高等数学习题册解答_10.重积分(青岛理工大学).

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专升本《高等数学》易错题解析-第十章：重积分的应用

第九章(二) 重积分的应用重积分的应用十分广泛。

尤其是在几何和物理两方面。

几何方面的应用有利用二重积分求平面图形的面积；求曲面面积；利用三重积分求立体体积。

物理方面的应用有求质量；求重心；求转动惯量；求引力等。

在研究生入学考试中，该内容是《高等数学一》和《高等数学二》的考试内容。

通过这一章节的学习，我们认为应达到如下要求： 1、掌握重积分的几何和物理意义，并能应用于实际计算。

2、对于重积分的应用领域和常见应用问题有全面的了解，并能利用重积分解决应用问题。

3、具备空间想象能力，娴熟的重积分计算技巧和将理论转化为应用的能力。

一、知识网络图⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧求引力求转动慣量求重心求质量物理应用求曲面面积求立体体积求平面图形面积几何应用重积分的应用二、典型错误分析例1．求如下平面区域D 的面积，其中D 由直线x y x ==,2及曲线1=xy 所围成。

如图： y1=xy （2，2）)21,2(O 1 2 x [错解]89)2(2212221=-===⎰⎰⎰⎰⎰dy y dx dy d S yDσ [分析]平面图形的面积可以利用二重积分来计算，这一点并没有错。

问题在于区域D ，若先按x 积分，再按y 积分，则应注意到区域D 因此划分为两个部分，在这两个部分，x 、y 的积分限并不相同，因此此题若先积x, 后积y ，则应分两部分分别积分，再相加。

[正确解] 2ln 2322112121-=+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰y y Ddx dy dx dy d S σ 例2..设平面薄片所占的闭区域D 是由螺线θγ2=上一段弧)20(πθ≤≤与直线2πθ=所围成，它的面密度为22),(y x y x +=ρ，求该薄片的质量。

[错解] 24023420320220πθθθσρπθπ====⎰⎰⎰⎰⎰d r dr r d d MD[分析] 平面物体的质量是以面密度函数为被积函数的二重积分，因此解法的第一步是正确的。

高等数学习题册解答_11.线面积分(青岛理工大学).

22R y x =+解:⎰
⎰⎰⎰
--+=-+
+=R
R
H
D dy y
R dz z
R R dydz y
R y z
R I yz
2
2
2
2
2
2
22
2
1. 1212
=2R
H
R y R z R R
H arctan 2].[arcsin][arctan0π=-
3、求曲面积分⎰⎰∑
++ds zx yz xy ( ,其中∑是锥面22y x z +=
=dydz z y x P , , (
(⎰⎰∑1
, , 2dydz z y x P C. (⎰⎰∑-1
, , 2dydz z y x P D.ABC都不对
2.设(0:2222≥=
++∑z a z y x取上侧,则下述积分不等于零的是( A ⎰⎰∑
dydz x 2∑
xdydz C ⎰⎰∑
ydxdy D ⎰⎰∑
0, πA的积分(
(dy y x dx y L
+++⎰213的值最小
解:(([]
30333
44cos sin 2sin 1a a dx x a x a x x a a I +
-=+++=⎰ππ
((
(0811, 014' ' 2
' >=⇒=⇒=-=I a a a I。, 1=a (a I最小,此时x y sin =
第十一章曲线积分与曲面积分§ 1对弧长的曲线积分
1设L关于x轴对称, 1L表示L在x轴上侧的部分,当(y x f ,关于y是偶函数时,

高等数学习题册解答_11.线面积分(青岛理工大学)

第十一章曲线积分与曲面积分 § 1 对弧长的曲线积分1设 L 关于x 轴对称，1L 表示L 在x 轴上侧的部分，当()y x f ,关于y 是偶函数时，()=⎰Lds y x f ,()⎰1,L ds y x f C. ()⎰-1,2L ds y x f D.ABC 都不对2、设L 是以点()()()()1,0,0,1,1,0,0,1--D C B A 为顶点的正方形边界,则⎰+Lyx ds =24 D. 223、有物质沿曲线L ：()103,2,32≤≤===t t z t y t x 分布，其线密度为,2y =μ，则它=m++1421dt t t t B.⎰++14221dt t t t C.⎰++1421dt t t D.⎰++1421dt t t t4．求,⎰Lxds 其中L 为由2,x y x y ==所围区域的整个边界解：()22155121241111+-=++⎰⎰xdx dy yy 5．,ds y L⎰其中L 为双纽线)0)(()(222222>-=+a y x a y x解：原积分=()()222sin 4sin 442022'2441-==+=⎰⎰⎰a d ad r r r ds y L χππθθθθθ6．⎰+Lds y x ,22 其中L 为()022>=+a axy x原积分=2222cos 2a adt t a ==⎰π7．,2⎰Lds x 其中L 为球面2222a z y x =++与平面0=-y x 的交线解：将y x =代入方程2222a z y x =++得2222a z x =+于是 L 的参数方程：ta z t a y t a x sin ,sin 2,cos 2===，又adt ds =原积分=⎰=ππ203222cos 2a adt t a 8、求均匀弧()0,sin ,cos ≤<∞-===t e z t e y t e x t t t 的重心坐标33,30===⎰∞-dt e M dt e ds tt，523cos 100==⎰∞-dt e t e Mx t t ，21,5100=-=z y§2 对坐标的曲线积分一、选择题1.设L 关于x 轴对称，1L 表示L 在x 轴上侧的部分，当()y x P ,关于y 是偶函数时，()=⎰Ldx y x P , A.0 B. ()⎰1,2L dx y x P C.()⎰-,2L dx y x P 都不对2．设L 为1=+y x 的正向，则=++⎰Ly x ydyxdx3．L 为222a y x =+的正向，=+--+⎰Ly x dyy x dx y x 22)()( A.2ππ C.0 D.π二、计算1．()()dy y x dx y x L⎰-++2222，其中L 由曲线()2011≤≤--=x x y 从()0,2A 到()0,0O 方向解：()1,1B 01:,:;12:,2:_______→=→-=x x y BO x x y AB=I =+⎰⎰_______BOAB ()()()()()()34122012212222-=++---+-+⎰⎰dx x xdx x x dx x x2．[]d y y x x xy y dx y x L)ln((2222+++++⎰ 其中L 是正向圆周曲线222a y x =+解：由奇偶对称性022=+⎰Ldx y x ，L ：ππ→-==:,sin ,cos t t a y t a x=I ()()=++⎰-dt t a t t a dt t t acos 1ln cos sin cos sin 3224πππππ4cos sin 4224a dt t t a =⎰-3．()⎰Γ-+++dz y x ydy xdx 1其中为从点()1,1,1A 到()4,3,2B 的有向线段解：Γ方程：13,12,1+=+=+=t z t y t x ，=I ()136141=+⎰dt t三、过()0,0O 和()0,πA 的曲线族()0sin >=a x a y ，求曲线L 使沿该曲线从()0,0O 到()0,πA 的积分()()dy y x dx y L+++⎰213的值最小解：()()[]3033344cos sin 2sin 1a a dx x a x a x x a a I +-=+++=⎰ππ()()()0811,014''2'>=⇒=⇒=-=I a a a I 。

