潮流计算中的特殊问答
第九章 潮流计算中的特殊问题20110409
1.中枢点电压控制
控制节点i的电压为给定值
节点i的电压改变量： U i U iSP U i 假定系统中有 个P V节点发电机无功可调， r 当调节量为ΔUG时，节点i的电压改变量为 U i， 如何求解ΔUG ？
机端电压调节量的计算
将PV节点的修正方程增广到 快速分解法的Q V迭代方程中， 下标D表示除节点i以外的PQ节点，下标G表示PV节点, 假定 发电机机端电压变化时 负荷节点无功不变 . B DD B Di B DG ΔU D 0 B iD B DD B iG ΔUi 0 B GD B Gi B DD ΔUG ΔQG 消去节点集D对应的部分 ~ ~ B ii B iG ΔUi 0 － ~ ~ ΔQ B Gi B GG ΔUG G
可调发电机不止一台，而被控节点电压只有一个，因此，调节方程有 无穷多组解。取控制量最小的一组解， U i S iG U G 即求解下列最优化问题。 S iG LT 1 Gi T min ΔU G ΔU G 2 s.t. Ui SiGΔU G 0 建立拉格朗日函数
潮流计算中的特殊问题
实际电力系统是复杂的，一方面组成系统的元件种类和数 量繁多，使得系统异常庞大，多达几千个节点；另一方面
系统经常要受到各种外界干扰，各种故障、各种随机因素
都影响系统的正常运行。
对正常条件下的电力系统进行潮流分析本身已够复杂了， 遇到各种特殊问题，就更增加了分析的复杂性。但许多特 殊问题又是实际规划和运行部门在潮流分析中经常遇到的，
(0 QDi QDi ) [1 i
( (0 PDi0 )和QDi )是正常电压U is下的有功和无功负荷
潮流计算问题
潮流计算的定义（课后题）各种潮流计算模型和算法的特点、适用范围以及相互之间的区别和联系（课后题）影响潮流收敛性的因素，以及如何改善潮流计算的收敛性（课后题）通过功率方程说明为什么潮流计算的数学模型是非线性的应该采用什么样的数学方法求解（03A、05A）电力系统的潮流计算有哪些常规算法有哪些扩展算法（05B）潮流计算的目的是什么其数学模型是什么有何特点（06B）简要说明潮流计算的概念、模型及计算方法。
（07B）高斯赛德尔迭代法和牛顿拉夫逊迭代法是常规的潮流计算方法，请介绍一下最优潮流（OPF）算法的原理及其应用。
（04电科院）潮流计算的目的：常规潮流计算的目的是在已知电力网络参数和各节点的注入量的条件下，求解各节点电压。
目的1：1.在电网规划阶段，通过潮流计算，合理规划电源容量和接入点，合理规划网架，选择无功补偿方案，满足规划水平年的大小方式下潮流交换控制、调峰、调相、调压的要求。
2.在编制年运行方式，在预计复合增长及新设备投运基础上，选择典型方式进行潮流计算，发现电网中的薄弱环节，供调度人员异常调度控制参考，并对规划、基建部门提出改进网架结构，加快基建进度的建议。
3.正常检修及特殊运行方式下的潮流计算，用于日常运行方式的编制，指导发电厂开机方式，有功、无功调整方案及负荷调整方案，满足线路、变压器热稳定要求及电压质量要求。
4.预想事故、设备退出运行对静态安全分析的影响及做出预想的运行方式调整方案。
目的2：A.检查电力系统各元件是否过负荷；B.检查电力系统各节点的电压是否满足电压质量的要求；C.根据对各种运行方式的潮流分布计算，可以正确的选择系统接线方式，合理调整负荷，以保证电力系统安全、可靠地运行，向用户供给高质量的电能；D. 根据功率分布，可以选择电力系统的电气设备和导线截面积，可以为电力系统继电保护整定计算提供必要的数据等； E. 为电力系统扩建和规划提供依据；F. 为调压计算、经济运行计算、短路计算等提供必要的数据。
潮流计算编程的常见问题及解决方法 (1)
167121819 (2009) 1223550203
科 学 技 术 与 工 程
Science Technology and Engineering
Vol19 No112 June 2009
Ζ 2009 Sci1 Tech1Engng1
潮流计算编程的常见问题及解决方法
闫丽梅 张士元 邱小宁
(大庆石油学院电气信息工程学院 ,大庆 163318)
摘 要 在采用 P2Q 分解法进行潮流计算时 ,修正方程中涉及到三角函数计算 ,在计算电压相角的正弦值和余弦值时 ,采用 角度制计算能引起潮流计算迭代次数的增加 。选择弧度制相角迭代形式才能使潮流计算有效收敛 。 关键词 潮流计算 编程 弧度 迭代次数 中图法分类号 TP391175; 文献标志码 A
