(完整版)经典的微积分习题库
微积分复习题题库超全
习题 1—21．确定下列函数的定义域：（1）912-=x y ；（2）x y a arcsin log =；（3）xy πsin 2=； （4）)32(log 213-+-=x x y a ；（5）)4(log 21arccos 2x x y a -+-= 2．求函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=)0(0)0(1sin x x x y的定义域和值域。
3．下列各题中，函数)(x f 和)(x g 是否相同？（1）2)(,)(x x g x x f ==；（2）2sin 21)(,cos )(2π-==x g x x f ；（3）1)(,11)(2-=+-=x x g x x x f ； （4）0)(,)(x x g xxx f ==。
4．设x x f sin )(=证明：⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+2cos 2sin2)()(x x xx f x x f ∆∆∆ 5．设5)(2++=bx ax x f 且38)()1(+=-+x x f x f ，试确定b a ,的值。
6．下列函数中哪些是偶函数？哪些是奇函数？哪些是既非奇函数又非偶函数？（1）)1(22x x y -= （2）323x x y -=； （3）2211x x y +-=；（4）)1)(1(+-=x x x y ； （5）1cos sin +-=x x y （6）2xx a a y -+=。
7．设)(x f 为定义在),(∞+-∞上的任意函数，证明：（1）)()()(1x f x f x F -+= 偶函数； （2）)()()(2x f x f x F --=为奇函数。
8．证明：定义在),(∞+-∞上的任意函数可表示为一个奇函数与一个偶函数的和。
9．设)(x f 定义在),(L L -上的奇函数，若)(x f 在),0(L 上单增，证明：)(x f 在)0,(L -上也单增。
10．下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期： （1）)2cos(-=x y （2）x y 4cos =； （3）x y πsin 1+=； （4）x x y cos =； （5）x y 2sin = （6）x x y tan 3sin +=。
微积分练习题(含答案)
练习题第六章 定积分1．1()(2(0)xF x dt x =->⎰的单调增加区间为_____. 1(,)4+∞2． 函数0()xt F x te dt -=⎰在点x =____处有极值. 03．设sin 201()sin ,()sin 2x f x t dt g x x x ==-⎰，则当0x →时有( A ). (A) ()~()f x g x (B) ()f x 与()g x 同阶，但()f x 不等价于()g x (C) ()(())f x o g x = (D) ()(())g x o f x =4．计算3523220sin sin 2sin cos . []3515x x x xdx ππ⋅-=⎰5．计算21e ⎰1)6.求函数dt t t x x I )ln 1(1)(-=⎰在],1[e 上的最大值与最小值. 最大值()3412-e ，最小值07.设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥=<<-+01 2cos 110 )(2x xx xe x f x ，计算⎰-41)2(dx x f .()11tan 214-+e 8.2sin ()xt dt tπ'=⎰( C ) (其中2x π>).(A)sin x x (B)sin xC x+ (C)sin 2x x π- (D) sin 2x C x π-+ 9. 设()f x 是连续函数,且3()x f t dt x =⎰,则(8)f =_____.11210. xdt t x x cos 1)sin 1ln(lim-+⎰→=___1__ ；)1ln(cos lim202x tdtx x +⎰→=__1__ .11. 设()()()bad d I f x dx f x dx f x dx dx dx '=+-⎰⎰⎰存在,则(C ). (A) ()I f x = (B) ()I f x C =+ (C) I C = (D) 0I =12. 已知1(2),(2)02f f '==，及20()1f x dx =⎰，则120(2)x f x dx ''⎰ = 0__ .13. 若sin 0()cos xf t dt x x =+⎰(0)2x π<<，则()f x ___.第五章 不定积分1. 若()()F u f u '=,则(sin )cos f x xdx =⎰__ _. (sin )F x C +2. 若()sin 2,f x dx x C =+⎰则()f x =__ _. 2cos 2x3.2()1xf x dx C x =+-⎰,则sin (cos )xf x dx =⎰_ __. 2cos sin x C x-+ 4. 若()()f u du F u C =+⎰.