工程数学试题与答案
工程数学复习题(含答案)
工程数学复习题1．00110212=-k k的充分条件是（ C ） （A ） k ＝2 （B ）k ＝0 （C ）k ＝－2 （D ）k ＝3 2．如果1333231232221131211==a a a a a a a a a D ，3332313123222121131211111324324324a a a a a a a a a a a a D ---=，那么=1D （ B ） （A ） 8 （B ）－12 （C ）24 （D ）－24 3．已知矩阵333231232221131211a a a a a a a a a A =，那么能左乘A （在A 的左边）的矩阵是（ B ）（A ） ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡323122211211b b b b b b （B ）[]131211b b b （C ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡312111b b b （D ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡22211211b b b b 4．设A ，B ，C 均为n 阶矩阵，下列运算不是运算律的是（ Ｄ ）（A ） （Ａ+Ｂ）+Ｃ＝（Ｃ+Ａ）+Ｂ （B ） （Ａ+Ｂ）Ｃ＝ＡＣ+ＡＢ （Ｃ） Ａ（ＢＣ）＝（ＡＢ）Ｃ （Ｄ） Ａ（ＢＣ）＝（ＡＣ）Ｂ 5．已知A ，B ，C 均为n 阶矩阵，且ABC ＝I ，则下列结论必然成立的是（C ） （A ）ACB ＝I （B ）BAC ＝I （Ｃ）BCA ＝I （Ｄ）CBA ＝I6．设有向量组)1,0,0(),0,0,1(21==αα，若β是2,1αα的线性组合，则β可以等于（ B ） （A ）)2,1,0( （B ）)4,0,3(- （Ｃ）)0,1,1( （Ｄ）)0,1,0(- 7．n 维向量组()n s s ≤≤3,...,,21ααα线性无关的充分必要条件是（ D ） （A ）存在一组不全为零的数s k k k ,...,,21，使0...2211≠+++s s k k k ααα； （B ）s ααα,...,,21中任意两个向量都线性无关；（Ｃ）s ααα,...,,21中存在一个向量，它不能由其余向量线性表示； （Ｄ）s ααα,...,,21中任意一个向量都不能由其余向量线性表示； 8．已知向量组4321,,,αααα线性无关，则向量组（ C ）也线性无关（A ）14433221,,,αααααααα++++ （B ）14433221,,,αααααααα---- （Ｃ）14433221,,,αααααααα-+++ （Ｄ）14433221,,,αααααααα--++9．设 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=111111111A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=15042-1-321B ，求A 23AB -及T AB .10．已知行列式2333231232221131211=a a a a a a a a a ，求331332123111132312221121131211252525333a a a a a a a a a a a a a a a ---+++ 解：331332123111132312221121131211252525333a a a a a a a a a a a a a a a ---+++＝331332123111232221131211252525333a a a a a a a a a a a a ---+331332123111131211131211252525333a a a a a a a a a a a a --- ＝331332123111232221131211252525333a a a a a a a a a a a a ---+0 ＝131211232221131211555333a a a a a a a a a －333231232221131211222333a a a a a a a a a ＝0－32⨯333231232221131211a a a a a a a a a＝－232⨯⨯ ＝－12 11．设132λλ=D ，问当λ为何值时0=D ？解：132λλ＝λλ32-由λλ32-＝0解得01=λ或32=λ12．计算三阶行列式140053101-解：140053101-＝1405)1(111+-⨯+1410)1(312--⨯+＝5+12＝1713．计算四阶行列式2013133251411021---解：2013133251411021---14131232r r r r r r --+5050131061601021-----32r r ↔ －5050616013101021-----242356r r r r -+015000170023101021--341715r r + 00000170023101021-＝014．计算四阶行列式2410223211511312---解：2410223211511312---21r r ↔ －2410223213121151---131222r r r r -- －241000130311101151---32r r ↔ 13⨯24103111000101151---242311r r r r +- 13⨯2400310000101151--344r r - 13⨯14000310000101151--＝1411113⨯⨯⨯⨯＝18215．已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=864297510213A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=612379154257B ，且B X A =+2，求X 解：由B X A =+2得()A B X -=21＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------2721224444642116．