潮流计算是电力系统稳态分析的基础 ,目前均 采用计算机进行电力系统潮流计算 。潮流计算有 各种不同的方法 ,但目标基本一致 ,即加快收敛速 度和节省计算机内存 [ 1 ] 。潮流计算基本程序很简 单 ,但对于刚刚接触潮流计算的编程人员来说 ,在 编程中很容易出现各种问题 ,尤其是迭代不收敛或 迭代次数过高的问题 。现将结合具体实例对此问 题进行分析 。
计算结果如下图 2所示 。
图 2 弧度制计算结果
3 修正方程的形式对迭代过程的影响
一般来说 , P2Q 分解法的迭代次数为 8次左右 。 P2Q 分解法计算时采用极坐标形式 , 因此会用到三 角函数计算 ,在此存在一个十分隐蔽的问题 。电压 的相角用角度的形式表示 , 即 15°, 23°等 。而在计 算时要将角度化成弧度才能计算 ,即 sin ( 15π /180) , cos( 23π /180) 。当以此种形式进行功率修正方程 的迭代时 , 可以得到正确结果 , 但收敛速度会非常 慢 ,迭代次数达到了几百次 。而直接采用弧度形式 计算 ,这种现象就会消失 , 即 sinθ, cosθ。在初次接 触潮流计算编程时 , 如果遇到迭代次数如此之高且 还能得到正确的计算结果时 , 问题的关键会很难被 发现 。
潮流上机问答题
计算结果分析：可以大致了解整个电网的运行状况并按照电力系统知识依次进行所需的调整。
3.设计中遇到的问题和解决的办法。
1）由于以前C语言所学习的知识遗忘较多，对于程序的使用不太熟练，尤其是变量的定义和使用，函数的调用以及数组的使用经常出问题，通过老师讲解、看书、询问同学解决问题。
2）设计的时候对于电力系统整体的知识脉络不是很清晰，编写程序时所定义的变量容易弄混淆；对于一些公式也没有完全掌握，编写的程序产生了较多的错误。经过仔细学习和对程序的排查以及询问老师及同学，找出了问题，并都得以解决。
1.潮流计算的方法有哪些？各有何特点？
潮流计算方法主要包括：高斯-赛德尔迭代法、牛顿-拉夫逊迭代法、P-Q分解法等算法。
高斯-赛德尔迭代法初值要求不高，精度较高，但迭代次数多，收敛速度慢，如今很少应用；
牛顿-拉夫逊迭代法迭代次数少，收敛速度教快，精度较高，但初值要求很高，可先应用高斯-赛德尔迭代法迭代几次后所得结果作为初值，被广泛应用；
P-Q分解法初值要求高，迭代次数多，收敛速度最快，精度较高，应用较多。
2.如果交给你一个任务，请你用已有的潮流计算软件计算北京城市电网的潮流，你应该做哪些工作？（收集哪些数据，如何整理，计算结果如何分析）
收集数据：1）各节点的类型,包括平衡节点、PV 节点、PQ 节点。
2）平衡节点的电压大小相位、及节点所能提供的最大最小有功无ห้องสมุดไป่ตู้功率。
3）PV节点节点电压大小注入有功功率及节点所能提供的最大和最小无功功率。
4）PQ节点节点的注入有功和无功功率。
5）各支路类型，即是否含有变压器。
6）各变压器的变比。
7）各支路的电阻、电感、电纳。
数据整理：为每个节点及支路编上编号，将整理的数据写成实验要求的格式（原始数据的 txt 文档），再用本实验所编制的程序进行求解，得到各节点电压、相位，各线路传输功率、损耗，平衡节点注入功率等数值。
五、最小化潮流计算及潮流计算中的自动调整
limit
Qi Qilim it Qi
(5－5) (5－6)
Qi 和Ui之间的灵敏度关系由下式给出：
Ui Rii Qi
Rii是增广的B”的逆矩阵中和节点i相对应的对角线元素。根据需调整的Qi ， 用（5－6）式算出 Ui，最后将节点i 的给定电压调整到新值
Uinew UiSP Ui
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8
电力系统稳态分析
计算步长公式的推导（续）
目标函数改写为 F ( x) fi ( x) ai bi 2ci ( ) (5－3)
2 2 i 1 i 1
n
n
将F(x)对μ求导，并令其等于零，求得μ*
2 d ( ) d n 2 ai bi ci d d i 1 2 2 a b ci bi 2 ci 0 i i i 1 n
ys－ y(x(k＋1)) ＝ ys－ y(x(k)＋μ(k)x(k)) ＝ys－[y(x(k))+μ(k)J(x(k))∆x(k)+(μ(k))2y(∆x(k))] =a(k)+ μ(k)b(k)+ (μ(k))2c(k)
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11
电力系统稳态分析
具体应用，三种情况
从一定的数值出发，原来的潮流问题有解。
