《近世代数》模拟试题2及答案
(完整word版)近世代数期末考试题库(包括模拟卷和1套完整题) (2)
多所高校近世代数题库一、（2011年近世代数）判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分）1、设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=⋃x 且。
（ ）2、设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ⨯到D 的每个映射都叫作二元运算。
（ ）3、只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1-f 。
（ ）4、如果循环群()a G =中生成元a 的阶是无限的，则G 与整数加群同构。
（ ）5、如果群G 的子群H 是循环群，那么G 也是循环群。
（ ）6、近世代数中，群G 的子群H 是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ⊆∈∀∈∀-1;,。
（ ）7、如果环R 的阶2≥，那么R 的单位元01≠。
（ ）8、若环R 满足左消去律，那么R 必定没有右零因子。
（ ）9、)(x F 中满足条件0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。
（ ）10、若域E 的特征是无限大，那么E 含有一个与()p Z 同构的子域，这里Z 是整数环，()p 是由素数p 生成的主理想。
（ ）二、（2011年近世代数）单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。
答案选错或未作选择者，该题无分。
每小题1分，共10分）1、设n A A A ,,,21Λ和D 都是非空集合，而f 是n A A A ⨯⨯⨯Λ21到D 的一个映射，那么（ ）①集合D A A A n ,,,,21Λ中两两都不相同；②n A A A ,,,21Λ的次序不能调换；③n A A A ⨯⨯⨯Λ21中不同的元对应的象必不相同；④一个元()n a a a ,,,21Λ的象可以不唯一。
2、指出下列那些运算是二元运算（ ） ①在整数集Z 上，abb a b a +=ο； ②在有理数集Q 上，ab b a =ο； ③在正实数集+R 上，b a b a ln =ο；④在集合{}0≥∈n Z n 上，b a b a -=ο。
浙师大11近世代数答案2
第二章 群论§2.1 半群1．设R 是实数集，在R ×R 中规定(a 1，a 2)⊕(b 1，b 2)＝⎪⎭⎫⎝⎛++2,22211b a b a ， 问⊕是不是R ×R 的代数运算，(R ×R ，⊕)是不是半群？解：注意到等式右边的运算指的是普通的实数运算，易知⊕是R ×R 的一个代数运算。
下面验证结合律，∀(a 1，a 2)， (b 1，b 2)，(c 1，c 2)∈R ×R ，[(a 1，a 2)⊕(b 1，b 2)]⊕(c 1，c 2) ＝⎪⎭⎫⎝⎛++2,22211b a b a ⊕(c 1，c 2) ＝⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++22,22222111c b a c b a ＝⎪⎭⎫⎝⎛++++42,42222111c b a c b a ，(a 1，a 2)⊕[(b 1，b 2)⊕(c 1，c 2)] ＝(a 1，a 2)⊕⎪⎭⎫⎝⎛++2,22211c b c b ＝⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++22,22222111c b a c b a ＝⎪⎭⎫⎝⎛++++42,42222111c b a c b a 。
可知R ×R 的代数运算⊕不满足结合律， 所以(R ×R ，⊕)不是半群。
2．设(S ，·)是一个半群，证明S ×S 关于下面规定的代数运算作成半群，(a 1，a 2)ο(b 1，b 2)＝(a 1·b 1，a 2·b 2)。
如果S 是有单位元的交换半群，那么，(S ×S ，ο)是否仍是有单位元的交换半群？证明：显然ο是S ×S 的一个代数运算。
只需验证结合律。
∀(a 1，a 2)， (b 1，b 2)，(c 1，c 2)∈S ×S ，[(a 1，a 2)ο(b 1，b 2)]ο(c 1，c 2)＝(a 1·b 1，a 2·b 2)ο(c 1，c 2) ＝((a 1·b 1)·c 1，(a 2·b 2)·c 2)＝(a 1·(b 1·c 1)，a 2·(b 2·c 2))＝(a 1，a 2)ο((b 1·c 1)，(b 2·c 2))＝(a 1，a 2)ο[(b 1，b 2)ο(c 1，c 2)]。
近世代数期末模拟考试与答案
近 世 代 数 试 卷一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分）1、设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=⋃x 且。
（ f ）2、设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ⨯到D 的每个映射都叫作二元运算。
（ f ）3、只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1-f 。
（ t ）4、如果循环群()a G =中生成元a 的阶是无限的，则G 与整数加群同构。
（t ）5、如果群G 的子群H 是循环群，那么G 也是循环群。
（ f ）6、群G 的子群H 是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ⊆∈∀∈∀-1;,。
（ t ）7、如果环R 的阶2≥，那么R 的单位元01≠。
（ t ）8、若环R 满足左消去律，那么R 必定没有右零因子。
（ t ）9、)(x F 中满足条件0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。
