高中数学竞赛平面几何中的几个重要定理
全国高中数学联赛竞赛大纲(修订稿)及全部定理内容
全国高中数学联赛竞赛大纲及全部定理内容一、平面几何1、数学竞赛大纲所确定的所有内容。
补充要求：面积和面积方法。
2、几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
3、几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点--费马点。
到三角形三顶点距离的平方和最小的点--重心。
三角形内到三边距离之积最大的点--重心。
4、几何不等式。
5、简单的等周问题。
了解下述定理：在周长一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的面积最大。
在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大。
在面积一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的周长最小。
在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。
6、几何中的运动：反射、平移、旋转。
7、复数方法、向量方法。
平面凸集、凸包及应用。
二、代数1、在一试大纲的基础上另外要求的内容：周期函数与周期，带绝对值的函数的图像。
三倍角公式，三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。
2、第二数学归纳法。
递归，一阶、二阶递归，特征方程法。
函数迭代，求ｎ次迭代，简单的函数方程。
3、ｎ个变元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及应用。
4、复数的指数形式，欧拉公式，棣美弗定理，单位根，单位根的应用。
5、圆排列，有重复的排列与组合，简单的组合恒等式。
6、一元n次方程（多项式）根的个数，根与系数的关系，实系数方程虚根成对定理。
7、简单的初等数论问题，除初中大纲中所包括的内容外，还应包括无穷递降法，同余，欧几里得除法，非负最小完全剩余类，高斯函数，费马小定理，欧拉函数，孙子定理，格点及其性质。
三、立体几何1、多面角，多面角的性质。
三面角、直三面角的基本性质。
2、正多面体，欧拉定理。
3、体积证法。
4、截面，会作截面、表面展开图。
四、平面解析几何1、直线的法线式，直线的极坐标方程，直线束及其应用。
2、二元一次不等式表示的区域。
3、三角形的面积公式。
4、圆锥曲线的切线和法线。
5、圆的幂和根轴。
五、其它抽屉原理。
容斤原理。
极端原理。
集合的划分。
数学奥赛平面几何
《竞赛数学解题研究》之平面几何专题一、平面几何中的一些重要定理：1、梅涅劳斯定理：设D 、E 、F 分别是ABC ∆三边（或其延长线）上的三点，则D 、E 、F 三点共线的充要条件是1=⋅⋅EACEFC BF DB AD 。
2、塞瓦定理：设D 、E 、F 分别是ABC ∆三边（或其延长线）上的三点，则AF 、BE 、CD 三点共线的充要条件是1=⋅⋅EACEFC BF DB AD 。
3、托勒密定理：四边形ABCD 内接于圆的充要条件是CD BC CD AB BD AC ⋅+⋅=⋅4、西摩松定理：设P 是ABC ∆外接圆上任一点，过P 向ABC ∆的三边分别作垂线，设垂足为D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线。
5、斯德瓦特定理：设P 是ABC ∆的边BC 边上的任一点，则BC PC BP AP BC AB PC AC BP ⋅⋅+⋅=⋅+⋅2226、共角定理：设ABC ∆和C B A '''∆中有一个角相等或互补（不妨设A=A '）则 C A B A ACAB S S C B A ABC ''⋅''⋅='''∆∆7、共边定理：设ABC ∆和C B A '''∆中有一个边相等，则CA B A ACAB S S C B A ABC ''⋅''⋅='''∆∆举例说明：1、设M 、N 分别是正六边形ABCDEF 的对角线AC 、CE 上的点，且AM:AC=CN:CE=k,如果BMN 三点共线，试求k 。
（IMO23,1982）2、在四边形ABCD 中，ABD ∆、BCD ∆、ABC ∆的面积之比为3：4：1，点M 、N 分别 是AC 、CD 上的点，且AM:AC=CN:CD, 并且BMN 三点共线，求证：M 、N 分别是AC 、 CD 的中点。
高中数学联赛平面几何定理
①鸡爪定理：设△ABC的内心为I，∠A内的旁心为J，AI的延长线交三角形外接圆于K，则KI=KJ=KB=KC。
由内心和旁心的定义可知∠IBC=∠ABC/2，∠JBC=(180°-∠ABC)/2∴∠IBC+∠JBC=∠ABC/2+90°-∠ABC/2=90°=∠IBJ同理，∠ICJ=90°∵∠IBJ+∠ICJ=180°∴IBJC四点共圆，且IJ为圆的直径∵AK平分∠BAC∴KB=KC（相等的圆周角所对的弦相等）又∵∠IBK=∠IBC+∠KBC=∠ABC/2+∠KAC=∠ABI+∠BAK=∠KIB∴KB=KI∵IBJC四点共圆且KB=KI=KC∴点K是四边形IBJC的外接圆的圆心（只有圆心满足与圆周上超过三个以上的点的距离相等）∴KB=KI=KJ=KC鸡爪定理逆定理：设△ABC中∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于K。
在AK及延长线上截取KI=KB=KJ，其中I在△ABC的内部，J在△ABC的外部。
则I是△ABC的内心，J是△ABC的旁心。
证明：利用同一法可轻松证明该定理的逆定理。
取△ABC的内心I'和旁心J’，根据定理有KB=KC=KI'=KJ'又∵KB=KI=KJ∴I和I'重合，J和J’重合即I和J分别是内心和旁心。
②蝴蝶定理：设S为圆内弦AB的中点，过S作弦EF和CD。
设CF和DE各相交AB于点M和N，则S是MN的中点。
过O作OL⊥ED，OT⊥CF，垂足为L、T，连接ON，OM，OS，SL，ST，易明△ESD∽△CSF证法1:霍纳证法∴ES/CS=ED/FC根据垂径定理得：LD=ED/2，FT=FC/2∴ES/CS=EL/CT又∵∠E=∠C∴△ESL∽△CST∴∠SLN=∠STM∵S是AB的中点所以OS⊥AB∴∠OSN=∠OLN=90°∴O，S，N，L四点共圆，（一中同长）同理，O，T，M，S四点共圆∴∠STM=∠SOM，∠SLN=∠SON∴∠SON=∠SOM∵OS⊥AB∴MS=NS③西姆松定理：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延长线上的垂线，则三垂足共线。
高中数学竞赛平面几何基本定理
平面几何基础知识（基本定理、基天性质）1 ． 勾股定理（毕达哥拉斯定理） （广义勾股定理） (1)锐角对边的平方，等于其余两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍． (2)钝角对边的平方等于其余两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍．2 ． 射影定理（欧几里得定理）3 ． 中线定理（巴布斯定理）设△ABC 的边 BC 的中点为 P ，则有 AB 2AC 22( AP 2BP 2)；222中线长： m a2b2c a．24 ． 垂线定理： ABCDAC 2 AD 2 BC 2BD 2．2 p( p a )( p b)( p bc sin A c sin B b sin C ．高线长： h ac)aa5 ． 角均分线定理：三角形一个角的均分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比率．如△ ABC 中， AD 均分∠ BAC ，则 BDAB ；（外角均分线定理） ．DC AC角均分线长： t a2 cbcp( p a)2bccos A（此中 p 为周长一半）．bb c26 abc2 R ，（此中 R 为三角形外接圆半径） ．． 正弦定理：sin Bsin Asin C7 ． 余弦定理： c 2a 2b 2 2ab cosC ．8 ． 张角定理：sinBACsinBADsinDAC ．ADACAB9 ． 斯特瓦尔特 (Stewart)定理：设已知△ ABC 及其底边上 B 、C 两点间的一点D ，则有 AB2·DC+AC 2·BD － AD 2·BC ＝BC · DC ·BD ．10 ． 圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，等于圆心角的一半． （圆外角怎样转变？）11 ． 弦切角定理：弦切角等于夹弧所对的圆周角．12 ． 圆幂定理：（订交弦定理：垂径定理：切割线定理（割线定理） ：切线长定理： ）13 ． 布拉美古塔（ Brahmagupta ）定理： 在圆内接四边形 ABCD 中， AC ⊥BD ，自对角线的交点P 向一边作垂线，其延长线必均分对边．14 ． 点到圆的幂：设 P 为⊙ O 所在平面上随意一点， PO=d ，⊙ O 的半径为 r ，则 d 2－r 2 就是点 P 对于⊙ O 的幂．过 P任作向来线与⊙ O 交于点 A 、B ，则 PA ·PB= |d 2－ r 2 |．“到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线， 假如此二圆订交，则该轨迹是此二圆的公共弦所在直线”这个结论．这条直线称为两圆的“根轴” ．三个圆两两的根 轴假如不相互平行，则它们交于一点，这一点称为三圆的“根心” ．三个圆的根心对于三个圆等幂．当三个圆两两相交时，三条公共弦 ( 就是两两的根轴 ) 所在直线交于一点．15 ． 托勒密（ Ptolemy ）定理：圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和，即AC ·BD=AB ·CD +AD ·BC ，(抗命题成立 ) ．（广义托勒密定理） AB ·CD+AD ·BC ≥ AC ·BD ．16 ． 