已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=114021A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=102312B ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=213421C ，求()C B A 23-. 解：()C B A 23-＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-114021⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21342121023123 ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-114021⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯120114＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----214480151 17．用矩阵的初等变换求矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=523012101A 的逆矩阵1-A解：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--100010001523012101−−→−+-131232r r r r ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---103012001220210101⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---−−→−-21127012001100210101127012001200210101323212r r r−−→−+-32312r r r r ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----21127115211251000100011-A ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----211271152112518．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=101212001A ，如A 可逆，求1-A解： ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---100010001101212001−−−→−++13122rr r r ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-101012001100210001 −−−→−-322r r ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--101210001100010001−−→−-2r ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-101210001100010001可见A 可逆，1-A ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-10121000119．判断向量组()2,0,11=α，()1,1,12=α，()5,1,33=α是否线性相关？解：由512110311132r r -110110311--＝0，所以321,,ααα线性相关20．考察向量组（1）)6,3(1-=α，)4,2(2-=α；（2）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=211α，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=112α的线性关系.解：（1）)6,3(1-=α，)4,2(2-=α04623=--，所以21,αα线性相关（2）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=211α，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=112α 031121≠=-，所以21,αα线性无关21．证明：如果向量组γβ,,α线性无关，则向量组βα+，γβ+，αγ+也线性无关. 证：设有一组数321,,k k k 使 ()()()οαγγββα=+++++321k k k则有()()()ογβα=+++++322131k k k k k k由γβ,,α线性无关，有⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+000322131k k k k k k （*） 因 02110011101≠=故方程组（*）只有零解，即只有当0321===k k k 时()()()οαγγββα=+++++321k k k 才成立，因此βα+，γβ+，αγ+也线性无关.22．设n 阶矩阵A 满足0422=--I A A ，证明A 可逆，并求1-A .证：由0422=--I A A I I A A =-⇒242 ⇒I I A A =⎪⎭⎫⎝⎛-24根据逆矩阵的定义可得1-A ＝24I A - 23．设有向量()2,3,11=α，)1,2,3(2=α，)1,5,2(3--=α，)3,11,4(=β，向量β可由向量组线性表示，则β＝32102ααα-+24．求矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=1293397225431A 的秩()A γ. 