近世代数期末考试试题和答案解析

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ ）是子群。

A 、B 、C 、D 、{}a {}e a ,{}3,a e {}3,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（ ）不是群A 、G 为整数集合，*为加法B 、G 为偶数集合，*为加法C 、G 为有理数集合，*为加法D 、G 为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ ）A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b|4、设、、是三个置换，其中=（12）（23）（13），=（24）（14），1σ2σ3σ1σ2σ=（1324），则=（ ）3σ3σA 、 B 、 C 、 D 、12σ1σ2σ22σ2σ1σ5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）。

A 、不可能是群B 、不一定是群C 、一定是群D 、 是交换群二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。

2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。

3、已知群中的元素的阶等于50，则的阶等于------。

G a 4a 4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与-------同构。

5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A∩B=-----。

6、若映射既是单射又是满射，则称为-----------------。

ϕϕ7、叫做域的一个代数元，如果存在的-----使得αF F n a a a ,,,10 。

010=+++n n a a a αα8、是代数系统的元素，对任何均成立，则称为-------a )0,(A A x ∈x a x = a --。

9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合作成一个群，如果满足G 对于乘法封闭；结合律成立、---------。

G 10、一个环R 对于加法来作成一个循环群，则P 是----------。

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、设集合A={1,2,3}G 是A 上的置换群，H 是G 的子群，H={I,(1 2)}，写出H的所有陪集。

2、设E 是所有偶数做成的集合，“”是数的乘法，则“”是E 中的运算，（E ，）是∙∙∙一个代数系统，问（E ，）是不是群，为什么？∙3、a=493, b=391, 求(a,b), [a,b] 和p, q 。

四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、若<G ，*>是群，则对于任意的a 、b∈G，必有惟一的x∈G 使得a*x ＝b 。

2、设m 是一个正整数，利用m 定义整数集Z 上的二元关系：a 〜b 当且仅当m︱a –b 。

近世代数模拟试题三一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1、6阶有限群的任何子群一定不是（ ）。

A 、2阶 B 、3 阶 C 、4 阶 D 、 6 阶2、设G 是群，G 有（ ）个元素，则不能肯定G 是交换群。

A 、4个 B 、5个 C 、6个 D 、7个3、有限布尔代数的元素的个数一定等于（ ）。

A 、偶数B 、奇数C 、4的倍数D 、2的正整数次幂4、下列哪个偏序集构成有界格（ ）A 、（N,）B 、（Z,） ≤≥C 、（{2,3,4,6,12},|（整除关系））D 、 (P(A),)⊆5、设S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3中可以与(123)交换的所有元素有（ ）A 、(1)，(123)，(132)B 、12)，(13)，(23)C 、(1)，(123)D 、S3中的所有元素二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1、群的单位元是--------的，每个元素的逆元素是--------的。

2、如果是与间的一一映射，是的一个元，则----------f A A a A ()[]=-a f f1。

3、区间[1，2]上的运算的单位元是-------。

},{min b a b a = 4、可换群G 中|a|=6,|x|=8,则|ax|=——————————。

5、环Z 8的零因子有 -----------------------。

6、一个子群H 的右、左陪集的个数----------。

7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的---------。

8、无零因子环R 中所有非零元的共同的加法阶数称为R 的-----------。

9、设群中元素的阶为，如果，那么与存在整除关系为------G a m e a n=m n --。

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？2、S 1，S 2是A 的子环，则S 1∩S 2也是子环。

S 1+S 2也是子环吗？3、设有置换，。

)1245)(1345(=σ6)456)(234(S ∈=τ1．求和；στστ-12．确定置换和的奇偶性。

στστ-1四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、一个除环R 只有两个理想就是零理想和单位理想。

2、M 为含幺半群，证明b =a -1的充分必要条件是aba =a 和ab 2a =e 。

近世代数模拟试题一 参考答案一、单项选择题。

1、C ；2、D ；3、B ；4、C ；5、D ；二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)。

