近世代数基础练习题
近世代数试题及答案
近世代数试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 下列哪个选项不是群的性质？A. 封闭性B. 存在单位元C. 存在逆元D. 交换律答案：D2. 有限群的阶数为n，那么它的子群的个数至少为：A. nB. 1C. n-1D. n+1答案：B3. 以下哪个命题是正确的？A. 任意两个子群的交集仍然是子群B. 任意两个子群的并集仍然是子群C. 子群的子群仍然是子群D. 子群的补集仍然是子群答案：A4. 群G的阶数为n，那么它的元素的阶数不可能是：A. 1B. nC. 2D. n+1答案：D5. 以下哪个不是环的性质？A. 封闭性B. 交换律C. 分配律D. 结合律答案：B二、填空题（每题4分，共20分）1. 如果集合S上的二元运算*满足结合律，那么称S为________。
答案：半群2. 一个群G的所有子群的集合构成一个________。
答案：格3. 一个环R中，如果对于任意的a，b∈R，都有a+b=b+a，则称R为________。
答案：交换环4. 一个环R中，如果对于任意的a，b∈R，都有ab=ba，则称R为________。
答案：交换环5. 一个群G中，如果存在一个元素a，使得对于任意的g∈G，都有ag=ga=e，则称a为G的________。
答案：单位元三、简答题（每题10分，共30分）1. 请简述子群和正规子群的区别。
答案：子群是群G的非空子集H，满足H中的任意两个元素的乘积仍然在H中，并且H对于G的运算是封闭的。
正规子群是子群N，满足对于任意的g∈G和n∈N，都有gng^-1∈N。
2. 请解释什么是群的同态和同构。
答案：群的同态是两个群G和H之间的函数f，满足对于任意的g1，g2∈G，都有f(g1g2)=f(g1)f(g2)。
群的同构是同态，并且是双射，即存在逆映射。
3. 请解释什么是环的零因子和非零因子。
答案：在环R中，如果存在非零元素a和b，使得ab=0，则称a和b 为零因子。
如果环R中不存在零因子，则称R为无零因子环。
近世代数模拟试题--附详细答案
近世代数模拟试题一一、单项选择题<本大题共5小题,每小题3分,共15分>在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、设A ＝B ＝R<实数集>,如果A 到B 的映射ϕ：x →x ＋2,∀x ∈R,则ϕ是从A 到B 的〔 〕A 、满射而非单射B 、单射而非满射C 、一一映射D 、既非单射也非满射2、设集合A 中含有5个元素,集合B 中含有2个元素,则,A 与B 的积集合A ×B 中含有〔 〕个元素。
A 、2B 、5C 、7D 、103、在群G 中方程ax=b,ya=b, a,b ∈G 都有解,这个解是〔 〕乘法来说A 、不是唯一B 、唯一的C 、不一定唯一的D 、相同的<两方程解一样> 4、当G 为有限群,子群H 所含元的个数与任一左陪集aH 所含元的个数〔 〕A 、不相等B 、0C 、相等D 、不一定相等。
5、n 阶有限群G 的子群H 的阶必须是n 的〔 〕A 、倍数B 、次数C 、约数D 、指数二、填空题<本大题共10小题,每空3分,共30分>请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ,则有=⨯A B ---------。
2、若有元素e ∈R 使每a ∈A,都有ae=ea=a,则e 称为环R 的--------。
3、环的乘法一般不交换。
如果环R 的乘法交换,则称R 是一个------。
4、偶数环是---------的子环。
5、一个集合A 的若干个--变换的乘法作成的群叫做A 的一个--------。
6、每一个有限群都有与一个置换群--------。
7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群,则这个群的单位元是---,元a 的逆元是-------。
8、设I 和S 是环R 的理想且R S I ⊆⊆,如果I 是R 的最##想,则---------。
(精选)近世代数练习题题库
§1 第一章 基础知识1 判断题：1.1 设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=⋃x 且。
（ ）1.2 A ×B = B ×A （ ）1.3 只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1-f。
（ ） 1.4 如果ϕ是A 到A 的一一映射,则ϕ[ϕ(a)]=a 。
( )1.5 集合A 到B 的可逆映射一定是A 到B 的双射。
（ ）1.6 设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ⨯到D 的每个映射都叫作二元运算。
（ ）1.7 在整数集Z 上，定义“ ”：a b=ab(a,b ∈Z)，则“ ”是Z 的一个二元运算。
（ ）1.8 整数的整除关系是Z 的一个等价关系。
( )2填空题：2.1 若A={0,1} , 则A A= __________________________________。