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13
电力系统稳态分析
自动调整的两类方法 s 按照所要保持的系统状态量y 和当前的计算值y的大 小，不断地在一次次迭代中间改变某一个控制参数 x的大小。x大小的调整按照偏差反馈的原理进行。 ∆x＝a(ys－y) 改变原来潮流方程的构成。
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潮流计算的相关问题（精品）
§4.5牛顿-拉夫逊法计算潮流有关问题1.比较大，破坏了牛顿法的基础，不收敛。
选择的原则。
2.--塞德尔法、PQ 分解法为一阶收敛特性。
X Δ3.多值解••（PV节点或平衡节点的无功功率超过允许值，平衡节点的有功功率超过允许值；节点的电压过高或过低）对策：调整运行参数，PV节点、PQ节点相互转化•给定的网络结构和运行方式不合理；PV节点数目过少对策：调整运行方式，增加PV节点z问题很复杂，至今尚未很好解决二、稀疏矩阵技术1.稀疏矩阵表示法¾节点导纳矩阵：1234¾雅可比矩阵：高度稀疏的2N阶实数方阵，其形式对称但数值不对称。
其稀疏程度与节点导纳矩阵相同，可根据节点导纳矩阵形成。
2.高斯消去法3.节点的优化编号¾静态优化法：¾半动态优化法：¾动态优化法：不首先进行节点编号，而是寻找消去后出现的新支路数最少的节点，并为其编号，且立即将其消去；然后再寻找第二个消去后出现的新支路数最少的节点并为其编号，再立即将其消去……依此类推。
三、直流潮流计算¾-¾¾一种所谓N-1校核计算，即对于某一种运行方式要逐一开断系统中的线路或变压器，检查是否存在支路过载情况。
直流法计算潮流的过程1.2.在正常运行时线路两端相位差很少超过20°3.节点电压值的偏移很少超过10%，且对有功功率分布影响不大****2Re Re cos sin ij i j ij i i ij iij i j ij ij ij ij P U I U y U U U G U U G B θθ⎡⎤⎡⎤⎛⎞==−⎜⎟⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎠⎣⎦⎡⎤=−+⎣⎦&&1.0,1/2.sin ,cos 13.1ij ij ijij i j ij i j G B x U U θθθθ≈≈−≈−≈≈≈()()/ij ij i j i j ijP B x θθθθ=−−=−(cos sin )i i j ij ij ij ij j iP U U G B θθ∈=+∑解方程求出各节点的相角后，可利用前面的式子求出各支路的有功潮流。
潮流计算中的特殊问题
Vti fd
sin
Q
Vt It
sin
xad xs
Vti fd
cos
Vt2 xs
消去角度，有
P2
Q
Vt 2 xs
xad xs
Vti fd
2
i fd i fd max
Q
0,
Vt 2 xs
xad xs
Vti fd max
P
发电机无功输出的转子导体末端过热限制
欠励时电枢电流 产生的磁通和励 磁电流产生的磁 通同向叠加，造 成转子导体末端 过热（Kundur）
与kT相关的雅可比矩阵元素表达式 （直角坐标）
Pp
K T
KT
ep
eqG pq
f q B pq
f p eq B pq f qG pq
2
e
2 p
f
2 p
G pq
KT
Q p
KT
KT
f p eqG pq f q B pq
e p eq B pq f qG pq
2
e
2 p
f
2 p
B pq
Pq
KT
KT
eq e pG pq f p B pq
f q e p B pq f pG pq
KT
KT
f q e pG pq f p B pq
eq e p B pq f pG pq
K
T
直流潮流——应用场合
只关心有功潮ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ分布 不关心节点电压情况 对计算速度要求高
kT），节点q除已知P、Q外，还已知V，故称PQV 节点 潮流计算电压变量少一个 潮流计算多了一个变压器变比的变量 方程和变量个数仍相等，可求解
潮流计算问题
潮流计算的定义（课后题）各种潮流计算模型和算法的特点、适用范围以及相互之间的区别和了解（课后题）影响潮流收敛性的因素，以及如何改善潮流计算的收敛性（课后题）通过功率方程说明为什么潮流计算的数学模型是非线性的？应该采用什么样的数学方法求解？（03A 、05A ）电力系统的潮流计算有哪些常规算法？有哪些扩展算法？（05B ）潮流计算的目的是什么？其数学模型是什么？有何特点？（06B ）简要说明潮流计算的概念、模型及计算方法。