重积分部分难题解答

重积分部分难题解答1．（P148,第2题）求函数()y x y x f 22sin .sin ,=在闭正方形区域:D ()ππ≤≤≤≤y x 0,0上的函数值的平均值.解：()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰⎰⎰⎰ππ0202sin .sin ,ydy xdx dxdy y x f D202sin ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰πxdx ；又.22sin 41222cos 1sin |002ππππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=⎰⎰x x dx x xdx 所以().4,2π=⎰⎰dxdy y x f D故()y x f ,在闭正方形区域D 上的函数值的平均值为()().414,122===⎰⎰ππσdxdy y x f D S D2．（P148,第3题）设函数()x f 在闭区间[]b a ,上连续，证明不等式()()().22dx x fa b dx x f ba b a ⎰⎰-≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡证明：考虑积分 ()()[]d x d y y f x f I D⎰⎰-=2一方面 ()()()()dxdy y f dxdy y f x f dxdy x f I DDD⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-=22.2()()()();222dx x fa b dy x fdx dxdy x fbab a baD⎰⎰⎰⎰⎰-==()()()()dy y fa b dy y fdx dxdy y f bababaD⎰⎰⎰⎰⎰-==222()();2dx x f a b ba⎰-=()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎰⎰⎰⎰⎰⎰ba b a babaDdy y f dx x f dxdy y f x f dx dxdy y f x f ...().2⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰ba dx x f 代入）得 ()()().2222⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎰⎰ba badx x f dx x f a b I 另一方面显然0≥I ，即()()()02222≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎰⎰b a badx x f dx x f a b ，故 ()()().22dx x f a b dx x f b a b a ⎰⎰-≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡3．（P149,第4题）设()x f 在闭区间[]b a ,上为正值连续函数.证明不等式()()()2..b b a a dx f x dx b a f x ⎡⎤⎡⎤≥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 证法一：考虑到定积分与变量的记号无关.故有：()()⎰⎰=b a bay f dy x f dx()().dy y f dx x f bab a⎰⎰=所以， ()()()()..⎰⎰⎰⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡D b a b a dxdy y f x f x f dx dx x f 其中，⎩⎨⎧≤≤≤≤.,:b y a b x a D 同理， ()()()()..⎰⎰⎰⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡D b a b a dxdy x f y f x f dx dx x f ， ()()()()()()()()()().2.2⎰⎰⎰⎰⎰⎰≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡D Db a b a dxdy y f x f x f y f dxdy y f x f x f y f x f dx dx x f ()222.Dd x d yb a ==-⎰⎰ 即：()()()2..b b a a dx f x dx b a f x ⎡⎤⎡⎤≥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 证法二：因为()0≥x f ，所以，20b a dx ⎡⎤⎢≥⎢⎣⎰，即： ()()()220.b baadxf x dx b a f x λλ⎡⎤+-+≥⎢⎥⎣⎦⎰⎰------（1）（1）式左边是λ的非负二次三项式，因此必有判别式()()()20b b a a dx b a f x dx f x ⎡⎤⎡⎤∆=--≤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰，故()()()2..b b a a dx f x dx b a f x ⎡⎤⎡⎤≥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 4．（书p149页习题8）设函数()x f 在[]b a ,上连续，证明：()()().dx x b x f dx x f dy bab ay a-=⎰⎰⎰证法一：()dxx f dy b aya⎰⎰对应的二重积分的积分区域⎩⎨⎧≤≤≤≤.,:b x a b y x D 交换积分次序后，重新计算()dx x f dy b a y a⎰⎰，则有 ()=⎰⎰dx x f dy bay a()dy x f dx b ab x⎰⎰()().dx x b x f ba-=⎰.证法二：记()()dx x f y F ya⎰=，则()()dy y F dx x f dy b a b a y a ⎰⎰⎰= ()[]()dy y F y y F y ba b a ⎰'-=|.()()()dy y f y a aF b bF ba⎰--=. ()()dx x f x dx x f b baba⎰⎰--=.0. ()().dx x b x f ba -=⎰5．（书p149页习题10）设()x f 为[]1,1-上的连续函数，证明：().4210⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰⎰⎰≤≤dx x f ab dxdy b y f a x f by ax证明：因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰⎰⎰⎰--≤≤bb a a by ax dy b y f dx a x f dxdy b y f a x f . 其中对于dx a x f aa ⎰-⎪⎭⎫⎝⎛，令,a x u =则()()()dx x f a du u f a du u f a dx a x f aa⎰⎰⎰⎰===⎪⎭⎫⎝⎛--10101122；同理，对于dy b y f b b ⎰-⎪⎭⎫⎝⎛，令,b y v =则()()()dxx f b dv v f b dv v f b dy b y f bb⎰⎰⎰⎰===⎪⎭⎫⎝⎛--1010112.2().4210⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰⎰⎰≤≤dx x f ab dxdy b y f a x f by a x6．（书p158页习题3）证明：dy yxdx xx⎰⎰2sin21π().242sin3242+=+⎰⎰πππdy yxdx x证明：（一）记 ⎩⎨⎧≤≤≤≤.,21:1x y x x D ，⎩⎨⎧≤≤≤≤2,42:2y x x D .分别画出草图.则12.D D D = （二）按所给积分次序很困难，故更换积分次序，即要将积分区域视为-Y 型区域：⎩⎨⎧≤≤≤≤.,21:2y x y y D ，此时无须分块. 原式dx yxdy y y⎰⎰=22sin21π⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎰⎰y x d y x dy yy y22sin2221πππdy y x y y y ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=21|22cos 2ππdy y y ⎰-=212cos 2ππ ⎪⎭⎫⎝⎛-=⎰y d y 2sin4212ππ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎰212122sin 2sin 4|ydy y y πππ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=|2122cos .214y πππ().2421432+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=ππππ 7．（书p158页习题4）求⎰⎰-=1102.2xy dy e dx x I解：按所给积分次序很困难，画出积分区域D 的图形，交换积分次序.dx x dy e I y y ⎰⎰-=02102⎰-=103231dy y e y ()⎰--=12261y e d y()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=⎰--10210222|61y d e e y y y []().216116161111101|2------=-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=e e e e e y8．（书p158页习题5）利用极坐标，求下面的二重积分：（ⅰ）()D dxdy y xy x I D,22⎰⎰++=为由上半圆周122=+y x （0≥y ）与直线xy ±=围成的圆扇形；（ⅱ）D dxdy yx y x I D,112222⎰⎰++--=为单位圆（122≤+y x ）；（ⅲ）D dxdy y x I D,sin 22⎰⎰+=为圆环域（22224ππ≤+≤y x ）；（ⅳ）D dxdy x yI D,arctan ⎰⎰=为单位圆（122≤+y x ）含在第一象限内的部分.解：（ⅰ）()=++=⎰⎰dxdy y xy x I D22()022++⎰⎰dxdy y xD.841422.224102πππθππ=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯==⎰⎰dr r r d（ⅱ）rdr r r d dxdy yx y x I D⎰⎰⎰⎰+-=++--=201022222211411πθ rdr r r ⎰+-=1022112π（令t r =2） dt t t ⎰+-=111πdt t t ⎰--=10211πdt t ⎰-=10211πdt t t ⎰--1021π .12⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ππ （ⅲ）⎰⎰⎰⎰=+=20222.sin 4sin πππθrdr r d dxdy y x I D⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛=πππ2.sin .2.4rdr r ()⎰-=πππ2cos .2r rd 2222cos cos 6.|r r rdr ππππππ⎡⎤=--=-⎢⎥⎣⎦⎰ （ⅳ）rdr r r d dxdy x y I D.cos sin arctan arctan 2010⎰⎰⎰⎰==πθθθ==⎰⎰rdr d .2010πθθ .1621.21.2102202201||πθθθππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰⎰r dr r d 9．（书p158页习题6）计算下面的二重积分：（ⅰ）D dxdy x y I D,2⎰⎰-=为正方形（20,11≤≤≤≤-y x ）；（ⅱ）D dxdy y x I D,422⎰⎰-+=为圆域（922≤+y x ）；（ⅲ）()D dxdy y x I D,cos ⎰⎰+=为正方形（20,20ππ≤≤≤≤y x ）.解：（ⅰ）（画图）12D D D = ，则原式=()()1222.D D y x dxdy x y dxdy -+-⎰⎰⎰⎰其中，⎩⎨⎧≤≤-≤≤,11,2:21x y x D ， ⎩⎨⎧≤≤-≤≤,11,0:22x x y D 于是，有()d y x y dx I x⎰⎰--=11222().15465115431122=+=-+⎰⎰-dy y xdx x （ⅱ）设222212:04,:49.D x y D x y ≤+≤≤+≤则12.D D D = 所以，()()12222244D D I x y d x y d σσ=--++-⎰⎰⎰⎰()()222322024144.2d r rdr d r rdr πππθθ=-+-=⎰⎰⎰⎰ （ⅲ）以直线2π=+y x 将区域D 分成两个子区域，12D D D =其中，⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤,20,20:1ππx x y D ， ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤-,20,22:2πππx y x D ()dy y x dx I x⎰⎰-+=22cos ππ()dy y x dx x⎰⎰-+-+2022cos πππ其中()=+⎰⎰-dy y x dx x202cos ππ()dx y x x ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-2020|sin ππ()12s i n 120-=-=⎰ππdx x ；()dy y x dx x ⎰⎰-+-2022cos πππ()dx y x x ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-2022|sin πππ ().121cos 20-=--=⎰ππdx x 所以 .21212-=⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πππI10．（书p159页习题7）求(),t F '其中()()0002>=⎰⎰≤≤≤≤-t dxdy et F ty tx y tx .解：（一）()dx edy dxdy et F t ty tx ty tx ytx ⎰⎰⎰⎰-≤≤≤≤-==00dy y tx d e t y tt y tx ⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-00222dy e t y t t y tx⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-002|2 dy e t y t yt ⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-02122t d y e t y t y t ⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-022122令,tu y =则,tdu dy =()()du t e u t F u 211212⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=- ()du e u t u ⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1012212 （二） ()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--='⎰⎰--10122112121222u u e u t t du e u t t F ().2t F t =11．