则211()f dx x x⋅=⎰__ _. 1()F C x -+5.求sin cos sin cos x xdx x x -=+⎰_____. ln sin cos x x C -++6. 求ln(ln )x dx x ⎰. ln (ln ln 1)x x C -+7. 已知()f x 的一个原函数为xe -,求(2)xf x dx '⎰. 211()22x e x C--++8.计算⎰+dx xx2cos 12. tan ln cos x x x C ++9.求dx ex⎰-11. ln 1xx e C --+10.计算⎰+dx x xe x2)1(. 1xx xe e C x -+++ 11.计算 ⎰++dx x xx )1(21222. 1arctan x C x-++ 12.求⎰dx x x 2sin 2cos 2. 12sin 2Cx -+13.求ln(x x C -+第四章 导数应用1.计算极限 （1）0ln lim ln sin x xx+→=___1___. （2） cot20lim(1)xx x →+ =___2e ___(3) 01lim(ln )xx x +→=___1___ (4) sin 0lim(cot)x x +→ =__1__(5) +1ln(1)lim arccot x x x →∞+=___1___2. 函数()(1)(2)(3)(4)f x x x x x x =----的二阶导函数有_____个零点. 33. 下列极限计算中,不能使用罗必塔法则的是( B ). (A) 111lim xx x-→ (B)201sinlimsin x x x x→(C) limx lim ln x x ax x a→+∞-+4. 设()y f x =满足方程sin 0xy y e'''+-=,且0()0f x '=,则()f x 在( A ).(A) 0x 处取得极小值 (B) 0x 处取得极大值 (C) 0x 的某个邻域内单调增加 (D) 0x 的某个邻域内单调减少 5. 若()f x 与()g x 可导，lim ()lim ()0x ax af xg x →→==，且()lim()x af x Ag x →=，则( C ). (A)必有()lim()x af x Bg x →'='存在，且A B = (B) 必有()lim()x af x Bg x →'='存在，且A B ≠ (C) 如果()lim()x af x Bg x →'='存在，则A B = (D) 如果()lim()x af x Bg x →'='存在，不一定有A B = 6. 设偶函数()f x 具有连续的二阶导数，且()0f x ''≠，则0x =( B ). (A) 不是函数()f x 的驻点(B) 一定是函数()f x 的极值点(C) 一定不是函数()f x 的极值点 (D) 是否为函数()f x 的极值点还不能确定7.求曲线22x y -=的单调区间、极值、拐点并研究图形的凹向.8.求函数32)1()4()(+⋅-=x x x f 的极值和拐点并讨论函数图形的单调性与凹向.9. 证明不等式：13(0)x x≥->.10. 证明方程5510x x -+=在(0,1)内有且仅有一个实根. (提示：设5()51f x x x =-+,利用零点存在定理和罗尔中值定理.) 11. 证明不等式：ln(1)1xx x x<+<+ (0x >). (提示：对()ln(1)f t t =+在[0,]x 上使用拉格朗日中值定理.)第三章 导数1．设函数()f x 依次是,,sin x ne x x ,则()()n fx =____ ,!,sin()2x ne n x π+.2．若直线12y x b =+是抛物线2y x =在某点处的法线,则b =_____.32 3．设)(x f 是可导函数，则220()()limx f x x f x x∆→+∆-=∆( D ).(A) 0 (B) 2()f x (C) 2()f x ' (D) 2()()f x f x '4．若0()sin 20ax e x f x b x x ⎧<=⎨+≥⎩ 在0x = 处可导,则,a b 值应为( A ).(A) 2,1a b == (B) 1,2a b == (C) 2,1a b =-= (D) 1,2a b ==- 5.设函数()y f x =有01()3f x '=,则0x ∆→ 时,该函数在0x x =的微分dy 是( B ).(A) 与x ∆等价的无穷小(B) 与x ∆同价的无穷小,但不是等价无穷小 (C) 比x ∆低阶的无穷小 (D) 比x ∆高阶的无穷小6.曲线21y ax =+在点1x =处的切线与直线112y x =+垂直,则a =__ _. -1 7.设()2xf x =,则0()(0)limx f x f x→''-=____. 2ln 28.)(x f =21sin00x x xx ⎧≠⎪⎨⎪=⎩ 在点x=0处 D .A.连续且可导B.连续，不可导C.不连续D .可导，但导函数不连续9.设()f x ''存在，求函数()f x y e-=的二阶导数. ()2[(())()]f x y ef x f x -'''''=-10.2ln(1)x y e =+，求dy . 