蝴蝶定理： AB 是⊙ O 的弦， M 是此中点，弦 CD 、 EF 经过点 M ，CF 、DE 交 AB 于 P 、Q ，求证： MP=QM ．17 ． 费马点： 定理 1 等边三角形外接圆上一点， 到该三角形较近两极点距离之和等于到另一极点的距离；不在等边三角 形外接圆上的点，到该三角形两极点距离之和大于到另一点的距离． 定理 2 三角形每一内角都小于120 °时，在三 角形内必存在一点，它对三条边所张的角都是 120°，该点到三极点距离和达到最小，称为“费马点”，当三角形有一内角不小于 120 °时，此角的极点即为费马点．18 ． 拿破仑三角形：在随意△ ABC 的外侧，分别作等边△ABD 、△ BCE 、△ CAF ，则 AE 、AB 、 CD 三线共点，而且 AE＝ BF ＝ CD ，这个命题称为拿破仑定理．以△ ABC 的三条边分别向外作等边△ABD 、△ BCE 、△ CAF ，它们的外接圆⊙ C 1 、⊙ A 1 、⊙ B 1 的圆心构成的△——外拿破仑的三角形，⊙C1 、⊙ A 1 、⊙ B 1三圆共点，外拿破仑三角形是一个等边三角形；△ ABC 的三条边分别向△ ABC 的内侧作等边△ ABD 、△ BCE 、△ CAF ，它们的外接圆⊙ C 2 、⊙A 2 、⊙B 2 的圆心构成的△——内拿破仑三角形，⊙C2 、⊙ A 2 、⊙ B 2三圆共点，内拿破仑三角形也是一个等边三角形．这两个拿破仑三角形还拥有相同的中心．19 ． 九点圆（ Nine point round 或欧拉圆或费尔巴赫圆） ：三角形中，三边中心、从各极点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各极点连线的中点，这九个点在同一个圆上，九点圆拥有很多风趣的性质 ,比如 :（ 1）三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半;（ 2）九点圆的圆心在欧拉线上 ,且恰为垂心与外心连线的中点 ;（ 3）三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切〔费尔巴哈定理〕 ．20 ． 欧拉（ Euler ）线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心挨次位于同向来线（欧拉线）上．21 ． 欧拉（ Euler ）公式：设三角形的外接圆半径为 R ，内切圆半径为 r ，外心与心里的距离为 d ，则 d 2=R2－2Rr ．22 ． 锐角三角形的外接圆半径与内切圆半径的和等于外心到各边距离的和．23 ． 重心：三角形的三条中线交于一点，而且各中线被这个点分红2： 1 的两部分； G( x A x B x C , yA yB yC )33重心性质：（1）设 G 为△ ABC 的重心，连接AG 并延伸交 BC 于 D ，则 D 为 BC 的中点，则 AG : GD2:1；（ 2）设 G 为△ ABC 的重心，则 S ABGS BCGSACG1S ABC；3（ 3）设 G 为 △ABC 的重心，过 G 作 DE ∥ BC 交 AB 于 D ，交 AC 于 E ，过 G 作 PF ∥AC 交 AB 于 P ，交 BC于 F ，过 G 作 HK ∥AB 交 AC 于 K ，交 BC 于 H ，则DEFPKH 2; DE FP KH 2 ；BCCAAB3 BCCAAB（4）设 G 为△ ABC 的重心，则①BC 2 3GA 2 CA 2 3GB 2 AB 2 3GC 2 ；②GA2GB2GC21(AB 2BC 2CA 2) ；3③ PA 2PB 2 PC 2GA 2GB 2 GC 2 3PG 2 （P 为△ ABC 内随意一点）； ④到三角形三极点距离的平方和最小的点是重心，即 GA 2GB 2GC 2 最小；⑤三角形内到三边距离之积最大的点是重心；反之亦然（即知足上述条件之一， 则 G 为 △ABC 的重心）．ax Abx Bcx Cay Aby Bcy CH ( cos A, cos A24 ． 垂心：三角形的三条高线的交点；acos B cos Ca cos B cos C)bcb ccos Acos B cos Ccos Acos B cos C垂心性质：（1）三角形任一极点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的 2 倍；（ 2）垂心 H 对于 △ ABC 的三边的对称点，均在 △ABC 的外接圆上；（ 3） △ABC 的垂心为 H ，则 △ ABC ， △ABH ，△ BCH ，△ ACH 的外接圆是等圆；（ 4）设 O ，H 分别为 △ ABC 的外心和垂心，则BAO HAC , CBOABH , BCOHCA ．25 ． 心里：三角形的三条角分线的交点—内接圆圆心，即心里到三角形各边距离相等；I (axAbx B cx C , ay Aby BcyC)a b ca b c心里性质：（ 1）设 I 为△ ABC 的心里，则 I 到△ ABC 三边的距离相等，反之亦然；（2）设 I 为 △ABC 的心里，则BIC901 A,AIC901B, AIB 90 1 C ；2 22（3）三角形一内角均分线与其外接圆的交点到另两极点的距离与到心里的距离相等；反之，若 A 均分线交 △ ABC外接圆于点 K ， I 为线段 AK 上的点且知足 KI=KB ，则 I 为△ ABC 的心里；（4）设 I 为△ ABC 的心里， BC a, ACb, AB c,A 均分线交 BC 于 D ，交 △ ABC 外接圆于点K ，则AI AKIK b c；IDKIKDaBCa, AC b, AB c,BC, AC,ABD,E,Fr（5）设 I 为△ ABC 的心里，I 在，内切圆半径为 ，上的射影分别为令p1(a b c) ，则① S ABCpr；②AEAF p a; BDBFp b;CE CDpc ；③2abcr pAI BI CI ．26 ． 外心：三角形的三条中垂线的交点——外接圆圆心，即外心到三角形各极点距离相等；O(sin 2 AxAsin 2Bx B sin 2Cx C , sin 2 Ay A sin 2By Bsin 2CyC )sin 2 A sin 2B sin 2Csin 2A sin 2B sin 2C外心性质：（1）外心到三角形各极点距离相等；（2）设 O 为 △ABC 的外心，则 BOC 2 A 或BOC 360 2 A ；（3） R abc ；（ 4）锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和．4 S27 ． 旁心：一内角均分线与两外角均分线交点——旁切圆圆心；设△ ABC 的三边BC a, AC b, AB c, 令p1 bc) ，分别与 BC , AC , AB 外侧相切的旁切圆圆心记为 I A , I B , I C ，其半径分别记为r A , r B , r C ．(a2旁心性质：（1）BI A C 901 A, BI B CBI C C1 A, （对于顶角 B ， C 也有近似的式子） ；22（2）I A I B I C1 ( AC) ；2（3）设AI A 的连线交 △ABC 的外接圆于 D ，则 DI ADB DC （对于 BI B , CI C 有相同的结论）；（ 4） △ABC 是 △I A I B I C 的垂足三角形，且 △ I A I B I C 的外接圆半径 R' 等于 △ABC 的直径为 2R ．28 ． 三角形面积公式： S ABC 1ah a 1 ab sin C abc2R 2sin Asin B sin Ca 2b 2c22 2 4R4(cot A cot Bcot C )prp( p a)( p b)( p c)，此中h a 表示 BC 边上的高， R 为外接圆半径， r 为内切圆半径， p1(abc)．229 ． 三角形中内切圆，旁切圆和外接圆半径的相互关系：r 4Rsin A sin B sin C ; r a 4Rsin A cos B cos C , r b 4R cos A sin B cos C , r c 4R cos A cos B sin C;2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 r aB r, r brC , r crB ;11 11 .tan tan C tan A tantan A tan r a r br cr2 22 22 230 ． 梅涅劳斯（ Menelaus ）定理：设 △ ABC 的三边 BC 、 CA 、AB 或其延伸线和一条不经过它们任一极点的直线的交点分别为 P 、 Q 、 R 则有BP CQ AR 1．（逆定理也建立）PC QA RB31．梅涅劳斯定理的应用定理1：设△ ABC 的∠ A 的外角均分线交边CA 于 Q，∠ C 的均分线交边AB 于 R，∠ B 的均分线交边 CA 于 Q，则 P、Q、 R三点共线．32．梅涅劳斯定理的应用定理2：过随意△ABC 的三个极点 A 、B、 C 作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB 的延长线交于点 P、 Q、 R，则 P、Q、 R 三点共线．33．塞瓦 (Ceva)定理：设 X、Y、Z 分别为△ ABC 的边 BC、 CA、 AB 上的一点，则 AX、 BY、CZ 所在直线交于一点的充AZ BX CY要条件是··=1．ZB XC YA34．塞瓦定理的应用定理：设平行于△ ABC 的边 BC 的直线与两边 AB、AC 的交点分别是 D 、E，又设 BE 和 CD 交于 S，则 AS 必定过边 BC 的中点 M ．35．塞瓦定理的逆定理：（略）36．塞瓦定理的逆定理的应用定理1：三角形的三条中线交于一点，三角形的三条高线交于一点，三角形的三条角分线交于一点．37．塞瓦定理的逆定理的应用定理2：设△ ABC 的内切圆和边 BC、CA、 AB 分别相切于点R、S、 T，则 AR、BS、 CT 交于一点．38．西摩松（ Simson）定理：从△ ABC 的外接圆上随意一点P 向三边 BC、CA、AB 或其延伸线作垂线，设其垂足分别是 D、E、 R，则 D、 E、 R 共线，（这条直线叫西摩松线Simson line）．