《近世代数》习题及答案

《近世代数》作业
一．概念解释
1．代数运算 2．群的第一定义 3．域的定义 4．满射 5．群的第二定义 6．理想
7．单射 8．置换 9．除环 10．一一映射 11．群的指数 12．环的单位元
二．判断题
1．Φ是集合n A A A ⨯⨯⨯ 21列集合D 的映射，则),2,1(n i A i =不能相同。

2．在环R 到环R 的同态满射下，则R 的一个子环S 的象S 不一定是R 的一个子环。

3．设N 为正整数集，并定义ab b a b a ++= ),(N b a ∈，那么N 对所给运算 能作成一个群。

4．假如一个集合A 的代数运算 适合交换率，那么在n a a a a 321里)(A a i ∈，元的次序可以交换。

5．在环R 到R 的同态满射下，R 得一个理想N 的逆象N 一定是R 的理想。

6．环R 的非空子集S 作成子环的充要条件是：
1）若,,S b a ∈则S b a ∈-； 2）,,S b a ∈，则S ab ∈。

7．若Φ是A 与A 间的一一映射，则1
-Φ是A 与A 间的一一映射。

8．若ε是整环I 的一个元，且ε有逆元，则称ε是整环I 的一个单位。

9．设σ与τ分别为集合A 到B 和B 到C 的映射，如果σ，τ都是单射，则τσ是A 到C 的映射。

10．若对于代数运算 ,，A 与A 同态，那么若A 的代数运算 适合结合律，则A 的代数运算也适合结合律。

11．整环中一个不等于零的元a ，有真因子的冲要条件是bc a =。

12．设F 是任意一个域，*F 是F 的全体非零元素作成的裙，那么*F 的任何有限子群G 必为循环群。

13. 集合A 的一个分类决定A 的一个等价关系。

（ ）
14. 设1H ,2H 均为群G 的子群，则21H H ⋃也为G 的子群。

（ ）
15. 群G 的不变子群N 的不变子群M 未必是G 的不变子群。

（ ）
三．证明题
1． 设G 是整数环Z 上行列式等于1或-1的全体n 阶方阵作成集合，证明：对于方阵的普通乘法G 作成一个 群。

2．设G=（a ）是循环群，证明：当∞=a 时，G=（a ）与整数加群同构。

3．证明：高斯整环[]{}Z b a bi a i Z ∈+=,|中的单位有且只有1± ，i ±。

4．设G 是由以下四个二阶方阵作成的集合
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001,1001,1001,1001d c b a 证明：G 对方阵的普通乘法作成一个交换群，并给出乘法表。

5．证明：在群G 中只有单位元满足方程x x =2。

6．证明：在整环Z[i]中5有唯一分解，并给出5的一种分解。

7．令G={}b a e ,,，且G 有如下乘法：
e a b
e e a b
a a
b e
b b e a
证明：G 对此乘法作成一个群。

8．设R 是一个环，证明：
1）若R 中左右单位元同时存在，则必相等。

2）若R 中至少有两个左（或右）单位元，则R 中任一非零元都是右（或左）零因子。

9．设M （R ）是实数域R 上的二阶方阵环，又
F=⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-R b a b b b a ,，证明：F 是M （R ）的一个子域。

10．设ｕ是群Ｇ的任意一个固定的元素，证明：集合Ｇ对新运算b au b a 1-= 作成一个群。

11．设Ｒ是有单位元Ｉ的交换环，)(R M n 是R 上n 阶方阵环，)(,R M B A n ∈，证明：
E BA E AB =⇔=，其中E 是n 阶单位矩阵。

12．设A 和B 是环R 的理想，证明：当A 和B 至少有一个含有单位元时，},|{B b A a ab B A ∈∈= 是R 的理想。

13.设3S 是三次对称群，)}12(),1{(=H 是3S 的子群。

1. 把3S 的所有元素写成不相连的循环置换的乘积。

2．求出3S 关于H 的所有左陪集和右陪集；
3． 写出3S 的所有子群与正规子群。

14.设5,S ∈τσ，其中)45)(123(=σ，⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛=2314554321τ。

