近世代数期末考试试卷与答案
近世代数期末考试题(卷)库
{ 1、设置换σ 和τ 分别为：σ = ⎡⎢ ，τ = ⎡⎢⎥ ，判断 和 的奇偶性，并把 和12345678 ⎤ 12345678 ⎤⎣64173528⎦⎣23187654⎦矩阵，且 A = B + C 。
若令有 A = B + C ，这里 B 和 C 分别为对称矩阵和反对称矩阵，则 2 2 ..世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分)在每小题列出的四个备选项中 只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无 分。
1、设 A ＝B ＝R(实数集)，如果 A 到 B 的映射 ϕ ：x→x ＋2，∀ x∈R ，则 ϕ 是从 A 到 B 的（ c ） A 、满射而非单射 B 、单射而非满射 C 、一一映射 D 、既非单射也非满射2、设集合 A 中含有 5 个元素，集合 B 中含有 2 个元素，那么，A 与 B 的积集合 A×B 中含有（ d ）个元素。
A 、2 B 、5 C 、7 D 、103、在群 G 中方程 ax=b ，ya=b ， a,b∈G 都有解，这个解是（b ）乘法来说 A 、不是唯一 B 、唯一的 C 、不一定唯一的 D 、相同的(两方程解一样)4、当 G 为有限群，子群 H 所含元的个数与任一左陪集 aH 所含元的个数（c ） A 、不相等 B 、0 C 、相等 D 、不一定相等。
5、n 阶有限群 G 的子群 H 的阶必须是 n 的（d ） A 、倍数 B 、次数 C 、约数 D 、指数二、填空题(本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、设集合 A = {- 1,0,1}； B = 1,2}，则有 B ⨯ A = 。
2、若有元素 e∈R 使每 a∈A ，都有 ae=ea=a ，则 e 称为环 R 的单位元。
3、环的乘法一般不交换。
如果环 R 的乘法交换，则称 R 是一个交换环。
近世代数期末考试试卷及答案(正)
近世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内.错选、多选或未选均无分.1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（C ）是子群。
A 、{}aB 、{}e a ,C 、{}3,a eD 、{}3,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*)中，（ ）不是群A 、G 为整数集合，*为加法B 、G 为偶数集合，*为加法C 、G 为有理数集合,＊为加法D 、G 为有理数集合，＊为乘法3、在自然数集N 上,下列哪种运算是可结合的?( )A 、a*b=a —bB 、a*b=max{a ，b}C 、 a*b=a+2bD 、a ＊b=｜a-b|4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14),3σ=（1324），则3σ=（ ） A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ5、任意一个具有2个或以上元的半群,它（ ）。
A 、不可能是群B 、不一定是群C 、一定是群D 、 是交换群二、填空题（本大题共10小题，每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、凯莱定理说：任一个子群都同一个——--变换群—-————同构。
2、一个有单位元的无零因子的—-交换环---称为整环.3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于—-25--——.4、a 的阶若是一个有限整数n,那么G 与-模n 乘余类加群-—-———同构。
5、A={1。
2.3} B=｛2。
5。
6｝ 那么A ∩B=—-｛2}—--。
6、若映射ϕ既是单射又是满射，则称ϕ为--——一一映射—-—-————----—。
7、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的——不都等于零的元-—-n a a a ,,,10 使得010=+++n n a a a αα 。
近世代数期末考试试卷及答案
一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个就是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、设G 有6个元素的循环群,a 就是生成元,则G 的子集( )就是子群。
A 、{}aB 、{}e a ,C 、{}3,a eD 、{}3,,a a e 2、下面的代数系统(G,*)中,( )不就是群A 、G 为整数集合,*为加法B 、G 为偶数集合,*为加法C 、G 为有理数集合,*为加法D 、G 为有理数集合,*为乘法3、在自然数集N 上,下列哪种运算就是可结合的？( )A 、a*b=a-bB 、a*b=max{a,b}C 、 a*b=a+2bD 、a*b=|a-b|4、设1σ、2σ、3σ就是三个置换,其中1σ=(12)(23)(13),2σ=(24)(14),3σ=(1324),则3σ=( )A 、12σB 、1σ2σC 、22σD 、2σ1σ5、任意一个具有2个或以上元的半群,它( )。