39．西摩松定理的逆定理：（略）40．对于西摩松线的定理1：△ ABC 的外接圆的两个端点P、Q 对于该三角形的西摩松线相互垂直，其交点在九点圆上．41．对于西摩松线的定理2（平和定理）：在一个圆周上有 4 点，以此中任三点作三角形，再作其余一点的对于该三角形的西摩松线，这些西摩松线交于一点．42．史坦纳定理：设△ ABC 的垂心为 H，其外接圆的随意点P，这时对于△ ABC 的点 P 的西摩松线经过线段 PH 的中心．43．史坦纳定理的应用定理：△ ABC 的外接圆上的一点P 的对于边 BC、CA、AB 的对称点和△ABC 的垂心 H 同在一条（与西摩松线平行的）直线上．这条直线被叫做点P 对于△ ABC 的镜象线．44．牛顿定理 1：四边形两条对边的延伸线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三点共线．这条直线叫做这个四边形的牛顿线．45．牛顿定理 2：圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线．46．笛沙格定理1：平面上有两个三角形△ABC、△DEF ，设它们的对应极点（ A 和 D、B 和 E、C 和 F）的连线交于一点，这时假如对应边或其延伸线订交，则这三个交点共线．47．笛沙格定理2：相异平面上有两个三角形△ABC、△DEF ，设它们的对应极点（ A 和 D、B 和 E、C 和 F）的连线交于一点，这时假如对应边或其延伸线订交，则这三个交点共线．48．波朗杰、腾下定理：设△ABC 的外接圆上的三点为P、 Q、R，则 P、Q、R 对于△ ABC 交于一点的充要条件是：弧AP +弧 BQ+弧 CR=0(mod2) ．49．波朗杰、腾下定理推论1：设 P、Q、R 为△ ABC 的外接圆上的三点，若 P 、Q、R 对于△ABC 的西摩松线交于一点，则 A、 B、 C 三点对于△PQR 的的西摩松线交于与前相同的一点．50．波朗杰、腾下定理推论2：在推论 1 中，三条西摩松线的交点是A、B、C、P、Q、R 六点任取三点所作的三角形的垂心和其余三点所作的三角形的垂心的连线段的中点．51．波朗杰、腾下定理推论3：考察△ ABC 的外接圆上的一点 P 的对于△ ABC 的西摩松线，如设QR 为垂直于这条西摩松线该外接圆的弦，则三点P 、Q、R 的对于△ABC 的西摩松线交于一点．52．波朗杰、腾下定理推论4：从△ABC 的极点向边 BC、 CA、 AB 引垂线，设垂足分别是D、E、 F，且设边 BC、CA、AB 的中点分别是 L 、M 、N，则 D、 E、 F、L 、M、N 六点在同一个圆上，这时 L 、 M、N 点对于对于△ ABC 的西摩松线交于一点．53．卡诺定理：经过△ ABC 的外接圆的一点 P ，引与△ ABC 的三边 BC、CA、 AB 分别成同向的等角的直线PD、PE 、PF ，与三边的交点分别是D、E、F，则 D、 E、 F 三点共线．54．奥倍尔定理：经过△ABC 的三个极点引相互平行的三条直线，设它们与△ ABC 的外接圆的交点分别是L、M、 N，在△ABC 的外接圆上取一点P，则 PL、PM 、PN 与△ ABC 的三边 BC、CA、AB 或其延伸线的交点分别是D、E、F ，则 D、E、 F 三点共线．55．清宫定理：设 P、Q 为△ ABC 的外接圆的异于 A 、B、C 的两点， P 点的对于三边 BC、CA、AB 的对称点分别是U 、V、 W，这时， QU、 QV、QW 和边 BC 、CA、 AB 或其延伸线的交点分别是D、 E、 F，则 D、 E、F 三点共线．56．他拿定理：设 P、Q 为对于△ ABC 的外接圆的一对反点，点P 的对于三边 BC、CA、AB 的对称点分别是 U 、V、W，这时，假如 QU、 QV、QW 和边 BC 、CA、 AB 或其延伸线的交点分别是D、 E、 F，则 D、 E、F 三点共线．（反点：P、 Q 分别为圆 O 的半径 OC 和其延伸线的两点，假如OC2 =OQ ×OP 则称 P 、Q 两点对于圆 O 互为反点）57．朗古来定理：在同一圆周上有A1、B1、C1、D 1四点，以此中任三点作三角形，在圆周取一点P ，作 P 点的对于这 4个三角形的西摩松线，再从P 向这 4 条西摩松线引垂线，则四个垂足在同一条直线上．58．从三角形各边的中点，向这条边所对的极点处的外接圆的切线引垂线，这些垂线交于该三角形的九点圆的圆心．59．一个圆周上有 n 个点，从此中随意 n－ 1 个点的重心，向该圆周的在其余一点处的切线所引的垂线都交于一点．60．康托尔定理1：一个圆周上有n 个点，从此中随意 n－2 个点的重心向余下两点的连线所引的垂线共点．61．康托尔定理2：一个圆周上有A、B、C、D 四点及 M、N 两点，则 M 和 N 点对于四个三角形△ BCD 、△ CDA 、△ DAB、△ ABC 中的每一个的两条西摩松线的交点在同向来线上．这条直线叫做M、N 两点对于四边形ABCD 的康托尔线．62．康托尔定理3：一个圆周上有A、B、C、D 四点及 M、N、L 三点，则M、N 两点的对于四边形 ABCD 的康托尔线、L 、N 两点的对于四边形ABCD 的康托尔线、 M、L 两点的对于四边形ABCD 的康托尔线交于一点．这个点叫做M、N、 L 三点对于四边形 ABCD 的康托尔点．63．康托尔定理4：一个圆周上有A、B、C、D 、E 五点及 M、N、L 三点，则 M、N、L 三点对于四边形 BCDE 、CDEA 、DEAB 、EABC 中的每一个康托尔点在一条直线上．这条直线叫做M、N、 L 三点对于五边形A、 B、 C、D、E 的康托尔线．64．费尔巴赫定理：三角形的九点圆与内切圆和旁切圆相切．65．莫利定理：将三角形的三个内角三均分，凑近某边的两条三分角线相获取一个交点，则这样的三个交点能够构成一个正三角形．这个三角形常被称作莫利正三角形．66．布利安松定理：连接外切于圆的六边形ABCDEF 相对的极点 A 和 D 、B 和 E、 C 和 F，则这三线共点．67．帕斯卡（ Paskal）定理：圆内接六边形ABCDEF 相对的边 AB 和 DE 、 BC 和 EF 、 CD 和 FA 的（或延伸线的）交点共线．68．阿波罗尼斯（ Apollonius ）定理：到两定点 A 、B 的距离之比为定比 m：n（值不为 1）的点 P，位于将线段 AB 分红m：n 的内分点 C 和外分点 D 为直径两头点的定圆周上．这个圆称为阿波罗尼斯圆．69．库立奇 * 大上定理：（圆内接四边形的九点圆）圆周上有四点，过此中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆．70．密格尔（ Miquel ）点：若 AE、AF、ED 、FB 四条直线订交于A、B、C、D、E 、F 六点，构成四个三角形，它们是△ ABF、△ AED 、△ BCE、△ DCF ，则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点．71．葛尔刚（ Gergonne）点：△ ABC 的内切圆分别切边AB、BC、CA 于点 D、E、F，则 AE、BF、CD 三线共点，这个点称为葛尔刚点．72 ．欧拉对于垂足三角形的面积公式：形成的三角形的面积，其公式：O 是三角形的外心，M 是三角形中的随意一点，过M 向三边作垂线，三个垂足SD EF| R 2 d 2 | ．SABC4 R 22009 年全国高中数学结合比赛湖北省初赛试题参照答案及评分标准说明： 评阅试卷时，请依照本评分标准。
高中数学竞赛中平面几何涉及的定理
1、勾股定理(毕达哥拉斯定理)2、射影定理(欧几里得定理)3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。
6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。
7、从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线交于一点8、设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足不L，则AH=2OL9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线上。
10、(九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆)三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线(欧拉线)上12、库立奇*大上定理：(圆内接四边形的九点圆) 圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。
13、(内心)三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式：r=(s-a)(s-b)(s-c)ss为三角形周长的一半14、(旁心)三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点15、中线定理：(巴布斯定理)设三角形ABC的边BC的中点为P，则有AB2+AC2=2(AP2+BP2)16、斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC内分成m:n，则有n×AB2+m×AC2=(m+n)AP2+mnm+nBC217、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，连接AB中点M和对角线交点E的直线垂直于CD18、阿波罗尼斯定理：到两定点A、B的距离之比为定比m:n(值不为1)的点P，位于将线段AB分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上19、托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有AB×CD+AD×BC=AC20、以任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边，分别向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，则△DEF是正三角形，21、爱尔可斯定理1：若△ABC和三角形△都是正三角形，则由线段AD、BE、CF的重心构成的三角形也是正三角形。