（07B ）高斯赛德尔迭代法和牛顿拉夫逊迭代法是常规的潮流计算方法，请介绍一下最优潮流（OPF ）算法的原理及其应用。
（04电科院）潮流计算的目的：常规潮流计算的目的是在已知电力网络参数和各节点的注入量的条件下，求解各节点电压。
目的1：1. 在电网规划阶段，通过潮流计算，合理规划电源容量和接入点，合理规划网架，选择无功补偿方案，满足规划水平年的大小方式下潮流交换控制、调峰、调相、调压的要求。
2. 在编制年运行方式，在预计复合增长及新设备投运基础上，选择典型方式进行潮流计算，发现电网中的薄弱环节，供调度人员异常调度控制参考，并对规划、基建部门提出改进网架结构，加快基建进度的建议。
3. 正常检修及特殊运行方式下的潮流计算，用于日常运行方式的编制，指导发电厂开机方式，有功、无功调整方案及负荷调整方案，满足线路、变压器热稳定要求及电压质量要求。
4. 预想事故、设备退出运行对静态安全分析的影响及做出预想的运行方式调整方案。
目的2：A. 检查电力系统各元件是否过负荷；B. 检查电力系统各节点的电压是否满足电压质量的要求；C. 根据对各种运行方式的潮流分布计算，可以正确的选择系统接线方式，合理调整负荷，以保证电力系统安全、可靠地运行，向用户供给高质量的电能；D. 根据功率分布，可以选择电力系统的电气设备和导线截面积，可以为电力系统继电保护整定计算提供必要的数据等；E. 为电力系统扩建和规划提供依据；F. 为调压计算、经济运行计算、短路计算等提供必要的数据。
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第四章 潮流计算中的特殊问题第一节 负荷的静态特性负荷的功率是系统频率和电压的函数。
在潮流计算中可以认为频率变化不大。
但由于发电机或输电设备的开断会引起电压较大的变化，在潮流计算中计及负荷的静态电压特性是合理的。
负荷的电压静态特性就是负荷的有功和无功功率与电压大小的关系，一般表达如下：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=Qi is i Qi is i Qi Di Di Pi is i Pi is i Pi Di Di c V V b V V a Q Q c V V b V V a P P 2)0(2)0( （4-1） 式中系数满足11=++=++Qi Qi Qi Pi Pi Pi c b a c b a)0(Di P 、)0(Di Q 是在设定电压is V 下的负荷值。
组成负荷的三部分被分别看做恒定阻抗部分、恒定电流部分和恒定功率部分，所以（4-1）称为负荷的ZIP 模型。
当0=Pi a 、0=Qi a 时，忽略电压的二次项。
潮流计算中计及负荷的静态电压特性的方法：1、节点功率的不平衡量计算:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=∆-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=∆),(),(),(),(2)0(2)0(θθθθV Q c V V b V V a Q Q V Q Q Q Q V P c V V b V V a P P V P P P P i Qi is i Qi is i Qi Di Gi i Di Gi i i Pi is i Pi is i Pi Di Gi i Di Gi i (4-2) 2、牛顿法雅可比矩阵子矩阵N 和L 的对角线元素要增加ii V P ∂∆∂和i i V Q ∂∆∂3、P-Q 分解法，Q-V 迭代的系数矩阵B ''的对角线元素也应增加i i V Q ∂∆∂，这样B ''不再是常数了。
为了节省计算量，ii V Q ∂∆∂也可取为常数，如忽略二次项取0=Qi a ，或不改变B ''，但功率不平衡量要按（4-2）计算。
负荷电压静态特性模型的指数形式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=βαis i Di Di is i Di Di V V Q Q V V P P )0()0( （4-3） 8.1~5.0=α、6~5.1=β在动态潮流计算中，不能不考虑频率的变化。
考虑频率变化时式（4-1）、（4-3）变为。