解：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---−−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----−−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----00001140543133120114054311293397225431231312332r r r r r r 故()2=A r25．已知向量组[]T12011=α，[]T10212=α，[]T03123=α，[]T 41524-=α，试用321,,ααα线性表示4α.解：设有321,,x x x 使4332211αααα=++x x x即 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4152031210211201321x x x ，得线性方程组⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡4152011302120211321x x x 解此线性方程组⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-4011130251202211−−−−−−→−若干次行初等变换⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-0000110030101001得⎪⎩⎪⎨⎧-===131321x x x ，因此，32143αααα-+= 26．求5R 中向量[]T 20101-=α，[]T14210=β的夹角.解题过程见课本18页27．在4R 中，设[]11111--=α，[]T 11152=α，[]T31333--=α，求321,,ααspan 中的一个标准正交基{}321,,εεε 解题过程见课本19页。
大学工程数学考试题及答案
大学工程数学考试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列哪个选项是微积分的基本定理？A. 积分中值定理B. 洛必达法则C. 牛顿-莱布尼茨公式D. 泰勒级数展开答案：C2. 在概率论中，随机变量X服从二项分布B(n, p)，其中n=10，p=0.3，那么E(X)等于多少？A. 2B. 3C. 4D. 5答案：A3. 线性代数中，一个矩阵A可逆的充分必要条件是什么？A. 行列式非零B. 秩等于A的阶数C. A的所有特征值非零D. 所有选项都是答案：D4. 在复数域中，下列哪个表达式表示复数的共轭？A. z + z*B. z - z*C. |z|^2D. z * z*答案：B5. 傅里叶级数在工程数学中的应用之一是？A. 信号处理B. 量子力学C. 统计物理D. 所有选项都是答案：A二、填空题（每题3分，共15分）6. 函数f(x) = sin(x)的一阶导数是_________。
答案：cos(x)7. 矩阵的特征值是_________。
答案：λ8. 拉普拉斯变换的逆变换通常使用_________。
答案：拉普拉斯逆变换9. 随机变量X和Y相互独立，且P(X=x) = 2x，P(Y=y) = 3y，则P(X+Y=4)等于_________。
答案：1/410. 曲线y = x^2在点(1,1)处的切线斜率是_________。
答案：2三、解答题（共75分）11. （15分）证明函数f(x) = e^x在实数域上是单调递增的。
答案：由于f'(x) = e^x > 0对于所有实数x，因此f(x)在实数域上是单调递增的。
12. （20分）解线性方程组：\[\begin{align*}x + 2y &= 5 \\3x - y &= 4\end{align*}\]答案：使用高斯消元法或克拉默法则，解得 \( x = 2, y = 1.5 \)。
13. （20分）计算下列定积分：\[\int_{0}^{1} x^2 dx\]答案：使用基本积分公式，得到 \( \frac{1}{3}x^3 \) 在0到1的积分为 \( \frac{1}{3} \)。
工程数学试卷及标准答案
1．某人打靶3发，事件Ai 表示“击中i 发”，i=0,1,2,3. 那么事件A=A1∪A2∪A3表示( )。
A. 全部击中.B. 至少有一发击中.C. 必然击中D. 击中3发 2．对于任意两个随机变量X 和Y ，若E(XY)=E(X)E(Y)，则有( )。
A. X 和Y 独立。
B. X 和Y 不独立。
C. D(X+Y)=D(X)+D(Y)D. D(XY)=D(X)D(Y)3．下列各函数中可以作为某个随机变量的概率密度函数的是（ ）。
A ． 其它1||0|)|1(2)(≤⎩⎨⎧-=x x x f 。
B. 其它2||05.0)(≤⎩⎨⎧=x x fC. 0021)(222)(<≥⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--x x e x f x σμπσ D. 其它00)(>⎩⎨⎧=-x e x f x ，4．设随机变量X ～)4,(2μN , Y ～)5,(2μN , }4{1-≤=μX P P ,}5{2+≥=μY P P , 则有（ ）A. 对于任意的μ, P 1=P 2B. 对于任意的μ, P 1 < P 2C. 只对个别的μ，才有P 1=P 2D. 对于任意的μ, P 1 > P 25．设X 为随机变量，其方差存在，c 为任意非零常数，则下列等式中正确的是（ ）A ．D(X+c)=D(X). B. D(X+c)=D(X)+c. C. D(X-c)=D(X)-c D. D(cX)=cD(X)6． 设3阶矩阵A 的特征值为-1，1，2，它的伴随矩阵记为A*， 则|A*+3A –2E|= 。
7．设A= ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--10000002~011101110x ，则x = 。
8．设有3个元件并联，已知每个元件正常工作的概率为P ，则该系统正常工作的概率为 。
9．设随机变量X 的概率密度函数为其它Ax x x f <<⎩⎨⎧=002)(，则概率=≥)21(X P 。