（书p159页习题8）根据⎰⎰=DD dxdy 的面积，求下面曲线围成图形的面积：（ⅰ）由抛物线x y =2与半圆周22y x -=围成的图形；（ⅱ）曲线()xy y x =+222围成的图形.解：（ⅰ）联立 ⎩⎨⎧-==.2,22y x x y 得⎩⎨⎧==.1,1y x 或⎩⎨⎧-==.1,1y x 故两曲线的交点为()1,1及()1,1-.化出区域D 的草图，并视之为-Y 型区域. 则所求面积为 []⎰⎰⎰⎰⎰-----===1122112222y ydx dy dxdy A y yD32222a r c s i n .2223222|10212-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+=--=⎰y y ydy y .312+=π （ⅱ）解：记1D 为D 在第一象限内的那部分区域，则⎰⎰⎰⎰===20sin cos 01221πθθθrdr d dxdy A A D .21cos .sin 222020sin cos 02|⎰⎰==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ππθθθθθθd d r 12．（书p159页习题9）求下面立体图形的体积（ⅰ）球面()02222>=++a az z y x 的上半部分与圆锥面222y x z +=围成图形；（ⅱ）圆柱面222a z y =+与222a z x =+围成的立体的图形. （ⅰ）解法一：画出积分区域Ω的草图.联立 ⎩⎨⎧+==++.,2222222y x z az z y x ，消去z ，得Ω在xoy 面投影.:222a y x D ≤+ ()[]d xdy y x y x a a V D⎰⎰+---+=22222()[]⎰⎰--+====πθ2022ardr r r a a d 极⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=⎰⎰⎰a a ar d r r a dr r ardr 0002222π 3.a π= 解法二：画出积分区域Ω的草图，显然见Ω的体积为球体az z y x 2222≤++的体积的上半部分体积加上锥体()a z y x z ≤≤+≥0222的体积故 ..3134.2132321a a a a V V V πππ=+=+=（ⅱ）解法一：()()(),22222z az aD S z A z -=-==所以，()().316883220a dz z a dz z A V a a =-==⎰⎰ 解法二：()()().3163388883330222221111a aa dx y a dy dy x a dx V V V V a xay=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=+==⎰⎰⎰⎰13．（P159,第12题）根据下面的提示，证明贝塔函数()t s ,β与伽马函数()t Γ之间的关系为()()()()t s t s t s +ΓΓΓ=,β ()0,0>>t s其中 ()(),1,111dx x xt s t s --⎰-=β()dx e x t x t -+∞-⎰=Γ01证明：（ⅰ）令2u x =，则 udu dx 2=，故 ()()u d u eu t u t 2212-+∞-⎰=Γdu e uu t .20122-+∞-⎰=换记为 ()dx e x t x t .20122-+∞-⎰=Γ.（ⅱ）()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ΓΓ⎰--+∞→dx e x t s a x t a 0122lim 2⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰--+∞→dy e y ay s a 0122lim 2. ()dxdy y x f Da ⎰⎰+∞→=,lim 4. (){}a y a x y x D ≤≤≤≤=0,0|,为正方形区域，()().,221212y xs t e y x y x f +---=（ⅲ）显然，由于()0,≥y x f ，故有()()≤⎰⎰dxdy y x f aK ,()≤⎰⎰dxdy y x f D,()().,2d x d y y x f aK⎰⎰ （1）其中 ()(){}222|,a y x y x a K ≤+= ；()(){}2222|,2a y x y x a K ≤+=分别是半径为a 及的a 2圆含在第一象限的部分.（1）式左端积分()222121t s xyK a x y e dxdy ----⎰⎰（极坐标）()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=-----⎰⎰rdr e r r d r s a t s t .sin cos 212012121220θθθπ其中()()θθθπd s t 12122sin cos --⎰()()()θθθθθπd s t sin .cos 2sin cos 21121202--=--⎰（令u =θ2cos ，则du d =-θθθsin cos 2）()du u u s t 1101121----=⎰()().,211211110t s du u u s t β=-=--⎰；（2）其中rdr e r rr s t a.212120---⎰（令u r =2，则du rdr =）du e u u s a --+⎰=120221dx e x xt s a --+⎰=10221；（3）故由（2）、（3）两式，得（1）式左端积分().,21⎥⎦⎤⎢⎣⎡=t s β⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+⎰dx e x x s a 120221()dx e x t s xa t s --+⎰=201,41β. 同理得（1）式右端积分 ()dx e x t s x a t s --+⎰=2201,41β.故（1）化为 ()dx e x t s x a t s --+⎰201,41β ()dxdy y x f D⎰⎰≤,两边令,+∞→a 有()()()()≤ΓΓ≤+Γt s t s t s .41.,41β()()t s t s +Γ.,41β 故()()()()t s t s t s ΓΓ=+Γ.41..,41β即得： ()()()().,t s t s t s +ΓΓΓ=β14．（书p166页习题1）引入适当的变换，将下面的二重积分化为一重积分：（ⅰ）()dxdy y x f I y x ⎰⎰≤++=1；（ⅱ）()D dxdy xy f I D,⎰⎰=为双曲线1=xy 和2=xy （0,0>>y x ）与直线x y =和x y 4=围成的区域；（ⅲ）dxdy x y f I xy x ⎰⎰≤+⎪⎭⎫⎝⎛=22；（ⅳ）()dxdy c by ax f I y x ⎰⎰≤+++=122（022≠+b a ）.解：（ⅰ）画出积分区域D （如图，为一个正方形区域）.作变量代换： ⎪⎩⎪⎨⎧-=+=⇒⎩⎨⎧-=+=.2,2.,v u y v u x y x v y x u 由二重积分的换元法()()dudv J u f dxdy y x f I D y x ⎰⎰⎰⎰'≤+=+=1()()2121212121,,-=-=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=v y uy v x u xv u y x J ； ⎩⎨⎧≤≤-≤≤-'.11,11:u v D()()dv u f du dudv u f I D ⎰⎰⎰⎰--'==11112121 ()()⎰⎰--==1111.221du u f du u f （ⅱ）画出积分区域D （如图）.作变量代换： ⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧==..,.,v u y v u x x y v xy u 换元法 ()()dudv J u f dxdy xy f I D D⎰⎰⎰⎰'==.()()v vu uv v v uuv v y u y v xu xv u y x J 1.2121212121,,=-=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂= ⎩⎨⎧≤≤≤≤'.21,41:u v D()()dv vdu u f dudv v u f I D ⎰⎰⎰⎰=='21411.211.21 ()⎰=21..2ln du u f （ⅲ）画出积分区域D （如图）.作变量代换： ⎩⎨⎧==.s i n ,c o s θθr y r x由二重积分的换元法 ()θθd r d J f d x d y x y f I D D ⎰⎰⎰⎰'=⎪⎭⎫⎝⎛=tan .()()r r r y ryxrxr y x J =-=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=θθθθθθθcos sin sin cos ,,⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤'.22,cos 0:πθπθr D ()θθr d r d f d x d y x y f I D D ⎰⎰⎰⎰'=⎪⎭⎫⎝⎛=tan()r d rf d ⎰⎰-=22c o st a n ππθθθ ().cos .tan 21222⎰-=ππθθθd f （ⅳ）作正交变量代换：..,22222222v u y x b a av bu y b a bv au x +=+⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=++=由二重积分的换元法 ()()d u d vJ c b a u f d x d y c by ax f I D y x ⎰⎰⎰⎰'≤+++=++=22122.()().1,,22222222=+-+++=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=b a a ba b b a b b a a vy uy v x uxv u y x J.1:22≤+'v u D或 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--≤≤--'.11,11:22u u v u D ()d udv c b a u f I D ⎰⎰'++=22()d v c b a u f du u u⎰⎰----++=11112222().1211222⎰-++-=du c b a u f u15．（书p167页习题2）引入适当的变换，求下列曲线所围成图形的面积：（ⅰ）()222a x y x =+-；解：作变量代换： ⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=-=.,.,u v y v x x v y x u 222a v u =+. dxdy S D⎰⎰=1dudv J D ⎰⎰'=1其中()().11110,,=-=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=vy u y vxu x v u y x J 222a v u ≤+ .12a dudv S D π==⎰⎰'16．（书p167页习题3）求由下列曲面包围的立体的体积：（ⅰ）1222222=++cz b y a x （椭球面）；（ⅱ）1222222-=-+c z b y a x （双叶双曲面），12222=+by a x （椭圆柱面）；（ⅲ）12222=++c z b y a x ，.0,13232==⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛z b y a x 解：（ⅰ）根据对称性及二重积分的几何意义，知⎰⎰--==122221144D dxdy b y a x c V V .0,0,1:22221>>≤+y x b y a x D为计算方便，特引入变量替换令⎩⎨⎧==.sin ,cos θθbr y ar x则被积函数化为 2222211r c by a x c z -=--=积分区域1D 化为 .20.1:21⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤≤'πθr D ⎰⎰'-==121144D drd J r c V V θ ()()abr br b ra a y ryxr xr y x J =-=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=θθθθθθθcos sin sin cos ,,⎰⎰'-==D drd J r c V V θ21144 ⎰⎰'-=D rdrd r abc θ214⎰⎰-=201214πθrdr r d abc ().341322|10232abc r ab ππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=（ⅱ）根据对称性及二重积分的几何意义，知⎰⎰++==Ddxdy b y a x c V V 2222122上其中 .1:2222≤+b y a x D为计算方便，特引入变量替换令⎩⎨⎧==.sin ,cos θθbr y ar x则被积函数化为 2222211r c by a x c z +=++=积分区域D 化为 .1:2≤'r D ⎰⎰'+==D drd J r c V V θ21122()()abr br b ra a y ryxr xr y x J =-=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=θθθθθθθcos sin sin cos ,,⎰⎰'+==D drd J r c V V θ21122⎰⎰'+=D rdrd r abc θ212 ⎰⎰+=πθ201212rdr r d abc()().122341322|10232-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=abc r ab ππ（ⅲ）12222=++c z b y a x ，.0,13232==⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛z b y a x 根据对称性及二重积分的几何意义，知⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1222214D dxdy b y a x c V 其中 ()0,0,1:32321≥≥≤⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛y x b y a x D为计算方便，特引入变量替换令⎩⎨⎧==.sin ,cos 33θθbr y ar x 则被积函数化为 ().s i n c o s 16262θθr r c z --=积分区域1D 化为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤≤'20.1:1πθr D ()⎰⎰'--=16262sin cos 14D drd J r r c V θθθ()().sin .cos 3cos .sin 3sin sin .cos 3cos ,,222323θθθθθθθθθθθabr br b ra a y r y xr x r y x J =-=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂= ()⎰⎰'--=16262sin cos 14D drd J r r c V θθθ()⎰⎰--=201226262sin .cos sin cos 112πθθθθθrdr r r d abc()⎰-=2042cos cos 6πθθθd abc ()⎰--20108cos cos 3πθθθd abc()⎰--20108sin sin 3πθθθd abc⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2.!!10!!9!!8!!732.!!4!!346πππabc abc ⎪⎭⎫⎝⎛--2.!!10!!9!!8!!73πabc.25675abc π=17.