激光器输出功率与能量
激光器的基本参数和基础知识
激光器的基本参数和基础知识激光器（Laser）是一种将谐振腔中储存的能量转变为一束具有高度相干性质的光的装置。
激光器的基本参数包括：1.波长；2.功率；3.束径；4.激光的相干性。
首先，激光器通常根据其波长进行分类。
波长是指光波在真空中一次振动所经过的距离，通常用纳米（nm）表示。
常见的激光器波长有红光（630-680nm）、绿光（532nm）和蓝光（405-473nm）等。
不同的波长适用于不同的应用领域，例如红光适用于医疗领域的血管照明和演出行业的舞台灯光，而蓝光适用于高密度光存储和显示器的背光源。
其次，激光器的功率是指光的输出强度，通常用瓦（W）表示。
激光器的功率有不同的等级，从毫瓦级到千瓦级不等。
功率越高，激光器的输出能量和功率密度也就越大，能够应用于更广泛的应用领域，如材料加工、雷达和航天等。
再次，激光器的束径是指光束的直径，通常以毫米（mm）为单位。
激光器的束径可以通过采用合适的光学系统调节，使其在不同的距离上具有不同的尺寸。
束径的大小直接影响到光束的聚焦性能和峰度，从而影响到使用激光器进行加工和操控的精度和效果。
最后，激光的相干性是指光的相位和波动性之间的关联程度。
激光器具有高度的相干性，光波的相位差非常小，波动性较小。
这使得激光器在干涉、全息、光纤通信等领域具有重要应用。
相干性的高低需要通过测量激光器的相位噪声和相干度等物理量来判断。
除了以上的基本参数，激光器还有一些基础知识。
例如激光产生的条件包括有源介质、泵浦源和正反馈条件。
有源介质是指激光器中的工作物质，它具有能够增益光子能量的特性，如固体激光器中的晶体、气体激光器中的气体等。
泵浦源是指提供能够将有源介质的粒子激发至高能级的能量的装置，如光泵浦、电泵浦和化学泵浦等。
正反馈条件是指激光器中光波在谐振腔内经过多次反射放大，并最终产生激光的条件。
此外，激光器还面临一些问题，如聚焦能力、波长稳定性和频率稳定性等。
聚焦能力是指激光器能够将光束聚焦到多细小的尺寸的能力，这可能受到衍射效应和非线性光学效应的影响。
《激光原理》3.5激光器的输出功率(新)
s
[(
2LGG0 (ν) a1 t1
)2
1]
➢若腔内单纵模的频率为 ν0，激光器腔内平均光强为：
I
(ν0
)
1 2
I
s
[(
2LGG0 (ν0 a1 t1
)
)2
1]
激光器输出光强为：
Iout
(ν0 )
t1I
(ν0 )
1 2
t1I
s[(
2LGG0 (ν0 a1 t1
)
)2
1]
Iout (ν0 )
t1I (ν0)
五、多频激光器的输出功率
➢若腔内允许多个谐振频率，且相邻两个纵模的频率间隔大
于烧孔的宽度以及各频率的烧孔都是彼此独立的，则平均光
强为：
I
(ν)
Is 1 2
[( Is
2LGD0 (ν))2 1] a1 t1
[(2LGD0 (ν0))2 a1 t1
1]
ν ν0 ν ν0
输出功率为：
P(ν)
G阈
2.当 q ， 光0 束
与
I
将
I
在增益曲线中心处产生一个烧孔，
此时： I I I 2I
GD (ν0 )
GD0 (ν0 ) 1 (I I)
Is
G阈
GD (ν0 )
GD0 (ν0 ) 1 (I I)
Is
G阈
若用平均光强2I来替 I (z,ν0 ) I (2L z,ν0)
使输出功率降低。严重时使腔内不能形成激光。
➢t1过小，虽然使G阈降低光强增强，但镜面损耗a1I-(2L)也 将增大。
1
2LG0
P AIout 2 t1Is A( a1 t1 1)
激光器的基本参数和基础知识
激光器的基本参数和基础知识激光器是一种重要的光源，在生产、科研、医疗等领域中得到广泛应用。
不同领域所使用的激光器参数不同，因此了解激光器的参数是选择合适激光产品的关键。
本文将介绍常规激光器的参数定义，并简要说明，以帮助读者选择适合的激光产品。
一、输出功率（激光功率）激光器发出的光是光能形成的，与电能类似，光能也是一种能源。
激光器的输出功率是单位时间内输出激光能量的物理量，通常用毫瓦（mW）、瓦（W）或千瓦（kW）表示。
