换的深入探讨，我们可以看到这两个方法在求解极限问题中的重要性。
有理运算求极限通过对复杂极限表达式的分解和简化，帮助我们更方便地求得极限值；而等价无穷小代换则通过替换等价无穷小量，简化极限的计算过程。
等价无穷小量代换求函数极限的应用_任全红
自然就有一个疑问， 不能随意替代是不是有些情况下可以替 代？ 那么在什么情况下可以代换呢？ 还有对复合函数的内函
∞ 00
数， 以及求未定式极限1 ，∞ ，0 各 位 置 上 的 无 穷 小 量 等 情 况，求极限时能否用无穷小量代换 ？ 文献 ［1］、［2］并未作详细 论述。 笔者拟对此问题作进一步探析，说明其在具体求函数 极限中的应用。
1.等 价 无 穷 小 量 代 换 定 理 利用等价无穷小量定义和极限的运算性质，可推证等价 无 穷 小 量 代 换 求 函 数 极 限 的 重 要 结 论 ， 下 面 给 出 文 献 ［1］、 ［2］ 中的结论，称之为等价无穷小量代换定理。 定 理 ［1］： 设 函 数 f，g，h在 U0 （x0 ） 内 有 定 义 ， 且 有 f （x）~g （x） （x→x0）。
下面找到一些特殊且容易满足的条件， 使等价无穷小量
代换可以适合于极限的同一极限过程中的无穷小量 ，若
f（x），g（x）为同阶无穷小，且f（x）~f′（x），g（x）~g′（x），当lim g（x） f（x）
≠-1，则f（x）+g（x）~f′（x）+g′（x）。
f（x）
f（x）
推论1：设f（x），g（x）是在同一极限过程中的无穷小量 ，若f
（x），g （x） 为 同 阶 无 穷 小 ， 且 f （x） ~f′ （x），g （x） ~g′ （x）， 当 lim =
g（x） ≠1，则f（x）-g（x）~f′（x）-g′（x）。 f（x）
推 论2：设fi（x），gi（x）（i=1，2，… ，n）是 在 同 一 极 限 过 程 中
（包括口头的和书面的）和撰写小论文等情况综合评定。 在“初等数学研究”课程的教学中，对于学生的课中参与，
第2章 7等价无穷小量代换求极限
例3.
解
tan x sin x 求 lim . 3 x 0 sin 2 x
当x 0时,
sin 2 x ~ 2 x ,
1 3 tan x sin x tan x(1 cos x ) ~ x , 1 3 2 x 1 2 原式 lim . 只能对因子作等价无穷小代换， 3 x 0 ( 2 x ) 16
§2.7
利用等价无穷小代换求极限
一、无穷小量的阶 二、 等价无穷小代换定理 三、利用等价无穷小求极限
一、无穷小量的阶
设 , 对同一自变量的变化过程为无穷小,
且
0
是 的高阶无穷小 是 的低阶无穷小 是 的同阶无穷小
同阶无穷小的特殊情况：
是 的等价无穷小
例1
x
arcs in x ~ x, arctan x ~ x, e 1 ~ x, (洛必达可证） P 74例6
ln(1 x ) ~ x, 1 2 1 cos x ~ x 2 x n 1 x 1 ~ n
定理(等价无穷小量替换定理)
设 ~ , ~ 且 lim 存在, 则 lim lim .
பைடு நூலகம்
2
tan mx 练习. 求 lim x 0 sin nx
( m , n为常数).
