高中数学竞赛平面几何中的几个重要定理

平面几何中几个重要定理及其证明
一、 塞瓦定理
1．塞瓦定理及其证明
定理：在ABC内一点P，该点与ABC的三个顶点相连所在的
三条直线分别交ABC三边AB、BC、CA
于点D、E、F，且D、E、F三点均不是ABC
的顶点，则有

1ADBECFDBECFA
．

证明：运用面积比可得ADCADPBDPBDCSSADDBSS．
根据等比定理有
ADCADCADPAPCADPBDPBDCBDCBDPBPCSSSSSSSSSS








，

所以APCBPCSADDBS．同理可得
APBAPCSBEECS



，BPCAPBSCFFAS．

三式相乘得1ADBECFDBECFA．
注：在运用三角形的面积比时，要把握住两个三角形是“等高”

A
B
C

D

E
F

P
还是“等底”，这样就可以产生出“边之比”．
2．塞瓦定理的逆定理及其证明
定理：在ABC三边AB、BC、CA上各有一点D、E、F，且D、
E、F均不是ABC的顶点，若
1ADBECFDBECFA
，那么直线CD、AE、

BF三线共点．
证明：设直线AE与直线BF交于点P，
直线CP交AB于点D/，则据塞瓦定理有
/
/
1ADBECFDBECFA
．

因为
1ADBECFDBECFA
，所以有//ADADDBDB．由于点D、D/都在

线段AB上，所以点D与D/重合．即得D、E、F三点共线．
注：利用唯一性，采用同一法，用上塞瓦定理使命题顺利获证．
二、 梅涅劳斯定理

A
B
C

D

E

F
P
D
/
3．梅涅劳斯定理及其证明

A
B
C

D

E
F
G
定理：一条直线与ABC的三边AB、BC、CA所在直线分别交

于点D、E、F，且D、E、F均不是ABC的顶点，则有

1ADBECFDBECFA
．

证明：如图，过点C作AB的平行线，交EF于点G．
因为CG
CGCF
ADFA

CGECDBBEDBBECF

ADECFA

1ADBECFDBECFA

1ADBECFDBECFA

/

/
1ADBECFDBECFA
A

B
C

D

E
F

D
/
1ADBECF//ADADADDE

A
B

C
D

E
M
ADBCACDE




ABBE
ACCD

ABCDACBE

ADBCABCDACDEACBEACBD
EABDACEBADCAEABDAC
AEAB
ADAC

DAECAB
DAE

CABEBADCADBADCA
///
ABAD

ABBD


///
BCCD

BCBD

//

////
ABADBCCDABBCBD


另一方面，

///ACADACCD，即/
//
ACADACCD


．

欲证//ABADBCCDBD=
/
ACADCD

，即证

///
ABCDADBCCDCDACBDAD

即
//
()BCCDCDACBDABCDAD

．

据条件有 ACBDABCDADBC，所以需证
//
BCCDCDADBCAD

，

即证
//
CDCDADAD

，这是显然的．所以，

//////ABBCAC，即A/、B/、C/共线．所以//ABB与//
BBC

A
B

C
D
E

A
B

C
D

A
/
B
/

C
/
互补．由于//ABBDAB，//BBCDCB，所以
DAB

与DCB互补，即A、B、C、D四点共圆．

7．托勒密定理的推广及其证明
定理：如果凸四边形ABCD的四个顶点不在同一个圆上，那么就
有 AB×CD + BC×AD > AC×BD

证明：如图，在凸四边形ABCD内取一点E，
使得EABDAC，EBADCA，则
EAB
∽DAC．

可得AB×CD = BE×AC ————（1）

且
AEAB
ADAC

————（2）

则由DAECAB及（2）可得DAE∽CAB．于是
AD×BC = DE×AC ————（3）
由（1）+（3）可得 AB×CD + BC×AD = AC×( BE + DE )

A
B

C
D
E
因为A、B、C、D四点不共圆，据托勒密定理的逆定理可知
AB×CD + BC×ADAC×BD
所以BE + DEBD，即得点E不在线段BD上，则据三角形的性
质有BE + DE > BD．所以AB×CD + BC×AD > AC×BD．

三、 西姆松定理
8．西姆松定理及其证明
定理：从ABC外接圆上任意一点P向BC、CA、AB或其延长
线引垂线，垂足分别为D、E、F，则D、E、F三点共线．

证明：如图示，连接PC，连接 EF 交BC于点D/，连接PD/．
因为PEAE，PFAF，所以A、F、
P、E四点共圆，可得FAE =FEP．

因为A、B、P、C四点共圆，所以
BAC =BCP，即FAE =
BCP．

所以，FEP =BCP，即D/EP =D/CP，可得C、D/、P、E
四点共圆．

所以，CD/P +CEP = 1800。而CEP = 900，所以CD/P = 900，
即PD
/

BC．

A
B
C

P
E

F
D
由于过点P作BC的垂线，垂足只有一个，所以点D与D/重合，
即得D、E、F三点共线．

注：（1）采用同一法证明可以变被动为主动，以便充分地调用题
设条件．但需注意运用同一法证明时的唯一性．

（2）反复运用四点共圆的性质是解决此题的关键，要掌握好四
点共圆的运用手法．

四、 欧拉定理
9．欧拉定理及其证明
定理：设ΔABC的重心、外心、垂心分
别用字母G、O、H表示．则有G、O、H三
点共线（欧拉线），且满足3OHOG．

证明（向量法）：连BO并延长交圆O于
点D。连接CD、AD、HC，设E为边BC的中点，连接OE和OC．则


AHOAOH
——— ①

因为 CD⊥BC，AH⊥BC，所以 AH // CD．同理CH // DA．
所以，AHCD为平行四边形．

A
B
C

D
O

E
H
从而得

DCAH
．而OEDC2，所以OEAH2．

因为OCOBOE21，所以

OCOBAH
——— ②

由①②得：

OCOBOAOH
———— ③

另一方面，

GCGBOAGFOAAGOAOG2
．

而

OCGOGCOBGOGB，
，所以






OCOBOAOGOBOCGOOAOG312
—— ④

由③④得：

OGOH3
．结论得证．

注：（1）运用向量法证明几何问题也是一种常用方法，而且有其
独特之处，注意掌握向量对几何问题的表
现手法；

（2）此题也可用纯几何法给予证明．
又证（几何法）：连接OH，AE，两
线段相交于点G/；连BO并延长交圆O
于点D；连接CD、AD、HC，设E为边BC的中点，连接OE和OC，
如图．

因为 CD⊥BC，AH⊥BC，所以 AH // CD．同理CH // DA．

A
B
C

D
O

E
H
G