高中数学竞赛 平面几何的几个重要定理——梅涅劳斯定理

梅涅劳斯定理：
1l ABC ABC BC CA AB BP P Q R 1
PC CQ AR
QA RB
∆∆⋅⋅=定理：若直线不经过的顶点，并且与的三边、、或它们的延长
线分别交于、、，则
1A B C C B A
C A B
h h h A B C l h h h BP CQ AR PC QA RB h h h ⋅⋅=⋅⋅=证：设、、分别是、、到直线的垂线的长度，则：
注：此定理常运用求证三角形相似的过程中的线段成比例的条件；
1//ABC CK CE ACK E AK D AC F DE CK BF CE ∆∠例：若直角中，是斜边上的高，是的平分线，点在上，是的中点，是与的交点，证明：。

,901EBC B BH EBC ACK HBC ACE HBC HCB ACE HCB BH CE EBC BC EP CK EP
CD AE KF
ACK D E F DA EK FC
KF EK CK EP BP BK KF BK FC AE AC AC BC BE FC BE
KF BK
FKB KC KE
∆∠∠=∠∠=∠∠+∠=∠+∠=︒
⊥∴∆=∆⋅⋅=====∴∆≅证：在中，作的平分线则：即：为等腰三角形作上的高，则：对于和三点、、依梅涅劳斯定理有：于是＝即：＝
依分比定理有：＝//CKE BF CE
∆∴ 2P Q R ABC BC CA AB P Q R ABC BP 021PC P Q R CQ AR QA RB
∆∆⋅⋅=定理：设、、分别是的三边、、上或它们的延长线上的三点，并且
、、三点中，位于边上的点的个数为或，这时若
，求证：、、三点共线；
''
''''''''1BP BP 11PC PC 02,
PQ AB R CQ AR CQ AR AR AR QA R B
QA RB R B RB
P Q R ABC R R AB AB R R AB R R AR AR ⋅⋅=⋅⋅=∆>证：设直线与直线交于，于是由定理得：又，则：＝由于在同一直线上的、、三点中，位于边上的点的个数也为或，因此与或者同在线段上，或者同在的延长线上；
若与同在线段上，则与必定重合，不然的话，设''''
'
',,AR AR AR AR AB AR AB AR BR BR BR BR BR BR
-<-<>这时即于是可得这与＝矛盾''R R AB R R P Q R 类似地可证得当与同在的延长线上时，与也重合综上可得：、、三点共线；
注：此定理常用于证明三点共线的问题，且常需要多次使用 再相乘；
1111112.P ABC A B C P BC CA AB A B C ∆例点位于的外接圆上；、、是从点向、、引的垂线的垂足，证明点、、共线；
111111111
111111
cos ,
cos cos cos ,cos cos ,,1BA BP PBC
CA CP PCB CB AC CP PCA AP PAB
AB AP PAC BC PB PBA
PAC PBC PAB PCB PCA PBA BA CB AC A B C CA AB BC ⋅∠=-⋅∠⋅∠⋅∠=-=-⋅∠⋅∠∠=∠∠=∠∠+∠=⋅⋅证：易得：将上面三条式子相乘，且
可得＝，依梅涅劳斯定理可知、、三点共线；
1111
11111111
1::K A B C D
AC
A D AC AD A
B
C
D BC BD B C B D =【练习】从点引四条直线，另两条直线分别交这四条直线于、、、和、、、，试证：2ABC BC CA AB D
E
F EF BC FD CA DE AB X Y Z ∆【练习】设不等腰的内切圆在三边、、上的切点分别为、、，则与，与，与的交点、、在同一条直线上；
1111121121122223AA BB CC O AB A B C BC B C A AC A C B A B C 【练习】已知直线，，相交于，直线和
的交点为，直线与的交点是，直
线与的交点是，试证：、、三点共线；
4E C A B F D AB ED CD AF CD AF EF BC L M N L M N 【练习】在一条直线上取点、、，在另一条上取点、、，记直线和，和，和，和的交点依次为、、，证明：、、共线
11111111111111111111
11
1111
111111//11111
:AD A D AD A D L A AL B BL LD A K A C LC B K
AD LC AK BC LD A D AK AC A K LC LC B C BK B D LD BK BD B K LD A C B D AD BC AC BD A D B C A AC AD BC BD ∆∆⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅==练习的证明
证：若，结论显然成立；
若与相交与点，则把梅涅劳斯定理分别用于和可得：将上面四条式子相乘可得：即：1111111
:
C A
D B C B D
211
1
2BX CE AF
ABC XFE XC EA FB
BX FB
AE AF XC CE CY DC AZ EA
YA AF ZB BD
BX CY AZ
XC YA ZB
X Y Z ABC X Y Z ∆⋅⋅==⋅⋅=∆练习的证明
证：被直线所截，由定理可得：又代人上式可得：＝
同理可得：＝＝
将上面三条式子相乘可得：又、、都不在的边上，由定理可得、、三点共线
222111111112112112112112112
1121121123(,),(,),(,)111A B C BC B C AC A C AB A B OAB A B C OBC B C A OAC A C B AA OB BC OC BB CA OA CC AB OA BB AC CC OB BA AA OC CB BC ⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=练习的证明
证：设、、分别是直线和，和，和的交点，对所得的三角形和在它们边上的点：和，和，和，应用梅涅劳斯定理有：将上面的三条式子相乘可得：2222222221
,,AB CA AC CB BA A B C ⋅⋅=由梅涅劳斯定理可知共线
4(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)11111EF CD EF AB AB CD U V W UVW L D E A M F B C N A C E B D F UE VL WD VA UF WM UN WC VB
VE WL UD WA VF YM VN UC WB WA UC VE WB UD VF
VA WC UE VB WD UF
VL W WL ∆⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅练习的证明
证：记直线和，和，和的交点分别为、、，对，应用梅涅劳斯定理于五组三元点，则有将上面五条式子相乘可得：1,,,M UN
L M N UM VN
⋅=∴点共线。