工程数学本科试题及答案
工程数学本科试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列哪个选项是微分方程 \( y'' - y' - 2y = e^{2x} \) 的一个解？A. \( y = e^{-x} \)B. \( y = e^{2x} \)C. \( y = e^{x} \)D. \( y = e^{3x} \)2. 在复数域中，下列哪个表达式是正确的？A. \( |z|^2 = z \cdot \bar{z} \)B. \( |z|^2 = z + \bar{z} \)C. \( |z|^2 = z - \bar{z} \)D. \( |z|^2 = z / \bar{z} \)3. 对于向量 \( \mathbf{A} = (2, -3, 4) \) 和 \( \mathbf{B} = (1, 2, -1) \)，它们的点积 \( \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} \) 等于：A. 1B. 2C. 3D. 54. 在 \( z = x^2 + y^2 \) 中，如果 \( \frac{\partialz}{\partial x} = 2x \)，那么 \( \frac{\partial z}{\partial y} \) 等于：A. \( 2y \)B. \( -2y \)C. \( 2x \)D. \( -2x \)5. 一个函数 \( f(x) \) 在点 \( x = a \) 处连续的充分必要条件是：A. \( \lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) \)B. \( \lim_{x \to a} f(x) = f(a) \)C. \( f(a) \) 存在D. \( f(x) \) 在 \( x = a \) 处可导6. 微分方程 \( y' = y^2 \) 的解的形式是：A. \( y = Ce^x \)B. \( y = \frac{1}{Ce^x + 1} \)C. \( y = Ce^{-x} \)D. \( y = \frac{1}{Cx + 1} \)7. 傅里叶级数中的 \( a_n \) 系数是由以下哪个积分计算得出的？A. \( a_n = \frac{2}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \cos(\frac{n\pi x}{L}) dx \)B. \( a_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \cos(\frac{n\pi x}{L}) dx \)C. \( a_n = \frac{2}{L} \int_{0}^{L} f(x) \cos(\frac{n\pi x}{L}) dx \)D. \( a_n = \frac{1}{L} \int_{0}^{L} f(x) \cos(\frac{n\pi x}{L}) dx \)8. 矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \) 的行列式 \( |A| \) 等于：A. 7B. 2C. 1D. -29. 函数 \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \) 的零点个数是：A. 1B. 2C. 3D. 410. 拉普拉斯变换 \( \mathcal{L} \{ f(t) \} \) 的定义是：A. \( \mathcal{L} \{ f(t) \} = \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) dt \)B. \( \mathcal{L} \{ f(t) \} = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-st} f(t) dt \)C. \( \mathcal。
工程数学试题及参考答案
工程数学试题B一、单项选择题（每小题3分，本题共21分） 1.设B A ,为n 阶矩阵，则下列等式成立的是（ ）． (A) BA AB = (B) T T T )(B A AB = (C) T T T )(B A B A +=+ (D) AB AB =T )(2.设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=4321432143214321A ，则=)(A r （ ）． (A) 0 (B) 1 (C) 3 (D) 43.设B A ,为n 阶矩阵，λ既是A 又是B 的特征值，x 既是A 又是B 的特征向量，则结论（ ）成立．(A) λ是B A +的特征值 (B) λ是B A -的特征值 (C) x 是B A +的特征向量 (D) λ是AB 的特征值 4.设A B ,为随机事件，下列等式成立的是（ ）．(A) )()()(B P A P B A P -=- (B) )()()(B P A P B A P +=+ (C) )()()(B P A P B A P +=+ (D) )()()(AB P A P B A P -=- 5.随机事件A B ,相互独立的充分必要条件是（ ）． (A) )()()(B P A P AB P = (B) )()(A P B A P =(C) 0)(=AB P (D) )()()()(AB P B P A P B A P -+=+ 6.设)(x f 和)(x F 分别是随机变量X 的分布密度函数和分布函数，则对任意b a <，有=≤<)(b X a P （ ）． (A)⎰b ax x F d )( (B) ⎰bax x f d )((C) )()(a f b f - (D) )()(b F a F -7. 对来自正态总体X N ~(,)μσ2（μ未知）的一个样本X X X 123,,，∑==3131i i X X ，则下列各式中（ ）不是统计量．