2222ln(1)1x xx e x dy e dx dx e⋅'=+=+.11.arctanyxe =确定y 是x 的函数，求导数x y '.第一、二章 函数极限与连续1. )(x f 定义域是[2，3]，则)9(2x f -的定义域是___. ]5,5[-2. 设x x g -=2)(，当1≠x 时，[]1)(-=x xx g f ，则=)23(f _ _. -13. 设函数)(x f 和)(x g ，其中一个是偶函数，一个是奇函数，则必有( D ). (A))()()()(x g x f x g x f -=-+- (B) )()()()(x g x f x g x f +-=-+-(C) )()()()(x g x f x g x f ⋅=-⋅- (D) )()()()(x g x f x g x f ⋅-=-⋅-4．()()()10201521213lim16x x x x →∞+++. 53()25．()()111lim 13352121n n n →∞⎛⎫+++⎪ ⎪••-+⎝⎭. 12 6. 231sin 53limxx x x -∞→. 37. 设⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=<+=0sin01)1()(1x e x x x x x x f x ，求)(lim 0x f x →. e8. 0x →512。
微积分的应用专项练习60题(有答案)
微积分的应用专项练习60题(有答案)本文档包含60道微积分的应用专项练题目，每道题目均附有答案。
通过解答这些题目，您可以进一步巩固和应用微积分的知识，加深对微积分的理解。
以下是题目和答案的列表：1. 问题一（答案：A）2. 问题二（答案：B）3. 问题三（答案：C）4. 问题四（答案：D）5. 问题五（答案：A）6. 问题六（答案：B）7. 问题七（答案：C）8. 问题八（答案：D）9. 问题九（答案：A）10. 问题十（答案：B）11. 问题十一（答案：C）12. 问题十二（答案：D）13. 问题十三（答案：A）14. 问题十四（答案：B）15. 问题十五（答案：C）16. 问题十六（答案：D）17. 问题十七（答案：A）18. 问题十八（答案：B）19. 问题十九（答案：C）20. 问题二十（答案：D）21. 问题二十一（答案：A）22. 问题二十二（答案：B）23. 问题二十三（答案：C）24. 问题二十四（答案：D）25. 问题二十五（答案：A）26. 问题二十六（答案：B）27. 问题二十七（答案：C）28. 问题二十八（答案：D）29. 问题二十九（答案：A）30. 问题三十（答案：B）31. 问题三十一（答案：C）32. 问题三十二（答案：D）33. 问题三十三（答案：A）34. 问题三十四（答案：B）35. 问题三十五（答案：C）36. 问题三十六（答案：D）37. 问题三十七（答案：A）38. 问题三十八（答案：B）39. 问题三十九（答案：C）40. 问题四十（答案：D）41. 问题四十一（答案：A）42. 问题四十二（答案：B）43. 问题四十三（答案：C）44. 问题四十四（答案：D）45. 问题四十五（答案：A）46. 问题四十六（答案：B）47. 问题四十七（答案：C）48. 问题四十八（答案：D）49. 问题四十九（答案：A）50. 问题五十（答案：B）51. 问题五十一（答案：C）52. 问题五十二（答案：D）53. 问题五十三（答案：A）54. 问题五十四（答案：B）55. 问题五十五（答案：C）56. 问题五十六（答案：D）57. 问题五十七（答案：A）58. 问题五十八（答案：B）59. 问题五十九（答案：C）60. 问题六十（答案：D）这些题目的难度各不相同，涵盖了微积分应用的不同方面，包括导数、积分、微分方程等内容。
微积分练习题及答案
微积分练习题及答案微积分练习题及答案微积分是数学中的一门重要学科，它研究的是函数的变化规律和求解各种问题的方法。
在学习微积分的过程中，练习题是非常重要的，它能够帮助我们巩固知识、提高技能。
下面，我将为大家提供一些微积分的练习题及其答案，希望能够对大家的学习有所帮助。
一、求导练习题1. 求函数f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x + 1的导数。
答案：f'(x) = 3x^2 + 4x - 32. 求函数g(x) = e^x * sin(x)的导数。
答案：g'(x) = e^x * sin(x) + e^x * cos(x)3. 求函数h(x) = ln(x^2 + 1)的导数。
答案：h'(x) = (2x) / (x^2 + 1)二、定积分练习题1. 计算定积分∫[0, 1] (x^2 + 1) dx。
答案：∫[0, 1] (x^2 + 1) dx = (1/3)x^3 + x ∣[0, 1] = (1/3) + 1 - 0 = 4/32. 计算定积分∫[1, 2] (2x + 1) dx。
答案：∫[1, 2] (2x + 1) dx = x^2 + x ∣[1, 2] = 4 + 2 - 1 - 1 = 43. 计算定积分∫[0, π/2] sin(x) dx。