二、功率稳定性功率稳定性是指激光输出功率在一定时间内的不稳定度，通常分为RMS稳定性和峰峰值稳定性。
RMS稳定性是指测试时间内所有采样功率值的均方根与功率平均值的比值，用来描述输出功率偏离功率平均值的分散程度。
峰峰值稳定性是指输出功率的最大值和最小值之差与功率平均值的百分比，表示一定时间内输出功率的变化范围。
三、光束质量因子（M²因子）；光束参数积（BPP）光束质量因子是激光束腰半径和光束远场发散角的乘积与理想基模光束束腰半径和基模发散角乘积的比值，即M²=θw/θ理想w理想光束质量影响激光的聚焦效果和远场光斑分布情况，是用来表征激光光束质量的参数。
实际激光光束质量因子越接近1，说明光束质量越接近理想光束，光束质量越好。
光束整形器一般要求高质量的激光，M²需要小于1.5.光束参数积是激光束的远场发散角与光束最窄点半径的乘积，即BPP=θw。
它可以量化激光束的质量以及将激光束聚焦到小点的程度。
光束参数积即BPP值越低，光束的质量越好。
M²值是BPP值的归一化值，针对具有特定波长的衍射极限光束进行归一化，即M²=BPP/BPP，其中BPP是特定波长的衍射极限光束的值，且BPP=λ/π。
四、光斑（横模）横模是指垂直于激光传播方向上某一横截面上的稳定场的分布，激光器的光斑表征就是横模分布。
通过光斑分析仪或激光轮廓分析仪可以将横模分布模拟出来，得到激光器的一些光束特征。
4.4 激光器的输出功率与能量-20200506
第2四. 章非均激光匀器加的工宽作单特模性 激光器
I , q I , q
VZ ,1
-VZ
0 1 vz c ) 0 1 vz c )
I
I
q0时,I 和 I 分别在增益曲线上烧两个孔, 而不是共同作用
激光器稳态 工作时
非均匀加
gi ( q , Iq )
gi0 ( q )
烧孔重叠条件
q - 0
H 2
1 Iq Is
兰姆凹陷宽度() 烧孔宽度
兰姆凹陷宽度() ~ L
H
1 Iq Is
气压 碰撞加宽L 烧孔宽度 , 深度变浅直至 均匀展宽为主时，兰姆凹陷消失
P3>P2>P1
气压高到一定程度 时，均匀加宽为主
13
第四章 激光器的工作特性
14
第四章 激光器的工作特性
假设 T 1
稳态工作时增益系数也很小， 近似认为
I I
腔内平均光强
I I I 2I
T1=0
I
I+ I-
T2=T
P
I , I 同时参与饱和
4
第四章 激光器的工作特性
均匀加宽工作物质大信号增益系数
g
H
(
,
I
)
1
g
0 H
( )
I
gt
l
Is ( )
稳定工作情况下光强
I
I
s
(
)
g
0 H
(
)l
-
n2tV
h
0
EP1 h P
-
n2tV
A S
输出能量(E)
A 0 S P
T T
脉冲激光器峰值功率计算公式
脉冲激光器峰值功率计算公式脉冲激光器是一种将电能转化为激光能的装置。
在激光器的工作过程中，峰值功率是一个重要的参数，它决定了激光器的输出能量和脉冲宽度。
本文将介绍脉冲激光器峰值功率的计算公式以及其相关内容。
脉冲激光器峰值功率的计算公式如下：峰值功率 = 能量 / 脉冲宽度其中，能量是激光器输出的总能量，脉冲宽度是激光脉冲的时长。
通过这个公式，我们可以计算出脉冲激光器的峰值功率。
在实际应用中，计算峰值功率时需要考虑到一些因素。
首先是激光器的输出能量，它可以通过各种测量方法进行测量，比如使用光功率计。
其次是脉冲宽度，它可以通过测量激光脉冲的起始时间和终止时间来确定。
最后，还需要考虑到激光器的效率，因为激光器并不是百分之百的能量转化率，有一部分能量会被损耗掉。
因此，在计算峰值功率时，需要将输出能量乘以激光器的效率。
脉冲激光器的峰值功率对于很多应用来说都是非常重要的。
例如，在医学领域，脉冲激光器被广泛应用于激光手术和激光治疗等方面。
在材料加工领域，脉冲激光器可以用于激光切割、激光焊接等工艺。
在科研领域，脉冲激光器可以用于激光光谱分析、激光干涉等实验。
无论是哪个领域，对于脉冲激光器峰值功率的准确计算都是非常重要的。
在实际应用中，我们可以通过测量激光器的输出能量和脉冲宽度，然后带入峰值功率的计算公式进行计算。