（ f ）10、若域E 的特征是无限大，那么E 含有一个与()p Z 同构的子域，这里Z 是整数环，()p 是由素数p 生成的主理想。
（ f ）二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。
答案选错或未作选择者，该题无分。
每小题1分，共10分）1、设n A A A ,,,21 和D 都是非空集合，而f 是n A A A ⨯⨯⨯ 21到D 的一个映射，那么（ 2 ） ①集合D A A A n ,,,,21 中两两都不相同；②n A A A ,,,21 的次序不能调换； ③n A A A ⨯⨯⨯ 21中不同的元对应的象必不相同； ④一个元()n a a a ,,,21 的象可以不唯一。
2、指出下列那些运算是二元运算（ 3 ）4①在整数集Z 上，abba b a +=； ②在有理数集Q 上，ab b a = ； ③在正实数集+R 上，b a b a ln = ；④在集合{}0≥∈n Z n 上，b a b a -= 。
近世代数模拟试题及答案
近世代数模拟试题二一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ ）是子群。
A 、{}aB 、{}e a ,C 、{}3,a eD 、{}3,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（ ）不是群A 、G 为整数集合，*为加法B 、G 为偶数集合，*为加法C 、G 为有理数集合，*为加法D 、G 为有理数集合，*为乘法3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ ）A 、a*b=a-bB 、a*b=max{a,b}C 、 a*b=a+2bD 、a*b=|a-b|4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14），3σ=（1324），则3σ=（ ）A 、12σB 、1σ2σC 、22σD 、2σ1σ5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）。
A 、不可能是群B 、不一定是群C 、一定是群D 、 是交换群二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。
2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。
3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于------。
4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与-------同构。
5、A={∩B=-----。
6、若映射ϕ既是单射又是满射，则称ϕ为-----------------。
7、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的-----n a a a ,,,10 使得010=+++n n a a a αα 。
8、a 是代数系统)0,(A 的元素，对任何A x ∈均成立x a x = ，则称a 为---------。
9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G 作成一个群，如果满足G 对于乘法封闭；结合律成立、---------。
近世代数初步模拟试卷2(参考答案)[1]
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试题(2)的参考答案一、填空题（27分）1、7阶群的子群共有 2 个。
2、“圆规直尺作图的三大难题”是三等分任意角问题 、 化圆为方问题 、 倍立方问题 。
3、把置换ρ=(1365)(3457)(7215)表示为不相交的轮换的乘积是 (17234)(56) 。
4、如果域E 的乘法群恰好包含f (x ) = x 124-1的所有根，则E 的特征是 5 。
5、剩余类加法群Z 8的生成元有 4 个，它们是 [1], [3], [5], [7] 。
6、除环的理想有 2 个。
7、实数32在有理域上的极小多项式是 x 3-2 。
8、20042005≡ 1 (mod 5).9、复数域C 作为实数域R 的扩域，指数[C : R ]= 2 .二、选择题 10、(D) 11、(B) 12、(C) 13、(A) 14、(B).三、计算题15、解: 如果域E 的乘法子群E*=E\{0}有一个13阶子群H, 且[E*:H]=2, 则|E*|=2|H|=26，进而，|E|=27=33，域E 的特征是3。
………………………10分16、解：32+在有理数域Q 上的极小多项式为f (x ) = x 4-10x 2+1。
………2分因为, (1) 32+∉Q (2) . 假设32+∈Q (2)，则3∈Q (2)，设3= a+b 2，a , b ∈Q ，且a ≠ 0 ≠ b ，两边平方得3 - a 2-2b 2 = 2 ab 2, 等式左边是有理数，而右边是无理数，矛盾。
………………………2分(2) 2∈Q (32+) . 因为 2=21[(32+-(3-2)]=21[32+-(32+)-1]. ………2分(3) [Q (32+):Q ] = 4. 由(1)和(2)知, Q (2)是Q (32+)的真子域，显然，32+在Q (2)上的极小多项式为x 2-22x -1，进而， [Q (32+):Q (2)]=2，所以，[Q (32+):Q ]= [Q (32+):Q (2)][Q (2):Q]=4. ………2分 (3)说明,32+在Q 上的极小多项式的次数是4。
近世代数期末模拟试题与答案
世代数模拟试题一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、设A ＝B ＝R(实数集)，如果A 到B 的映射ϕ：x →x ＋2，∀x ∈R ，则ϕ是从A 到B 的（ ）A 、满射而非单射B 、单射而非满射C 、一一映射D 、既非单射也非满射2、设集合A 中含有5个元素，集合B 中含有2个元素，那么，A 与B 的积集合A ×B 中含有（ ）个元素。