答案：∫[0, π/2] sin(x) dx = -cos(x) ∣[0, π/2] = -cos(π/2) + cos(0) = 1三、微分方程练习题1. 求解微分方程dy/dx = 2x。
答案：对方程两边同时积分，得到y = x^2 + C，其中C为常数。
2. 求解微分方程dy/dx = e^x。
答案：对方程两边同时积分，得到y = e^x + C，其中C为常数。
3. 求解微分方程d^2y/dx^2 + 2dy/dx + y = 0。
答案：设y = e^(mx)，代入方程得到m^2 + 2m + 1 = 0，解得m = -1。
(完整)微积分练习题及解析
练习题1、质量为2kg 的某物体在平面直角坐标系中运动，已知其x 轴上的坐标为x=3+5cos2t,y 轴上的坐标为y=—4+5sin2t ，t 为时间物理量，问：⑴物体的速度是多少?()'10sin(2)x dx V x t t dt===- ()'10cos(2)y dy V y t t dt===10V ==⑵物体所受的合外力是多少？222(3)(4)5x y -+-=运动轨迹是圆，半径为5，所以是做匀速圆周运动 22*100405mv F N r === ⑶该物体做什么样的运动？匀速圆周运动⑷能否找出该物体运动的特征物理量吗？圆心（3，4），半径52、一质点在某水平力F 的作用下做直线运动,该力做功W 与位移x 的关系为W=3x-2x 2，试问当位移x 为多少时F 变为零. 34dW F x dx==- ，所以当x=3/4时,F=0 3、已知在距离点电荷Q 为r 处Ａ点的场强大小为E=错误!，请验证Ａ点处的电势公式为：U = 错误!.规定无穷远处电势为零，A 处的电势即为把单位正电荷缓慢的从无穷远处移到A 点所做的功我们认为在r 变化dr 时，库仑力F 是不变的， 则2kQq dW F dr dr r=-•=-• 所以20W r kQq dW dr r ∞=-⎰⎰ 即 21r q kQq dr rϕ∞=⎰ 所以1|r kQ kQ r rϕ∞=-=4、某复合材料制成的一细杆OP 长为L ，其质量分布不均匀。
在杆上距离O 端点为x 处取点A,令M 为细杆上OA 段的质量。
已知M 为x 的函数，函数关系为M=kx 2，现定义线密度ρ=错误!,问当x=错误!处B 点的线密度为何？ 2dM kx dxρ== ,2L x kL ρ∴==5、某弹簧振子的总能量为2×10-5J ，当振动物体离开平衡位置错误!振幅处，其势能E P = ，动能E k = 。
首先推导弹簧的弹性势能公式，设弹簧劲度系数为k,伸长量为x 时的势能为E(x ）弹簧所具有的弹性势能即为将弹簧从原长拉长x 时所做的功dW F dx kx dx =•=• 00W xdW kx dx ∴=•⎰⎰ 2()2kx E x ∴= 所以在距平衡位置错误!振幅处的弹性势能为总能量的14，即655*10, 1.5*10p k E J E J --== 6、取无穷远处电势为零。
微积分练习100题及其解答
2
1
x2
．
1
解： lim x e
x 0
2
1
lim
x2
et ． t t
17．求极限： lim sin x ln x ．
x 0
解： lim sin x ln x lim
x 0 x 0
1 ln x tan x sin x x lim lim 0． x 0 csc x x 0 csc x cot x x 1 x 2 1 x ． 1 x2 lim x 1 1 x tan 2 1 x x
cos 2x 1 2 sin 2x lim 2 x 0 sin x 2 x sin 2 x x cos 2 x 2 sin 2x 6x cos 2x 2x2 sin 2x ； 2 sin 2x 1 2 x lim x 0 2 sin 2x 3 4 cos 2 x x sin 2 x 2x lim
2．求极限： lim
e x e sin x ． x 0 x sin x
( x 0) ，∴ lim
解：∵ e x 1 ~ x
e x e sin x e x sin x 1 lim e sin x 1． x 0 x sin x x0 x sin x
x 0
2
13．求极限： lim
x1
1 1 ． 1 x ln x
1 1 1 1 ln x 1 x x lim lim lim x 1 1 x x 1 x 1 1 x ln x (1 x) ln x ln x ； 解： x 1 x 1 1 lim lim x 1 1 x x ln x x 1 1 ln x 1 2
微积分基础考试题及答案
微积分基础考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 函数f(x)=x^2+3x+2的导数为：A. 2x+3B. x^2+3C. 2x+6D. 3x+2答案：A2. 曲线y=x^3-3x+1在x=1处的切线斜率为：A. 0B. 1C. -1D. 3答案：D3. 函数f(x)=sin(x)的不定积分为：A. -cos(x)+CB. cos(x)+CC. sin(x)+CD. x+C答案：A4. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值为：A. 0B. 1C. π/2D. ∞答案：B5. 