通过这种方法，我们可以得到脉冲激光器的峰值功率。
同时，我们还可以通过调节激光器的参数，比如调节激光器的能量和脉冲宽度，来改变脉冲激光器的峰值功率。
脉冲激光器峰值功率的计算公式是能量除以脉冲宽度。
在实际应用中，我们需要考虑到激光器的效率以及测量误差等因素。
通过准确计算脉冲激光器的峰值功率，我们可以更好地了解激光器的输出能量和脉冲宽度，为相关应用提供准确的数据支持。
激光功率计算
激光功率的计算通常基于以下公式：
功率（P）= 光束能量（E）/ 时间（t）
其中，光束能量可以通过光束能量密度（D）和光束面积（A）计算得出：
光束能量（E）= 光束能量密度（D）×光束面积（A）
激光功率计算的关键是确定光束能量密度和光束面积。
以下是一种常见的方法来计算激光功率：
1. 确定光束能量密度（D）：测量光束的能量密度是计算激光功率的第一步。
您
可以使用适当的光束能量密度计或能量计来进行测量。
确保使用适用于您所使用的激光器波长和功率级别的仪器。
2. 确定光束面积（A）：测量光束的横截面面积是计算激光功率的另一个重要因素。
对于均匀光束，可以通过测量光束直径并使用以下公式计算光束面积：
光束面积（A）= π × （光束直径/2）²
如果光束不均匀或存在剖面变化，您可能需要采用更复杂的方法来测量光束面积，例如使用剖面扫描仪。
3. 确定时间（t）：确定您要计算功率的时间间隔。
将上述值代入功率公式即可计算激光功率。
请注意，这是一种基本的激光功率计算方法。
对于特定的激光系统或应用，可能存在其他因素和修正项。
确保根据您所使用的激光器的规格和相关标准进行适当的计算和测量。
脉冲激光器的重要参数
脉冲激光器的重要参数
脉冲激光器的重要指标：脉冲重复频率、峰值功率、脉冲宽度、脉冲能量、平均功率、峰值功率密度
1、激光重频：激光分两类：⼀类是连续激光，⼀类是脉冲激光。
激光重复频率是对脉冲激光⽽⾔的，指在单位时间内，有规律地输出激光的脉冲数⽬（等同于⼀秒内脉冲重复出现的次数，单位为赫兹（hz））。
重频低在⼀样的输出功率下对应的脉冲能量⾼，适合⾮线性等研究，⾼重频则在⾼速采样等领域有优势。
2、峰值功率（Peakpower）：代表着单个脉冲所能达到的最⾼功率。
单位为⽡特（W）。
3、脉冲宽度（Pulsewidth）：简称脉宽，是指单个脉冲的持续时间，因此，它是⼀个时间衡量单位，有毫秒（ms）、微秒（us）、纳秒（ns）、⽪秒（ps）、飞秒（fs）等各种量级。
量级越⼩，激光作⽤持续时间越短。
4、脉冲能量（Pulseenergy）：指的是单个脉冲携带的激光能量。
是峰值功率与脉冲宽度的乘积。
单位为焦⽿（J）。
例如当峰值功率为10千⽡，脉冲宽度为100纳秒时候，脉冲能量E=10kwX100ns=1mj。
5、平均功率（Averagepower）：是指⼀个重复周期内单位时间所输出的激光能量。
是脉冲能量与脉冲重复频率的乘积。
单位为⽡特（W）。
6、峰值功率密度（Peakpowerdensity）：是指单位⾯积内激光功率，由激光功率和激光起作⽤的⾯积共同决定的⼀项指标。
单位为⽡特/平⽅厘⽶（W/CM2）。
激光脉冲的平均功率和功率
一台脉冲激光器，脉冲发射能量是1焦耳/次，脉冲频率是50Hz，则每秒钟发射激光50次，每秒钟内做功的平均功率为：50X1焦耳=50焦耳，所以，平均功率就换算为50瓦。再举例说明峰值功率的计算，一台绿光脉冲激光器，脉冲能量是0.14mJ/次，每次脉宽20ns,脉冲频率100kHz，
能量密度=（单脉冲能量*所用频率 ）/ 光斑面积算
通常也用单位时间内的总能量除以光斑面积
峰值功率=脉冲能量除以脉宽
平均功率=脉冲能量*重复频率（每秒钟脉冲的个数）
脉冲激光器的能量换算
脉冲激光器的发射激光是不连续，一般以高重频脉冲间隔发射。发射能量以功的单位焦耳(J)计，即每次脉冲做功多少焦耳。
连续激光器发射的能量以功率单位瓦特(W)计量，即每秒钟做功多少焦耳，表示单位时间内做功多少。