A 、2B 、5C 、7D 、103、在群G 中方程ax=b ，ya=b ， a,b ∈G 都有解，这个解是（ ）乘法来说A 、不是唯一B 、唯一的C 、不一定唯一的D 、相同的(两方程解一样)4、当G 为有限群，子群H 所含元的个数与任一左陪集aH 所含元的个数（ ）A 、不相等B 、0C 、相等D 、不一定相等。
5、n 阶有限群G 的子群H 的阶必须是n 的（ ）A 、倍数B 、次数C 、约数D 、指数二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ，则有=⨯A B ---------。
2、若有元素e ∈R 使每a ∈A ，都有ae=ea=a ，则e 称为环R 的--------。
3、环的乘法一般不交换。
如果环R 的乘法交换，则称R 是一个------。
4、偶数环是---------的子环。
5、一个集合A 的若干个--变换的乘法作成的群叫做A 的一个--------。
6、每一个有限群都有与一个置换群--------。
7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是---，元a 的逆元是-------。
8、设I 和S 是环R 的理想且R S I ⊆⊆，如果I 是R 的最大理想，那么---------。
9、一个除环的中心是一个-------。
近世代数2
第九章 特殊的代数系统习题1. 判断下列运算关于自然数集合是否构成半群：⑴},max{b a b a = ； ⑵b b a = ；⑶ab b a 2= ；⑷b a b a -= 。
解 ⑴是半群。
显然，二元运算“ ”在N 上是封闭的， 所以，>< ,N 是一个代数系统，另一方面，,,,N c b a ∈∀有(){}{}c b a c b a c b a ,,m ax ,m ax == ，而(){}{}c b a c b a c b a ,,max ,max == ，因此，()()c b a c b a =，所以，运算“ ”满足结合律的，故>< ,N 是半群；⑵是半群。
显然，二元运算“ ”在N 上是封闭的， 所以，>< ,N 是一个代数系统，另一方面，N c b a ∈∀,,，有()c c b c b a == ，而()c c a c b a == ，则()()c b a c b a =，所以，运算“ ”满足结合律，故>< ,N 是半群；⑶是半群。
显然，二元运算“ ”在N 上是封闭的， 所以，>< ,N 是一个代数系统，另一方面，N c b a ∈∀,,，有()abc c ab c ab c b a 4)2(2)2(=== ，()()abc bc a bc a c b a 422)2(=== ，即()()c b a c b a = ，所以，运算“ ”满足结合律，故>< ,N 是半群。
⑷不是半群。
虽然，二元运算“ ”在N 上是封闭的，即>< ,N 是一个代数系统，但是 对于5，3，6，因为，()4635635635=--=-= ，而2635635)63(5=--=-= ，即())63(5635 ≠，所以，运算“ ”不满足结合律，故>< ,N 不是半群。
2 在实数集R 上的二元运算定义为：),(R b a ab b a b a ∈++=试判断下列论断是否正确：⑴>< ,R 是一个代数系统； ⑵>< ,R 是一个半群； ⑶>< ,R 是一个独异点。
近世代数期末考试题库包括模拟卷和1套完整题2
近世代数期末考试题库包括模拟卷和1套完整题2一、（2011年近世代数）判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打，错的打“X” ；每小题1分，共10 分）1、设A与B都是非空集合，那么A B xx A且x B。
（）2、设A、B、D都是非空集合，则A B到D的每个映射都叫作二元运算。
（）3、只要f是A到A的一一映射，那么必有唯一的逆映射 f 1。
（）4、如果循环群G a中生成元a的阶是无限的，贝U G与整数加群同构。
（）5、如果群G的子群H是循环群，那么G也是循环群。
（）6、近世代数中，群G的子群H是不变子群的充要条件为g G, h H;g 1Hg H。
（）7、如果环R的阶2，那么R的单位元1 0。
（）8若环R满足左消去律，那么R必定没有右零因子。
（）9、F（x）中满足条件p（） 0的多项式叫做元在域F上的极小多项式。
（）10、若域E的特征是无限大，那么E含有一个与Z?p同构的子域，这里Z是整数环，p是由素数p生成的主理想。
（）二、（2011年近世代数）单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。
答案选错或未作选择者，该题无分。
每小题1分，共10分）1、设A,阳,A n和D都是非空集合，而f是A1 A2 A n到D的一个映射，那么（）①集合A|, A2 , , A n , D中两两都不相同；② A1 , A2 , , A n的次序不能调换；③A1 A2A n中不同的元对应的象必不相同；④一个元a1,a2, , a n的象可以不唯一。
2、指出下列那些运算是二元运算（）a K t ___________①在整数集Z上，a b --；②在有理数集Q上，a b ... |ab ；ab③在正实数集R上，a b a In b；④在集合n Zn 0上，a b a b。
3、设是整数集Z上的二元运算，其中a b max a,b （即取a与b 中的最大者），那么在Z中（）①不适合交换律；②不适合结合律；③存在单位元；④每个元都有逆元。
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近世代数模拟试题
一、单项选择题(每题5分,共25分)
1、在整数加群(Z,＋)中,下列那个就是单位元( )。
A 0
B 1
C －1
D 1/n,n就是整数
2、下列说法不正确的就是( )。
A G只包含一个元g,乘法就是gg＝g。
G对这个乘法来说作成一个群
