高中微积分经典例题

高中微积分经典例题
1. 函数求导
- 例题1: 求函数 $f(x) = x^3 - 2x^2 + x$ 在点 $x=2$ 处的导数。

将函数 $f(x) = x^3 - 2x^2 + x$ 求导，得到 $f'(x) = 3x^2 - 4x + 1$。

将 $x=2$ 代入导数函数，得到 $f'(2) = 3(2)^2 - 4(2) + 1 = 9$。

所以函数 $f(x)$ 在点 $x=2$ 处的导数为 9。

- 例题2: 求函数 $g(x) = e^x \sin x$ 的导数。

使用链式法则，将函数 $g(x) = e^x \sin x$ 求导。

根据链式法则， $\frac{d}{dx} (e^x \sin x) = (e^x)' \sin x + e^x (\sin x)'$。

对于 $(e^x)'$，使用指数函数求导法则，得到 $(e^x)' = e^x$。

对于 $(\sin x)'$，使用三角函数求导法则，得到 $(\sin x)' = \cos x$。

将这些导数结果带入，得到 $\frac{d}{dx} (e^x \sin x) = e^x \sin x + e^x \cos x$。

所以函数 $g(x) = e^x \sin x$ 的导数为 $e^x \sin x + e^x \cos x$。

2. 积分计算
- 例题1: 计算积分 $\int (3x^2 - 2x + 4) \, dx$。

根据积分的线性性质，将积分展开，得到 $\int (3x^2 - 2x + 4) \, dx = \int 3x^2 \, dx - \int 2x \, dx + \int 4 \, dx$。

对于每一项，根据幂函数积分法则，得到 $\int x^n \, dx =
\frac{1}{n+1} x^{n+1}$。

将这些结果带入积分式，得到 $\int (3x^2 - 2x + 4) \, dx =
\frac{1}{3} x^3 - x^2 + 4x + C$，其中 $C$ 为常数。

所以积分 $\int (3x^2 - 2x + 4) \, dx$ 的结果为 $\frac{1}{3} x^3 -
x^2 + 4x + C$。

- 例题2: 计算定积分 $\int_0^1 (x^2 + 2x - 1) \, dx$。

计算定积分相当于在积分结果两端同时代入积分下限和上限。

根据前面的结果，积分 $\int (x^2 + 2x - 1) \, dx = \frac{1}{3}
x^3 + x^2 - x + C$。

将下限和上限代入这个结果，得到定积分的值为
$\left[ \frac{1}{3} x^3 + x^2 - x + C \right]_0^1$。

代入上限 $x=1$，得到 $\frac{1}{3} \cdot 1^3 + 1^2 - 1 + C$。

代入下限 $x=0$，得到 $\frac{1}{3} \cdot 0^3 + 0^2 - 0 + C$。

两者相减，消去常数 $C$，得到定积分的值为 $\frac{1}{3}+1-1 = \frac{4}{3}$。

所以定积分 $\int_0^1 (x^2 + 2x - 1) \, dx$ 的结果为
$\frac{4}{3}$。

这些是高中微积分中的一些经典例题，让我们更深入地理解函数求导和积分计算的方法。