A 、不可能就是群B 、不一定就是群C 、一定就是群D 、 就是交换群二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、凯莱定理说:任一个子群都同一个----------同构。
2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。
3、已知群G 中的元素a 的阶等于50,则4a 的阶等于------。
4、a 的阶若就是一个有限整数n,那么G 与-------同构。
5、A={1、2、3} B={2、5、6} 那么A ∩B=-----。
6、若映射ϕ既就是单射又就是满射,则称ϕ为-----------------。
7、α叫做域F 的一个代数元,如果存在F 的-----n a a a ,,,10Λ使得010=+++n n a a a ααΛ。
8、a 就是代数系统)0,(A 的元素,对任何A x ∈均成立x a x =ο,则称a 为---------。
近世代数期末考试试题和答案解析
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ ）是子群。
A 、B 、C 、D 、{}a {}e a ,{}3,a e {}3,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（ ）不是群A 、G 为整数集合，*为加法B 、G 为偶数集合，*为加法C 、G 为有理数集合，*为加法D 、G 为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ ）A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b|4、设、、是三个置换，其中=（12）（23）（13），=（24）（14），1σ2σ3σ1σ2σ=（1324），则=（ ）3σ3σA 、 B 、 C 、 D 、12σ1σ2σ22σ2σ1σ5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）。
A 、不可能是群B 、不一定是群C 、一定是群D 、 是交换群二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。
2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。
3、已知群中的元素的阶等于50，则的阶等于------。
G a 4a 4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与-------同构。
5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A∩B=-----。
6、若映射既是单射又是满射，则称为-----------------。
ϕϕ7、叫做域的一个代数元，如果存在的-----使得αF F n a a a ,,,10 。
010=+++n n a a a αα8、是代数系统的元素，对任何均成立，则称为-------a )0,(A A x ∈x a x = a --。
最新近世代数期末考试试题和答案解析
最新近世代数期末考试试题和答案解析一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、a*b=a+2b D 、a*b=|a-b|°3=（ 1324），则。
3=（）A 、二 21B 、二 1匚2C 二 22D 、二 2 15、任意一个具有2个或以上元的半群，它（）。
A 、不可能是群B 、不一定是群C 、一定是群D 、是交换群二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、凯莱定理说：任一个子群都同一个 ------- 同构。
2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。
43、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则a 的阶等于--?4、 a 的阶若是一个有限整数n ,那么G 与——同构。
5、 A ={1.2.3} B={2.5.6}那么 A H B=-----。
&若映射「既是单射又是满射，则称「为-------------- 7、'叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的----- a0,a1,…，an 使得 a 0 - a j 川'二广7$『n =08、 a 是代数系统（A,0）的元素，对任何x ?A 均成立x 二x ，则称a 为 --------- 。
1、 A 、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（）是子群。
“ B 、3, el C 、 ,a 3：＞D 、 ,a,a 312、 A 、下面的代数系统（G ，*）中, G 为整数集合，*为加法）不是群B 、G 为偶数集合，*为加法C 、 G 为有理数集合，*为加法D 、G 为有理数集合，*为乘法3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（A 、 4、设二1、二2、二3是三个置换，其中耳=（12）（ 23）（ 13），貯 2=（ 24）（ 14），9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G作成一个群，如果满足G对于乘法圭寸闭；结合律成立、---- 。
近世代数期末考试题库完整