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=002)0(002)0(11f f f k c V V b V V a Q Q f f f k c V V b V V a P P Qi Qi is i Qi is i Qi Di Di Pi Pi is i Pi is i Pi Di Di ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00)0(00)0(11f f f k V V Q Q f f f k V V P P Qi is i Di Di Pi is i Di Di βα 当考虑频率变化时，频率也是待求的未知量，应出现在潮流方程中。
模型中系数的选取属于负荷建模的问题，仍未得到很好的解决。
第二节 节点类型的相互转换一、PV 节点转换为PQ 节点当在迭代过程中出现PV 节点无功功率越限时，可以再迭代几次，如果无功仍越限，说明PV 节点电压设置不合理，应进行调整：如果无功功率越下限，检查是否电压设置过低？如是可适当提高电压设定值，或转换为PQ 节点，无功定值置下限值。
如果无功功率越上限，说明节点无功功率不能支持设定的电压，可适当调低电压设定值，或转换为PQ 节点，无功定值取上限值。
PV 节点转换为PQ 节点的处理方法：1、直角坐标方式的节点不平衡量由2i V ∆变为i Q ∆；2、牛顿法极坐标方式的修正方程加1个Q ∆方程；3、P-Q 分解法，θ-P 迭代不变，V Q -迭代的系数矩阵有两种处理方法：（1）B ''增加一行一列，如增加到最后：⎥⎦⎤⎢⎣⎡''=''ii T i B B B B B i ~ （4-4） 新的矩阵的因子表可由右下角加边的因子表修正法求出。
（2）B ''的对角元加大数在形成B ''时包含PV 节点对应的导纳，但PV 节点的对角元加一个很大的数。
这样在正常Q-V 迭代时，PV 节点的电压修正零接近于0，不会影响其他节点的电压修正量。
当PV 转换为PQ 节点时，将加的大数去掉。
ΔB B B -''=''~（4-5）采用因子表秩1修正法得到新的因子表二、PQ 节点转换为PV 节点当在迭代过程中出现PQ 节点电压越限时，可以再迭代几次，如果电压仍越限，说明PQ 节点无功设置不合理，应进行调整：如果电压越下限，说明无功设置较低，可适当提高无功设定值，或转换为PV 节点，电压定值取下限值。
如果电压越上限，说明节点无功设定偏高，可适当调低无功设定值，或转换为PV 节点，电压定值取上限值。
PQ 节点转换为PV 节点的处理方法：1、直角坐标方式的节点不平衡量由i Q ∆变为2i V ∆；2、牛顿法极坐标方式的修正方程减1个Q ∆方程；3、P-Q 分解法，θ-P 迭代不变，V Q -迭代的系数矩阵有两种处理方法：（1）在B ''中划去将要转换为PV 节点的节点所在的行和列，重新形成因子表。
（2）在B ''中将要转换为PV 节点的节点对应的对角元加一个很大的数，用因子表秩1修正法得到新的因子表三、因子表修正方法1、因子表秩1修正法设系数矩阵A 已因子化为如下的形式LDU A = （4-6）由于某种原因，A 变化为：A A N M A A ∆+=+=T a ~ （4-7）其中M 和N 为1⨯n 的列矢量，a 为标量。
新矩阵A ~的因子表为：U D L A ~~~~= （4-8）将（4-8）、（4-6）代入（4-7）有：T M aN LDU U D L +=~~~ （4-9）为了求出U D L ~~~中的各元素，将U D L ~~~和LDU 各矩阵的第一行和第一列单独列出，并写成分块矩阵的形式：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11L l L 1 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1D D 1d ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1U u U 11 (4-10) 和⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11L l L ~~1~ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1D D ~~~1d ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1U u U ~~1~1 (4-11) 及⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11M M m ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11N