(A) X (B)∑=31i iX(C) ∑=-312)(31i i X μ (D) ∑=-312)(31i i X X二、填空题（每小题3分，共15分）1.设B A ,均为3阶矩阵，2=A ，3=B ，则=--1T 3B A ．2.线性无关的向量组的部分组一定 ．3.已知5.0)(,3.0)(=-=A B P A P ，则=+)(B A P ．4.设连续型随机变量X 的密度函数是)(x f ，则=)(X E ．5.若参数θ的估计量θˆ满足θθ=)ˆ(E ，则称θˆ为θ的 估计． 三、计算题（每小题10分，共60分）1．设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3021A ，求A 的特征值与特征向量． 2.线性方程组的增广矩阵为 求此线性方程组的全部解．3.用配方法将二次型322322213216537),,(x x x x x x x x f +++=化为标准型，并求出所作的满秩变换．4.两台车床加工同样的零件，第一台废品率是1％，第二台废品率是2％，加工出来的零件放在一起。
工程数学试题及答案
工程数学试题及答案《工程数学试题及答案》1. 数列与级数问题：找出以下等差数列的通项公式，并计算前n项和。
1) 3, 6, 9, 12, ...2) 1, 5, 9, 13, ...答案：1) 通项公式为a_n = 3 + 3(n-1)，前n项和为S_n = n(6 + 3(n-1))/2。
2) 通项公式为a_n = 1 + 4(n-1)，前n项和为S_n = n(2 + 4(n-1))/2。
2. 三角函数问题：求解以下方程在给定区间内的所有解。
1) sin(x) = 0.5，其中0 ≤ x ≤ 2π。
2) cos(2x) = 0，其中0 ≤ x ≤ π。
答案：1) 解为x = π/6, 5π/6。
根据周期性，可加2πn得到无穷解。
2) 解为x = π/4, 3π/4。
根据周期性，可加πn得到无穷解。
3. 极限与连续性问题：计算以下极限。
1) lim(x→0) (3x^2 + 2x) / x。
2) lim(x→∞) (e^x + 2x) / e^x。
答案：1) 极限等于2。
2) 极限等于2。
4. 微分与积分问题：求以下函数的导数和不定积分。
1) f(x) = 3x^2 + 4x + 1。
2) g(x) = sin(x) + cos(x)。
答案：1) f'(x) = 6x + 4，∫f(x)dx = x^3 + 2x^2 + x + C。
2) g'(x) = cos(x) - sin(x)，∫g(x)dx = -cos(x) - sin(x) + C。
5. 偏导数与多重积分问题：计算以下偏导数和二重积分。
1) 求f(x, y) = x^3 + 2xy - y^2的偏导数∂f/∂x和∂f/∂y。
2) 计算∬(x^2 + y^2)dA，其中积分范围为R = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2}。
答案：1) ∂f/∂x = 3x^2 + 2y，∂f/∂y = 2x - 2y。
工程数学练习题(附问题详解版)
（一）一、单项选择题（每小题2分，共12分） 1. 设四阶行列式bccad c d b b c a d dc b a D =，则=+++41312111A A A A （ ）.A.abcdB.0C.2)(abcd D.4)(abcd2. 设(),0ij m n A a Ax ⨯==仅有零解，则 （ ）(A) A 的行向量组线性无关; (B) A 的行向量组线性相关; (C) A 的列向量组线性无关; (D) A 的列向量组线性相关;3. 设8.0)(=A P ，8.0)|(=B A P ，7.0)(=B P ，则下列结论正确的是（ ）. A.事件A 与B 互不相容； B.B A ⊂； C.事件A 与B 互相独立；D.)()()(B P A P B A P +=4. 从一副52张的扑克牌中任意抽5张，其中没有K 字牌的概率为（ ）.A.552548C C B.5248 C.554855C D.5555485. 复数)5sin 5(cos5ππi z --=的三角表示式为（ ）A ．)54sin 54(cos 5ππi +-B ．)54sin 54(cos 5ππi -C ．)54sin 54(cos 5ππi +D ．)54sin 54(cos 5ππi --6. 设C 为正向圆周｜z+1|=2,n 为正整数，则积分⎰+-c n i z dz1)(等于（ ）A ．1；B ．2πi ；C ．0；D ．iπ21 二、填空题（每空3分，共18分） 1. 设A 、B 均为n 阶方阵，且3||,2||==B A ，则=-|2|1BA .2. 设向量组()()()1231,1,1,1,2,1,2,3,TTTt α=α=α=则当t = 时,123,,ααα线性相关.3. 甲、乙向同一目标射击，甲、乙分别击中目标概率为0.8， 0.4，则目标被击中的概率为4. 已知()1,()3E X D X =-=，则23(2)E X ⎡⎤-=⎣⎦______.5. 设)(t f 是定义在实数域上的有界函数，且在0=t 处连续，则=⎰+∞∞-dt t f t )()(δ .6. 函数)2)(1(15)(-+-=s s s s F 的Laplace 逆变换为()f t = .三、计算题（每小题10分，共70分）1. 设423110123A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭, 而B 满足关系式2AB A B =+,试求矩阵B .2．当λ为何值时,⎪⎩⎪⎨⎧+=+++=++=+324622432132131λλλx x x x x x x x 无解,有解，并在有解时求出其解.3、设在15只同类型的零件中有两只是次品，在其中取3次，每次任取一只，作不放回抽样，以 X 表示取出次品的只数，求X 的分布律。
工程数学试题及答案高级专
工程数学试题及答案高级专工程数学试题及答案（高级专科）一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 极限的定义中，当x趋近于a时，f(x)的极限为L，意味着（）。