1、；2、单位元；3、交换环；4、整数环；5、()()()()()(){}1,2,0,2,1,21,1,0,1,1,1--变换群；6、同构;7、零、-a ；8、S=I 或S=R ；9、域；三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、解：把和写成不相杂轮换的乘积：στ )8)(247)(1653(=σ)6)(57)(48)(123(=τ可知为奇置换，为偶置换。

和可以写成如下对换的乘积：στστ )27)(24)(16)(15)(13(=σ)57)(48)(12)(13(=τ2、解：设A 是任意方阵，令，，则B 是对称矩阵，)(21A A B '+=)(21A A C '-=而C 是反对称矩阵，且。

若令有，这里和分别为对称CB A +=11C B A +=1B 1C 矩阵和反对称矩阵，则，而等式左边是对称矩阵，右边是反对称C C B B -=-11矩阵，于是两边必须都等于0，即：，，所以，表示法唯一。

1B B =1C C =3、答：（，）不是群，因为中有两个不同的单位元素0和m 。

m M m +m M 四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、对于G 中任意元x ，y ，由于，所以（对每e xy =2)(yx x y xy xy ===---111)(个x ，从可得）。

e x =21-=x x 2、证明在F 里)0,,(11≠∈==--b R b a baa b ab有意义，作F 的子集)0,,(≠∈⎭⎬⎫⎩⎨⎧=-b R b a b a Q 所有显然是R 的一个商域 证毕。

-Q 近世代数模拟试题二 参考答案一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)。

1、C ；2、D ；3、B ；4、B ；5、A ；二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)。

1、变换群；2、交换环；3、25；4、模n 乘余类加群；5、{2}；6、一一映射；7、不都等于零的元；8、右单位元；9、消去律成立；10、交换环；三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、解：H 的3个右陪集为：{I,(1 2)}，{(1 2 3 )，(1 3)}，{(1 3 2 )，(23 )}H 的3个左陪集为：{I,(1 2)} ，{(1 2 3 )，(2 3)}，{(1 3 2 )，(1 3 )}2、答：（E ，）不是群，因为（E ，）中无单位元。

∙∙3、解 方法一、辗转相除法。

列以下算式：a=b+102b=3×102+85102=1×85+17由此得到 (a,b)=17, [a,b]=a×b/17=11339。

然后回代：17=102-85=102-(b-3×102)=4×102-b=4×(a-b)-b=4a-5b.所以 p=4, q=-5.四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、证明设e 是群<G ，*>的幺元。

令x ＝a －1*b ，则a*x ＝a*(a －1*b)＝(a*a －1)*b ＝e*b ＝b 。

所以，x ＝a －1*b 是a*x ＝b 的解。

若x '∈G 也是a*x ＝b 的解，则x '＝e*x '＝(a －1*a)*x '＝a －1*(a*x ')＝a －1*b ＝x 。

所以，x ＝a －1*b 是a*x ＝b 的惟一解。

2、容易证明这样的关系是Z 上的一个等价关系，把这样定义的等价类集合记Z为Zm ，每个整数a 所在的等价类记为[a]=｛x∈Z；m︱x –a ｝或者也可记为，a 称之为模m 剩余类。

若m︱a –b 也记为a≡b(m)。

当m=2时，Z2仅含2个元：[0]与[1]。

近世代数模拟试题三 参考答案一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1、C ；2、C ；3、D ；4、D ；5、A ；二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1、唯一、唯一；2、；3、2；4、24；5、；6、相等；7、商群；8、特a 征；9、；nm 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、解 在学群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法。

用笔在纸上画一下，用黑白两种珠子，分类进行计算：例如，全白只1种，四白一黑1种，三白二黑2种，…等等，可得总共8种。

2、证 由上题子环的充分必要条件，要证对任意a,b∈S1∩S2有a-b,ab∈S1∩S2：因为S1，S2是A 的子环，故a-b, ab∈S1和a-b, ab∈S2 ，因而a-b, ab∈S1∩S2 ，所以S1∩S2是子环。