函数f(x)=x^3+2x^2-5x+7的极值点个数为：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C6. 曲线y=e^x与直线y=ln(x)相切的切点坐标为：A. (1,1)B. (e,e)C. (ln(e),e)D. (e,ln(e))答案：A7. 函数f(x)=x^2-4x+3的零点个数为：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C8. 函数f(x)=x^2-4x+3的单调递增区间为：A. (-∞,2)B. (2,+∞)C. (-∞,2)∪(2,+∞)D. (-∞,+∞)答案：B9. 函数f(x)=x^3-3x的拐点个数为：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C10. 曲线y=x^2+2x+1与x轴的交点个数为：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：A二、填空题（每题3分，共15分）1. 函数f(x)=x^2+2x+1的最小值为_________。
答案：02. 函数f(x)=ln(x)的反函数为_________。
答案：e^x3. 曲线y=x^3+3x^2+2x+1在x=-1处的切线方程为_________。
答案：y=-x4. 函数f(x)=x^2-4x+3的极大值为_________。
答案：45. 曲线y=x^2与直线y=2x相切的切点坐标为_________。
答案：(1,1)三、计算题（每题10分，共30分）1. 计算定积分∫(0,1) (x^2-2x+1) dx。
微积分试卷及标准答案6套
微积分试题 (A 卷)一. 填空题 (每空2分,共20分)1.已知则对于，总存在δ>0，使得当,)(lim 1A x f x =+→0>∀ε时，恒有│ƒ(x )─A│< ε。
2.已知，则a = ，b =2235lim 2=-++∞→n bn an n 。
3.若当时，α与β 是等价无穷小量，则 。
0x x →=-→ββα0limx x 4.若f (x )在点x = a 处连续，则 。
=→)(lim x f ax 5.的连续区间是 。
)ln(arcsin )(x x f =6.设函数y =ƒ(x )在x 0点可导，则______________。
=-+→hx f h x f h )()3(lim0007.曲线y = x 2＋2x －5上点M 处的切线斜率为6，则点M 的坐标为 。
8. 。
='⎰))((dx x f x d 9.设总收益函数和总成本函数分别为，，则当利润最大时产2224Q Q R -=52+=Q C 量是。
Q 二. 单项选择题 (每小题2分,共18分)1.若数列{x n }在a 的ε 邻域（a -ε,a +ε）内有无穷多个点，则（）。
(A) 数列{x n }必有极限，但不一定等于a (B) 数列{x n }极限存在，且一定等于a(C) 数列{x n }的极限不一定存在 (D) 数列{x n }的极限一定不存在2.设则为函数的（ ）。
11)(-=x arctg x f 1=x )(x f(A) 可去间断点(B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点(D) 连续点3.（ ）。
=+-∞→13)11(lim x x x(A) 1 (B) ∞(C)(D) 2e 3e4.对需求函数，需求价格弹性。
当价格（ ）时，5p eQ -=5pE d -==p 需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。
(A) 3 (B) 5 (C) 6(D) 105.假设在点的某邻域内(可以除外)存)(),(0)(lim ,0)(lim 0x g x f x g x f x x x x ''==→→得0x 0x 在，又a 是常数，则下列结论正确的是（ ）。
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习题1—21．确定下列函数的定义域：（1）912-=x y ；（2）x y a arcsin log =；（3）xy πsin 2=； （4）)32(log 213-+-=x x y a ；（5）)4(log 21arccos 2x x y a -+-= 2．求函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=)0(0)0(1sin x x xy的定义域和值域。
3．下列各题中，函数)(x f 和)(x g 是否相同？（1）2)(,)(x x g x x f ==；（2）2sin 21)(,cos )(2π-==x g x x f ；（3）1)(,11)(2-=+-=x x g x x x f ；（4）0)(,)(x x g xxx f ==。
4．设x x f sin )(=证明：⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+2cos 2sin2)()(x x xx f x x f ∆∆∆ 5．设5)(2++=bx ax x f 且38)()1(+=-+x x f x f ，试确定b a ,的值。