A. f(x) = LB. |f(x) - L| < ε，对任意的ε > 0，存在δ > 0，使得0 < |x - a| < δ时成立C. |f(x) - L| = 0D. f(x) ≠ L答案：B2. 函数f(x) = x^2在x=0处的导数为（）。
A. 0B. 1C. 2D. -1答案：B3. 以下哪个函数是奇函数？（）A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = x答案：B4. 以下哪个函数是周期函数？（）A. f(x) = e^xB. f(x) = sin(x)C. f(x) = ln(x)D. f(x) = x^2答案：B5. 以下哪个积分是发散的？（）A. ∫(0, +∞) e^(-x) dxB. ∫(0, +∞) x^2 dxC. ∫(0, +∞) e^x dxD. ∫(0, +∞) 1/x dx答案：D6. 以下哪个是二阶常系数线性微分方程？（）A. y'' + 2y' + y = 0B. y'' + 2y' + 3y = 0C. y'' + y' + y = 0D. y'' + y' = 0答案：A7. 以下哪个是二阶偏导数？（）A. ∂^2f/∂x∂yB. ∂^2f/∂x^2C. ∂^2f/∂y^2D. ∂^2f/∂x∂y^2答案：A8. 以下哪个是线性方程组的解？（）A. {x=1, y=2}B. {x=0, y=0}C. {x=1, y=1}D. {x=2, y=3}答案：C9. 以下哪个是矩阵的特征值？（）A. λ = 1B. λ = 2C. λ = 3D. λ = 4答案：A10. 以下哪个是傅里叶级数的系数？（）A. a_nB. b_nC. c_nD. d_n答案：A二、填空题（每题4分，共20分）11. 函数f(x) = sin(x)在x=π/2处的导数为______。
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仲恺农业工程学院试题答案与评分标准《工程数学Ⅰ》2008至2009 学年度第 2 学期期末(A)卷一、单项选择题(3* 8分)二.填空题(３*7分)1. 5 .2.111. 3. 0、7 .4. 0、7 .5. 1 .6. 0、1915 .7.3μ.三.计算题(本大题共2小题,每小题5分,满分10分)1.设方阵A=211210111-⎛⎫⎪⎪⎪-⎝⎭,113432B-⎛⎫= ⎪⎝⎭,解矩阵方程XA B=、解:1101 1232 3330A-⎛⎫⎪=--⎪⎪-⎝⎭、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、3分122182533X BA--⎛⎫ ⎪==⎪--⎪⎝⎭、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、5分2.某人对同一目标进行5次独立射击,若每次击中目标的概率就是23,求(1)至少一次击中目标的概率; (2)恰有3次击中目标的概率。
解:(1) 5124213243⎛⎫-=⎪⎝⎭、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、 、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、 3分(2) 3235218033243C ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、 、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、5分四.计算题(本大题共2小题,每小题6分,满分12分)1.计算2512371459274612D ---=--.解:25121522371402165927011346120120D -----==----、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、 、、、、3分152215220113011390216003001233--===----、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、6分2.某工厂有三个车间生产同一产品,第一车间的次品率为0、05,第二车间的次品率为0、03,第三车间的次品率为0、01,各车间的产品数量分别为2500,2000,1500件,出厂时三个车间的产品完全混合,现从中任取一件产品,求该产品就是次品的概率。
解:设B ＝{取到次品},i A ＝{取到第i 个车间的产品},i ＝1,2,3,则123,,A A A 构成一完备事件组。
……………… ……… …… …………… ………2分 利用全概率公式得,∑=++==31332211)()()()()()()()()(i i i A B P A P A B P A P A B P A P A B P A P B P%3.3%160001500%360002000%560002500=⋅+⋅+⋅=…………………… ……6分五.设方阵001010100A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,求一个可逆矩阵P ,使1P AP -成为对角矩阵、 (9分)解 由12301,1A E λλλλ-=⇒===- 3分 对应这三个特征值的特征向量分别为1230111,0,0011-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭P P P 6分令123(,,)P P P P =,则0P ≠,P 可逆,并且1111P AP -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭9分六.设向量组121,2-a a a 线性无关,证明:向量组12,a a 也线性无关。
(6分) 证明:设 k 1 a 1 + k 2a 2 = 0 ⇔( k 1+2 k 2)a 1 + k 2(a 2 -2a 1)= 0∵121,,2-a a a 线性无关, ∴ k 1 +2k 2= 0, k 2= 0, ------4分 即 k 1 = k 2 = 0, ∴12,a a 线性无关。