2.2 设A = {1，2}，B = {a ，b}，则A ×B =_________________。
2.3 设={1,2,3} B={a,b},则A ⨯B=_______。
2.4 设A={1,2}, 则A A=_____________________。
2.5 设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ，则有=⨯A B 。
2.6 如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，则()[]=-a f f 1 。
2.7 设A =｛a 1, a 2,…a 8｝，则A 上不同的二元运算共有 个。
2.8 设A 、B 是集合，| A |＝| B |＝3，则共可定义 个从A 到B 的映射，其中有 个单射，有 个满射，有 个双射。
2.9 设A 是n 元集，B 是m 元集，那么A 到B 的映射共有____________个.2.10 设A={a,b,c}，则A 到A 的一一映射共有__________个.2.11 设A={a,b,c,d,e}，则A 的一一变换共有______个.2.12 集合A 的元间的关系～叫做等价关系，如果～适合下列三个条件：_____________________________________________。
《近世代数》模拟试题1及答案72397
近世代数模拟试题一。
单项选择题(每题5分，共25分）1、在整数加群（Z,＋）中，下列那个是单位元( ）。
A。
0 B。
1 C. －1 D. 1/n,n是整数2、下列说法不正确的是（）.A . G只包含一个元g，乘法是gg＝g。
G对这个乘法来说作成一个群；B . G是全体整数的集合，G对普通加法来说作成一个群；C . G是全体有理数的集合，G对普通加法来说作成一个群;D。
G是全体自然数的集合，G对普通加法来说作成一个群。
3. 如果集合M的一个关系是等价关系，则不一定具备的是( ）.A 。
反身性B。
对称性C。
传递性D。
封闭性4. 对整数加群Z来说,下列不正确的是( ）.A. Z没有生成元。
B。
1是其生成元.C. －1是其生成元.D. Z是无限循环群.5. 下列叙述正确的是( ).A。
群G是指一个集合。
B. 环R是指一个集合.C。
群G是指一个非空集合和一个代数运算,满足结合律，并且单位元,逆元存在。
D. 环R是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元,逆元存在.二. 计算题（每题10分，共30分) 1。
设G 是由有理数域上全体2阶满秩方阵对方阵普通乘法作成的群，试求中G 中下列各个元素1213,,0101c d cd ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，的阶.2. 试求出三次对称群{}3(1),(12),(13),(23),(123),(132)S = 的所有子群。
3。
若e是环R的惟一左单位元,那么e是R的单位元吗？若是，请给予证明。
三。
证明题(第1小题10分,第2小题15分,第3小题20分,共45分）.1。
证明：在群中只有单位元满足方程2.x x=2．设G是正有理数乘群，G是整数加群. 证明：:2n bn aϕ是群G到G的一个满同态，其中,a b是整数，而(,2)1ab=。
3．设S是环R的一个子环.证明：如果R与S都有单位元，但不相等,则S的单位元必为R的一个零因子.近世代数模拟试题答案2008年11月一、单项选择题(每题5分,共25分)1。
(精选)近世代数练习题题库
§1 第一章 基础知识1 判断题：1.1 设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=⋃x 且。
（ ）1.2 A ×B = B ×A （ ）1.3 只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1-f。
（ ） 1.4 如果ϕ是A 到A 的一一映射,则ϕ[ϕ(a)]=a 。
( )1.5 集合A 到B 的可逆映射一定是A 到B 的双射。
（ ）1.6 设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ⨯到D 的每个映射都叫作二元运算。
（ ）1.7 在整数集Z 上，定义“ ”：a b=ab(a,b ∈Z)，则“ ”是Z 的一个二元运算。
（ ）1.8 整数的整除关系是Z 的一个等价关系。
( )2填空题：2.1 若A={0,1} , 则A A= __________________________________。
2.2 设A = {1，2}，B = {a ，b}，则A ×B =_________________。
2.3 设={1,2,3} B={a,b},则A ⨯B=_______。
2.4 设A={1,2}, 则A A=_____________________。
2.5 设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ，则有=⨯A B 。