（书p174页习题2）计算下列各三重积分（先画出积分区域的草图）：（ⅰ）()dz dxdy z y x dxdydz⎰⎰⎰Ω+++31，其中Ω为由坐标平面0,0,0===z y x 和平面1=++z y x 围成的四面体；（ⅱ）dz dxdy z xy ⎰⎰⎰Ω32，Ω为由曲面xy z =和平面0,1,===z x x y 围成的区域；（ⅲ）dz xyzdxdy ⎰⎰⎰Ω，Ω为单位球1222≤++z y x 位于第一卦限的那部分区域；（ⅳ）dz zdxdy ⎰⎰⎰Ω，Ω()0,022>>+=R h y x Rhz 与平面h z =围成的区域；解：（ⅰ）Ω在xoy 坐标面上的投影区域为三角形区域.10,10:⎩⎨⎧≤≤-≤≤x x y D()d x d y d z z y x ⎰⎰⎰Ω+++311=()dz z y x dy dx xyx ⎰⎰⎰---+++101010311()()z y x d z y x dy dx xyx ++++++=⎰⎰⎰---111110103()⎰⎰---⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-=1010102|11.21xy x dy z y x dx ()⎰⎰-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=10102411121x dy y x dx ⎰-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-=1010|411121dx y y x x⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=101144321dx x x ().1652ln 21811ln 4321|102-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=x x x （ⅱ）Ω在xoy 坐标面上的投影区域为三角形区域.10,0:⎩⎨⎧≤≤≤≤x x y D 故d x d y d z z xy ⎰⎰⎰Ω32=dz z dy y xdx x xy ⎰⎰⎰100032 ⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡=100042|41xxy dy z y xdx ⎰⎰=1006441x dy y x xdx ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛=10075|7141dx y x x ⎰=1012281dx x =1/364 （ⅲ）Ω在xoy 坐标面上的投影区域为.10,10:2⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤x x y D 故dxdydz xyz ⎰⎰⎰Ω=dz z ydy xdx x y x ⎰⎰⎰---11010222⎰⎰---⎥⎦⎤⎢⎣⎡=110102222|21x y x dy z y xdx ()⎰⎰---=1010222121x dy y x y xdx ()12220011114248x x y dx ⎡=---=⎢⎣⎦⎰ （ⅳ）由对称性知，dz zdxdy ⎰⎰⎰Ωdz zdxdy ⎰⎰⎰Ω=14其中1Ω为Ω在第一卦限内的那部分区域，1Ω在xoy 坐标面上的投影区域为.0,0:221⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤Rx x R y D 故d x d y d z z ⎰⎰⎰Ω=⎰⎰⎰+-Rh y x Rhx R zdz dy dx 022224⎰⎰-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=Rx R h y x R hdy z dx 022222|214 ()⎰⎰-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=R x R dy y x R h h dx 0022222222dx y y x R y hRx R ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-003222|223112()dx xRx R x R x R hR⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-+---=032222222223112⎰-=Rdx x R h2222dx x R xRh R⎰--0222222()dx xRR h R⎰--3222232其中 222202222141.22R h R h dx x R h R ππ==-⎰；=--⎰dx x R xRh R222222 tdt R t tR R Rh cos .cos sin 2202222⎰-πdt t t R h ⎰-=202222cos sin 2π()dt t t R h ⎰--=204222sin sin 2π222282.!!4!!32.!!2!!2R h R h πππ-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=；()=--⎰dx xRR h R 03222232⎰-203322c o s .c o s 32πt d tR t R R h ⎰-=20422c o s 32πt d t R h .82.!!4!!3322222R h R h ππ-=-=所以d x d y d z z ⎰⎰⎰Ω222R h π=228R h π-=-228R h π.422R h π= 18（书p174页习题3）利用改变积分次序的方法，将下面的三次积分表示成一重积分（ⅰ）()ρρηξξηd f d d I x⎰⎰⎰=0；（2）().1010dz z f dy dx I yx ⎰⎰⎰+=解：（1）先将后两次积分()ρρηξηd f d ⎰⎰0中的积分次序进行变换：()()()[]()()ρρξρρηρηρρρρηξξρξξξρξηd f d f d f d d f d -===⎰⎰⎰⎰⎰⎰000|-所以，()()()()ξρξρρρρξρξρξd f d d f d I x xx -=-=⎰⎰⎰⎰0()()ρρρρρρρξξρρd x x f d f x xx ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰⎰222002222| ()().220ρρρd x f x-=⎰（2）先将后两次积分()dz z f dy yx ⎰⎰+1中的积分次序进行变换：()()()dy z f dz dy z f dz dz z f dy xz x xx yx ⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+++=111010()()()dz x z z f dz z f x xx +-+=⎰⎰+11所以， ()()()∏+I =+-+=∧+⎰⎰⎰⎰dz x z z f dx dz z f dx I x xx 110110-.其中，()()()dz z z f dx z f dz z-==I ⎰⎰⎰11101- ()()()()dx x z z f dz dx x z z f dz z z +-++-=∏⎰⎰⎰⎰-11211110()()()dz z z f dz z z z f 22222121-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰⎰，所以，∏+I =I ()()dz z z f -=⎰11()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎰⎰dz z z f dz z z z f 222221210 ()()()()dz z z f dz z z f 221210221221-+-=⎰⎰. 19（书p174页习题4）证明不等式()dz dxdy xyz ⎰⎰⎰Ω≤cos 1()2s i n≤+⎰⎰⎰Ωdz dxdy xyz 其中Ω为为正方体区域()10,10,10≤≤≤≤≤≤z y x . 证明：显然，对于()Ω∈z y x ,,，414410πππ+≤+≤⇒≤≤xyz xyz()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+4sin 2sin cos πxyz xyz xyz24sin 24sin21≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤=ππxyz ，即 ()()2s i n c o s 1≤+≤x y z x y z 所以，由估值定理知()()[]2s i nc o s 1≤+≤⎰⎰⎰Ωdz dxdy xyz xyz （注意到正方体的体积为1）. 20（书p174页习题5设函数()z y x f ,,在区域3R ⊂Ω内连续，若对于Ω内任何一个有界子域ω都有()0=⎰⎰⎰dz dxdy xyz f ω证明：(),0,,≡z y x f 其中().,,3R z y x ∈证明：反证法设()0,,≡z y x f ，()3,,R z y x ∈的结论不成立，则必存在某点()30000,,R z y x P ∈，使得 ().0,,000≠z y x f 不妨假设().0,,000>z y x f 因为()z y x f ,,在()0000,,z y x P 处连续，故有()().0,,,,lim 000000>=→→→z y x f z y x f z z y y x x （1）故根据函数极限的定义知，对于(),0,,210000>=z y x f ε,00>∃δ使得当()()()0202020δ<-+-+-z z y y x x 时（即()()00,,,δP U z y x P ∈时），就有()()()000000,,21,,,,z y x f z y x f z y x f <- （2）由（2）式可解得，当()()00,,,δP U z y x P ∈时，就有()().0,,21,,000>>z y x f z y x f （3）所以，由积分中值定理有()()≥⎰⎰⎰dz dxdy xyz f P U 00,δ()0.34.,,30>δπζηξf （4）而（4）式与函数()z y x f ,,在对于Ω内任何一个有界子域ω上都有()0=⎰⎰⎰dz dxdy xyz f ω的假设前提是矛盾的！所以，(),0,,≡z y x f 其中().,,3R z y x ∈21（书p179页习题1）利用适当的方法，计算下列各三重积分：解：（ⅰ）()()dxdy y x dz dz dxdy y x zD ⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=+Ω22222.3163242.||2032020242202πππθπ====⎰⎰⎰⎰z dz r rdr r d dz z z如采用柱面坐标系：()dz dxdy y x ⎰⎰⎰Ω+22.3166.2142222.2|206420223222202πππθπ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==⎰⎰⎰⎰r r dr r r dz r rdr d r （ⅱ）采用柱面坐标计算.联立⎪⎩⎪⎨⎧+=--=,,22222y x z y x z 消z , 得Ω在xoy 坐标面上的投影区域为圆域.1:22≤+y x Ddz zdxdy ⎰⎰⎰Ωdr z r zdz rdr d r r r r⎰⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛==--11022220|22222.2πθπ().127642|106421042πππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=--=⎰r r r dr r r r（ⅲ）dxdy y x dz dz dxdy y x zD ⎰⎰⎰⎰⎰⎰++=++Ω122221111()dz z rdr r d dz z2010220101ln 212.11+=+=⎰⎰⎰⎰πθπ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=⎰1022102121ln |dz z z z z π().222ln arctan 22ln |10⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=πππz z（ⅳ）dxdy yx e dz dz dxdy yx e zD z z ⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=+Ω212222()⎰⎰⎰⎰⎰===21021202122.z zz ze zd dz ze rdr re d dz ππθπ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰2121|2dz e ze z z π.2222212|e e e e z ππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=（ⅴ）解法一：柱面坐标法：联立⎩⎨⎧=++=++,2,222222Rz z y x R z y x 消z ,得Ω在xoy 坐标面上的投影区域为圆域.43:222R y x D ≤+ dz dxdy z⎰⎰⎰Ω2dr z r dz z rdr d R R r R r R R r R r R R ⎰⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==------230233220|222222223.2πθπ()()⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡----=R dr r R R r R r 23032232232π（令t R r sin =） []⎰-+-=3235c o s s i n c o s 3c o s 31c o s 232ππt d t t t t t R⎰=3045sin cos 34ππtdt t R ⎰-305sin cos 32ππtdt t R⎰+325s i n c o s 2ππt d t t R⎰-335s i n c o s 2ππt d t t R|30555cos 34ππt R -=|30252cos 32ππt R +|30353cos 2ππt R -|30454cos 2ππt R + ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=32311545R π⎪⎭⎫ ⎝⎛-+4335R π⎪⎭⎫ ⎝⎛--87325R π⎪⎭⎫⎝⎛-+161525R π .480595R π= 其实，此题最宜采用球面坐标计算：这时首先要把积分区域Ω分成两个子区域： .21Ω⋃Ω=Ω其中 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤Ω,0,30,20:1R ρπϕπθ ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤Ω,c o s 20,232,20:2ϕρπϕππθR则dz dxdy z ⎰⎰⎰Ω2=dz dxdy z ⎰⎰⎰Ω12dz dxdy z ⎰⎰⎰Ω+22 ρρϕρϕϕθππd d d R⎰⎰⎰=20300222.cos sin ρρϕρϕϕθπππϕd d d R ⎰⎰⎰+2023cos 20222.cos⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰R d d 04302cos .sin 2ρρϕϕϕππ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰ϕππρρϕϕϕπcos 204232cos .sin 2R d d ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=||0530351cos 312R ρϕππ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰2375cos .sin 32512ππϕϕϕπd R 551.247.2R π=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+|2385cos 81564ππϕπR 5607R π=5160R π+.480595R π= （ⅵ）()dz dxdy z y x ⎰⎰⎰Ω++222ρρρϕϕθππd d d R⎰⎰⎰=2022.sin⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰ρρϕϕππd d R 040.sin 2.5451.cos 25050||R R πρϕππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-= （ⅶ）dxdy y x dz dz dxdy y x zD z⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=+Ω2222 ⎰⎰⎰-=R z Rz rdr r d dz 00202.