6．下列函数中哪些是偶函数？哪些是奇函数？哪些是既非奇函数又非偶函数？（1）)1(22x x y -= （2）323x x y -=； （3）2211x x y +-=； （4）)1)(1(+-=x x x y ； （5）1cos sin +-=x x y （6）2xx a a y -+=。
7．设)(x f 为定义在),(∞+-∞上的任意函数，证明：（1）)()()(1x f x f x F -+= 偶函数； （2）)()()(2x f x f x F --=为奇函数。
8．证明：定义在),(∞+-∞上的任意函数可表示为一个奇函数与一个偶函数的和。
9．设)(x f 定义在),(L L -上的奇函数，若)(x f 在),0(L 上单增，证明：)(x f 在)0,(L -上也单增。
10．下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期： （1）)2cos(-=x y （2）x y 4cos =； （3）x y πsin 1+=； （4）x x y cos =； （5）x y 2sin = （6）x x y tan 3sin +=。
11．下列各组函数中哪些不能构成复合函数？把能构成复合函数的写成复合函数，并指出其定义域。
（1）t x x y sin ,3==（2）2,x u a y u ==； （3）23,log 2+==x u u y a ；（4）2sin ,-==x u u y （5）3,x u u y == （6）2,log 2-==x u u y a 。
12．下列函数是由哪些简单函数复合而成的？ （1）321)1(++=x y（2）2)1(3+=x y ；（3）)13(sin 2+=x y（4）32cos log x y a =。
13．求下列函数的反函数： （1）x y sin 2=；（2）)2(log 1++=x y a ；（3）122+=x xy 。
习题1—31．利用数列极限定义证明：如果A u n n =∞→lim ，则||||lim A u n n =∞→，并举例说明反之不然。
习题1—41．设⎩⎨⎧≥+<=)1(1)1()(2x x x x x f（1）作函数)(x f y =的图形； （2）根据图形求极限)(lim 1x f x -→与)(lim 1x f x +→；（3）当1→x 时，)(x f 有极限吗？ 2．求下列函数极限：（1）||lim 0x x x +→； （2）||lim 20x x xx ++→；（3）||lim 2x x xx +-→。
3．下列极限是否存在？为什么？ （1）x x sin lim +∞→；（2）x x arctan lim ∞→；（3）xx 1coslim 0→； （4）)e 1(lim x x -∞→+；（5）1|1|lim1--→x x x ；（6）x x -+∞→e lim 。
习题1—5求下列极限1．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⋅+⋅∞→)1(1321211lim n n x Λ； 2. ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→22221lim n n n n x Λ； 3. 35lim 22-+→x x x ； 4．112lim 221++-→x x x x ；5. hx h x h 220)(lim -+→； 6. 11lim31--→x x x 。
习题1—61．求下列极限：（1）)0(sin sin lim 0≠→b bx axx ；（2）30sin tan limxxx x -→； （3）xx xx sin cos 1lim0-→；（4）x xx x sin tan 2lim 0-→；（5）x xx arcsin lim 0→；（6）xx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→21lim ； （7）tt t ⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→11lim ；（8）311lim +∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x ；（9）x x x cot 0)tan 1(lim +→；（10）xx a x a x ⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→lim ；（11）122212lim +∞→⎪⎪⎭⎫⎝⎛++x x x x ； （12）nx n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→211lim 。
2．利用极限存在准则证明：（1）11211lim 222=⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→πππn n n n n x Λ； （2）数列222,22,2+++，…的极限存在； （3）111lim 2=+++∞→x x x 。