高中数学竞赛平面几何中的几个重要定理
平面几何中几个重要定理及其证明一、 塞瓦定理1．塞瓦定理及其证明定理：在∆ABC 内一点P,该点与∆ABC 的三个顶点相连所在的三条直线分别交∆ABC 三边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F,且D 、E 、F 三点均不是∆ABC 的顶点,则有1AD BE CFDB EC FA⋅⋅=． 证明：运用面积比可得ADCADP BDP BDCS S AD DB S S ∆∆∆∆==． 根据等比定理有ADC ADC ADP APCADP BDP BDC BDC BDP BPCS S S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆-===-,所以APCBPC S AD DB S ∆∆=．同理可得APB APCS BE EC S ∆∆=,BPCAPB S CF FA S ∆∆=． 三式相乘得1AD BE CFDB EC FA⋅⋅=． 注：在运用三角形的面积比时,要把握住两个三角形是“等高”ABCD FP还是“等底”,这样就可以产生出“边之比”．2．塞瓦定理的逆定理及其证明定理：在∆ABC 三边AB 、BC 、CA 上各有一点D 、E 、F,且D 、E 、F均不是∆ABC 的顶点,若1AD BE CFDB EC FA⋅⋅=,那么直线CD 、AE 、BF 三线共点．证明：设直线AE 与直线BF 交于点P,直线CP 交AB 于点D /,则据塞瓦定理有//1AD BE CFD B EC FA⋅⋅=． 因为1AD BE CF DB EC FA⋅⋅=,所以有//AD AD DB D B =．由于点D 、D /都在线段AB 上,所以点D 与D /重合．即得D 、E 、F 三点共线．注：利用唯一性,采用同一法,用上塞瓦定理使命题顺利获证． 二、 梅涅劳斯定理ABCD EFPD /3．梅涅劳斯定理及其证明ABCD EFG定理：一条直线与∆ABC 的三边AB 、BC 、CA 所在直线分别交于点D 、E 、F,且D 、E 、F 均不是∆ABC 的顶点,则有1AD BE CFDB EC FA⨯⨯=．证明：如图,过点C 作AB 的平行线,交EF 于点G ．因为CG // AB,所以CG CFAD FA= ————1 因为CG // AB,所以CG ECDB BE= ————2 由1÷2可得DB BE CFAD EC FA=⋅,即得1AD BE CF DB EC FA ⋅⋅=． 注：添加的辅助线CG 是证明的关键“桥梁”,两次运用相似比得出两个比例等式,再拆去“桥梁”CG 使得命题顺利获证．4．梅涅劳斯定理的逆定理及其证明定理：在∆ABC 的边AB 、BC 上各有一点D 、E,在边AC 的延长线上有一点F,若1AD BE CFDB EC FA⋅⋅=, 那么,D 、E 、F 三点共线．ABCD EFD /证明：设直线EF 交AB 于点D /,则据梅涅劳斯定理有//1AD BE CFD B EC FA⋅⋅=． 因为1AD BE CF DB EC FA⋅⋅=,所以有//AD AD DB D B =．由于点D 、D /都在线段AB 上,所以点D 与D /重合．即得D 、E 、F 三点共线．注：证明方法与上面的塞瓦定理的逆定理如出一辙,注意分析其相似后面的规律． 三、 托勒密定理5．托勒密定理及其证明定理：凸四边形ABCD 是某圆的内接四边形,则有 AB ·CD + BC ·AD = AC ·BD ．证明：设点M 是对角线AC 与BD 的交点,在线段BD 上找一点,使得∠DAE =∠BAM ．因为∠ADB =∠ACB,即∠ADE =∠ACB,所以∆ADE ∽∆ACB,即得AD DEAC BC=,即AD BC AC DE ⋅=⋅ ————1 由于∠DAE =∠BAM,所以∠DAM =∠BAE,即∠DAC =∠BAE;而∠ABD =∠ACD,即∠ABE =∠ACD,所以∆ABE ∽∆ACD ．即得AB BEAC CD=,即AB CD AC BE ⋅=⋅ ————2 由1+2得AD BC AB CD AC DE AC BE AC BD ⋅+⋅=⋅+⋅=⋅． 所以AB ·CD + BC ·AD = AC ·BD ．注：巧妙构造三角形,运用三角形之间的相似推得结论．这里的构造具有特点,不容易想到,需要认真分析题目并不断尝试．6．托勒密定理的逆定理及其证明定理：如果凸四边形ABCD 满足AB ×CD + BC ×AD = AC ×BD,那么A 、B 、C 、D 四点共圆．证法1同一法：在凸四边形ABCD 内取一点E,使得EAB DAC ∠=∠,EBA DCA ∠=∠,则EAB ∆∽DAC ∆．可得AB ×CD = BE ×AC ———1且 AE ABAD AC = ———2则由DAE CAB ∠=∠及2可得DAE ∆∽CAB ∆．于是有 AD ×BC = DE ×AC ———3由1+3可得 AB ×CD + BC ×AD = AC × BE + DE ．据条件可得 BD = BE + DE,则点E 在线段BD 上．则由EBA DCA ∠=∠,得DBA DCA ∠=∠,这说明A 、B 、C 、D 四点共圆．证法2构造转移法延长DA 到A /,延长DB 到B /,使A 、B 、B /、A /四点共圆．延长DC到C /,使得B 、C 、C /、B /四点共圆．如果能证明A /、B /、C /共线,则命题获证那么,据圆幂定理知A 、C 、C /、A /四点也共圆． 因此,///A B A D AB BD=,///B C C D BC BD =． 可得 //////AB A D BC C D A B B C BD⨯+⨯+=.另一方面,///A C A D AC CD =,即///AC A D A C CD⨯=． 欲证//AB A D BC C D BD⨯+⨯=/AC A DCD ⨯,即证///AB CD A D BC CD C D AC BD A D ⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯即 //()BC CD C D AC BD AB CD A D ⨯⨯=⨯-⨯．据条件有 AC BD AB CD AD BC ⨯-⨯=⨯,所以需证//BC CD C D AD BC A D ⨯⨯=⨯⨯,即证//CD C D AD A D ⨯=⨯,这是显然的．所以,//////A B B C A C +=,即A /、B /、C /共线．所以//A B B ∠与//BB C∠互补．由于//A B B DAB ∠=∠,//BB C DCB ∠=∠,所以DAB ∠与DCB ∠互补,即A 、B 、C 、D 四点共圆．7．托勒密定理的推广及其证明定理：如果凸四边形ABCD 的四个顶点不在同一个圆上,那么就有 AB ×CD + BC ×AD > AC ×BD证明：如图,在凸四边形ABCD 内取一点E,使得EAB DAC ∠=∠,EBA DCA ∠=∠,则EAB ∆∽DAC ∆．可得AB ×CD = BE ×AC ————1且AE ABAD AC = ————2则由DAE CAB ∠=∠及2可得DAE ∆∽CAB ∆．于是 AD ×BC = DE ×AC ————3由1+3可得 AB ×CD + BC ×AD = AC × BE + DE因为A、B、C、D四点不共圆,据托勒密定理的逆定理可知AB×CD + BC×AD≠AC×BD所以BE + DE≠BD,即得点E不在线段BD上,则据三角形的性质有BE + DE > BD．所以AB×CD + BC×AD > AC×BD．四、西姆松定理8．西姆松定理及其证明定理：从∆ABC外接圆上任意一点P向BC、CA、AB或其延长线引垂线,垂足分别为D、E、F,则D、E、F三点共线．证明：如图示,连接PC,连接 EF 交BC于点D/,连接PD/．因为PE⊥AE,PF⊥AF,所以A、F、P、Array E四点共圆,可得∠FAE =∠FEP．因为A、B、P、C四点共圆,所以∠BAC=∠BCP,即∠FAE =∠BCP．所以,∠FEP =∠BCP,即∠D/EP =∠D/CP,可得C、D/、P、E四点共圆．所以,∠CD/P +∠CEP = 1800;而∠CEP = 900,所以∠CD/P = 900,即PD/⊥BC．由于过点P 作BC 的垂线,垂足只有一个,所以点D 与D /重合,即得D 、E 、F 三点共线．注：1采用同一法证明可以变被动为主动,以便充分地调用题设条件．但需注意运用同一法证明时的唯一性．2反复运用四点共圆的性质是解决此题的关键,要掌握好四点共圆的运用手法． 五、 欧拉定理9．欧拉定理及其证明定理：设ΔABC 的重心、外心、垂心分别用字母G 、O 、H 表示．则有G 、O 、H 三点共线欧拉线,且满足3OHOG =．证明向量法：连BO 并延长交圆O 于点D;连接CD 、AD 、HC,设E 为边BC 的中点,连接OE 和OC ．则→→→+=AH OA OH ——— ①因为 CD ⊥BC,AH ⊥BC,所以 AH // CD ．同理CH // DA ．所以,AHCD 为平行四边形．从而得→→=DC AH ．而→→=OE DC 2,所以→→=OE AH 2．因为⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=→→→OC OB OE 21,所以→→→+=OC OB AH ——— ②由①②得：→→→→++=OC OB OA OH ———— ③ 另一方面,→→→→→→→→++=+=+=GC GB OA GF OA AG OA OG 2．而→→→→→→+=+=OC GO GC OB GO GB ，,所以 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=⇒+++=→→→→→→→→→OC OB OA OG OB OC GO OA OG 312 —— ④由③④得：→→=OG OH 3．结论得证．