解
当x 0时, tan mx ~ mx , sinnx ~ nx
tan mx mx m lim lim . x 0 sin nx x 0 nx n
sin x 练习. 求 lim 3 . x 0 x 3 x
ex–1 ~ x,
2
ln(1+x) ~ x,
x 1 cos x ~ 1 2 n 1 x 1 ~ x, (n R, n 0) n
浅谈极限的求解方法毕业论文
共17页第1页浅谈函数极限求解方法学生:陈智年指导老师：赵守江三峡大学理学院摘要:极限是数学分析的基础，数学分析的基本概念的表述,都可以用极限来描述。
如函数在某点处导数的定义，定积分的定义,偏导数的定义，二重积分的定义，三重积分的定义，无穷级数的定义都是用极限来定义的。
极限是研究数学分析的基本工具。
极限是贯穿数学分析的一条主线。
学好极限要从以下两个方面着手：1)是考察所给函数是否存在极限;2）若函数存在极限,则考虑如何计算此极限。
本文主要是对第二个问题即在极限存在的条件下,如何去求极限进行综述。
对于简单的极限的计算，利用定义求值或利用极限的四则运算法则求值都是可行的，但是对于一个比较复杂的极限的计算，例如的值时则不能直接采用一般的定义或者定理，即使采用洛必达法则也是比较繁琐的，然而用泰勒展示则计算简单多了,这就说明为一般地解决极限求值问题时,就必须利用有效有针对性的计算方法，对各个具体问题还要善于发现和利用其特点以简化手续．传统的极限的计算方法不下十几种，但具体到计算不同特征的极限时,究竟采用哪种方法，很多人总感到无从下手．只有将这些方法进行归纳总结,从而才可以针对不同特征的式子选择适当的计算方法,进而简化计算Abstract：Limit is the basis of mathematical analysis ，the basic concepts of mathematical analysis of expression ，can be used to describe the limit as a function definition derivative at some point ，the definition of the definite integral , the definition of partial derivative , the definition of double integrals ，triple integral definition , infinite series of definitions are used to define the limits of the limit is the basic tool to study the limits of mathematical analysis is a main theme throughout the mathematical analysis to learn the limits from the following two aspects is to investigate the function if there is a limit .If there is a limit function , then consider how to calculate this limit this article is the second question that under the conditions of the existence of the limit , how to find the limits are reviewed for a simple calculation of the limit of the use . define the limits of the evaluation or the use of four evaluation algorithms are feasible，but for a more complicated limit calculations，such asFind in coslimx when exxx values are not directly using the general definition or theorem, even with the Hospital's Rule is more complicated , however，Taylor shows the calculation is much simpler ，which is generally described when the limit is evaluated to solve the problem , we must use effective targeted method of calculation for each specific issues but also good at finding and using its features to simplify procedures. The traditional method of calculating the limit of no less than a dozen，but when calculating the limits specific to different characteristics ，whether using either method, a lot of people always feel unable to start . These methods will only be summarized, so that we can choose the appropriate method of calculation formulas for different characteristics ，and thus simplify the calculation 关键词：极限；极限的定义；极限的性质；罗必达法则；泰勒公式;单调有限法则；积分中值定理；拉格朗日中值定理共17页第2页Keywords :Limit；ultimate limits of nature；Luo's Rule; Taylor formula；monotonous limited law；integral mean value theorem; Lagrange mean value theorem与一切科学方法一样，极限法也是社会实践的产物。
05 第5讲利用等价无穷小量的代换求极限
解
1 2 1 lim x sin lim x x x x x
2
lim x
x
例4
ln 1 x 2 sin x 求 lim x 0 tan x
ln 1 x 2 sin x lim x 0 tan x 1 ln(1 x) 2 sin x 2 lim lim x 0 tan x x 0 tan x
3
x 1 cos x ~ 2
2
x 1 x 1 ~ m
其中 , m , n N , a > 0 .
二. 计算例子
tan 3 x 求 lim x 0 sin 5 x
例1
解
tan 3 x 3x 3 lim lim x 0 sin 5 x x0 5 x 5
例2
tan x sin x 求 lim 3 x sin x
将常用的等阶无穷小列举如下: 当 x0时
sin x ~ x
arcsin x ~ x
tan x ~ x
arctan x ~ x
ln(1 x) ~ x
x 1 x 1 ~ 2
m
e 1 ~ x
x
(1 x) 1 ~ nx
n
a x 1 ~ x ln a
x tan x sin x ~ 2
1 设 lim z , 则 lim 0， z 1 0 , 故 lim z = . 由定理 1, 得 lim z
综上所述, lim z lim z .
3. 定理
定理
设在某极限过程中, ~ , ~ , 则 ~ .
传递性
定理告诉我们: 在计算只含有乘、除法的极限时, 无穷小量可以用其等价无穷小量替代.