B G就是全体整数的集合,G对普通加法来说作成一个群
C G就是全体有理数的集合,G对普通加法来说作成一个群
D G就是全体自然数的集合,G对普通加法来说作成一个群
3、下列叙述正确的就是( )。
A 群G就是指一个集合
B 环R就是指一个集合
C 群G就是指一个非空集合与一个代数运算,满足结合律,并且单位元,逆
元存在
D 环R就是指一个非空集合与一个代数运算,满足结合律,并且单位元,逆
元存在
4、如果集合M的一个关系就是等价关系,则不一定具备的就是( )。
A 反身性
B 对称性
C 传递性
D 封闭性
S的共轭类( )。
5、下列哪个不就是
3
A (1)
B (123),(132),(23)
C (123),(132)
D (12),(13),(23)
二、计算题(每题10分,共30分)
S的正规化子与中心化子。
1、求S＝{(12),(13)}在三次对称群
3
2、设G ＝{1,－1,i,－i},关于数的普通乘法作成一个群,求各个元素的阶。
3、设R 就是由一切形如⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛0,0,y x (x,y 就是有理数)方阵作成的环,求出其右零因子。
三、证明题(每小题15分,共45分)
1、设R 就是由一切形如⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛0,0,y x (x,y 就是有理数)方阵作成的环,证明⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛0,00,0就是其零因子。
2、设Z 就是整数集,规定a ·b ＝a ＋b －3。
证明:Z 对此代数运算作成一个群,并指出其单位元。
3、证明由整数集Z与普通加法构成的(Z,＋)就是无限阶循环群。
近世代数模拟试题答案
一、单项选择题(每题5分,共25分)
1． A
2． D
3． C
4． D
5． B
二、计算题(每题10分,共30分)
1． 解:正规化子N(S)＝{(1),(23)}。
(6分)
中心化子C(S)＝{(1)}。
(4分)
2． 解:群G 中的单位元就是1。
(2分)
1的阶就是1,－1的阶就是2,i 与－i 的阶就是4。
(4×2分)
3． 解:设其右零因子为⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛0,0,b a 。
(2分) 所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,y x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,b a ＝⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛0,0,xb xa ＝0。
(3分) 因为x 任意,所以a ＝b ＝0。
(3分)
因此右零因子为⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛0,00,0。
(2分)
三、证明题(每小题15分共45分)
1.证明:设其右零因子为⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛0,0,b a 。
(2分)
所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,y x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,b a ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛0,0,yb xa ＝0。
(5分) 因为x,y 任意,所以a ＝b ＝0。
(8分)
同理设其右零因子为⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛0,0,b a 。
(10分) 所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,b a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,y x ＝⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛0,0,yb xa ＝0。
(12分) 因为x,y 任意,所以a ＝b ＝0。
(14分)
因此零因子为⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛0,00,0。
(15分)
2．明:首先该代数运算封闭。
(3分)
其次我们有:(a ·b)·c ＝(a ＋b －3)·c ＝(a ＋b －3)＋c －3＝a ＋((b ＋c －3)－3)＝a ·(b ·c),结合律成立。
(6分) 令e ＝3,验证a ·e ＝a ＋e －3＝a,有单位元。
(7分)
对任意元素a,6－a 就是其逆元,因为a ·(6－a)＝3。
(8分) 因此,Z 对该运算作成一个群。
显然,单位元就是e ＝3。
(10分)
3.证明:首先证明(Z,＋)就是群,+满足结合律,对任意的Z x ∈,x x x =+=+00,0就是运算+的单位元
又由于: ()()0=+-=-+x x x x
所以 ,1x x -=-从而(Z,＋)为群。
(2分)
由于+满足交换律,所以(Z,＋)就是交换群。
(4分) (Z,＋)的单位元为0,
对于1Z ∈,由于 1+(-1)=0,所以111-=-,。
(5分) 于就是对任意Z k ∈,
若0=k ,则:010=;
若0>k ,则k k =+++=1111 。
(8分) 若0<k ,则
()()()k k k k ------===11111
1)1()1()1(---++-+-=个k
))(1(k --= k = 。
(10分)
综上,有k k =1,对任意的Z k ∈、 因而,{}Z k Z k ∈=1,从而(Z,＋)就是无限阶循环群。
(15分)。