世代数模拟试题一一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、设A=B=R（实数集），如果A至UB的映射中：x-x+2,Vx€R,则中是从A至UB的（c）A、满射而非单射B、单射而非满射C、一一映射D、既非单射也非满射2、设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合AXB中含有（d）个元素。
A、2B、5C、7D、103、在群G中方程ax=b,ya=b,a,b6G都有解，这个解是（b）乘法来说A、不是唯一B、唯一的C、不一定唯一的D、相同的（两方程解一样）4、当G为有限群，子群H所含元的个数与任一左陪集aH所含元的个数（c）A、不相等B、0C、相等D、不一定相等。
5、n阶有限群G的子群H的阶必须是n的（d）A、倍数B、次数C、约数D、指数二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、设集合A“T0」＞；B=42},则有BMA=。
2、若有元素e6R使每a6A,都有ae=ea=a,则e称为环R的单位元。
3、环的乘法一般不交换。
如果环R的乘法交换，则称R是一个交换环。
4、偶数环是整数环的子环。
5、一个集合A的若干个-变换的乘法作成的群叫做A的一个变换全。
6、每一个有限群都有与一个置换群同构。
7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是1,元a的逆元是a-1。
8、设I和S是环R的理想且1=S=R,如果I是R的最大理想，那么。
9、一个除环的中心是一个-域-----。
三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）［写成对换的乘积。
2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。
奇1、解：把仃和工写成不相杂轮换的乘积：二三(1653)(247)(8).=(123)(48)(57)(6)可知仃为奇置换，七为偶置换。
近世代数期末考试试卷及问题详解
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ ）是子群。
A 、{}aB 、{}e a ,C 、{}3,a eD 、{}3,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（ ）不是群A 、G 为整数集合，*为加法B 、G 为偶数集合，*为加法C 、G 为有理数集合，*为加法D 、G 为有理数集合，*为乘法3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ ）A 、a*b=a-bB 、a*b=max{a,b}C 、 a*b=a+2bD 、a*b=|a-b|4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14），3σ=（1324），则3σ=（ ） A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）。
A 、不可能是群B 、不一定是群C 、一定是群D 、 是交换群二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。
2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。
3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于------。
4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与-------同构。
5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=-----。
6、若映射ϕ既是单射又是满射，则称ϕ为-----------------。
7、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的-----n a a a ,,,10 使得10=+++n n a a a αα 。
8、a 是代数系统)0,(A 的元素，对任何A x ∈均成立x a x = ，则称a 为---------。
近世代数期末考试试卷及答案.doc
近世代数期末考试试卷及答案1、设 G 有 6 个元素的循环群， a 是生成元，则G的子集（）是子群.A、 aB、a, eC、e, a3D、e, a,a 32、下面的代数系统（ G，* ）中，（）不是群A、G为整数集合， * 为加法 B 、G为偶数集合， * 为加法C、G为有理数集合， * 为加法 D 、G为有理数集合， * 为乘法3、在自然数集 N 上，下列哪种运算是可结合的？（）A、a*b=a-bB、 a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b|4、设 1 、 2 、3 是三个置换，其中 1 =（12）（23）（13）， 2 =（24）（14），3 =（ 1324），则3 =（）A、 2 B 、1 2C 、 2 D 、 2 11 25、任意一个具有 2 个或以上元的半群，它（）.A、不可能是群B、不一定是群C、一定是群D、是交换群二、填空题 ( 本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分) 请在每小题的空格中填上正确答案. 