青岛理工大学概率统计期末试卷—B(附答案)

学号：姓名：班级：..........................................................密.......................................................封...........................................................线..........................................................专业本科各专业年级2007级班2008~2009学年第 1 学期概率论与数理统计课程期末试卷试卷类型：B 卷青岛理工大学试卷纸共 4 页第 1 页试题要求：1、试题后标注本题得分；2、试卷应附有评卷用标准答案，并有每题每步得分标准；3、试卷必须装订，拆散无效；4、试卷必须..........................................................密.......................................................封..........................................................线....................................................................................................................密.......................................................封..........................................................线....................................................................................................................密.......................................................封..........................................................线..........................................................2008年下学期概率统计试卷(B)参考答案1. 设A, B, C 是三个随机事件. 事件：A 发生, B , C 中至少有一个不发生表示为(空1) .2. 从1,2,3,4中任取一个数, 记为X , 再从1,2,…,X 中任取一个数, 记为Y . 则P {Y =2}=(空2) . 解 P {Y =2}=P {X =1}P {Y =2|X =1}+P {X =2}P {Y =2|X =2}+P {X =3}P {Y =2|X =3}+P {X =4}P {Y =2|X =4} =41×(0+21+31+41)=4813. 3. 已知随机变量X 只能取-1,0,1,2四个值, 且取这四个值的相应概率依次为cc c c 167,85,43,21. 则常数c = (空3) . 概率}0|1{≠<X X P =(空4) .解 由离散型随机变量的分布律的性质知，13571,24816c c c c+++=所以3516c =. 所求概率为P {X <1| X 0≠}=258167852121}0{}1{=++=≠-=cc c c X P X P . 4. 设随机变量X , Y 的数学期望分别是2和-4, 方差分别是1和4, 而相关系数为0.5. 则根据切比雪夫不等式估计{|2|P X Y +≥12}=(空5) .解 {2}2()()22(4)E X Y E X E Y +=+=⨯+-=,{2}4()()22Cov(,)D X Y D X D Y X Y +=+-⨯840.5124=-⨯⨯⨯=. 所以, {|2|P X Y +≥12}≤2411236=. 5. 若1X ,2X ,3X 为来自总体2(,)X N μσ 的样本, 且Y 1231134X X kX =++为μ的无偏估计量, 则常数k =(空6) . 解 要求1231111()3434E X X kX k μμμμ++=++=, 解之, k =512.1.设A, B 为任二事件, 则下列关系正确的是( ).(A) ()()()P A P AB P AB =+. (B)()()()P A B P A P B =+ . (C) ()()()P A B P A P B -=-. (D) ()()()P AB P A P B =.解 由文氏图易知本题应选(D).2. 设事件A 与B 独立, 则下面的结论中错误的是( ).(A) A 与B 独立. (B) A 与B 独立. (C) ()()()P P P B =. (D) A 与B 一定互斥.解 因事件A 与B 独立, 故A B 与,A 与B 及A 与B 也相互独立. 因此本题应选(D).3. 