从脉冲激光器的平均功率看，该镜片是能承受不被损伤的，但从脉冲激光器的峰值功率看，是大于该镜片的激光损伤阈值的。所以，综合判断，该ZnSe镜片不宜用于此脉冲激光器。如果有条件，对脉冲激光器镜片，应当分别测试平均功率和峰值功率的激光损伤阈值。
Ave.Power：平均功率Pulseenergy：脉冲能量PulseWidth：脉宽PeakPower:峰值功率Rep.Rate：脉冲频率ps：皮秒，10-12Sns：纳秒，10-9SM:兆，106J:焦耳W:瓦
平均功率为：0.14mJX100k=14J/s=14W，即平均功率为14瓦；峰值功率是每次脉冲能量与脉宽之比，即
峰值功率：0.14mJ/20ns=7000W=7kW,峰值功率为7千瓦。
要想知道镜片的脉冲激光损伤阈值是否在承受极限内，既要计算脉冲激光的峰值功率，也要计算脉冲激光的平均功率，综合考虑。
如某ZnSe镜片的激光损伤阈值时是500MW/cm2,使用在一台脉冲激光器中，脉冲激光器的脉冲能量是10J/cm2，脉宽10ns，频率50kHz。首先，计算平均功率：10J/cm2X50kHz=0.5MW/cm2其次，再计算峰值功率：10J/cm2/10ns=1000MW/cm2
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3）最佳透射率及功率 输出功率和反射镜的透射率T有关 有关。 输出功率和反射镜的透射率 有关。当T增大 增大 一方面提高了透射光的比例， 时，一方面提高了透射光的比例，有利于提高 输出功率，同时又使阈值增加， 输出功率，同时又使阈值增加，从而导致腔内 光强的下降。 光强的下降。 在透射率T<<1时，令dP/dT=0，求出最佳透过 最佳透过 率Tm 0 Tm = 2 g H (ν q )la − a 最佳输出功率
在密集阵基础上发展的”百人队长“激光器，但美国海军激光武器计划繁多， 尚未清楚此次海上击毁快艇试验的激光器源于哪个项目。
每秒射穿6米钢材料 每秒射穿 米钢材料 除了MLD等固体电子激光器，美国军方同时研发以自由电子激光器(FEL) 技术作为激光武器。FEL不需任何激光介质，就能产生千瓦级能量。美军2月 曾测试FEL激光炮，成功利用50万伏特电压制造电子束，每秒能射穿20呎(约6 米)的钢材料。 分析认为，FEL比MLD更灵活，但海军预计最快要到本世纪20年代才能正 式推出以兆瓦(MW)为单位的FEL武器。此外，海军也正在研发电磁道道炮， 但要到2025年才能推出。
g H (ν q )l 1 P = ATI + = ATI s (ν q ) − 1 2 δ
1）在T<<1时，2δ =T+a ，a为往返指数净损 耗因子，通常a<<1。上式改写为
2 g (ν q )l 1 P = ATI s (ν q ) − 1 2 a +T
输出最佳透过率
光泵情况： P =η (P − P ) =η P ( Pp −1) s p pt s pt Ppt 非均匀加宽单模激光器输出功率： 非均匀加宽单模激光器输出功率：兰姆凹陷 短脉冲激光器的输出能量：E = ηs ( E p − E pt )
弛豫振荡(relaxation oscillation) 四 弛豫振荡
（二）连续或长脉冲激光器的输出功率
1、均匀加宽单模激光器
??腔内平均光强Iνq
在驻波型激光器中， 在驻波型激光器中，腔内存在着沿腔轴方向传播的光 和反方向传播的光I I+和反方向传播的光 -，二者同时参与饱和作用 如果T<<1，稳态工作时增益系数也很小，近似认为 I+=I-，腔内平均光强Iνq=2 I+。 0
P = η s ( Pp − Ppt ) = η s Ppt (
Pp Ppt
− 1)
ηs称为斜率效率
结论：一旦激光器确定了，斜率效率就确定了； 结论：一旦激光器确定了，斜率效率就确定了； 输出功率随泵浦功率线性增加。 输出功率随泵浦功率线性增加。 问题：输出功率与泵浦功率、损耗、工作物质长度有什么样的关系？
内容提要
• • • • • 连续或长脉冲激光器的输出功率 短脉冲激光器的输出功率 驰豫振荡效应 LD的基本知识 不同的泵浦方式
（一）激光器稳态工作的建立
当g0(ν)>gt时，dNl/dt>0，腔内光强不断增加。无限增加?
