《近世代数》模拟试题1及答案

近世代数模拟试题
一. 单项选择题(每题5分，共25分)
1、在整数加群（Z，＋）中，下列那个是单位元（）.
A. 0
B. 1
C. －1
D. 1/n，n是整数
2、下列说法不正确的是（）.
A . G只包含一个元g，乘法是gg＝g。

G对这个乘法来说作成一个群;
B . G是全体整数的集合，G对普通加法来说作成一个群;
C . G是全体有理数的集合，G对普通加法来说作成一个群;
D. G是全体自然数的集合，G对普通加法来说作成一个群.
3. 如果集合M的一个关系是等价关系，则不一定具备的是( ).
A . 反身性 B. 对称性 C. 传递性 D. 封闭性
4. 对整数加群Z来说，下列不正确的是（）.
A. Z没有生成元.
B. 1是其生成元.
C. －1是其生成元.
D. Z是无限循环群.
5. 下列叙述正确的是（）。

A. 群G是指一个集合.
B. 环R是指一个集合.
C. 群G是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元，
逆元存在.
D. 环R是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元，
逆元存在.
二. 计算题(每题10分，共30分)
1. 设G 是由有理数域上全体2阶满秩方阵对方阵普通乘法作成
的群，试求中G 中下列各个元素1213,,0101c d cd ⎛⎫⎛⎫
== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，
的阶.
2. 试求出三次对称群
{}3(1),(12),(13),(23),(123),(132)S = 的所有子群.
3. 若e是环R的惟一左单位元，那么e是R的单位元吗？若是，请给予证明.
三. 证明题(第1小题10分，第2小题15分，第3小题20分，共45分).
1. 证明: 在群中只有单位元满足方程
2.
x x
=
2．设G是正有理数乘群，G是整数加群. 证明：
:2n b
n a
ϕ
是群G到G的一个满同态，其中,a b是整数，而(,2)1
ab=.
3．设S是环R的一个子环.证明: 如果R与S都有单位元，但不相等，则S的单位元必为R的一个零因子.
近世代数模拟试题答案
2008年11月
一、单项选择题(每题5分，共25分)
1. A
2. D
3. D 4 . A 5 . C
二. 计算题(每题10分，共30分) 1. 解：
易知 c 的阶无限， (3分)
d 的阶为2. （3分）
但是 11,01cd ⎛⎫
=
⎪-⎝⎭
（2分）
的阶有限，是2. （2分） 2. 解：3S 的以下六个子集
{}{}{}123(1),(1),(12),(1),(13),
H H H ===
{}{}4563(1),(23),(1),(123),(132),H H H S === （7分）
对置换乘法都是封闭的，因此都是3S 的子集. （3分） 3. 解：
e 是R 的单位元。

事实上，任取,,a b R ∈ 则因e 是R 的左单位元，故
()(),ae a e b a eb ab eb ab ab b b -+=-+=-+=
即 ae a e -+也是R 的左单位元。

故有题设得 ,.ae a e e ae a -+=∴= 即
e 是R 的单位元.
三、证明题(每小题15分共45分)
1． 证明：
设e 是G 的单位元，则e 显然满足所说的方程 （3分） 另外， 设a G ∈且2
a a =，则有
121,a a a a --= 即,a e = （5分）
即只有e 满足方程 2.x x
= （2分）
2. 证明： ϕ显然是G 到G 的一个满射 （3分）
又由于 当(,2)1,(,2)1ab cd ==时有
(,2)1abcd = （4分）
且
(22)(2)(2)(2).
n m n m n m b d bd
n m a c ac
b d
a c
ϕϕϕϕ+⋅⋅⋅=⋅
=+=⋅⋅ （6分）
故 ϕ是群G 到G 的一个同态满射。

（2分）
3 证明：
分别用e 和e '表示R 与S 的单位元，且e e '≠，
于是e '不是R 的单位元。

（3分） 因此，存在0a R ≠∈，使
ae a '≠或e a a '≠ （5分）
如果ae a '≠，则0ae a '-≠，且
()0,ae a e ae ae ''''-=-= （4分）
即e '是R 的（右）零因子。

（3分） 同理，如果,e a a '≠则e '是R 的（左）零因子. （5分）。