错填、不填均无分 .1、凯莱定理说：任一个子群都同一个 ---------- 同构 .2、一个有单位元的无零因子 ----- 称为整环 .3、已知群G中的元素a的阶等于 50，则a4 的阶等于 ------.4、a 的阶若是一个有限整数n，那么 G与------- 同构 .5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么 A∩B=-----.6、若映射既是单射又是满射，则称为----------------- .7、叫做域F的一个代数元，如果存在 F 的a0 , a1 ,, a n使得aa1 a nn0 .8、a是代数系统( A,0)的元素，对任何x A 均成立x ax，则称a为 --------- .9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G 作成一个群，如果满足G对于乘法封闭；结合律成立、 ---------.10、一个环 R 对于加法来作成一个循环群，则P 是----------.三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分）1、设集合 A={1,2,3}G 是 A 上的置换群， H 是 G的子群， H={I,(1 2)}，写出H的所有陪集.2、设 E 是所有偶数做成的集合，“?”是数的乘法，则“?”是 E 中的运算，（ E，?）是一个代数系统，问（ E，?）是不是群，为什么？3、a=493, b=391,求(a,b), [a,b]和p, q.四、证明题（本大题共 2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分）1、若 <G，*> 是群，则对于任意的a、 b∈ G，必有惟一的 x∈ G使得 a*x ＝ b.2、设 m是一个正整数，利用m定义整数集 Z 上的二元关系： a? b 当且仅当 m︱ a– b.近世代数模拟试题三一、单项选择题 ( 本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内. 错选、多选或未选均无分.1、6 阶有限群的任何子群一定不是（）.A、2阶B、3 阶C、4阶D、6阶2、设 G是群， G有（）个元素，则不能肯定G是交换群 .A、4个B、5个C、6个D、7个3、有限布尔代数的元素的个数一定等于（）.A、偶数B、奇数C、4的倍数D、2的正整数次幂4、下列哪个偏序集构成有界格（）A、（N,）B、（Z,）C、（ {2,3,4,6,12},|（整除关系））D、 (P(A),)5、设 S3＝ {(1) ， (12) ， (13) ， (23) ，(123) ，(132)} ，那么，在 S3 中可以与 (123) 交换的所有元素有（）A、(1) ， (123) ，(132) B 、 12) ，(13) ，(23)C、(1) ， (123) D 、 S3 中的所有元素二、填空题 ( 本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分) 请在每小题的空格中填上正确答案. 错填、不填均无分 .1、群的单位元是 -------- 的，每个元素的逆元素是 -------- 的 .2、如果f是 A 与A间的一一映射，a是 A 的一个元，则f1f a---------- .3、区间 [1 ， 2] 上的运算ab{min a,b}的单位元是 -------.4、可换群 G中|a|=6,|x|=8, 则|ax|= —————————— .5、环 Z8的零因子有 ----------------------- .6、一个子群 H 的右、左陪集的个数 ---------- .7、从同构的观点，每个群只能同构于他/ 它自己的 --------- .8、无零因子环 R 中所有非零元的共同的加法阶数称为R的----------- .9、设群G中元素a的阶为m，如果ane，那么m与n存在整除关系为 -------- .三、解答题（本大题共 3 小题，每小题10 分，共 30 分）1、用 2 种颜色的珠子做成有 5 颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？2、S1， S2是 A的子环，则 S1∩ S2也是子环 .S 1 +S2也是子环吗？3、设有置换(1345)(1245) ，(234)(456) S6.1．求和1；2．确定置换1的奇偶性 . 和四、证明题（本大题共 2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分）1、一个除环 R 只有两个理想就是零理想和单位理想.2、M为含幺半群，证明b=a-1的充分必要条件是aba=a 和 ab2a=e.近世代数模拟试题一参考答案一、单项选择题 .1、C；2、D；3、B；4、C；5、D；二、填空题 ( 本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分).1、1, 1 , 1,0 , 1,1 2, 1 , 2,0 , 2,1；2、单位元；3、交换环；4、整数环；5、变换群；6、同构 ;7 、零、 -a ；8、S=I 或 S=R ；9、域；三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分）1、解：把和写成不相杂轮换的乘积：(1653)(247)(8)(123)(48)(57)(6)可知为奇置换，为偶置换.