πθ⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--=Rdz R z R 0322432π（令t R R z sin 22+=） ⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛=223cos 2.cos 232πππtdt R t R ⎰-=2244cos .161.32πππtdt R .642.!!4!!3..12424R R πππ== （ⅷ）显然(),0ln 222=++⎰⎰⎰Ωdz dxdy z y x z 因为积分区域Ω：41222≤++≤z y x 关于xoy 坐标面对称，且被积函数关于z 为奇. 22 .（书p180页习题3）设()u f 连续函数，求函数 ()()dz dxdy z y x f t F t z y x ⎰⎰⎰≤+=++=2222222 的导数()F t '.解：()()()22222222220tx y z t F t f x y z dxdydz d d f d ππθϕρρρ++≤=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰()2204t f d πρρρ=⎰，所以，()()224F t f t t π'=.20.（书p180页习题4）设k n m ,,为非负整数，Ω为单位球体.1222≤++z y x 求 ⎰⎰⎰Ω=dxdxydz z y x I k n m解：（一）当k n m ,,中至少有一个为奇数时例如k 为奇数时，于是⎰⎰⎰Ω=dxdxydz z y x I k n m⎰⎰⎰≥≤++=1222z z y x k n m dxdxydz z y x ⎰⎰⎰≤≤+++1222z z y x k n m dxdxydz z y x （记为） .21I I +=今在积分2I 中作变量代换即令⎪⎩⎪⎨⎧-===.,,w z v y u x ，则 .1100010001-=-=∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=wz vz uz wyv y u y w xv x u x J 故 ⎰⎰⎰≥≤++-=012222w w v u k n m dudvdw w v u I ⎰⎰⎰≥≤++=1222z z y x k n m d x d x y d z z y x .1I -=于是 .01121=-=+=I I I I I（二）当k n m ,,均偶数时，此时被积函数k n m z y x 关于三个坐标平面皆对称.于是 ⎰⎰⎰≥≥≥≤++=0,0,012228z y x z y x kn m dxdxydz z y x I 为方便计算，引入球坐标变换 ρρϕϕϕθθθππd d d I k n m km m nm⎰⎰⎰+++++=1220120c o s .s i ns i n .c o s 8ϕϕϕθθθππd d k n m k n m n m c o s .s i n s i n .c o s 31.820120⎰⎰+++++=⎰20s i n .c o s πθθθd nm⎰--=2011c o s .s i n .s i n .c o s πθθθθθd n m()()()⎰---=202212212sin sin .sin 121πθθθd n m （令t =θ2sin ） ()dt t t n m 21121121--⎰-=()dt tt n m 12110121.121-+-+⎰-= .21,2121⎪⎭⎫ ⎝⎛++=n m β ϕϕϕπd k n m cos .sin 201⎰++.21,2221⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=k n m β ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++=21,2221.21,212131.8k n m n m k n m I ββ .2321.22..222121312⎪⎭⎫⎝⎛+++Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛+Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛++Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛++Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛+Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛+Γ+++=k n m k n m n m n m k n m .23212121.312⎪⎭⎫⎝⎛+++Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛+Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛+Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛+Γ+++=k n m k n m k n m 由于 ⎪⎭⎫⎝⎛-Γ--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Γ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+Γ23.23.2121.2121n n n n n n⎪⎭⎫⎝⎛Γ--==21.2123.21 n n ()()..2!!121..2!!122πnn n n -=⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ-= 比如：..2!!52121.23.2523.23.2525.252132273π=⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ=⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ=⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯Γ=⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ故 ()()()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+++=+++ππππ222222!!22!!12!!12!!1.312k n m k n m k n m k n m k n m I()()()().!!2!!1!!1!!1.34+++---+++=k n m k n m k n m π书中183P 所提供的答案有误.23 .（书p180页习题5）求由曲面ax c z b y a x =⎪⎪⎭⎫⎝⎛++2222222()0,0,0>>>c b a 包围的立体体积.解：根据对称性及二重积分的几何意义，知 ⎰⎰⎰Ω==1441dxdxydz V V其中1Ω为由曲面ax c z b y a x =⎪⎪⎭⎫⎝⎛++2222222()0,0,0>>>c b a 包围的立体体积Ω在第一卦限的那部分区域.为方便计算，令⎪⎩⎪⎨⎧===.cos ,sin sin ,cos sin ϕρθϕρθϕρc z b y a x 则曲面ax c z b y a x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++2222222的方程化为.cos .sin 23θϕρa = 积分区域1Ω 化为.20,20,c o s .s i n:321πθπϕθϕρ≤≤≤≤≤'Ωa 则 ⎰⎰⎰'Ω=14ρϕθd d d J Vρϕθρϕθρϕθ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=zz z yy y x x xJ ϕϕρθϕθϕρθϕρθϕθϕρθϕρc o ss i n 0s i n s i n s i n c o s c o s s i n c o s s i n c o s c o s s i n s i n c c b b b a a a --=.sin 2ϕρabc = ⎰⎰⎰'Ω=1s i n 42ρϕθϕρd d d a b c V ρρϕϕθθϕππd d d abc a ⎰⎰⎰=32cos sin 022020sin 4()⎰⎰=20202s i n c o s .s i n 314ππϕϕθϕθd a d a b c .33bc a π=24.（书p187页习题1）讨论下列二重积分的收敛性（当收敛时，并求出积分值）解：（ⅰ）()⎰⎰>++12222y x yxdxdyμ（μ为参数）(){}()21|,22≥≤+<=n n y x y x D n()()⎪⎩⎪⎨⎧≠⎥⎦⎤⎢⎣⎡--===+-⎰⎰⎰⎰.1,1221.2,1,ln 2.122201222μμπμπθμπμμn n rdr r d yxdxdynD n因此当1>μ时，广义积分()⎰⎰>++12222y x yxdxdyμ收敛，且收敛于().111lim2-=---+∞→μπμπμnn 当1≤μ时，广义积分()⎰⎰>++12222y x y x dxdy μ发散.（ⅱ）dxdy ey x y x⎰⎰≥+--12222； (){}()21|,22≥≤+≤=n n y x y x D n.1212.22222|1201⎪⎭⎫⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==-----⎰⎰⎰⎰n n r nr D y x e e e rdr ed dxdy enππθπ=⎰⎰--+∞→dxdy e nD y x n 22lim.1lim 2ee e n n ππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+∞→因此广义积分dxdy e y x y x ⎰⎰≥+--12222收敛，且收敛于.eπ（ⅲ）()dxdy y x ey x y x22sin .22+⎰⎰+∞<<∞-+∞<<∞---；()(),2211sin .,44222222r r e e y x e y x f rr y x=<=≤+=--- ()dxdy y x e y x y x 22sin .22+⎰⎰+∞<<∞-+∞<<∞--- ⎰⎰⎰+∞-+∞-==02020sin 2.sin .2tdt e rdr r e d t r πθπ().211cos sin |022ππ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=∞+-t e t t（ⅳ）()dxdy yxx y y x ⎰⎰+∞<≤≤≤+-11022222；()dy yxx y ⎰∞++-122222()dy yxy ⎰∞++=12222()dy yxx ⎰∞++-12222()dy yxy ⎰∞++=12222()dy yxx ⎰∞++-12222()dy y x y y ⎰+∞+=122222()dy yx y y x ⎰∞++-1222222. 其中()=+⎰+∞dy yx yy 122222⎰∞+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-12212y x d y （分部积分） ⎰+∞+∞+++-=1221221211.2|dy y x y x y dy yx x ⎰+∞+++=122212111.21；（1）()dy y x yy x ⎰∞++1222222⎰∞+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=122212y x d y x （分部积分） ⎰∞+∞+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+-=1222212221211.2|dy y x y x y x y x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---+=⎰∞+∞+12212211211.21|dy y x y x x .121211.2112222⎰∞+++-+=dy y x x x ()dy y x x y ⎰∞++-122222⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=⎰∞+dy y x x 122212111.21⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+-⎰∞+12222121211.21dy y x x x .112111.21222x x x +=++-= ()dxdy y xx y y x ⎰⎰+∞<≤≤≤+-11022222()dy y xx y dx ⎰⎰∞++-=10122222.4arctan 11|1012π==+=⎰x dx x（ⅴ）()dxdy yxx y yx ⎰⎰≤≤+-122222()dy yxx y x⎰∞++-22222()dy yxy x⎰∞++=2222()dy yxx x⎰∞++-2222()dy yxy x⎰∞++=2222()dy yxx x⎰∞++-2222()dy y x y y x⎰+∞+=22222()dy yx y y x x ⎰∞++-222222. ()=+⎰+∞dy yx yy x222222222111.22|x x y dy x y x y +∞+∞-+++⎰dy y x x x ⎰+∞++=221211.41 ()dy yx yy x x⎰∞++222222⎰∞+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=x y x d y x 22212（分部积分） ⎰∞+∞+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-=x x dy y x y x y x y x 22222221211.2|⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=⎰⎰∞+∞+x x dy y x dy y x 22211211.41。