第二章第六次 利用等价无穷小代换求极限
x tan x − sin x ~ 2
2.8 函数的连续性
一、函数改变量（或称函数增量） 函数改变量（或称函数增量）
1、问 冰水吸收热量与温度的函数关系：我们知 道，当冰加热到一定程度 时，就会溶化成水. 但我们 就会溶化成水 是否知道， 是否知道，冰在溶化过程 中，它所吸收的热量Q与温 它所吸收的热量 与温 度t之间有何种关系呢？下 之间有何种关系呢？ 之间有何种关系呢 面我们来研究这个问题. 面我们来研究这个问题
x , 将 列 穷 与 较 例1 当 →0时 试 下 无 小 x比 sin x ( 3) (4) x 2 ( x + 1) (1) 1 + x − 1 − x ( 2) ln(1 + x ) x
1+ x − 1− x 2x =1 解： 1)Qlim ( = lim x →0 x →0 x( 1 + x + 1 − x ) x
解: Q x → 0 时 , e − 1 ~ x
ex −1 x ∴ lim = lim =2 x→0 1 + x − 1 x →0 1 x 2
1 1+ x −1 ~ x 2
(x +1)sin2x 例3 lim x→ 0 arcsin x 解：当x → 0时, sin2 x ~ 2 x, arcsin x ~ x.
⑵几何意义 如 把 量看 数 上 的 标 果 变 t 做 轴 点 坐 , , t . 当 t > 0时 t1在 0的 方 当 t < 0时 t1在 0的左方 ∆ , t 右 ; ∆
0
t ∆ >0 t0 t1 (t0 + ∆t)
t ∆ <0
利用等价无穷小代换法求极限札记
利用等价无穷小代换法求极限札记作者：关鈺淋来源：《科教导刊》2018年第21期摘要利用等价无穷小代换法求函数极限是数学分析中的重要方法之一。
由于这种方法可以大大简化一些函数极限的计算，因而备受广大同学的青睐。
然而这种方法并非在任何情况下都可以使用，使用时稍有不慎就会产生意想不到的错误。
本文对导师在课堂上布置的讨论课题“利用等价无穷小求极限应注意哪些问题”进行了较为深入的研究，给出了几个关于无穷小量的加、减、乘、除的极限以及复合函数中使用等价无穷小代换法的条件，并给出了证明及应用举例。
关键词数学分析无穷小量等价代换极限洛必达法则中图分类号：O211.4 文献标识码：A DOI：10.16400/ki.kjdkx.2018.07.015Abstract The use of the equivalent infinity substituting method to find the function limit is one of the important methods in mathematical analysis. Because this method can greatly simplify the calculation of some function limits， it is greatly favored by the majority of students. However， this method cannot be used under any circumstances， and a slight mistake in use can produce unexpected errors. In this paper， the discussion topic of the tutor in the classroom， "What problems should be paid attention to by using the equivalent infinitesimal minimum limit" is studied in depth， and several limits on the addition， subtraction， multiplication and division of infinitesimal quantities and compound functions are given. The conditions of the equivalent infinitesimal substitution method are used， and the proof and application examples are given.Keywords mathematics analysis； infinitesimal； equivalent substitution； limit； L'Opida Rule参考文献[1] 华东师范大学数学系编.数学分析（上）（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2017.[2] 陈新明.用等价无穷小代换法求极限的一些问题[J].高等数学研究，2008.11（5）：56-58.[3] 同济大学数学教研室编.高等数学（上）（第七版）[M].北京：高等教育出版社，2017.。
求一元二元函数极限的方法总结
摘要......................................................................................................1 关键词......................................................................................................1 Abstract ...................................................................................................1 Key words ................................................................................................1 引言...................................................................................................1 1预备知识 ................................................................................................1 1.1 一元函数极限的定义..............................................................................2 1.2一元函数极限的性质及相关定理 ...............................................................3 1.3两个重要的极限....................................................................................3 1.4无穷小量的定义及等价无穷小..................................................................3 1.5常用的导数定义式,,..............................................................................3 1.6二元函数极限的定义........................................................................4 2求一元函数极限的方法..............................................................................4 2.1利用定义求极限 ....................................................................................4 2.2利用归结原则求极限..............................................................................5 2.3利用左右极限求得函数极限 .....................................................................5 2.4利用迫敛性求极限 .................................................................................6 