和可以写成如下对换的乘积：(13)(15)(16)(24)(27)(13)(12)(48)(57)B 1(A A) C1(A A)，则 B 是对称矩阵，而 C 是反对2、解：设 A 是任意方阵，令 2 ， 2称矩阵，且AB C.若令有AB1C1 ，这里B1 和C1 分别为对称矩阵和反对称矩阵，则B B1C1C，而等式左边是对称矩阵，右边是反对称矩阵，于是两边必须都等于0，即：B B1 ，C C1，所以，表示法唯一.3、答：（Mm，m）不是群，因为Mm中有两个不同的单位元素0 和 m.四、证明题（本大题共 2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分）1、对于 G中任意元 x，y，由于(xy)2 e ，所以 xy ( xy) 1 y 1 x1yx（对每个 x，从x2 e 可得 x x 1 ）.2、证明在 F 里ab 1 b 1 a a (a, b R, b 0)bQ所有a(a,b R, b0)有意义，作 F 的子集 bQ显然是 R 的一个商域证毕.近世代数模拟试题二参考答案一、单项选择题 ( 本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分).二、填空题 ( 本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分).1、变换群；2、交换环；3、25；4、模 n 乘余类加群；5、{2} ；6、一一映射；7、不都等于零的元； 8、右单位元； 9、消去律成立； 10、交换环；三、解答题（本大题共 3 小题，每小题10 分，共 30 分）1、解： H的 3 个右陪集为： {I,(1 2)} ，{(123) ，(1 3)} ，{(1 32) ，(23)}H的 3 个左陪集为： {I,(1 2)} ，{(1 2 3) ，(2 3)} ，{(1 3 2 ) ，(1 3 )}2、答：（ E，?）不是群，因为（ E，?）中无单位元 .3、解方法一、辗转相除法 . 列以下算式：a=b+102b=3× 102+85102=1×85+17由此得到 (a,b)=17, [a,b]=a×b/17=11339.然后回代： 17=102-85=102-(b-3 ×102)=4×102-b=4×(a-b)-b=4a-5b.所以 p=4, q=-5.四、证明题（本大题共 2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分）1、证明设e是群<G，*>的幺元.令x＝a－1*b，则a*x＝a*(a－1*b)＝(a*a－1)*b＝e*b＝b. 所以， x＝a－1*b 是 a*x ＝ b 的解 .若 x ∈G也是 a*x ＝ b 的解，则 x ＝e*x ＝(a － 1*a)*x ＝a－1*(a*x ) ＝a－1*b ＝ x. 所以， x＝a－1*b 是 a*x ＝ b 的惟一解 .2、容易证明这样的关系是 Z 上的一个等价关系，把这样定义的等价类集合Z记为 Zm，每个整数 a 所在的等价类记为 [a]= ｛x∈ Z； m︱ x– a｝或者也可记为a，称之为模 m剩余类 . 若 m ︱a– b 也记为 a≡b(m).当 m=2时， Z2 仅含 2 个元： [0] 与[1].近世代数模拟试题三参考答案一、单项选择题 ( 本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内. 错选、多选或未选均无分.二、填空题 ( 本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分) 请在每小题的空格中填上正确答案 . 错填、不填均无分 .1、唯一、唯一；2、a； 3、 2； 4、 24；5、； 6、相等； 7、商群； 8、特征； 9、m n；三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分）1、解在学群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法. 用笔在纸上画一下，用黑白两种珠子，分类进行计算：例如，全白只 1 种，四白一黑 1 种，三白二黑 2 种，等等，可得总共8 种 .2、证由上题子环的充分必要条件，要证对任意a,b ∈ S1∩S2 有 a-b, ab ∈ S1∩S2：因为 S1，S2 是 A 的子环，故 a-b, ab ∈S1 和 a-b, ab ∈S2 ，因而 a-b, ab ∈S1∩S2 ，所以 S1∩ S2 是子环 .S1+S2不一定是子环 . 在矩阵环中很容易找到反例：3、解： 1 ．(1243)(56) ，1(16524 ) ；2．两个都是偶置换 .四、证明题（本大题共 2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分）1、证明：假定是 R 的一个理想而不是零理想，那么 a 0，由理想的定义a 1a 1，因而R的任意元b b ?1这就是说=R，证毕 .2、证必要性：将 b 代入即可得 . 充分性：利用结合律作以下运算：ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e ，ba=(ab2a)ba=ab2 (aba)=ab2a=e ，所以 b=a-1.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一、单项选择题 ( 本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、设 G 有 6 个元素的循环群， a 是生成元，则 G 的子集（）是子群。
