工程数学试题1答案-自考

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装

订 线 左 侧 不 要 书 写 内 容

试卷类型： 试卷形式：闭卷 满分：100 分 考试时间： 分钟 考试科目： 专业： 班级：

一、填空题 (本大题共5小题，每小题2分，共10分) 1. 310-

，110

2. (21),(0,1,2,)k i k π+=±±

3. 34i e -

4. 1

5. 2i ±

二、计算下列各题的值（本大题共2小题，每小题5分，共10分）

11

cos[arctan ]sin[arctan ]

2226.-------------212cos[arctan(2)]sin[arctan(2)]

11

cos[arctan arctan(2)]sin[arctan arctan(2)]---------222

-------------i i i i i i ++=--+-=--+--=（分）（分）

（1分）

7. 224

(cos

sin 44

i

e

e i π

π

π

-+-=+----------------------（3分）

2

22()22e i ---=+=+-----------------（2分）

三、证明题（本大题共5分）

8.证明：由于1Re ()2

z z z =+------------------（2分） 所以

22211121221112

2Re()()

z z z z z z z z z z z z z z =+=+=+----------------（3分）

四、 讨论题（本大题共5分）

9. 由于22()12f z x y xyi =-++-，因此22

(,)1,u x y x y =-++(,)2v x y xy =-， 于是

2,2,2,2u u v v x y y x x y x y

∂∂∂∂==-==∂∂∂∂，------（3分） 显然，上述四个一阶偏导数均连续，且C-R 方程处处满足，

因此2

()2f z z =+在复平面处处可导，处处解析。------（2分）

五、计算题（本大题共7小题，每小题10分，共70分）

10. 解：22sin z z i e z dz z -=⎰ =02(sin )(62(4z z i e z i

ππ='-----=-----分）分）

11. 解：22222,2,2,2u u u u x ky k x y x y ∂∂∂∂====∂∂∂∂，--------------------------（2分） u 为调和函数，则有22220.u u

x y

∂∂+=∂∂

即220k +=，所以 1k =-。 ---------------------------（3分）

(,)

(0,0)

2222(3x y y v ydx xdy C

xdy C xy C

=++=+=+-------⎰

⎰分）

所以 2

2

()(2)f z x y i xy C =-++，又由()1,f i =- 得0.C =

从而 2

2

2

()2f z x y xyi z =-+= ---------------------------（2分）

12. 解：0;1;1z =-分别为()f z 的二阶极点，一阶极点，一阶极点。 -----------（3分）

因此

220011

Re [(),0]lim [(0)](21)!(1)(1)

2lim

(1)(1)

z z d s f z z dz z z z z

z z →→=

--+--==+--------------（3分）

------------------------------------------------ 装 ---------------------------------

订 ---------------------------------

线 ------------------------------------------------

装

订 线 左 侧 不 要 书 写 内 容

试卷类型： 试卷形式：闭卷 满分：100 分 考试时间： 分钟 考试科目： 专业： 班级：

2111Re [(),1]lim[(1)](1)(1)2

z s f z z z z z →--=+=-+- -----------------（2分） 2

1

11

Re [(),1]lim[(1)

](1)(1)2

z s f z z z z z →=-=+- -----------------（2分） 13.

020

3()3)

()3)1

4)

6

t

t

t t t d t d t ττττττ

*=--------=---------=--------⎰⎰解：（分（分（分

14. 解：

[()][1sin ]

[1][sin ](4L f t L t at L L t at =-=-------分）

=

221()a s s a

'++------------（4分） =222

12()as s s a -+-------------（2分）

15. 解：11

()23

F s s s =

-

++，--------------（2分） 11112311[()][

](323

11

[][](323(2t t L F s L s s L L s s e e ------=--------++=--------++=--------分）分）分）

16. 解：

令()[()]Y s L y t =，方程两边同时取拉普拉斯变换得

2()(0)(0)2()0,s Y s sy y Y s '--+= ------------------------------（5分）

代入初值得2

(),2

Y s s =

+

所以1

()[()]y t L Y s -== ------------------------------（5分）