N n （4-12） 将（4-10）代入（4-6），A 矩阵可写为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=11111111111U D L u l l u A d d d d （4-13） 将（4-11）代入（4-8），A ~矩阵可写为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=11111111111~~~~~~~~~~~~U D L u l l u A d d d d （4-14） 将（4-12）代入T MaN A =∆⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∆T T a an a m an m 11111111N M M N A （4-15） 将（4-13）、（4-14）、（4-15）代入（4-7）有⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+T T a an a m an m d d d d d d d d 111111111111111111111111111111~~~~~~~~~~~N M M N U D L u l l u U D L u l l u （4-16） 根据等号两端矩阵对应元素相等，可得：（1） 1111~an m d d += （4-17）（2） T a m d d 111111~~N u u +=将（4-17）变为1111~an m d d -=代入，有 T a m d 111111~~~N u u -+= （4-18） 其中1111~u N N n T T -= （4-19） （3） 111111~~an d d M l l +=将（4-17）变为1111~an m d d -=代入，有111111~~~-+=d an M l l （4-20）其中1111~m l M M -= （4-21）由上（1）、（2）、（3）可计算出新矩阵因子表上三角矩阵第一行元素、下三角矩阵第一列元素和对角线矩阵第一个元素。
（4） T a d d 11111111111111~~~~~~N M U D L u l U D L u l ++=+ 重写为111111111111111111~~~~~~A U D L N M U D L u l u l U D L ∆+=++-=T a d d（4-22） 其中T a d d 111111111~~~N M u l u l A +-=∆将（4-18）、（4-20）代入得 T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T a a m d an a a m d an n a m a m d an an m a m a m d an a an a m an m a m d an a an m an an m a m an m a m d an a an m n a m an m a a m d an an a m an m a a m d d d an d d an a m d d d an m d a a m d d d an an m d a d d 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111~~~~)~(~~~~)()(~~~)()(~~~~~~~~~)()(~~~~~~~~~~~~~~~~~~)~~(~)~~()~(~~~N M N M N M u N l M N M u l M N l M N M N M u M N l u l N M N M u l u M u l N l u l N M N M u l M u N l u l N M N M u M N l u l N M N M u M N l u l u l u l N M N u M l u l N M u l u l A =-=---=----=-+--=-++-+--=-+-----=+----=+-----=+++--=+-=∆------------- （4-23）其中)~(~1111a m d an a a --= （4-24）因此，（4-22）可写为如下的形式T a 11111111~~~~~~N M U D L U D L += （4-25） （4-25）与（4-9）有同样的形式，可用（1）、（2）、（3）的方法分别求出111~~~U D L 矩阵的第一行第一列元素。