注：1运用向量法证明几何问题也是一种常用方法,而且有其独特之处,注意掌握向量对几何问题的表现手法；2此题也可用纯几何法给予证明． 又证几何法：连接OH,AE,两线段相交于点G /；连BO 并延长交圆O 于点D ；连接CD 、AD 、HC,设E 为边BC 的中点,连接OE 和OC,如图． 因为 CD ⊥BC,AH ⊥BC,所以 AH // CD ．同理CH // DA ．所以,AHCD 为平行四边形．可得AH = CD ．而CD = 2OE,所以AH = 2OE ．因为AH // CD,CD // OE,所以AH // OE ．可得∆AHG /∽∆EOG /．所以////21AH AG HG OE G E G O ===． 由//21AG G E =,及重心性质可知点G /就是∆ABC 的重心,即G /与点G 重合．所以,G 、O 、H 三点共线,且满足3OH OG =．六、 蝴蝶定理10．蝴蝶定理及其证明定理：如图,过圆中弦AB 的中点M 任引两弦CD 和EF,连接CF 和ED,分别交AB 于P 、Q,则PM = MQ ．证明：过点M 作直线AB 的垂线l ,作直线CF 关于直线l 的对称直线交圆于点C /、F /,交线段AB 于点Q /．连接FF /、DF /、Q /F /、DQ /．据圆的性质和图形的对称性可知：∠MF /Q /=∠MFP,∠F /Q /M =∠FPM ；且FF / // AB,PM = MQ /． 因为C 、D 、F /、F 四点共圆,所以A BCD EFP Q M C /F/ Q /∠CDF/ +∠CFF/ = 1800,而由FF/ // AB可得∠Q/PF +∠CFF/ = 1800,所以∠CDF/ =∠Q/PF,即∠MDF/ =∠Q/PF．又因为∠Q/PF =∠PQ/F/,即∠Q/PF =∠MQ/F/．所以有∠MDF/ =∠MQ/F/．这说明Q/、D、F/、M四点共圆,即得∠MF/Q/ =∠Q/DM．因为∠MF/Q/=∠MFP,所以∠MFP =∠Q/DM．而∠MFP =∠EDM,所以∠EDM =∠Q/DM．这说明点Q与点Q/重合,即得PM = MQ．此定理还可用解析法来证明：轴上的截距互为相反数．证：以AB所在直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系,M点是坐标原点．设直线DE、CF的方程分别为x = m1y + n 1,x = m2y + n 2；直线CD、EF的方程分别为y = k1 x ,y = k2 x．则经过C、D、E、F四点的曲线系方程为y –k1 x y–k2 x+λx–m1 y–n1x–m2 y–n2=0．整理得λ+k1k2x 2+1+λm1m2y 2–k1+k2+λm1+m2xy–λn1+n2x+λn1m2+n2m1y+λn1n2=0．由于C、D、E、F四点在一个圆上,说明上面方程表示的是一个圆,所以必须λ+ k1 k2 = 1 +λm1 m2≠ 0,且k1+k2+λm1+m2=0．若λ=0,则k1k2=1,k1+k2=0,这是不可能的,故λ≠0；又y轴是弦AB的垂直平分线,则圆心应落在y轴上,故有λn1+ n2 = 0,从而得n1 + n2 = 0．这说明直线DE、CF在x轴上的截距互为相反数,即得PM = MQ．。
高中数学竞赛平面几何基本定理
（高中）平面几何基础知识（基本定理、基本性质）1． 勾股定理（毕达哥拉斯定理）（广义勾股定理）(1)锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍． (2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍．2． 射影定理（欧几里得定理）3． 中线定理（巴布斯定理）设△ABC 的边BC 的中点为P ，则有)(22222BP AP AC AB +=+； 中线长：222222a c b m a -+=． 4． 垂线定理：2222BD BC AD AC CD AB -=-⇔⊥． 高线长：C b B c A abc c p b p a p p a h a sin sin sin ))()((2===---=． 5． 角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例．如△ABC 中，AD 平分∠BAC ，则ACAB DC BD =；（外角平分线定理）． 角平分线长：2cos 2)(2A c b bc a p bcp c b t a +=-+=（其中p 为周长一半）． 6． 正弦定理：R Cc B b A a 2sin sin sin ===，（其中R 为三角形外接圆半径）． 7． 余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=．8． 张角定理：ABDAC AC BAD AD BAC ∠+∠=∠sin sin sin ．9． 斯特瓦尔特(Stewart )定理：设已知△ABC 及其底边上B 、C 两点间的一点D ，则有AB 2·DC +AC 2·BD －AD 2·BC ＝BC ·DC ·BD ．10． 圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，等于圆心角的一半．（圆外角如何转化？）11． 弦切角定理：弦切角等于夹弧所对的圆周角．12． 圆幂定理：（相交弦定理：垂径定理：切割线定理（割线定理）：切线长定理：）13． 布拉美古塔（Brahmagupta ）定理： 在圆内接四边形ABCD 中，AC ⊥BD ，自对角线的交点P 向一边作垂线，其延长线必平分对边．14． 点到圆的幂：设P 为⊙O 所在平面上任意一点，PO =d ，⊙O 的半径为r ，则d 2－r 2就是点P 对于⊙O 的幂．过P 任作一直线与⊙O 交于点A 、B ，则P A·PB = |d 2－r 2|．“到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线，如果此二圆相交，则该轨迹是此二圆的公共弦所在直线”这个结论．这条直线称为两圆的“根轴”．三个圆两两的根轴如果不互相平行，则它们交于一点，这一点称为三圆的“根心”．三个圆的根心对于三个圆等幂．当三个圆两两相交时，三条公共弦(就是两两的根轴)所在直线交于一点．15． 托勒密（Ptolemy ）定理：圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和，即AC ·BD =AB ·CD +AD ·BC ，(逆命题成立) ．（广义托勒密定理）AB ·CD +AD ·BC ≥AC ·BD ．16． 蝴蝶定理：AB 是⊙O 的弦，M 是其中点，弦CD 、EF 经过点M ，CF 、DE 交AB 于P 、Q ，求证：MP =QM ．17． 费马点：定理1等边三角形外接圆上一点，到该三角形较近两顶点距离之和等于到另一顶点的距离；不在等边三角形外接圆上的点，到该三角形两顶点距离之和大于到另一点的距离．定理2 三角形每一内角都小于120°时，在三角形内必存在一点，它对三条边所张的角都是120°，该点到三顶点距离和达到最小，称为“费马点”，当三角形有一内角不小于120°时，此角的顶点即为费马点．18． 拿破仑三角形：在任意△ABC 的外侧，分别作等边△ABD 、△BCE 、△CAF ，则AE 、AB 、CD 三线共点，并且AE＝BF ＝CD ，这个命题称为拿破仑定理． 以△ABC 的三条边分别向外作等边△ABD 、△BCE 、△CAF ，它们的外接圆⊙C 1 、⊙A 1 、⊙B 1的圆心构成的△——外拿破仑的三角形，⊙C 1 、⊙A 1 、⊙B 1三圆共点，外拿破仑三角形是一个等边三角形；△ABC 的三条边分别向△ABC 的内侧作等边△ABD 、△BCE 、△CAF ，它们的外接圆⊙C 2 、⊙A 2 、⊙B 2的圆心构成的△——内拿破仑三角形，⊙C 2 、⊙A 2 、⊙B 2三圆共点，内拿破仑三角形也是一个等边三角形．这两个拿破仑三角形还具有相同的中心．19． 九点圆（Nine point round 或欧拉圆或费尔巴赫圆）：三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，九点圆具有许多有趣的性质,例如:（1）三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半;（2）九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点;（3）三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切〔费尔巴哈定理〕．20． 欧拉（Euler ）线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上．21． 欧拉（Euler ）公式：设三角形的外接圆半径为R ，内切圆半径为r ，外心与内心的距离为d ，则d 2=R 2－2Rr ．22． 锐角三角形的外接圆半径与内切圆半径的和等于外心到各边距离的和．23． 重心：三角形的三条中线交于一点，并且各中线被这个点分成2：1的两部分；)3,3(C B A C B A y y y x x x G ++++ 重心性质：（1）设G 为△ABC 的重心，连结AG 并延长交BC 于D ，则D 为BC 的中点，则1:2:=GD AG ；（2）设G 为△ABC 的重心，则ABC ACG BCG ABG S S S S ∆∆∆∆===31； （3）设G 为△ABC 的重心，过G 作DE ∥BC 交AB 于D ，交AC 于E ，过G 作PF ∥AC 交AB 于P ，交BC 于F ，过G 作HK ∥AB 交AC 于K ，交BC 于H ，则2;32=++===AB KH CA FP BC DE AB KH CA FP BC DE ； （4）设G 为△ABC 的重心，则①222222333GC AB GB CA GA BC+=+=+； ②)(31222222CA BC AB GC GB GA ++=++； ③22222223PG GC GB GA PC PB PA +++=++（P 为△ABC 内任意一点）；④到三角形三顶点距离的平方和最小的点是重心，即222GC GB GA ++最小； ⑤三角形内到三边距离之积最大的点是重心；反之亦然（即满足上述条件之一，则G 为△ABC 的重心）． 