如果腔内某一振荡模式的频率为νq，开始时，由于
g (ν q , Iν q ) > g t
1 0 Pm = AI s (ν q )( 2 g H (ν q )l − a ) 2 2
（三）短脉冲激光器的输出能量
E pη1 A A ν0 E内 = hν 0 ( − n2tV ) = η1 ( E p − E pt ) S hν p S νp
E Pt = hν P n2tV
η1
腔内光能部分变为无用损耗，部分经输出反射镜输出 到腔外。设谐振腔由一面全反射镜和一面透射率为T 的输出反射镜组成，则输出能量为
Ep A ν0 T E= − 1) η1 E pt ( S ν p 2δ E pt
E = η s ( E p − E pt )
Ep及Ept分别为工作物质吸收的泵浦能量及阈值 泵浦能量，ηs称为斜率效率
小结：
均匀加宽单模激光器输出功率： 均匀加宽单模激光器输出功率： T<<1
0 2gH (νq )l 1 P = ATIs (νq ) −1 2 a +T
据香港《文汇报》11日报道，美国海军月初在海上试射激光炮，成功击毁一艘目标 小船，专家称这是美国海军发展新一代海上激光武器的重要里程碑。预计激光炮最 快2014年6月完成研发。 激光炮名为“海洋激光示范者”(MLD)，由美国国防工业公司诺斯洛普。格鲁 曼与海军共同研发。激光炮使用固体激光器技术，通过类似水晶的固体作为激光介 质，将15千瓦(kW)的能量聚集，用于攻击目标。 美国海军本月6日在圣尼古拉斯岛附近的太平洋海域试射，自卫试验舰“福斯 特”号利用一台安装在甲板上的激光炮，向移动中的无人驾驶目标小船发射。小船 “中炮”起火焚烧，其后被火焰吞噬。
–1、端面泵浦 –2、侧面泵浦 –3、基于内反射的泵浦构型
• 二、耦合光学系统
一、泵浦方式——1端面泵浦
2侧面泵浦
3基于内反射的泵浦构型
二、耦合光学系统
直接侧面泵浦
使用柱透镜耦合的侧泵浦
透镜管道端面泵浦
Thanks very much!