资料：第十章重积分答案

第十章重积分答案第一节二重积分的概念与性质1．根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值。

)1(; ,222222a y x D d y x a D≤+--⎰⎰为其中σ解：由二重积分的几何意义知，;323222a d y x a Dπσ=--⎰⎰)2(.0 , ,)(222D22>>≤++-⎰⎰a b a y x D d y x b 为其中σ 解：由二重积分的几何意义知，).32()(2D22a b a d y x b -=+-⎰⎰πσ 2．根据二重积分的性质，比较下列积分的大小。

)1(;1)2()2( ,)( )(2232≤-+-++⎰⎰⎰⎰y x D d y x d y x DD为其中与σσ 解：由 1)2()2(22≤-+-y x 知 ,1|2|,1|2|≤-≤-y x 即 ,31,31≤≤≤≤y x 于是 ,12>≥+y x 所以 32)()(y x y x +<+ 于是.)( )(32σσd y x d y x DD⎰⎰⎰⎰+<+ ;10 ,53:,)][ln( )ln()2(2≤≤≤≤++⎰⎰⎰⎰y x D d y x d y x DD是矩形区域其中与σσ解：在D 内 x +y >e , 故 ln(x+y )>1, 于是.)][ln( )ln(2⎰⎰⎰⎰+<+DDd y x d y x σσ .1 ,21,0 ,0 , )ln()3(所围成是由直线其中与=+=+==+⎰⎰⎰⎰y x y x y x D xyd d y x DDσσ解：在D 中，,0,0≥≥y x 且,121≤+≤y x 而不在直线x +y =1上的D 内任何点(x , y ), 都有 ,121<+≤y x 故 ,)ln(xy y x <+ 于是. )ln(⎰⎰⎰⎰<+DDxyd d y x σσ3．利用二重积分的性质估计下列积分的值。