2.6 如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，则()[]=-a f f 1 。
2.7 设A =｛a 1, a 2,…a 8｝，则A 上不同的二元运算共有 个。
2.8 设A 、B 是集合，| A |＝| B |＝3，则共可定义 个从A 到B 的映射，其中有 个单射，有 个满射，有 个双射。
2.9 设A 是n 元集，B 是m 元集，那么A 到B 的映射共有____________个.2.10 设A={a,b,c}，则A 到A 的一一映射共有__________个.2.11 设A={a,b,c,d,e}，则A 的一一变换共有______个.2.12 集合A 的元间的关系～叫做等价关系，如果～适合下列三个条件：_____________________________________________。
【近世代数】模拟试题(卷)2与答案解析
近世代数模拟试题一、单项选择题(每题5分，共25分)1、在整数加群（Z，＋）中，下列那个是单位元（）。
A 0B 1C －1D 1/n，n是整数2、下列说法不正确的是（）。
A G只包含一个元g，乘法是gg＝g。
G对这个乘法来说作成一个群B G是全体整数的集合，G对普通加法来说作成一个群C G是全体有理数的集合，G对普通加法来说作成一个群D G是全体自然数的集合，G对普通加法来说作成一个群3、下列叙述正确的是（）。
A 群G是指一个集合B 环R是指一个集合C 群G是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元，逆元存在D 环R是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元，逆元存在4、如果集合M的一个关系是等价关系，则不一定具备的是( )。
A 反身性B 对称性C 传递性D 封闭性S的共轭类( )。
5、下列哪个不是3A （1）B （123），（132），（23）C （123），（132）D （12），（13），（23）二、计算题(每题10分，共30分)S的正规化子和中心化子。
1.求S＝{（12），（13）}在三次对称群32.设G ＝{1，－1，i ，－i}，关于数的普通乘法作成一个群，求各个元素的阶。
3.设R 是由一切形如⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,y x （x ，y 是有理数）方阵作成的环，求出其右零因子。
三、证明题(每小题15分，共45分)1、设R 是由一切形如⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,y x （x ，y 是有理数）方阵作成的环，证明⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,00,0是其零因子。
2、设Z是整数集，规定a·b＝a＋b－3。
证明：Z对此代数运算作成一个群，并指出其单位元。
3、证明由整数集Z和普通加法构成的（Z，＋）是无限阶循环群。
近世代数模拟试题答案一、单项选择题(每题5分，共25分)1．A2．D3． C4． D5． B二、计算题(每题10分，共30分)1． 解：正规化子N （S ）＝{（1），（23）}。
近世代数网络作业(3)(1)
《近世代数》练习题一、（10分）证明：若群G 中每个元a 都满足2a e =，其中e 为群的单位元，则群G 是交换群。
（来自教材18页习题1.1第9题）二、（10分）求对称群10S 中置换乘积(147)(7810)(3109)(942)(356)的轮换表达式。
（来自教材19页习题1.1第21题）三、（10分）将下列置换写成不相交轮换的乘积。
123456712345678910,712654324597108316⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
（来自教材18页习题1.1第19题）四、（10分）记*\{0}C C =表示非零复数集合构成的乘法群,{|}i U e R θθ=∈是模为1的复数集合构成的乘法群, R +表示正实数集合构成的乘法群,证明*/C U R +≅ 。
（来自教材59页习题1.10第4题）五、（10分）求出9中可逆元的群及其乘法表.（来自教材92页习题2.5第2题）六、（10分）设R 是有单位元1的除环，在R 中规定新的运算：1a b a b ⊕=+-，a b a b ab =+-证明： (,,)R ⊕构成有单位元的除环。
（提示：先验证R 满足环的定义，再验证有单位元，且每个非零元有逆元）七、（10分）解同余方程组1(mod 2),2(mod 5),3(mod 7),4(mod 9).x x x x ≡⎧⎪≡⎪⎨≡⎪⎪≡⎩ （来自教材102页习题2.8第1题）八、（10分）用费尔马小定理求{}0,1,2,3,4x ∈,使得1237(mod 5)x ≡.（来自教材92页习题2.5第4题）九、（10分）令{}[]|,,i a bi a b =+∈它是环。
{}2[]22|,i a bi a b =+∈是[]i 的主理想，问[]/2[]i i 中是否有零因子？（来自教材89页习题2.8第2题）十、（10分）在8中的所有理想，并指出哪些是极大理想.（来自教材89页习题2.4第5题）。