0 H
问题：损耗增加，泵浦阈值和输出功率如何变化
？
2）光泵激光器
0 g H (ν q )
gt
=
Pp Ppt
ν0A T PP η1 Ppt ( − 1) P= Ppt ν p S 2δ
Pp及Ppt分别为工作物质吸收的泵浦功率及阈 值吸收泵浦功率，S为工作物质横截面面积 值吸收泵浦功率
耦合系数：η0=T0/2δ
1、概念
• 一般固体脉冲激光器所输出的并不是一个平 滑的光脉冲， 滑的光脉冲，而是宽度只有微秒数量级的短 脉冲序列，即所谓的“尖峰”序列。 脉冲序列，即所谓的“尖峰”序列。激励越 短脉冲之间的时间间隔越小。 强，短脉冲之间的时间间隔越小。这种现象 称作弛豫振荡效应 尖峰振荡效应。 弛豫振荡效应或 称作弛豫振荡效应或尖峰振荡效应。
激光二极管
• • • • 一、概述 二、基本结构 三、二极管线阵和阵列条 五、光谱特性
一、概述
• 光谱窄，与工作物质吸收带匹配可提高效率，减 轻热效应 • 结构紧凑 • 寿命长，连续>10E4h，脉冲>10E9次 • 波长 – 630～680nm AlGaInP – 770～990nm GaAlAs – 900～1000nm InGaAs • 模块化 • 价格高
基本结构
三、二极管线阵和阵列条—线阵
阵列条
面阵封装
光纤耦合半导体激光器
此LD阵列上有10个bar条，每个bar条长10mm。bar条间距1.6mm。 10个bar条共宽16mm。慢轴（10mm）方向的发散角为10º，快轴 发散角40º，
光谱与重复频率、电流关系
二极管激光泵浦耦合技术
• 一、泵浦方式
和效应，g(νq,Iνq) 将随 νq的增加而减少 ν 将随I 的增加而减少，但只 和效应 要g(νq,Iνq) 仍比gt大，这一过程就将继续下去， 继续增加， ν 不断减小，直到 即Iνq 继续增加， g(νq,Iνq) 不断减小 增加。这时，激光器建立了稳定工作状态。 增加。这时，激光器建立了稳定工作状态。
, 腔内光强 νq逐渐增加 同时由于饱 腔内光强I 逐渐增加，同时由于饱
g (ν q , Iν q ) = g t = δ l ,增益和损耗达到平衡 Iνq不再 增益和损耗达到平衡， 增益和损耗达到平衡
• 当外界激发作用增强时，小信号增益系数g0(ν) 增大，此时Iνq必须增大到一个更大的值才能 使g(νq,Iνq) 降低到gt并建立起稳定工作状态， 因此激光器的输出功率增加。 • 稳态工作时的大信号增益系数总是等于 t 。 稳态工作时的大信号增益系数总是等于g • 结论：在一定的激发速率下，即当 0(ν)一定 在一定的激发速率下， 在一定的激发速率下 即当g ν 一定 激光器的输出功率保持恒定； 时，激光器的输出功率保持恒定；当外界激 发增强时，输出功率随之上升， 发增强时，输出功率随之上升，但在一个新 的水平上保持恒定。 的水平上保持恒定。
/show/7saXnZrnVj-8B1oP.html 视频资料：美国激光武器试验
视频截图：被美海军激光炮击毁的无人快艇
MLD开发人员指出，MLD和其它激光武器除了可以攻击海上目标，还可以打击飞机或岸上目 标。去年7月，美国海军便在同一试射地点首次试射舰载激光炮，在2英里外击中4架时速300 英里的无人机。MLD甚至可以攻击巡航导弹，但所需能量将达数百千瓦。
激光器输出功率与能量
美国海军成功试射海上激光炮击毁目标船只
/GB/162940/162942/14363191.html
美国诺斯洛普-格鲁曼公司与美国海军共同研发“海洋激光示范者”(MLD)海上激光炮。
2011年04月12日07:40
来源：中国新闻网
腔内光子 数密度及 反转集居 数密度随 时间的变 化
1 2 3 4
2、定性物理解释
在脉冲泵浦源的作用下，反转集居数密度和腔 内光子数密度处于剧烈的变化之中。当 当 ， ∆n > ∆nt 开始产生激光， 开始产生激光，受激辐射将使腔内光子数急剧 增加并达到极值。 增加并达到极值。与此同时又消耗了大量高能 ∆n < ∆nt 级粒子， 级粒子，致使 ，由于腔内增益小于损 光子数减少而形成一个尖峰。 耗，光子数减少而形成一个尖峰。这种过程在 脉冲泵浦持续作用时间内反复出现， 脉冲泵浦持续作用时间内反复出现，构成一个 尖峰脉冲序列。泵浦功率越大，尖峰形成越快， 尖峰脉冲序列。泵浦功率越大，尖峰形成越快， 尖峰的时间间隔越小。 尖峰的时间间隔越小。
稳态情况下，g H (ν q , I H (ν q ) δ = Iν q l 1+ I s (ν q )
0 g H (ν q )l Iν q = I s (ν q ) − 1 δ