过程装备基础第6。7.8章习题解

第6章 内压薄壁壳体的应力分析

6-1 圆锥形壳体的中间面由一与对称轴成α角（称为半顶角）的直线段为母线绕对称轴回转而成，若已知经线上任一点的平行圆半径r ，试导出经线上任一点第一曲率半径R 1和第二曲率半径R 2的表达式。

解：由于圆锥壳的经线为直线，所以，第一曲率半径R 1穷大，第二曲率半径R 2可由图示几何关系导出，即

α

cos 2r

R =

6-2 椭球形壳体的经线为一椭圆曲线。试证明椭球形壳体经线上任一点的第一曲率半径、第二曲率半径的计算公式如下：

b

a b a r a R 42

/322241)]([--=， b b a r a R 2/122242)]([--=

证：经线上任一点的第一曲率半径由下式决定：

2

22

/3211dr z d dr dz R ⎥⎥

⎦⎤

⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=

（1）

第二曲率半径根据图示几何关系，有

ϕ

sin 2r

R =

（2） 由椭圆方程

122

22=+b

z a r 可计算出式（1）和式（2）中的各量，即

z a r b dr dz 22-=， 24222422

)]([1z a b a r a b dr dz --=⎪⎭

⎫ ⎝⎛+ 324222222222

22z

a b z z a r b z a b z a dr dz r z b dr z d -=+⋅-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--= 将以上各式代入式（1），得：

[]

b

a b a r a z a b z a b a r a b dr z d dr dz R 42/322243

24362

/3222432

22

/321)]([)

/()(1--=

--=

⎥⎥

⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=

[]

2

4222422

22

2

)

(11/sin z a b a r a b z a r b dr

dz dr

dz

tg tg --=+

=+=ϕϕϕ

将此式代入（2）式，得

b

b a r a r R 2

/122242)]([sin --==ϕ。

证毕。

6-3 一压力容器由圆筒形壳体、两端为椭圆形封头组成，已知圆筒内直径为D i =2000mm ，厚度=20mm ，所受内压p=2MPa ，试确定：

（1）圆筒形壳体上的经向应力和周向应力各是多少

（2）如果椭圆形封头a/b 的值分别为2、2和3时，封头厚度为20 mm ，分别确定封头上顶点和赤道点的经向应力与周向应力的值，并确定压应力的作用范围（用角度在图上表示出来）。

（3）若封头改为半球形，与筒体等厚度，则封头上的经向应力和周向应力又为多少 解：（1）经向应力：MPa pD 5020

42000

24=⨯⨯==

δσϕ （1） 周向应力：MPa 1002==ϕθσσ （2） （2）由于圆筒内直径为2000mm ，所以，封头长半轴a=1000mm. 顶点处两向薄膜应力相等，即

b

a b a b pa r r 5020210002220

=⨯⨯=====δσσϕ

θ

（3） 赤道点的两向薄膜应力如下：

MPa pa a

r 5020

2100022=⨯⨯==

=δσϕ

（4） ])(2[2b

a

-=ϕθσσ （5）

将a/b 的值2、2和3分别代入（3）式和（5）式，就可得到顶点处和赤道处两向薄膜应力的相应值，具体过程略。

当a/b=2时，赤道点的环向应力为零，其他点的两向薄膜应力都大于零，即不存在压应力。

当a/b 的值为2和3时，在赤道附近点的环向应力为压应力，其作用范围由下式决定：

20)2(01

212=⇒=-

⇒=R R

R R ϕθσσ （6） 将第一和第二曲率半径的计算公式代入上式，整理后，得：

2

)(4

2

2

2

a b a r =-， ]

1)/[(2)/(2

-=

b a b a a r （7）

1

)/(1/2)]([sin 2

2

2/12224-==--=

b a b

a r

b a r a rb ϕ （8）

当a/b=2时，mm r 5.816)12(2210002

=-⨯=

，

5774.0121sin 2

=-=ϕ，︒=26.35ϕ；

当a/b=3时，mm r 0.750)

13(2310002=-⨯=。3536.01

31sin 2=-=

ϕ，︒=7.20ϕ

（a ） （b ）

图（a ）和图（b ）表示了这两种情况周向压应力的作用范围，即周向应力为零的点至赤道点的这一段上所有点的周向薄膜应力都为零。

（3）若封头改为半球形，与筒体等厚度，则封头上的经向应力和周向应力是相等的，即 MPa pD

504==

=δ

σσϕθ。 6-4 半顶角α=30°、厚度为10mm 的圆锥形壳体，所受内压p=2MPa ，在经线上距顶点为100mm 点的两向薄膜应力为多少

解：在经线上距顶点为100mm 点的平行圆半径为：

r=100sin30°

mm ，

于是，该点的两向薄膜应力如下：

MPa pr 55.1130cos 102

50cos =︒

⨯⨯==

αδσθ，MPa 77.5=ϕσ