设随机变量X 的概率密度为()f x , 且()()f x f x =-, 又F (x )为随机变量X 的分布函数, 则对任意实数a , 有( ).(A) 0()1d ()∫aF a x f x -=-. (B) 01()d 2()∫aF a x f x -=-. (C) ()()F a F a -=. (D) ()2()1F a F a -=-.解 由分布函数的几何意义及概率密度的性质知答案为(B).4. 设随机变量X 服从标准正态分布N (0,1), 对给定的正数)10(<<αα, 数αu 满足{}P X u αα>=. 若{}P X x α<=, 则x 等于( ).(A) /2u α . (B) 1/2u α- . (C) (1)/2u α-. (D) α-1u . 解 答案是(C).5. 设连续型随机变量X 的概率密度为f (x ), 则31Y X =+的概率密度为g (y )为( ).(A)111()333f y -. (B) 3(31)f y +. (C) 3()1f y +. (D) 1133()f y -.解 由随机变量函数的分布可得, 本题应选(A). 6. 在下列结论中, 错误的是( ).(A) 若随机变量X 服从参数为n ,p 的二项分布，则().E X np =(C) 若X 服从泊松分布, 则()()D X E X =. (D) 若2~(,),X N μσ 则~(0,1)X N μσ-.解 )1,1(~-U X , 则3112212)()(22==-=a b X D . 选(B). 7. 在下列结论中, ( )不是随机变量X 与Y 不相关的充分必要条件(A) E (XY )=E (X )E (Y ). (B) D (X +Y )=D (X )+D (Y ). (C) Cov(X ,Y )=0. (D) X 与 Y 相互独立.解 X 与 Y 相互独立是随机变量X 与Y 不相关的充分条件,而非必要条件. 选(D). 8. 已知X 1,X 2,…,X n 是来自总体2(,)X N μσ 的样本, 则下列结论中正确的是( ).(A) ().E X n μ= (B) 2().D X σ=(C) 22().E S σ= (D) 以上全不对.解 选(C).9. 设随机变量X 与Y 都服从标准正态分布, 则下列结论中正确的是( ).(A) X +Y 服从标准正态分布. (B) X 2+Y 2服从2χ分布.(C) X 2和Y 2都服从2χ分布. (D)22X Y服从F 分布.解 因为随机变量X 与Y 都服从标准正态分布, 但X 与Y 不一定相互独立,所以(A),(B),(D)都不对, 故选(C).10. 设总体X 的均值μ与方差σ2都存在但未知, 而12,,,n X X X 为来自X 的样本, 则均值μ与方差σ2的矩估计量分别是( ) .(A) X 和S 2. (B) X 和211()nii X nμ=-∑. (C) μ和σ2. (D) X 和211()nii X X n=-∑.解 选(D).三、(10分)在三个箱子中, 第一箱装有4个黑球, 1个白球; 第二箱装有3个黑球, 3个白球; 第三箱装有3个黑球, 5个白球. 现任取一箱, 再从该箱中任取一球.(1) 求取出的球是白球的概率；(2) 若取出的为白球, 求该球取自第二箱的概率. 解 以A 表示“取得的球是白球”，i H 表示“取得的球来自第i 个箱子”,i =1,2,3. 则P (i H )=13, i =1,2,3, 123115(|),(|),(|)528P A H P A H P A H ===. ...................... 4分 (1) 由全概率公式知P (A )=112233()(|)()(|)()(|)P H P A H P H P A H P H P A H ++=12053. ............ 4分(2) 由贝叶斯公式知 P (2|H A )=222()()(|)20()()53P AH P H P A H P A P A ==. .................. 2分 四、(10分) 设二维随机变量(X , Y )的概率密度为(,)1,01,02,0,.f x y x y x =<<<<⎧⎨⎩其它 求：(1) (X , Y )的边缘概率密度(),()X Y f x f y ；(2)11{}22P Y X ≤≤；(3) X 与Y 是否独立？并说明理由. 解 (1) 当01x <<时,20()(,)d d 2xX f x f x y y y x +∞-∞===⎰⎰;当x ≤0时或x ≥1时, ()0X f x =.故 2,01,()0,其它.X x x f x <<=⎧⎨⎩ ............................. 2分当0<y <2时,12()(,)d d 12y Y y f y f x y x x +∞-∞===-⎰⎰; 当y ≤0时或y ≥2时, ()0Y f y =.故 1,02,()20,.Y yy f y -<<=⎧⎪⎨⎪⎩其它 ............................... 2分(2) {}{}11311322161122442≤，≤≤≤≤P X Y P Y X P X ===⎧⎫⎨⎬⎩⎭. ............................. 