24． 垂心：三角形的三条高线的交点；)cos cos cos cos cos cos ,cos cos cos cos cos cos (Cc B b A a y C c y B b y A a C c B b A a x C c x B b x A a H C B A C B A ++++++++ 垂心性质：（1）三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍；（2）垂心H 关于△ABC 的三边的对称点，均在△ABC 的外接圆上；（3）△ABC 的垂心为H ，则△ABC ，△ABH ，△BCH ，△ACH 的外接圆是等圆；（4）设O ，H 分别为△ABC 的外心和垂心，则HCA BCO ABH CBO HAC BAO ∠=∠∠=∠∠=∠,,．25． 内心：三角形的三条角分线的交点—内接圆圆心，即内心到三角形各边距离相等；),(cb a cy by ayc b a cx bx ax I C B A C B A ++++++++ 内心性质：（1）设I 为△ABC 的内心，则I 到△ABC 三边的距离相等，反之亦然；（2）设I 为△ABC 的内心，则C AIB B AIC A BIC ∠+︒=∠∠+︒=∠∠+︒=∠2190,2190,2190； （3）三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心的距离相等；反之，若A ∠平分线交△ABC 外接圆于点K ，I 为线段AK 上的点且满足KI=KB ，则I 为△ABC 的内心；（4）设I 为△ABC 的内心，,,,c AB b AC a BC === A ∠平分线交BC 于D ，交△ABC 外接圆于点K ，则ac b KD IK KI AK ID AI +===； （5）设I 为△ABC 的内心，,,,c AB b AC a BC ===I 在AB AC BC ,,上的射影分别为F E D ,,，内切圆半径为r ，令)(21c b a p ++=，则①pr S ABC =∆；②c p CD CE b p BF BD a p AF AE -==-==-==;;；③CI BI AI p abcr ⋅⋅⋅=．26． 外心：三角形的三条中垂线的交点——外接圆圆心，即外心到三角形各顶点距离相等； )2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin ,2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin (C B A Cy By Ay C B A Cx Bx Ax O C B A C B A ++++++++ 外心性质：（1）外心到三角形各顶点距离相等；（2）设O 为△ABC 的外心，则A BOC ∠=∠2或A BOC ∠-︒=∠2360；（3）∆=S abc R 4；（4）锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和． 27． 旁心：一内角平分线与两外角平分线交点——旁切圆圆心；设△ABC 的三边,,,c AB b AC a BC ===令)(21c b a p ++=，分别与AB AC BC ,,外侧相切的旁切圆圆心记为C B A I I I ,,，其半径分别记为C B A r r r ,,． 旁心性质：（1）,21,2190A C BI C BI A C BI C B A ∠=∠=∠∠-︒=∠（对于顶角B ，C 也有类似的式子）； （2）)(21C A I I I C B A ∠+∠=∠； （3）设A AI 的连线交△ABC 的外接圆于D ，则DC DB DI A ==（对于C B CI BI ,有同样的结论）； （4）△ABC 是△I A I B I C 的垂足三角形，且△I A I B I C 的外接圆半径'R 等于△ABC 的直径为2R ．28． 三角形面积公式：C B A R R abc C ab ah S a ABC sin sin sin 24sin 21212====∆)cot cot (cot 4222C B A c b a ++++= ))()((c p b p a p p pr ---==，其中a h 表示BC 边上的高，R 为外接圆半径，r 为内切圆半径，)(21c b a p ++=． 29． 三角形中内切圆，旁切圆和外接圆半径的相互关系：;2sin 2cos 2cos 4,2cos 2sin 2cos 4,2cos 2cos 2sin 4;2sin 2sin 2sin4C B A R r C B A R r C B A R r C B A R r c b a ==== .1111;2tan 2tan ,2tan 2tan ,2tan 2tan r r r r B A r r C A r r C B r r c b a c b a =++=== 30． 梅涅劳斯（Menelaus ）定理：设△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P 、Q 、R 则有 1=⋅⋅RBAR QA CQ PC BP ．（逆定理也成立）31．梅涅劳斯定理的应用定理1：设△ABC的∠A的外角平分线交边CA于Q，∠C的平分线交边AB于R，∠B的平分线交边CA于Q，则P、Q、R三点共线．32．梅涅劳斯定理的应用定理2：过任意△ABC的三个顶点A、B、C作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB的延长线交于点P、Q、R，则P、Q、R三点共线．33．塞瓦(Ceva)定理：设X、Y、Z分别为△ABC的边BC、CA、AB上的一点，则AX、BY、CZ所在直线交于一点的充要条件是AZZB·BXXC·CYYA=1．34．塞瓦定理的应用定理：设平行于△ABC的边BC的直线与两边AB、AC的交点分别是D、E，又设BE和CD交于S，则AS一定过边BC的中点M．35．塞瓦定理的逆定理：（略）36．塞瓦定理的逆定理的应用定理1：三角形的三条中线交于一点，三角形的三条高线交于一点，三角形的三条角分线交于一点．37．塞瓦定理的逆定理的应用定理2：设△ABC的内切圆和边BC、CA、AB分别相切于点R、S、T，则AR、BS、CT 交于一点．38．西摩松（Simson）定理：从△ABC的外接圆上任意一点P向三边BC、CA、AB或其延长线作垂线，设其垂足分别是D、E、R，则D、E、R共线，（这条直线叫西摩松线Simson line）．39．西摩松定理的逆定理：（略）40．关于西摩松线的定理1：△ABC的外接圆的两个端点P、Q关于该三角形的西摩松线互相垂直，其交点在九点圆上．41．关于西摩松线的定理2（安宁定理）：在一个圆周上有4点，以其中任三点作三角形，再作其余一点的关于该三角形的西摩松线，这些西摩松线交于一点．42．史坦纳定理：设△ABC的垂心为H，其外接圆的任意点P，这时关于△ABC的点P的西摩松线通过线段PH的中心．43．史坦纳定理的应用定理：△ABC的外接圆上的一点P的关于边BC、CA、AB的对称点和△ABC的垂心H同在一条（与西摩松线平行的）直线上．这条直线被叫做点P关于△ABC的镜象线．44．牛顿定理1：四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三点共线．这条直线叫做这个四边形的牛顿线．45．牛顿定理2：圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线．46．笛沙格定理1：平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线．47．笛沙格定理2：相异平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线．48．波朗杰、腾下定理：设△ABC的外接圆上的三点为P、Q、R，则P、Q、R关于△ABC交于一点的充要条件是：弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2 ) ．49．波朗杰、腾下定理推论1：设P、Q、R为△ABC的外接圆上的三点，若P、Q、R关于△ABC的西摩松线交于一点，则A、B、C三点关于△PQR的的西摩松线交于与前相同的一点．50．波朗杰、腾下定理推论2：在推论1中，三条西摩松线的交点是A、B、C、P、Q、R六点任取三点所作的三角形的垂心和其余三点所作的三角形的垂心的连线段的中点．51．波朗杰、腾下定理推论3：考查△ABC的外接圆上的一点P的关于△ABC的西摩松线，如设QR为垂直于这条西摩松线该外接圆的弦，则三点P、Q、R的关于△ABC的西摩松线交于一点．52．波朗杰、腾下定理推论4：从△ABC的顶点向边BC、CA、AB引垂线，设垂足分别是D、E、F，且设边BC、CA、AB的中点分别是L、M、N，则D、E、F、L、M、N六点在同一个圆上，这时L、M、N点关于关于△ABC的西摩松线交于一点．53． 卡诺定理：通过△ABC 的外接圆的一点P ，引与△ABC 的三边BC 、CA 、AB 分别成同向的等角的直线PD 、PE 、PF ，与三边的交点分别是D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线．54． 奥倍尔定理：通过△ABC 的三个顶点引互相平行的三条直线，设它们与△ABC 的外接圆的交点分别是L 、M 、N ，在△ABC 的外接圆上取一点P ，则PL 、PM 、PN 与△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线的交点分别是D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线．55． 清宫定理：设P 、Q 为△ABC 的外接圆的异于A 、B 、C 的两点，P 点的关于三边BC 、CA 、AB 的对称点分别是U 、V 、W ，这时，QU 、QV 、QW 和边BC 、CA 、AB 或其延长线的交点分别是D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线．