A、aB、 a , e33 C、 e, a D、 e, a , a2、下面的代数系统（ G， * ）中，（）不是群A、G为整数集合， * 为加法B、G为偶数集合， * 为加法C、G为有理数集合， * 为加法D、G为有理数集合， * 为乘法3、在自然数集 N 上，下列哪种运算是可结合的？（）A、a*b=a-bB、a*b=max{a,b}C、 a*b=a+2bD、a*b=|a-b|4、设 1 、 2 、 3 是三个置换，其中 1 =（12）（23）（13），2 =（24）（14），3=（ 1324），则3=（）A、2 B 、12 D 、2112C 、25、任意一个具有 2 个或以上元的半群，它（）。
A、不可能是群B、不一定是群C、一定是群D、是交换群二、填空题 ( 本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分) 请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。
2、一个有单位元的无零因子 ----- 称为整环。
43、已知群G中的元素a的阶等于 50，则a的阶等于 ------。
4、a 的阶若是一个有限整数n，那么 G与-------同构。
5、A={1.2.3}B={2.5.6}那么 A∩B=----- 。
6、若映射既是单射又是满射，则称为-----------------。
7 、叫做域F的一个代数元，如果存在F的-----a 0 , a1 , , a n使得na 0 a 1 a n0 。
8、a是代数系统( A ,0 )的元素，对任何x A 均成立 x a x ，则称 a 为---------。
9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G 作成一个群，如果满足G对于乘法封闭；结合律成立、---------。
10、一个环R 对于加法来作成一个循环群，则P 是----------。
三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分）1、设集合 A={1,2,3}G是A上的置换群，H是G的子群，H={I,(1 2)}，写出H 的所有陪集。
2、设 E 是所有偶数做成的集合，“”是数的乘法，则“”是E中的运算，（E，）是一个代数系统，问（E，）是不是群，为什么？3、a=493, b=391,求(a,b), [a,b]和p, q。
四、证明题（本大题共 2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分）1、若 <G，*> 是群，则对于任意的a、 b∈ G，必有惟一的 x∈G使得 a*x ＝ b。
2、设 m是一个正整数，利用 m定义整数集 Z 上的二元关系：a? b 当且仅当 m︱a–b。
近世代数模拟试题三一、单项选择题 ( 本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、6 阶有限群的任何子群一定不是（）。
A、2阶B、3阶C、4阶D、6阶2、设 G是群， G有（）个元素，则不能肯定G是交换群。
A、4个B、5个C、6个D、7个3、有限布尔代数的元素的个数一定等于（）。
A、偶数B、奇数C、4的倍数D、2的正整数次幂4、下列哪个偏序集构成有界格（）A、（N, ）B、（Z, ）C、（{2,3,4,6,12},|（整除关系））D、 (P(A),)5、设 S3＝{(1) ，(12)，(13) ，(23) ，(123) ，(132)}，那么，在 S3 中可以与 (123)交换的所有元素有（）A、(1) ， (123) ，(132)B、 12) ，(13) ，(23)C、(1) ， (123)D、 S3中的所有元素二、填空题 ( 本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分) 请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、群的单位元是 --------的，每个元素的逆元素是--------的。
2、如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，则f 1f a ----------。
3、区间 [1 ， 2] 上的运算a b{min a, b} 的单位元是-------。
4、可换群 G中|a|=6,|x|=8,则|ax|=——————————。
5、环 Z8的零因子有 -----------------------。
6、一个子群 H 的右、左陪集的个数 ----------。
7、从同构的观点，每个群只能同构于他/ 它自己的 ---------。
8、无零因子环 R 中所有非零元的共同的加法阶数称为R 的 -----------。
n9、设群G中元素a的阶为m，如果a e ，那么m与n存在整除关系为--------。
三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分）1、用 2 种颜色的珠子做成有 5 颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？2、S1， S2是 A 的子环，则 S1∩ S2也是子环。
S1+S2也是子环吗？3、设有置换(1345 )( 1245 ) ，(234 )( 456 ) S6。
11．求和；12．确定置换和的奇偶性。
四、证明题（本大题共 2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分）1、一个除环 R 只有两个理想就是零理想和单位理想。