2.5利用四则运算法则求极限 ........................................................................7 2.6利用两个重要极限求极限 ........................................................................7 2.7利用等价无穷小量代换求极限 ..................................................................7 2.8利用函数的连续性求极限 ........................................................................8 2.9利用洛比达法则求极限 ...........................................................................8 2.10利用泰勒公式求极限..............................................................................9 2.11用导数的定义求极限 ...........................................................................10 2.12利用定积分求极限 ..............................................................................10 3二元函数的极限以及判定 ........................................................................11 3.1利用二重极限的定义 ...........................................................................11 3.2运用连续函数的性质 ...........................................................................11 3.3利用变量替换 ....................................................................................11 3.4 先求对数后求极限 ..............................................................................12 3.5利用分子或分母有理化...........................................................................12 3.6判断(,)f x y 在点00(,)x y 处极限不存在的方法 (12)求函数极限的方法摘要：本文首先归纳和总结出一元函数，二元函数极限的定义及其相关的性质，这些性质对于求解函数的极限有很重要的作用，是求解函数极限的基础；其次依据不同的原则，按照不同的方法，从不同角度概括出求函数极限的若干主要方法，并列举出具有代表性的例题。
等价无穷小替换,极限的计算
无穷小极限的简单计算【教学目的】1 、理解无穷小与无穷大的概念；2 、掌握无穷小的性质与比较会用等价无穷小求极限；3 、不同类型的未定式的不同解法。
【教学内容】1 、无穷小与无穷大；2 、无穷小的比较；3 、几个常用的等价无穷小等价无穷小替换；4 、求极限的方法。
【重点难点】重点是掌握无穷小的性质与比较用等价无穷小求极限。
难点是未定式的极限的求法。
【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30 分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20 分钟）。
最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25 分钟），课堂练习（15 分钟）。
【授课内容】一、无穷小与无穷大1. 定义前面我们研究了n 数列x n 的极限、x （x 、x ）函数 f x 的极限、x x0 （x x0 、x x0 ）函数 f ( x) 的极限这七种趋近方式。
下面我们用x ＊表示上述七种的某一种趋近方式，即＊n x x x x x0 x x0 x x0定义：当在给定的x ＊下， f (x) 以零为极限，则称 f ( x) 是x ＊下的无穷小，即lim f x 0 。
x ＊例如, lim sin x 0, 函数sin x是当x 0时的无穷小.x 0lim 10,x x 函数1是当xx时的无穷小.lim( n 1)n0,n数列{(1) nn} 是当n 时的无穷小.【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都不是无穷小。
定义：当在给定的x ＊下， f x 无限增大，则称 f x 是x ＊下的无穷大，即lim f xx ＊。
显然，n 时，n、n 2、n3、都是无穷大量，【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。
无穷小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如lim e x 0，x lim e x ，x所以e x 当x 时为无穷小，当x 时为无穷大。
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例 解
1 x sin x 1 求 lim . 2 x 0 arctanx
3
1 x 0时, x sin x 0, 故 1 x sin x 1 ~ x sin x; 3 又x 0时, x 2 0, 故 arctanx 2 ~ x 2 ;
3
1 x sin x 1 sin x 1 3 原式 lim lim . 2 x0 x 3 x0 x 3
sin x ~ x( x 0), tan x ~ x( x 0) x2 1 cos x ~ ( x 0), arcsin x ~ x( x 0) 2 x n arctanx ~ x( x 0), 1 x 1 ~ ( x 0) n ln(1 x) ~ x( x 0), e x 1 ~ x( x 0)
证明: lim lim lim lim lim lim
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(2) lim lim
这个性质说明在求某些无穷小量乘除运算的极限时,可使用其等价 无穷小量代换, 不影响极限值的结果,但常可简化计算. 常用的等价无穷小量如下:
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例
求 lim
tan x sin x x sin 3x
x sin 3x
2
x 0
.
正解 原式 lim sin x (1 cos x) 1 2
x0
cos x
lim
sin x (1 cos x) x 2 sin 3x
x0
x2 x 0时， x ~ x, sin 3x ~ 3x,1 cos x ~ sin 2 x3 2 sin x 1 cos x ~ , x sin 3x ~ 3x 3 2 x3 1 原式 lim 2 3 x 0 3x 6
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例 解一
in 3x
2
x 0
.
x 0时, sin x ~ x, tan x ~ x, sin 3x ~ 3x, xx 原式 lim 2 0. x 0 x 3 x
这个解法正确吗? 等价无穷小量代换, 只能用于乘除运算, 对加减 的无穷小量不能随意代换!!!
§2.7
利用等价无穷小量代换求极限
关于等价无穷小量有下面一个很有用的性质:
若在同一变化过程中， , , , 都是无穷小量 , 且 ~ , ~ ，则
(1) limf ( x) lim ' f ( x) ' 证明 : lim f ( x) lim ' f ( x) lim ' lim ' f ( x) ' ' 1 lim f ( x) lim f ( x)
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例
证明当x 0时, sin sin x ~ ln(1 x).
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