)1(};4|),{( ,)94(2222≤+=++⎰⎰y x y x D d y x D其中σ 解：上，：在区域422≤+y x D ,259449)(49492222=+⋅≤++≤++≤y x y x ,422ππσ=⋅=的面积为而区域D从而 ,425)94(4922πσπ⋅≤++≤⋅⎰⎰D d y x 即 .100)94(3622πσπ≤++≤⎰⎰Dd y x)2(}.20 ,10|),{( ,)(22≤≤≤≤=--+⎰⎰y x y x D d y x xy x D其中σ 解：,),(22y x xy x y x f --+=设则 f (x ,y )在D 上的最大值,31)31,32(==f M 最小值,4)2,0(-==f m 区域D 的面积,2=σ 从而 .32)(822≤--+≤-⎰⎰Dd y x xy x σ 4．设 f (x ,y ) 为一连续函数，试证：).0,0(),(1lim2222f dxdy y x f y x =⎰⎰≤+→ρρπρ证：由于f (x ,y )连续，由二重积分中值定理知，存在点}|,{),(222ρηξ≤+∈y x y x ，使得),,(),(),(2222ηξπρσηξρf f dxdy y x f y x =⋅=⎰⎰≤+所以 ),(1lim),(1lim222222ηξπρπρπρρρρf dxdy y x f y x ⋅=→≤+→⎰⎰).0,0(),(lim 0f f ==→ηξρ第二节二重积分的计算1．计算下列二重积分(1) ;10 ,10 : ,122≤≤≤≤+⎰⎰y x D d y x D其中σ 解：⎰⎰+D d yx σ221⎰⎰+=1021021y dy dx x 01arctan 01313y x ⋅=12π=。

高数重积分测试题

高数重积分测试题 Prepared on 22 November 2020高数测试题七（重积分部分）答案一、选择题（每小题5分，共25分）1、交换积分00(,)(a ydy f x y dx a ⎰⎰为常数）的次序后得（ B ） A 00(,)y a dx f x y dy ⎰⎰ B 0(,)a ax dx f x y dy ⎰⎰ C 00(,)a x dx f x y dy ⎰⎰ C 00(,)a ydx f x y dy ⎰⎰ 2、设2222222()()x y z t F t f x y z dv ++≤=++⎰⎰⎰，其中 f 为连续函数，(0)f '存在，而(0)0,(0)1f f '==，则50()limt F t t →=（ B ） A π B 45π C 35π D 25π 3、球面22224x y z a ++=与柱面222x y ax +=所围成立体体积（含在柱内部分）为（ C ）A 2cos 2004a d πθθ⎰⎰B 2cos 2008a d πθθ⎰⎰C 2cos 2004a d πθθ⎰⎰D 2cos 202a d πθπθ-⎰⎰4、设D 是xy 平面上以点(1,1),(1,1),(1,1)---为顶点的三角形区域，1D 是D 在第一象限的部分，则(cos sin )Dxy x y d σ+⎰⎰=（ A ）A 12cos sin D x yd σ⎰⎰B 12D xyd σ⎰⎰C 1(cos sin )D xy x y d σ+⎰⎰ D 05、设2222222222sin()1arctan 0(,)02x y x y x y x y f x y x y π⎧++≠⎪⎪++=⎨⎪+=⎪⎩ ，区域22:(0)D x y εε+≤>，则01lim (,)D f x y d εσπε+→⎰⎰=（ A ） A 2π B π C 0 D ∞二、填空题（每小题5分，共25分）1、设(,,)I f x y z dxdydz Ω=⎰⎰⎰，积分区域:0z z y Ω≤≥≥所确定，则I 在柱面坐标系下的三次积分为1200(cos ,sin ,)d rdr f r r z dz πθθθ⎰⎰2、设D 是由3,(0)y x y x x ==>所围成的平面区域，则 sin D x d xσ⎰⎰= 32(cos1sin1)-+ 3、二次积分2220y x dx e dy -⎰⎰= 41(1)2e -- 4、设D 是由11,22x y -≤≤-≤≤围成的平面区域，则3(2)Dx y dxdy +⎰⎰= 05、设Ω是由球面2221x y z ++=所围成的闭区域，则222222ln(1)1z x y z dxdydz x y z Ω++++++⎰⎰⎰= 0 三、计算题1、（6分）计算 222:(0)Dxy dxdy D x y a a +≤>⎰⎰解：由对称性知3、（6分）计算D ，其中D 为 221x y +≤的第一象限部分解：原式=220(2)48d t r πππθπ==-⎰⎰⎰ 4、（8分）22224:9Dx y dxdy D x y +-+≤⎰⎰解：5、（6分）计算Ω，其中 Ω为2216,4,0x y y z z +=+==所围成的区域解：原式=244sin 0005123r d rdr rdz πθπθ-=⎰⎰⎰6、（8分）计算22222222:,2(0)z dv x y z a x y z az a ΩΩ++≤++≤>⎰⎰⎰解： 1222220222222202[][]59(2)()480z z a a a D D a a a z dv z d dz z d dz z az z dz z a z dz σσπππΩ=+=-+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰。

(完整版)重积分习题及答案

第九章重积分(A)1．填空题(1) 设()y x y x P 2,=，()23,y x y x Q =，定义于:D 10<<x ，10<<y ，则()σd y x P D⎰⎰, ()⎰⎰Dd y x Q σ,(2) 设曲顶柱体的顶面是()y x f z ,=，()D y x ∈,，侧面是母线平行于z 轴，准线为D的边界线的柱面，则此曲顶柱体的体积用重积分可表示为=V 。

(3) 在极坐标系中，面积元素为。

2．利用二重积分的性质，比较下列积分大小(1) ()⎰⎰+Dd y x σ2与()⎰⎰+Dd y x σ3，其中积分区域D 由x 轴，y 轴以及直线1=+y x 所围成。

(2) ()⎰⎰+D d y x σ2与()⎰⎰+Dd y x σ3，其中积分区域D 是由圆周()()21222=-+-y x 所围成。

3．利用二重积分性质，估计积分()⎰⎰++=Dd y x I σ92222的值，其中D 是圆形闭区域422≤+y x 。

4．交换积分()⎰⎰--a ax ax xa dy y x f dx 2222,的积分次序。

5．交换积分()⎰⎰-2120,ydx y x f dy 的积分次序。

6．交换二次积分()⎰⎰+-aa y y a y x f dy 022,的积分次序。

7．计算()⎰⎰+Dd y x σ23，其中D 是由两坐标轴及直线2=+y x 所围成的闭区域。

8．计算()⎰⎰+Dd y x x σcos ，其中D 是顶点分别为()0,0，()0,π和()ππ,的三角形区域。

9．计算()⎰⎰+Dyd x σsin 1，其中D 是顶点分别为()0,0，()0,1，()2,1和()1,0的梯形闭区域。

10．计算二重积分⎰⎰Ddxdy ，其中区域D 由曲线21x y -=与12-=x y 围成。

11．计算二重积分⎰⎰Dd xy σ2，其中D 是由圆周422=+y x 及y 轴所围成的右半闭区域。

高等数学重积分习题课PPT课件

质心定义
质心是物体质量的中心点，对于连续分布的物体，质心可以通过重积分计算得到。
形心定义
形心是物体几何形状的中心点，对于平面图形或立体图形，形心可以通过重积分计算得到。
质心与形心的关系
在某些情况下，质心和形心可能重合，但在一般情况下，它们是不同的点。质心和形心的求解方法类似，都需要用到重积分。
保号性
若在区域$D$上，有$f(x,y) leq g(x,y)$，则 $iint_{D} f(x,y) dsigma leq iint_{D} g(x,y) dsigma$。
积分区域的可加性
若区域$D$被划分为两个子区域$D_1$和$D_2$，且它们没有公共部分，则$iint_{D} f(x,y) dsigma = iint_{D_1} f(x,y) dsigma + iint_{D_2} f(x,y) dsigma$。
球面坐标系下三重积分计算
球面坐标变换
将直角坐标系下的三重积分通过球面坐标变换转化为球面坐标系下的三重积分。
投影法与截面法在球面坐标系中的应用
类似于直角坐标系和柱面坐标系下的方法，通过投影或截面将三重积分转化为二重积分或一重积分进行计算。
利用球面坐标系的性质简化计算
根据球面坐标系的性质，选择合适的积分顺序和积分限，简化三重积分的计算过程。
学习方法与建议
01
重视基础知识的学习
在学习重积分的过程中，需要重视基础知识的学习，如多元函数的微分学、向量分析等，这些知识是理解和应用重积分的基础。
02
多做习题巩固知识
通过大量的习题练习，可以加深对重积分知识的理解和掌握，提高解题能力和思维水平。
03
寻求帮助和辅导

