工程数学(本)模拟试题1及参考答案

工程数学（本）模拟试题2011.11
一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）
1. B A ,都是n 阶矩阵，则下列命题正确的是 ( ) ．
(A) B A AB = (B) 2222)(B AB A B A +-=-
(C) BA AB = (D) 若0AB =，则0A =或0B =
2. 已知2维向量组4321,,,αααα，则),,,(4321ααααr 至多是（ ）．
(A) 1 (B) 2
(C) 3 (D) 4
3. 设0AX =是n 元线性方程组，其中A 是n 阶矩阵，若条件（ ）成立，则该方程组没有非0解．
(A) n r <)(A (B) A 的行向量线性相关
(C) 0=A (D) A 是行满秩矩阵
4. 袋中放有3个红球，2个白球，第一次取出一球，不放回，第二次再取一球，则两次都是红球的概率是（ ）．
(A) 256 (B) 10
3 (C) 203 (D) 25
9 5. 设x x x n 12,,, 是来自正态总体N (,)μσ2的样本，则（ ）是μ无偏估计．
(A) 3215
15151x x x ++ (B) 321x x x ++ (C)
321535151x x x ++ (D) 321525252x x x ++ 二、填空题（每小题3分，共15分）
1. 设B ,A 均为3阶矩阵，且3,6=-=B A ，='--3)(1B A ．
2. 设A 为n 阶方阵，若存在数λ和非零n 维向量x ，使得x x A λ=，则称λ为A 的 ．
3. 已知2.0)(,8.0)(==AB P A P ，则=-)(B A P ．
4. 设随机变量⎥⎦
⎤⎢⎣⎡a X 5.02.0210~，则=a ．
5. 若参数θ的估计量 θ
满足E ( )θθ=，则称 θ为θ的 ． 三、计算题（每小题16分，共64分）
1设矩阵⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--------=031052,843722310B A ，I
是3阶单位矩阵，且有B X A I =-)(，求X ．
2. 求线性方程组
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++--=--+--=--=+++8
8325
92343232432143214324321x x x x x x x x x x x x x x x 的全部解．
3. 设)4,3(~N X ，试求⑴)95(<<X P ；⑵)7(>X P ．（已知,8413.0)1(=Φ 9987.0)3(,9772.0)2(=Φ=Φ）
4. 某钢厂生产了一批管材，每根标准直径100mm ，今对这批管材进行检验，随机取出9根测得直径的平均值为99.9mm ，样本标准差s = 0.47，已知管材直径服从正态分布，问这批管材的质量是否合格（检验显著性水平α=00
5.，t 0058230
6.().=）
四、证明题（本题6分）
设321,,ααα是线性无关的，证明, 313221,,αααααα+++也线性无关．
试题答案及评分标准
（供参考）
一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）
1. A
2. B
3. D
4.B
5. C
二、填空题（每小题3分，本题共15分）
1. 8
2. 特征值
3.6.0
4.3.0
5. 无偏估计
三、计算题（每小题16分，本题共64分）
1. 解：由矩阵减法运算得
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---------⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-943732311843722310100010001A I ………5分 利用初等行变换得
113100237010349001113100011210010301⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥→--⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦
⎥⎥⎥
→----⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥→----⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦
⎥⎥⎥113100011210001111110233010301001111 →---⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦
⎥⎥⎥100132010301001111 即 ()I A -=---⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦
⎥⎥⎥-1132301111 由矩阵乘法运算得
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-=-6515924031052111103231)(1B A I X ………16分 2. 解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------2413043250432103211188312
591234321032
111 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------→0000021100432103211110550
0241212004321032111 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→0000
0211000101012001 此时齐次方程组化为 ⎪⎩⎪⎨⎧-==-=43
42412x x x x x x
令14=x ，得齐次方程组的一个基础解系
[]'--=11121X ………12分 令04=x ，得非齐次方程组的一个特解
[]'=02010X
由此得原方程组的全部解为
10kX X X += （其中k 为任意常数） ………16分
3. 解：⑴)32
31()23923235(
)95(<-<=-<-<-=<<X P X P X P 1574.08413.09987.0)1()3(=-=Φ-Φ= ………8分
⑵)2
3723()7(->-=>X P X P )22
3(1)223(≤--=>-=X P X P 0228.09772.01)2(1=-=Φ-= ………16分 4. 解：零假设H 0100:μ=．由于未知σ2，故选取样本函数
T x s n
t n =--μ~()1 ………5分 已知x =999.，经计算得
s 90473016==..，x s n
-=-=μ9991000160625... ………11分 由已知条件t 00582306.().=，
x s n
t -=<=μ062523068005..(). 故接受零假设，即可以认为这批管材的质量是合格的。

………16分
四、证明题（本题6分）
证明：设有一组数321,,k k k ，使得
0)()()(313322211=+++++ααααααk k k
成立，即0)()()(332221131=+++++αααk k k k k k ，由已知321,,ααα线性无关，故有
⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+00032
2131k k k k k k
该方程组只有零解，得0321===k k k ，故313221,,αααααα+++是线性无关的．证毕． ………6分
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