56． 他拿定理：设P 、Q 为关于△ABC 的外接圆的一对反点，点P 的关于三边BC 、CA 、AB 的对称点分别是U 、V 、W ，这时，如果QU 、QV 、QW 和边BC 、CA 、AB 或其延长线的交点分别是D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线．（反点：P 、Q 分别为圆O 的半径OC 和其延长线的两点，如果OC 2=OQ ×OP 则称P 、Q 两点关于圆O 互为反点）57． 朗古来定理：在同一圆周上有A 1、B 1、C 1、D 1四点，以其中任三点作三角形，在圆周取一点P ，作P 点的关于这4个三角形的西摩松线，再从P 向这4条西摩松线引垂线，则四个垂足在同一条直线上．58． 从三角形各边的中点，向这条边所对的顶点处的外接圆的切线引垂线，这些垂线交于该三角形的九点圆的圆心．59． 一个圆周上有n 个点，从其中任意n －1个点的重心，向该圆周的在其余一点处的切线所引的垂线都交于一点．60． 康托尔定理1：一个圆周上有n 个点，从其中任意n －2个点的重心向余下两点的连线所引的垂线共点．61． 康托尔定理2：一个圆周上有A 、B 、C 、D 四点及M 、N 两点，则M 和N 点关于四个三角形△BCD 、△CDA 、△DAB 、△ABC 中的每一个的两条西摩松线的交点在同一直线上．这条直线叫做M 、N 两点关于四边形ABCD 的康托尔线．62． 康托尔定理3：一个圆周上有A 、B 、C 、D 四点及M 、N 、L 三点，则M 、N 两点的关于四边形ABCD 的康托尔线、L 、N 两点的关于四边形ABCD 的康托尔线、M 、L 两点的关于四边形ABCD 的康托尔线交于一点．这个点叫做M 、N 、L 三点关于四边形ABCD 的康托尔点．63． 康托尔定理4：一个圆周上有A 、B 、C 、D 、E 五点及M 、N 、L 三点，则M 、N 、L 三点关于四边形BCDE 、CDEA 、DEAB 、EABC 中的每一个康托尔点在一条直线上．这条直线叫做M 、N 、L 三点关于五边形A 、B 、C 、D 、E 的康托尔线．64． 费尔巴赫定理：三角形的九点圆与内切圆和旁切圆相切．65． 莫利定理：将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形．这个三角形常被称作莫利正三角形．66． 布利安松定理：连结外切于圆的六边形ABCDEF 相对的顶点A 和D 、B 和E 、C 和F ，则这三线共点．67． 帕斯卡（Paskal ）定理：圆内接六边形ABCDEF 相对的边AB 和DE 、BC 和EF 、CD 和FA 的（或延长线的）交点共线．68． 阿波罗尼斯（Apollonius ）定理：到两定点A 、B 的距离之比为定比m ：n （值不为1）的点P ，位于将线段AB 分成m ：n 的内分点C 和外分点D 为直径两端点的定圆周上．这个圆称为阿波罗尼斯圆．69． 库立奇*大上定理：（圆内接四边形的九点圆）圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆．70． 密格尔（Miquel ）点： 若AE 、AF 、ED 、FB 四条直线相交于A 、B 、C 、D 、E 、F 六点，构成四个三角形，它们是△ABF 、△AED 、△BCE 、△DCF ，则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点．71． 葛尔刚（Gergonne ）点：△ABC 的内切圆分别切边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，则AE 、BF 、CD 三线共点，这个点称为葛尔刚点．72． 欧拉关于垂足三角形的面积公式：O 是三角形的外心，M 是三角形中的任意一点，过M 向三边作垂线，三个垂足形成的三角形的面积，其公式： 222ABC D 4||R d R S S EF -=∆∆．斯特瓦尔特定理斯特瓦尔特(stewart)定理设已知△ABC及其底边上B、C两点间的一点D，则有AB^2·DC+AC^2·BD-AD^2·BC＝BC·DC·BD。
人教版高中数学竞赛讲座：平面几何四个重要定理.docx
竞赛专题讲座06－平面几何四个重要定理四个重要定理：梅涅劳斯 (Menelaus) 定理（梅氏线）△ABC的三边 BC、CA、AB或其延长线上有点P、Q、R，则 P、Q、R 共线的充要条件是。
塞瓦 (Ceva) 定理（塞瓦点）△ABC的三边 BC、CA、AB上有点 P、Q、R，则 AP、BQ、CR共点的充要条件是。
托勒密 (Ptolemy) 定理四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该四边形内接于一圆。
西姆松 (Simson) 定理（西姆松线）从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。
例题：1．设AD是△ ABC的边BC上的中线，直线CF交 AD于 F。
求证：。
【分析】 CEF截△ ABD→（梅氏定理）【评注】也可以添加辅助线证明：过A、 B、D之一作 CF的平行线。
2．过△ ABC的重心G的直线分别交A B、AC于 E、F，交CB于 D。
求证：。
【分析】连结并延长 AG交 BC于 M，则 M为 BC的中点。
DEG截△ ABM→（梅氏定理）DGF截△ ACM→（梅氏定理）∴===1【评注】梅氏定理3． D 、 E、 F 分别在△ ABC的 BC、CA、 AB边上，，AD、BE、CF交成△ LMN。
求S△LMN。
【分析】【评注】梅氏定理4．以△ ABC各边为底边向外作相似的等腰△ BCE、△CAF、△ABG。
求证：AE、BF、CG相交于一点。
【分析】【评注】塞瓦定理225．已知△ ABC中，∠ B=2∠C。
求证： AC=AB+AB·BC。
【分析】过 A 作 BC的平行线交△ ABC的外接圆于 D，连结 BD。
则CD=DA=AB，AC=BD。
由托勒密定理，AC·BD=AD·BC+CD·AB。
【评注】托勒密定理6．已知正七边形A1A2A3A4A5A6A7。
求证：。
（第 21 届全苏数学竞赛）【分析】【评注】托勒密定理7．△ABC的 BC边上的高 AD的延长线交外接圆于 P，作 PE⊥AB于 E，延长 ED交AC延长线于 F。
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平面几何中几个重要定理及其证明一、塞瓦定理1．塞瓦定理及其证明定理：在∆ABC 内一点P ，该点与∆ABC 的三个顶点相连所在的三条直线分别交∆ABC 三边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，且D 、E 、F 三点均不是∆ABC 的顶点，则有 1AD BE CF DB EC FA ⋅⋅=． 证明：运用面积比可得ADC ADP BDP BDCS S AD DB S S ∆∆∆∆==． 根据等比定理有ADC ADC ADP APC ADP BDP BDC BDC BDP BPC S S S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆-===-， 所以APC BPC S AD DB S ∆∆=．同理可得APB APCS BE EC S ∆∆=，BPC APB S CF FA S ∆∆=． 三式相乘得1AD BE CF DB EC FA⋅⋅=． 注：在运用三角形的面积比时，要把握住两个三角形是“等高”还是“等底”，这样就可以产生出“边之比”．2．塞瓦定理的逆定理及其证明定理：在∆ABC 三边AB 、BC 、CA 上各有一点D 、E 、A B C DEF PF ，且D 、E 、F 均不是∆ABC 的顶点，若1AD BE CF DB EC FA⋅⋅=，那么直线CD 、AE 、BF 三线共点．证明：设直线AE 与直线BF 交于点P ，直线CP 交AB 于点D /，则据塞瓦定理有//1AD BE CF D B EC FA ⋅⋅=． 因为 1AD BE CF DB EC FA⋅⋅=，所以有//AD AD DB D B =．由于点D 、D /都在线段AB 上，所以点D 与D /重合．即得D 、E 、F 三点共线．注：利用唯一性，采用同一法，用上塞瓦定理使命题顺利获证．二、梅涅劳斯定理3．梅涅劳斯定理及其证明定理：一条直线与∆ABC 的三边AB 、BC 、CA 所在直线分别交于点D 、E 、F ，且D 、E 、F 均不是∆ABC 的顶点，则有1AD BE CF DB EC FA ⨯⨯=． A B C D EF P D / A B C D E FG证明：如图，过点C 作AB 的平行线，交EF 于点G ．因为CG // AB ，所以CG CF AD FA= ————（1） 因为CG // AB ，所以CG EC DB BE= ————（2） 由（1）÷（2）可得DB BE CF AD EC FA=⋅，即得1AD BE CF DB EC FA ⋅⋅=． 注：添加的辅助线CG 是证明的关键“桥梁”，两次运用相似比得出两个比例等式，再拆去“桥梁”（CG ）使得命题顺利获证．4．梅涅劳斯定理的逆定理及其证明定理：在∆ABC 的边AB 、BC 上各有一点D 、E ，在边AC 的延长线上有一点F ，若1AD BE CF DB EC FA⋅⋅=， 那么，D 、E 、F 三点共线．证明：设直线EF 交AB 于点D /，则据梅涅劳斯定理有//1AD BE CF D B EC FA ⋅⋅=． 因为 1AD BE CF DB EC FA⋅⋅=，所以有//AD AD DB D B =．由于点D 、D /都在线段AB 上，所以点D 与D /重合．即得D 、E 、F 三点共线．A B C D E FD /注：证明方法与上面的塞瓦定理的逆定理如出一辙，注意分析其相似后面的规律．三、托勒密定理5．托勒密定理及其证明定理：凸四边形ABCD 是某圆的内接四边形，则有A B ·CD + B C ·AD = A C ·BD ．证明：设点M 是对角线AC 与BD的交点，在线段BD 上找一点，使得∠DAE =∠BAM ．因为∠ADB =∠ACB ，即∠ADE =∠ACB ，所以∆ADE ∽∆ACB ，即得AD DE AC BC =，即AD BC AC DE ⋅=⋅ ————（1） 由于∠DAE =∠BAM ，所以∠DAM =∠BAE ，即∠DAC =∠BAE 。