4分 (3) 因为(,)()()X Y f x y f x f y ≠,所以X 与Y 是否独立. …………………………………2分 五、(10分)设随机变量(X , Y )的分布律为若E (XY )=0.8, 求常数a ,b 和协方差Cov(X ,Y ). 解 首先，由∑∑∞=∞==111i j ijp得4.0=+b a . 其次，由0.8()100.420110.2210.22E XY a b b ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+，得3.0=b . 进而1.0=a . ...................................................... 2分由此可得边缘分布律于是 4.14.026.01)(=⨯+⨯=X E , 5.05.015.00)(=⨯+⨯=Y E .故 Cov(,)()()()0.8 1.40.50.1X Y E XY E X E Y =-=-⨯=. ...................... 4分六、(10分)设某种商品每周的需求量X 是服从区间[10,30]上均匀分布的随机变量,而经销商店进货量为区间[10,30]中的某一整数. 该经销商店每销售一单位该种商品可获利500元; 若供大于求则削价处理, 每处理一单位该种商品亏损100元; 若供不应求, 则可从外部调剂供应, 此时每一单位商品仅获利300元. 为实现该商店所获利润期望值不小于9280元的目标, 试确定该经销商店对该种商品的进货量范围.解 设进货量为a 单位, 则经销商店所获利润为500300()300200,30,500100()600100,10.a a X a X a a X M X a X X a X a +-=+<=--=-⎧⎨⎩≤≤≤ ............ 4分 需求量X 的概率密度为()1,1030,200,.f x x =⎧<<⎪⎨⎪⎩其它 ........................... 2分 由此可得利润的期望值为30301010111()(600100)(300200)202020a a a aE M M dx x a dx x a dx =-++=⎰⎰⎰ .............. 2分 21535052502a a =-++依题意, 有21535052502a a -++≥9280,即21535040302a a -+≤0, 解得623≤a ≤26. 故期望利润不少于9280元的进货量范围为21单位~26单位. ................................................................ 2分七、(10分) 设总体X 服从参数为λ的指数分布, 即X 的概率密度为e ,0,(,)0,0,x x f x x λλλ->=⎧⎨⎩≤ 其中0λ>为未知参数, X 1, X 2, …, X n 为来自总体X 的样本, 试求：(1) 未知参数λ的矩估计量; (2) 极大似然估计量.解 因为E (X )=1λ =X , 所以λ的矩估计量为1ˆXλ=. ................................ 4分 设x 1, x 2,…, x n 是相应于样本X 1, X 2,… ,X n 的一组观测值, 则似然函数11nii inxx nni L eeλλλλ=--=∑==∏, ...................... 2分取对数1ln ln ()ni i L n x λλ==-∑.令1d ln 0,d ni i L n x λλ==-=∑ 得λ的极大似然估计值为1ˆx λ=,λ的极大似然估计量为1ˆX λ=. 4分八、(12分)已知一批零件的长度X (单位:cm)服从正态分布(,1)N μ, 从中随机地抽取16个零件, 得到长度的平均值为40cm.(1) 取显著性水平α=0.05时, 是否可以认为μ=41？ (2) 求μ的置信水平为0.95的置信区间;(3) 问题(1)和(2)的条件与结论之间有什么关系? 解 (1) 提出假设 H 0: μ=μ0=41; H 1:μ≠μ0 . ................................... 2分 对于α=1-0.95= 0.05, 选取检验统计量X z =拒绝域为|z |>z 0.025=1.96 ............... 2分代入数据n =16, x =40, σ=1, 得到||x z ===4>1.96. 所以拒绝原假设, 不能认为μ=41 2分(2) 已知x =40, σ =1,α = 0.05, 查表可得0.025 1.96,z z α==所求置信区间为22()(40 1.96,40 1.96),x z x αα+=(39.51,40.49).= ..... 4分(3) 假设检验中的显著性水平α=0.05与置信区间估计的置信水平0.95满足关系0.95=1-α； .. 1分μ的双侧假设检验的接受域与μ的置信水平为0.95的置信区间相同...................... 1分 注意：题目参考数据: t 0.025(24)=2.0639, t 0.025(23)=2.0687, t 0.05(24)=1.7109, t 0.05(23)=1.7139z 0.025=1.96, z 0.05=1.65。