1.求σ的周期;
2. 将1-τστ表示成形式为(1i)的2-循环置换的乘积。

15. 假定～是群G 的元间的一个等价关系，并且对于G
的任意三个元y x a ,,来说，有ax ～x ay ⇒～y 。

证明：与G 的单位元e 等价的元所作成的集合是G 的一个子群。

16. 假定][x R 是整数环R 上的一元多项式环。

1. 写出][x R 的理想),2(x 所含元素形式.
2. 证明: ),2(x 不是][x R 主理想.
3. 证明:若R 是有理数域,那么),2(x 是][x R 的一个主理想.
17.证明：6阶群至少有一个3阶子群。

18.设ϕ是群G 到群-G 的一个同态满射，ϕKer K =,G H ≤,则HK H =-))((1ϕϕ
19.假定R 是由所有复数b a bi a ,(+是整数)作成的环,即高斯整环，
1．环)1/(i R +有多少元? 2. 证明: )1/(i R +是一个域.
四．解答题 1．{
}1003,2,1 =A ，找一个A A ⨯的一个满射。

2．设H 是G 的一个非空子集，且H H =2
1）H 是否为G 的一个子群？
2）证明：当H 有限时，H 是G 的子群。

3．设R 是由数域F 上一 切形如⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛a b b a 2的二阶方阵作成的集合，问：R 对矩阵的普通加法和乘法是否作成环或域？
4．设X 是数域F 上全体n 阶方阵作成的集合，问：
A A →Φ: （A 为A 的行列式）是否是X 到F 的一个一一映射？说明理由。

5．试举出满足以下条件的群：
1）G 是无限群，除单位元外，每个元素的阶都无限。

2）G 是无限群，G 中除单位元外，既有有限阶元素，也有无限阶元素。

6．非零实数集R ，对运算ab b a 2= 能否作成群，并说明理由。

7．试给出集合X={1，2，3，4，5}到Y={0，2，4，6，8}的两个单射。

8．设Z[i]是高斯整环，即Z[i]={a+bi| a,b ∈Z},其中Z 是整数环，问商环
>
+<i i Z 1][有多少元素？ 9．问：域和其子域是否有相同的单位元，并说明理由。

10．试给出整数集到偶数集的两个不同的映射。

11．设G 是由有理数域上全体2阶满秩方阵对方阵普通乘法作成的群，试求G 中下列各元素的阶： ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1110,0110b a , ab. 12．设R 是环，且N 是R 的理想，H 又是N 的理想，问：H 是否一定是R 的理想，举例说明。

13.设9次置换⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=249816735987654321σ， 1．将σ表成互不相交的轮换乘积；
2． 将σ表示成形式为对换的乘积；
3．求出σ的逆与σ的阶。

五、单项选择题
1. 如果C A B A C A B A ==,， 则（ ）。

A.C B ⊂
B. C B ⊃
C. C B =
D. C B ≠
2. 设},,{},3,2,1{c b a B A ==，则A 到B 的映射个数有（ ）。

A. 9
B. 6
C. 12
D. 27
3. 指出下列那个运算是二元运算（ ）。

A ．在整数集Z 上，ab
b a b a += B. 在有理数集Q 上，ab b a =
C.在正实数集+R 上，b a b a ln =
D.在集合{}0≥∈n Z n 上，b a b a -=
4. 下面是交换半群，但不是群的是（ ）。

A. ),(+N
B. ),(+Q
C. ),(*+Z , 其中是非零整数集合
D. ),(+C
5. 设e 是群G 的单位元，b a ,是G 的两个元素，则（ ）。

A. 111)(---=b a ab
B. 222)(---=b a ab
C. 若e a =2，则1-=a a
D.ba ab =
6.精确到同构, 4阶群有( )个。

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
7. 以下命题中，正确的是( )。

A. 任意一个环R ，必含有单位元
B. 环R 中至多有一个单位元
C. 环R 有单位元，则它的子环也有单位元
D. 一个环与其子环都有单位元，则两个单位元一定相同。