而∠ABD =∠ACD ，即∠ABE =∠ACD ，所以∆ABE ∽∆ACD ．即得AB BE AC CD=，即AB CD AC BE ⋅=⋅ ————（2） 由（1）+（2）得AD BC AB CD AC DE AC BE AC BD ⋅+⋅=⋅+⋅=⋅．所以A B ·CD + B C ·AD = A C ·BD ．注：巧妙构造三角形，运用三角形之间的相似推得结论．这里的构造具有特点，不容易想到，需要认真分析题目并不断尝试．6．托勒密定理的逆定理及其证明定理：如果凸四边形ABCD 满足AB×CD + BC×AD = AC×BD ，那么A 、B 、C 、D 四点共圆．证法1（同一法）：在凸四边形ABCD 内取一点E ，使得EAB DAC ∠=∠，EBA DCA ∠=∠，则EAB ∆∽DAC ∆． 可得AB×CD = BE×AC ———（1）且 AE AB AD AC = ———（2）则由DAE CAB ∠=∠及（2）可得DAE ∆∽CAB ∆．于是有 AD×BC = DE×AC ———（3）由（1）+（3）可得 AB×CD + BC×AD = AC×( BE + DE )． 据条件可得 BD = BE + DE ，则点E 在线段BD 上．则由EBA DCA ∠=∠，得DBA DCA ∠=∠，这说明A 、B 、C 、D 四点共圆．证法2（构造转移法）延长DA 到A /，延长DB 到B /，使A 、B 、B /、A /四点共圆．延长DC 到C /，使得B 、C 、C /、B /四点共圆．（如果能证明A /、B /、C /共线，则命题获证）那么，据圆幂定理知A 、C 、C /、A /四点也共圆． 因此，///A B AD AB BD=，///B C C D BC BD =． 可得 //////AB A D BC C D A B B C BD⨯+⨯+=. 另一方面，///A C A D AC CD =，即///AC A D A C CD⨯=． 欲证//AB A D BC C D BD⨯+⨯=/AC A D CD ⨯，即证 ///AB CD A D BC CD C D AC BD A D ⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯即//()BC CD C D AC BD AB CD A D ⨯⨯=⨯-⨯． 据条件有 AC BD AB CD AD BC ⨯-⨯=⨯，所以需证//BC CD C D AD BC A D ⨯⨯=⨯⨯，即证//CD C D AD A D ⨯=⨯，这是显然的．所以，//////A B B C A C +=，即A /、B /、C /共线．所以//A B B ∠与//BB C ∠互补．由于//A B B DAB ∠=∠，//BB C DCB ∠=∠，所以DAB∠与DCB ∠互补，即A 、B 、C 、D 四点共圆．7．托勒密定理的推广及其证明定理：如果凸四边形ABCD 的四个顶点不在同一个圆上，那么就有AB×CD + BC×AD > AC×BD证明：如图，在凸四边形ABCD 内取一点E ，使得EAB DAC ∠=∠，EBA DCA ∠=∠，则EAB ∆∽DAC ∆． 可得AB×CD = BE×AC ————（1）且 AE AB AD AC = ————（2）则由DAE CAB ∠=∠及（2）可得DAE ∆∽CAB ∆．于是 AD×BC = DE×AC ————（3）由（1）+（3）可得 AB×CD + BC×AD = AC×( BE + DE ) 因为A 、B 、C 、D 四点不共圆，据托勒密定理的逆定理可知AB×CD + BC×AD ≠AC×BD所以BE + DE ≠BD ，即得点E 不在线段BD 上，则据三角形的性质有BE + DE > BD ．所以AB×CD + BC×AD > AC×BD ．四、西姆松定理8．西姆松定理及其证明定理：从∆ABC 外接圆上任意一点P 向BC 、CA 、AB或其延长线引垂线，垂足分别为D、E、F，则D、E、F三点共线．证明：如图示，连接PC，连接EF 交BC于点D/，连接PD/．F、P、E四点共圆，可得∠FAE =∠FEP．因为A、B、P、C四点共圆，所以∠BAC =∠BCP，即∠FAE =∠BCP．所以，∠FEP =∠BCP，即∠D/EP =∠D/CP，可得C、D/、P、E四点共圆．所以，∠CD/P +∠CEP = 1800。
而∠CEP = 900，所以∠CD/P = 900，即PD/⊥BC．由于过点P作BC的垂线，垂足只有一个，所以点D与D/重合，即得D、E、F三点共线．注：（1）采用同一法证明可以变被动为主动，以便充分地调用题设条件．但需注意运用同一法证明时的唯一性．（2）反复运用四点共圆的性质是解决此题的关键，要掌握好四点共圆的运用手法．五、欧拉定理9．欧拉定理及其证明定理：设ΔABC 的重心、外心、垂心分别用字母G 、O 、H 表示．则有G 、O 、H 三点共线（欧拉线），且满足3OH OG =．证明（向量法）：连BO 并延长交圆O 于点D 。
连接CD 、AD 、HC ，设E 为边BC 的中点，连接OE 和OC ．则 →→→+=AH OA OH ——— ①因为 CD ⊥BC ，AH ⊥BC ，所以 AH // CD ．同理CH // DA ．所以，AHCD 为平行四边形．从而得→→=DC AH ．而→→=OE DC 2，所以→→=OE AH 2． 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=→→→OC OB OE 21，所以→→→+=OC OB AH ——— ② 由①②得：→→→→++=OC OB OA OH ———— ③另一方面，→→→→→→→→++=+=+=GC GB OA GF OA AG OA OG 2．而→→→→→→+=+=OC GO GC OB GO GB ，，所以 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⇒+++=→→→→→→→→→OC OB OA OG OB OC GO OA OG 312 —— ④ 由③④得：→→=OG OH 3．结论得证．注：（1）运用向量法证明几何问题也是一种常用方法，而且有其独特之处，注意掌握向量对几何问题的表现手法；（2）此题也可用纯几何法给予证明．又证（几何法）：连接OH ，AE ，两线段相交于点G /；连BO 并延长交圆O 于点D ；连接CD 、AD 、HC ，设E 为边BC 的中点，连接OE 和OC ，如图．因为 CD ⊥BC ，AH ⊥BC ，所以 AH // CD ．同理CH // DA ．所以，AHCD 为平行四边形．可得AH = CD ．而CD = 2OE ，所以AH = 2OE ．因为AH // CD ，CD // OE ，所以AH // OE ．可得∆AHG /∽∆EOG /．所以 ////21AH AG HG OE G E G O ===． 由//21AG G E =，及重心性质可知点G /就是∆ABC 的重心，即G /与点G 重合．所以，G 、O 、H 三点共线，且满足3OH OG =．六、蝴蝶定理10．蝴蝶定理及其证明定理：如图，过圆中弦AB 的中点M 任引两弦CD 和EF ，连接CF和ED ，分别交AB 于P 、Q ，则PM =MQ ． 证明：过点M 作直线AB 的垂线l ，作直线CF 关于直线l 的对称直线交圆于点C /、F /，交线段AB 于点Q /．连接FF /、DF /、Q /F /、DQ /．据圆的性质和图形的对称性可知：∠MF /Q / =∠MFP ，∠F /Q /M =∠FPM ；且FF / // AB ，PM = MQ /．因为C 、D 、F /、F 四点共圆，所以∠CDF / +∠CFF / = 1800，而由FF / // AB 可得∠Q /PF +∠CFF / = 1800，所以∠CDF / =∠Q /PF ，即∠MDF / =∠Q /PF ．又因为∠Q /PF =∠PQ /F /，即∠Q /PF =∠MQ /F /．所以有∠MDF / =∠MQ /F /．这说明Q /、D 、F /、M 四点共圆，即得∠MF /Q / =∠Q /DM ． 因为∠MF /Q / =∠MFP ，所以∠MFP =∠Q /DM ．而∠MFP =∠EDM ，所以∠EDM =∠Q /DM ．这说明点Q 与点Q /重合，即得PM = MQ ． A B C D E FP Q M C / F / Q /此定理还可用解析法来证明：在x轴上的截距互为相反数．证：以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，M点是坐标原点．设直线DE、CF的方程分别为x = m1y + n 1，x = m2y + n 2；直线CD、EF的方程分别为y = k1 x，y = k2 x．则经过C、D、E、F四点的曲线系方程为(y –k1 x )(y–k2 x)+λ(x–m1 y–n1)(x–m2 y–n2)=0．整理得(λ+k1k2)x 2+(1+λm1m2)y 2–[(k1+k2)+λ(m1+m2)]xy–λ(n1+n2)x+λ(n1m2+n2m1)y+λn1n2=0．由于C、D、E、F四点在一个圆上，说明上面方程表示的是一个圆，所以必须λ+ k1 k2 = 1 +λm1 m2≠0，且(k1+k2)+λ(m1+m2)=0．若λ=0，则k1k2=1，k1+k2=0，这是不可能的，故λ≠0；又y轴是弦AB的垂直平分线，则圆心应落在y轴上，故有 ( n1 + n2 ) = 0，从而得n1 + n2 = 0．这说明直线DE、CF在x轴上的截距互为相反数，即得PM = MQ．注：利用曲线系方程解题是坐标法的一大特点，它可以较好地解决直线与曲线混杂在一起的问题．如本题，四条直线方程一经组合就魔术般地变成了圆方程，问题瞬息间得以解决，真是奇妙．运用它解题，不拘泥于小处，能够从整体上去考虑问题．另外，待定系数法在其中扮演了非常重要的角色，需注意掌握其用法．。