近世代数测试试卷(满分100)
近世代数测试试卷（满分100）姓名 学号 分数一、判断题（对的打√，错的打×，共30分,每小题2分）1.设G 是群，则群G 的任意两个子群的并仍是群G 的子群。
（ ）2. 一个群G 同它的每个一个商群G N同态； （ ） 3.一个子群的右陪集的个数和左陪集的个数一定相等； （ ）4.一个有限群G 的任一个元a 的阶都是整除G 的阶； （ ）5.整数加群Z 是个无限循环群； （ ）6.S(M)双射变换群关于变换的乘法作成一个群； （ ）7.仅有集合A 的元间的一个等价关系不一定能确定A 的一个分类； （ ）8.所有一一变换不一定作成一个变换群； （ ）9.设G 为整数群，则G 对运算b a b a ⋅=作成一个群； （ ）10.A R =，A 的代数运算是普通乘法，则映射2x x →为A 的自同构映射； （ ）11.一个集合的所有一一变换可以作成一个变换群； （ ）12.整数加群Z 是个无限循环群； （ ）13.群G 的不变子群N 的不变子群M 必是G 的不变子群； （ ） 14 n 次单位根乘群n U 是一个n 阶循环群； （ ）15.A={所有有理数}，A 对于普通加法来说可以自同构； （ ）二、填空题（共30分,每小题2分）1. 无限循环群一定和 同构；2. n 次对称群n S 的任意子群，都叫做一个n 次 置换群 ；3.设群G 中元素a 的阶为m ，如果e a n =，那么m 与n 存在整除关系为 ；4. G 是一个群，假定G 和G 对于它们的乘法来说 ，则G 是一个群；5.任何一个群都同一个 同构；6.素数阶有限群G 的子群个数等于 ；7.一个群G 的一个不空有限子集H 作为G 的一个子群的充分而且必要条件是 ；8.一个群G 的一个子群N 的陪集所作成的群叫做 ；9. 设G 是p 阶群，（p 是素数），则G 的生成元有 个；10.一个群G 的一个子群H 的 的个数叫做H 在G 里的指数；11. 含有n 元素的任意集合共有 个双射变换；12.如果群G 可由一个元素a 生成，则称G 为由a 生成的一个 ；13.以集合A 的所有子集为元素的集合为A 的幂集，记为()P A ，若集合A 含有n 个元素，则()P A = ；14.M 为实数集，运算23a b a b =+ （满足或不满足）结合律；15.设群G 中元素a 的阶是n ，则k a n =⇔ ；三、解答题（共40分,每小题8分）1. 设{}{}{}=1,2,A B D ==奇,偶，验证()1,2=12→：奇是一个A B ⨯到D 的代数运算。
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1.证明：在环R 到环R 的一个同态满射φ之下,R 的一个子环S 的象S 是R 的一个子环。
证明:
S 为R 的一个子环, ∴0∈S ,
而0=(0)φ∈S , 故S 非空。
对,a b ∀∈S ,∃,a b ∈S ,使得a =()a φ,b =()b φ
由于S 是环R 的子环，故a b S -∈,ab S ∈ ∴ a b -=()a φ-()b φ=()a b φ-S ∈ a b = ()a φ()b φ=()ab φS ∈ 故S 是R 的一个子环。
2. 证明：在环R 到环R 的一个同态满射φ之下, R 的一个子环S 的逆象S 是R 的一个子环。
证明: S 为R 的子环, ∴0∈S ,
而0=(0)φ∈S , ∴0∈S ,故S 非空。
对∀,a b ∈S ，∃,a b ∈S ,使得 a =()a φ,b =()b φ, 由于S 是环R 的子环，
故 a b -=()a φ-()b φ=()a b φ-S ∈ a b =()a φ()b φ=()ab φS ∈
∴a b S -∈,ab S ∈
故S 是R 的一个子环。
3.证明：在环R 到环R 的一个同态满射φ之下，R 的一个理想A 的象A 是R 的一个理想。
证明: A 为R 的理想,∴ 0A ∈,,而0=(0)φ∈A ,故A 非空。
对,a b A ∀∈,r R ∀∈, ∃,a b ∈A ,r R ∈
使得 ()a a φ=,()b b φ=,()r r φ=
由于A 是环R 的一个理想，故 a b A -∈,ra A ∈，ar A ∈
∴ a b -=()a φ-()b φ=()a b φ-A ∈ ra =()r φ()a φ=()ra A φ∈, ar =()a φ()r φ=()ar A φ∈ 故 A 是环R 的一个理想。
4.证明：在环R 到环R 的一个同态满射φ之下，R 的一个理想A 的逆象A 是R 的一个理想。
证明: A 为环R 的理想,∴0∈A ,
而0=φ(0)∈A , ∴0∈A, 故A 非空。
对于∀,a b ∈A ，∀r R ∈，∃,a b ∈A ,r R ∈
使得 ()a a φ=,()b b φ=,()r r φ= 由于A 是环R 的理想，
故 a -b ∈A ，ar A ∈，ra A ∈。
a -b =()a φ-()b φ=()a b φ-A ∈
r a =()r φ()a φ=()ra φ∈A ， ar =()a φ()r φ=()ar φA ∈
∴a b A -∈,ra A ∈，ar A ∈, 故 A 是R 的一个理想。