2、M为含幺半群，证明b=a-1的充分必要条件是aba=a 和 ab2 a=e。
近世代数模拟试题一参考答案一、单项选择题。
1、C；2、D；3、B；4、C；5、D；二、填空题 ( 本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分) 。
1、1, 1 , 1,0 , 1,1 2, 1 , 2,0 , 2 ,1；2、单位元；3、交换环；4、整数环；5、变换群；6、同构 ;7 、零、 -a ；8、S=I 或 S=R ；9、域；三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分）1、解：把和写成不相杂轮换的乘积：(1653 )( 247 )( 8)(123 )( 48 )( 57 )( 6)可知为奇置换，为偶置换。
和可以写成如下对换的乘积：(13 )( 15 )( 16 )( 24 )( 27 )(13 )( 12 )( 48 )( 57 )B 1A )C1A ) ( A( A2、解：设 A 是任意方阵，令2，2，则 B 是对称矩阵，而 C 是反对称矩阵，且AB C 。
若令有AB 1C1，这里B1和C1 分别为对称矩阵和反对称矩阵，则B B1 C 1 C，而等式左边是对称矩阵，右边是反对称矩阵，于是两边必须都等于0，即：BB1，CC1 ，所以，表示法唯一。
3、答：（M m，m）不是群，因为M m中有两个不同的单位元素0 和 m。
四、证明题（本大题共 2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分）2e ，所以 xy 1111、对于 G 中任意元 x，y，由于( xy )( xy )y x yx （对每2e 可得 x x 1个 x，从x）。
2、证明在 F 里11aR, b0 )ab b a(a , bbQaR , b0)所有(a , b有意义，作 F 的子集bQ显然是 R 的一个商域证毕。
近世代数模拟试题二参考答案一、单项选择题 ( 本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分) 。
1、C；2、D；3、B；4、B；5、A；二、填空题 ( 本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分) 。
1、变换群；2、交换环；3、25；4、模n 乘余类加群；5、{2} ；6、一一映射；7、不都等于零的元；8、右单位元；9、消去律成立； 10、交换环；三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分）1、解： H的 3 个右陪集为： {I,(1 2)} ，{(1 2 3 ) ，(1 3)} ，{(132)，(2 3)}H的 3 个左陪集为： {I,(1 2)}，{(123)，(2 3)} ，{(1 3 2 )，(1 3 )}2、答：（ E，）不是群，因为（E，）中无单位元。
3、解方法一、辗转相除法。
列以下算式：a=b+102b=3× 102+85102=1×85+17由此得到 (a,b)=17, [a,b]=a× b/17=11339。
然后回代： 17=102-85=102-(b-3 ×102)=4×102-b=4×(a-b)-b=4a-5b.所以 p=4, q=-5.四、证明题（本大题共 2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分）1、证明设e是群<G，*>的幺元。
令x＝a－1*b，则a*x＝a*(a－1*b)＝(a*a－1)*b ＝e*b ＝ b。
所以， x＝a－1*b 是 a*x ＝ b 的解。
若 x ∈G也是 a*x ＝b 的解，则 x ＝e*x ＝ (a －1*a)*x＝a－1*(a*x) ＝a－1*b ＝x。
所以， x＝a－1*b 是 a*x ＝b 的惟一解。
2、容易证明这样的关系是Z 上的一个等价关系，把这样定义的等价类集合Z 记为Zm，每个整数 a 所在的等价类记为 [a]= ｛ x∈ Z； m︱x–a｝或者也可记为a，称之为模 m剩余类。
若 m︱ a– b 也记为 a≡b(m)。
当 m=2时， Z2 仅含 2 个元： [0] 与 [1] 。
近世代数模拟试题三参考答案一、单项选择题 ( 本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、C；2、C；3、D；4、D；5、A；二、填空题 ( 本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分) 请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、唯一、唯一；2、a；3、2；4、24；5、；6、相等；7、商群；8、特征；9、m n；三、解答题（本大题共3小题，每小题 10 分，共 30 分）1、解在学群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法。
用笔在纸上画一下，用黑白两种珠子，分类进行计算：例如，全白只 1 种，四白一黑 1 种，三白二黑 2种， , 等等，可得总共8种。
2、证由上题子环的充分必要条件，要证对任意a,b ∈S1∩S2 有 a-b, ab ∈S1∩S2：因为 S1，S2 是 A 的子环，故 a-b, ab ∈S1 和 a-b, ab ∈S2 ，因而 a-b, ab ∈S1∩ S2 ，所以 S1∩ S2是子环。