------6分-七.求齐次线性方程组123412341234030230x x x x x x x x x x x x --+=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩的一个基础解系及通解。
(8分)解:齐次线性方程组的系数矩阵为111111131123A --⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭～110100120000--⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、 、、、、、、、、4分同解方程组为1242234442x x x x x x x x x =+⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩ 基础解系为:11100ξ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,21021ξ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、 、、6分通解为: 1211100201x k k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…………………………………8分八.设连续型随机变量X 的密度函数为,01,()0,ax b x f x +<<⎧=⎨⎩其他.,且2()3E X =,求 (1) 常数,a b ; (2)X 的分布函数()F x ; (3)23{}32P X <<; (10分) 解 (1)2()1,()2,03f x dx xf x dx a b ∞∞-∞-∞==⇒==⎰⎰3分 (2)20,0()(),011,1xx F x f x dx x x x -∞⎧≤⎪==<<⎨⎪≥⎩⎰7分(3)233245{}()()1322399P X F F ≤≤=-=-= 10分一、单项选择题(本题共8小题,每小题３分,满分24分)1、若A 就是n ×m 矩阵, B 就是n ×s 矩阵, 则下列运算有意义的就是( )、 (A)AB (B) B A T(C) TAB (D) BA2、齐次线性方程组00x y x y λλ+=⎧⎨+=⎩存在非零解,则λ =(A) 10或-; (B) 10或; (C) 12或; (D) 11或-3、 下列函数中,可以作为随机变量X 的分布函数的就是(A) 11()arctan 2F x x =+π(B) 2()1x F x x =+ (C) 102()1202xx e x F x e x -⎧<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩ (D) 200()101x F x x x ≤⎧⎪=⎨>⎪+⎩，，4.设X 的密度函数为21()(1)=+f x x π, 则2Y X =的密度函数为(A)21(14)+y π; (B) 22(4)+y π; (C) 21(1)+y π; (D) 1arctan y π、 5.设X 的密度函数为0.4 1.2,01()0,x x p x +<<⎧=⎨⎩其它,则()E X =(A) 0、73 (B) 0、54 (C) 0、6 (D)0、896、 设),,,(21n X X X 为来自总体),(~2σμN X 的一个样本,其中μ未知,2σ已知,则( )不就是统计量(Ａ) 2211()1n i i S X X n ==--∑ (Ｂ) 2211()=-∑n i i X X σ (Ｃ) ∑=-n i i X n 12)(1μ (Ｄ) ∑==n i iX n X 117、 设12(,,,)n X X X 为来自),(2σμN 的样本,则∑==n i i X n X 11服从( )分布。
(Ａ) (0,1)N (Ｂ) ),(2σμN (Ｃ) 2(,)N n n μσ (Ｄ) 2(,)N nσμ 8、 设有来自正态总体2~(,)X N μσ的容量为5的样本,样本均值21259,,x =μσ未知,而样本标准差11.937s =。
(提示2.236=)。
假设检验01:1277,:1277H H =≠μμ.在显著性水平0.05α=下,则下列选项正确的就是: (Ａ) 由0.025(4) 2.776t =,经计算拒绝0H(Ｂ) 由0.05(4) 2.132t =,经计算接受0H(C) 由0.025(5) 2.57t =,经计算拒绝0H (D) 由0.05(5) 2.015t =,经计算接受0H二.填空题(本题共7小题,每小题3分,满分21分)1、 已知向量组111α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,123β⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,13t γ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭的秩就是2,则t = 52、 一批零件共100个,次品率为10o o , 接连两次从这批零件中任取一个零件,第一次取出的零件不再放回去,则第二次才取得正品的概率为 1113.设()0.5()0.4()0.3，，P A P B P A B ==-=,则()P A B ⋃= 0、74、 设X 为一离散型随机变量,其分布律为 0120.10.2X P a则a = 0、75、 设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,且{}{}10P X P X ===,则λ= 16、 设随机变量X ~2(2,4)N ,且(0)0.5Φ=,(0.5)0.6915Φ=, 则{}02P X <<= 0、19157.设总体X 的均值与方差分别为μ与2σ,1X ,12(,)X X 就是X 的一个样本,统计量1121344X X μ=+, 2121233X X μ=+, 3121122X X μ=+ 都就是μ的无偏估计量,其中最有效的就是 3μ。