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上的连续函数，则二重积分⎰⎰D
dxdy y x f (22为（）
A⎰⎰1
, (222D dxdy y x f ⎰⎰1
, (422D dxdy y x f
C ⎰⎰1
, (822D dxdy y x f D
⎰⎰1
, (212
2D dxdy y x f
7、.设f(x,y为连续函数，则⎰⎰a x
dy y x f dx 0
z y x t (1lim 2
2222224
0⎰⎰⎰≤++→++π
解：dxdydz z y x f t
t z y x t ⎰⎰⎰≤++→++2
22222240(1
lim π
= 0(' (4lim
sin (1lim 4
20
220
40f t dr
r f r dr r r f d d t
t
t t
t ==⎰⎰⎰
θθ-=+⎰+r r d
§ 3三重积分
1、设Ω是由x=0，y=0，z=0及x+2y+z=1所围成的空间有界域，则⎰⎰⎰Ω
xdxdydz为
(
A ⎰⎰
⎰--1
210
1
y x y xdz d dx B ⎰
⎰
⎰---210
210
1
y y
x xdy dz dx
C ⎰
⎰
⎰---210
210
1
x y
x xdz dy dx D ⎰⎰⎰10
:222]([y x D dxdy xy f V
6、根据二重积分的性质估计下列积分的值
⎰⎰D
ydxdy x 22sin sin ππ≤≤≤≤y x D 0, 0:
(≤
0⎰⎰D
ydxdy x 22sin sin 2π≤ 7、设f(x,y为有界闭区域D：222a y x ≤+上的连续函数，求⎰⎰→D
a dxdy y x f a , (1
A：e e e 212124-- B：21
242
1
21e e e e -+-
C：e e 2
1
214+2421e e -
4、设f(x,y是连续函数，则二次积分dy y x f dx x x ⎰
⎰++-2
1
1
, (为（）
A dx y x f dy dx y x f dy y y ⎰⎰⎰⎰----+1
1
2
12
2
1x
x
dx y dx x
11、设D={(x,y|0≤x ≤1,0≤y ≤1} ,求⎰⎰+D
y x dxdy e的值
解：⎰⎰+D
y
x dxdy e
=⎰⎰⎰⎰-==+1
21
10
1
1( ((e dy e dx e dy e
dx y x
l y
x
12设I=⎰⎰--D
dxdy y x R 222,其中D是由x 2+y2=Rx所围城的区域，求I (331
1ln(2
22222 (0 6、计算⎰⎰⎰+Q
dxdydz y x (22其中Ω为：平面z=2与曲面2222z y x =+所围成的
区域(
π5
64
7、计算⎰⎰⎰Q
zdxdydz x 2其中Ω是由平面z=0,z=y,y=1以及y=x2所围成的闭区域
(2/27
8、设函数f(u有连续导数，且f(0=0,求dxdydz z y x f t t
D
dxdy y x I dxdy y x I 221][ln(, ln(，比较1I ,与2I的大小关系
解：在D上，ln(y x +≤ 2][ln(y x +,故1I ≤2I
5、设f(t连续，则由平面z=0，柱面, 122=+y x和曲面2]([xy f z =所围的
立体的体积，可用二重积分表示为⎰⎰≤+=1
C ⎰⎰20
22
20
2ρπρθρθρρθdz z , sin , cos f(d d D ⎰⎰⎰202
20dz z , sin , cos f(d d ρθρθρρθπ
3、设Ω是由1222≤++z y x所确定的有界闭域，求三重积分⎰⎰⎰Ω
dv e z ||
解：⎰⎰⎰Ω
dv e z ||=⎰⎰⎰
--≤+1
2ln 3ln 89-+
C：2
12ln 3ln 89-- D：41
2ln 3ln 89--
2、设D是由不等式1≤+y x所确定的有界区域，则二重积分⎰⎰+D
dxdy y x (为
（）
A：0 B：31 C：3
2
D：1
3、设D是由曲线xy=1与直线x=1,x=2及y=2所围成的区域，则二重积分⎰⎰D
xy dxdy ye为（）
A 31μ32μ C μ D 3
4
μ
2、求均匀上半球体(半径为R的质心
解：显然质心在z轴上，故x=y=0,z=⎰⎰⎰Ω=8
31R
zdv V故质心为(0,0,R 38
4、曲面2213y x z --=将球面25222=++z y x分割成三部分，由上至下依次记这三部分曲面的面积为s 1, s2, s3,求s 1:s2:s3
111102 , ( , ( B dx y x f dy y ⎰⎰--1
11
0 , (
C dx y x f dy dx y x f dy y y ⎰⎰⎰⎰-----+1
1
2
11
11
02 , ( , ( D dx y x f dy y ⎰⎰---1
1
2
02 , (
5、设有界闭域D 1、D 2关于oy轴对称，f是域D=D1+D2上的连续函数，则二重
1
10
xdz dy dx
2、设Ω是由曲面x 2
+y2
=2z
,及z=2所围成的空间有界域，在柱面坐标系下将三重积分⎰⎰⎰Ω
dxdydz z y x f , , (表示为累次积分，I=（）
A ⎰⎰⎰1
20
20
2
ρπθρθρρθzdz , sin , cos f(d d B ⎰⎰⎰2
20
20
2
ρπρθρθρρθdz z , sin , cos f(d d
, (dx y x f dy ⎰
⎰-y
dx y x f dy 10
1
, (.
2、设D为222a y x ≤+,当=a (时, π=--⎰⎰D
dxdy y x a 222. A 1 B 23 C 43 D 2
1 3、设⎰⎰+=D
dxdy y x I (22,其中D由222a y x =+所围成,则I =( B .
7 D (0,38
(3、由抛物面x y z 422=+和平面x=2所围成的质量分布均匀的物体的重心坐标是（）
A (0, 0, 34 B (0, 0, 3
5 C (0, 0, 45 D (0, 0, 47
(4、质量分布均匀(密度为μ的立方体所占有空间区
域:}10, 10, 10| , , {(≤≤≤≤≤≤=Ωz y x z y x ,该立方体到oz轴的转动惯量I Z =(
解：π102559222=--=⎰⎰≤+y x y x 1S π20255
16
2
22=--=⎰⎰≤+y x y x 3S
π70=2S
5、求曲面xy Rz =包含在圆柱222R y x =+内部的那部分面积解：3
122(22
2222
2R R y x R R y x π-=++=
⎰⎰
≤+S
6、求圆柱体Rx y x 222≤+包含在抛物面Rz y x 222=+和xoy平面之间那部分立
⎰⎰
--2
2
2
=12π，求a的值。
解：
dxdy y x a D
⎰⎰
--2
2
2
=3
. 34. 21a π 81
=a
3、设D由圆, 2 1( 2(22围成=-+-y x求⎰⎰D
dxdy 3
解：由于D的面积为π2,故⎰⎰D
dxdy 3=π6
4、设D：}10, 53| , {(≤≤≤≤y x y x，
⎰⎰⎰⎰+=+=D
Ada 2rdra 4 0 0 2a Bdr 2rdr0 0 2a 1 4a ; 2 2a 2a 2 Cdr 2 dra 3 Dda 2adr2a 4 . 0 0 0 0 3 4、设是由三个坐标面与平面x2 yz =1所围成的空间区域,则xdxdydz=(.1 1 1 C D. 24 48 24 z 2 x2 y2是锥面222 (a0, b0, c0与平面x0, y0, zc所围成的5、设c a b xy空间区域在第一卦限的部分,则. dxdydz=( z1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 ab b bc a c ab . A ab c B C D 36 36 36 36 6、计算Izdv ,为z 2x 2y 2 , z1围成的立体,则正确的为(和（）A 1 48 BA C Idrdrzdz Iddzrdr 0 0 r 21 1 B D 0 20 1 0 1 Idrdrzdz 0 21 1 Idzdzrdr . 0 0 0 1 0 2r z 7、曲面zx 2y 2包含在圆柱x 2y 22 x内部的那部分面积s( A 3B 2C 5D 2 2. 8、由直线xy2, x2, y2所围成的质量分布均匀(设面密度为的平面薄板,关于x轴的转动惯量I x =( . A 3B 5C 4D 6二、计算下列二重积分:（20分）1、( x 2y 2 d,其中D是闭区域: 0ysin x,0x. D (240 9 2、arctan d,其中D是由直线y0及圆周x 2y 24, x 2y 21 , yx所围D y x成的在第一象限内的闭区域. ( 3 264 3、( y 23x6 y9d,其中D是闭区域: x 2y 2R 2 D (4 R 49R 2 4、x 2y 22 d,其中D : x 2y 23 . D ( 5. 2三、作出积分区域图形并交换下列二次积分的次序:（15分）