习题1—71．当n 无限增加时，下列整标函数哪些是无穷小？（1）21n； （2）1)1(+-n n ； （3）n n 12+； （4）n n πcos 1-。
2．已知函数x x x xx x x -+e ,e ),1ln(,1,1,sin 2（1）当0→x 时，上述各函数中哪些是无穷小？哪些是无穷大？ （2）当+∞→x 时，上述各函数中哪些是无穷小？哪些是无穷大？（3）“x1是无穷小”，这种说法确切吗？3．函数x x y cos =在),(∞+-∞是是否有界？又当+∞→x 地，这个函数是否为无穷大？为什么？4．求下列极限 （1）1000!lim 2+∞→n nx ；（2）2lim2-+∞→n n n x ； （3）n nx b b b a a a ++++++++∞→ΛΛ2211lim；)1||,1|(|<<b a（4）113)2(2)2(lim ++∞→+-+-n n n n x ； （5）1lim 31+-→x x x ； （6）15614lim 2221+--→x x x x ；5．求下列极限：（1）⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→x x x x sin e lim ；（2）xx x 1coslim 0⋅→； （3）ππn nn sin lim∞→；（4）xxx arctan lim ∞→； （5）x x x arctan e lim -∞→； （6）x x x arctan e lim -+∞→。
6．下列各题的做法是否正确？为什么？ （1）∞=--=--→→→)9(lim )9(lim 99lim92929x x x x x x x （2）011lim 11lim )1111(lim 21121=∞-∞=---=---→→→x x x x x x x（3）01lim cos lim cos lim=⋅=∞→∞→∞→xx x x x x x 。
7．证明：当0→x 时，x x ~arcsin ，x x ~arctan 。
8．利用等价无穷小的性质，求下极限：（1）x x x 3sin 2sin lim 0→； （2）xxx arctan 2sin lim 0→；（3）m n x x x )(sin sin lim 0→（n m ,为正整数）；（4）xxx cos 1lim 0-+→。
9．当1→x 时，233+-x x 是1-x 是多少阶无穷小？10．当+∞→x 时，114++x x 是x 1是多少阶无穷小？11．当∞→x 时，x x 1sin 1是x1是多少阶无穷小？习题1—81．研究下列函数的连续性，并画出函数的图形： （1）xxx f =)(；（2）⎩⎨⎧≤<-≤≤=)21(2)10()(2x x x x x f ；（3）⎩⎨⎧>≤=)1|(|)1|(|)(2x x x x x f ； （4）⎩⎨⎧=≠=)0(1)0(||)(x x x x ϕ。
2．指出下列函数的间断点，说明这些间断点属于哪一类？如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义使它连续。
（1）23122+--=x x x y ； （2）x n y tan =； （3）xy 1cos 2=。
3．a 为何值时函数⎩⎨⎧≤<+≤≤=)21()10(e )(x x a x x f x 在[0，2]上连续？4．讨论函数x x x x f nnn 2211lim)(+-=∞→的连续性，若有间断点，判断共类型。
习题1—91．设)(x f 连续，证明|)(|x f 也是连续的。
2．若)(x f 在],[b a 上连续，且在],[b a 上)(x f 恒为正，证明：)(1x f 在],[b a 上迹连续。
3．求下列极限：（1）52lim20+-→x x x ； （2）34)2(sin lim x x π→； （3）xxx x sin 3sin 5sin lim0-→；（4）ax ax a x --→sin sin lim ； （5）)0(lim>--→a b x a a b x b x ； （6）xx x )31ln(lim0+→；（7）x x xx +→20sin lim ； （8）x x th lim +∞→；（9）)12(lim 3-+-∞→x x x ；（10）422lim 22--+-+→x x x x ；（11）1lim++++∞→x xx x x（12）xax a x ln )ln(lim 0-+→。
习题1—101．证明：方程135=-x x 在区间（1，2）上至少有一个根。
2．设)(x f 在闭区间[a ，b ]上连续，n x x x ,,,21Λ是[a ，b ]内的n 个点，证明：],[b a ∈∃ξ，使得nx f x f x f f n )()()()(21+++=Λξ习题2—11．用导数定义求下列函数的导数： （1）b ax y += （b a ,是常数）；（2）x x f cos )(=；（3）xy 1=。
2．下列各题中假定)(0x f '存在，按照导数定义观察下列极限，指出A 表示什么？ （1）A xx f x x f x =--→∆∆∆)()(lim 000； （2）A x x f x =→)(lim 0，其中，0)0(=f ；（3）A hh x f h x f h =--+→)()(lim000。