高等工程数学题(南理工高等工程数学考题)
高等工程数学考试题及参考解答(仅供参考)
考试题及参考解答(参考)一、填空题（每小题3分，共15分） 1，设总体X 服从正态分布(0,4)N ，而1215(,,)X X X 是来自X 的样本，则221102211152()X X U X X ++=++服从的分布是_______ .解：(10,5)F ．2，ˆnθ是总体未知参数θ的相合估计量的一个充分条件是_______ . 解：ˆˆlim (), lim Var()0n nn n E θθθ→∞→∞==． 3，分布拟合检验方法有_______ 与____ ___. 解：2χ检验、柯尔莫哥洛夫检验． 4，方差分析的目的是_______ .解：推断各因素对试验结果影响是否显著．5，多元线性回归模型=+Y βX ε中，β的最小二乘估计ˆβ的协方差矩阵ˆβCov()=_______ . 解：1ˆσ-'2Cov(β)=()X X ． 二、单项选择题（每小题3分，共15分）1，设总体~(1,9)X N ，129(,,,)X X X 是X 的样本，则___B___ .（A ）1~(0,1)3X N -； （B ）1~(0,1)1X N -； （C ）1~(0,1)9X N -； （D ~(0,1)N ． 2，若总体2(,)XN μσ，其中2σ已知，当样本容量n 保持不变时，如果置信度1α-减小，则μ的置信区间____B___ .（A ）长度变大； （B ）长度变小； （C ）长度不变； （D ）前述都有可能.3，在假设检验中，就检验结果而言，以下说法正确的是____B___ . （A ）拒绝和接受原假设的理由都是充分的；（B ）拒绝原假设的理由是充分的，接受原假设的理由是不充分的； （C ）拒绝原假设的理由是不充分的，接受原假设的理由是充分的； （D ）拒绝和接受原假设的理由都是不充分的.4，对于单因素试验方差分析的数学模型，设T S 为总离差平方和，e S 为误差平方和，A S 为效应平方和，则总有___A___ .（A ）T e A S S S =+； （B ）22(1)AS r χσ-；（C ）/(1)(1,)/()A e S r F r n r S n r ----； （D ）A S 与e S 相互独立.5，在多元线性回归分析中，设ˆβ是β的最小二乘估计，ˆˆ=-εY βX 是残差向量，则___B____ . （A ）ˆn E ()=0ε； （B ）1ˆ]σ-''-εX X 2n Cov()=[()I X X ； （C ）ˆˆ1n p '--εε是2σ的无偏估计； （D ）（A ）、（B ）、（C ）都对.三、（本题10分）设总体21(,)XN μσ、22(,)Y N μσ，112(,,,)n X X X 和212(,,,)n Y Y Y 分别是来自X 和Y 的样本，且两个样本相互独立，X Y 、和22X Y S S 、分别是它们的样本均值和样本方差，证明12(2)X Y t n n +-，其中2221212(1)(1)2X Yn S n S S n n ω-+-=+-.证明：易知221212(,)X YN n n σσμμ--+，(0,1)X Y U N =．由定理可知22112(1)(1)Xn S n χσ--，22222(1)(1)Yn S n χσ--．由独立性和2χ分布的可加性可得222121222(1)(1)(2)XYn S n S V n n χσσ--=++-．由U 与V 得独立性和t 分布的定义可得12(2)X Y t n n =+-．四、（本题10分）设总体X 的概率密度为1, 0,21(;), 1,2(1)0, x f x x θθθθθ⎧<<⎪⎪⎪=≤<⎨-⎪⎪⎪⎩其他，其中参数01)θθ<<（ 未知，12()n X X X ，，，是来自总体的一个样本，X 是样本均值，（1）求参数；的矩估计量θθˆ（2）证明24X 不是2θ的无偏估计量．解：（1）101()(,)22(1)42x x E X xf x dx dx dx θθθθθθ+∞-∞==+=+-⎰⎰⎰，令()X E X =，代入上式得到θ的矩估计量为1ˆ22X θ=-． （2）222211141 (4)44[()]4()424E X EX DX EX DX DX n nθθθ⎡⎤==+=++=+++⎢⎥⎣⎦，因为()00D X θ≥>，，所以22(4)E X θ>．故24X 不是2θ的无偏估计量．五、（本题10分）设总体X 服从[0,](0)θθ>上的均匀分布，12(,,)n X X X 是来自总体X 的一个样本，试求参数θ的极大似然估计． 解：X 的密度函数为1,0;(,)0,x f x θθθ≤≤⎧=⎨⎩其他, 似然函数为1,0,1,2,,,()0,n i x i n L θθθ<<=⎧⎪=⎨⎪⎩其它显然0θ>时，()L θ是单调减函数，而{}12max ,,,n x x x θ≥，所以{}12ˆmax ,,,n X X X θ=是θ的极大似然估计．六、（本题10分）设总体X 服从(1,)B p 分布，12(,,)n X X X 为总体的样本，证明X 是参数p 的一个UMVUE ．证明：X 的分布律为1(;)(1),0,1x x f x p p p x -=-=．容易验证(;)f x p 满足正则条件，于是21()ln (;)(1)I p E f x p p p p ⎡⎤∂==⎢⎥∂-⎣⎦．另一方面1(1)1Var()Var()()p p X X n n nI p -===， 即X 得方差达到C-R 下界的无偏估计量，故X 是p 的一个UMVUE ．七、（本题10分）某异常区的磁场强度服从正态分布20(,)N μσ，由以前的观测可知056μ=．现有一台新仪器, 用它对该区进行磁测, 抽测了16个点, 得261, 400x s ==, 问此仪器测出的结果与以往相比是否有明显的差异(α=0.05)．附表如下：t 分布表 χ2分布表解：设0H ：560==μμ．构造检验统计量)15(~0t ns X t μ-=， 确定拒绝域的形式2t t α⎧⎫>⎨⎬⎩⎭．由05.0=α，定出临界值1315.2025.02/==t t α，从而求出拒绝域{}1315.2>t ．而60,16==x n ，从而 ||0.8 2.1315t ===<，接受假设0H ，即认为此仪器测出的结果与以往相比无明显的差异．八、（本题10分）已知两个总体X 与Y 独立，211~(,)X μσ，222~(,)Y μσ，221212, , , μμσσ未知，112(,,,)n X X X 和212(,,,)n Y Y Y 分别是来自X 和Y 的样本，求2122σσ的置信度为1α-的置信区间.解：设布定理知的样本方差，由抽样分，分别表示总体Y X S S 2221 , []/2121/212(1,1)(1,1)1P F n n F F n n ααα---<<--=-， 则222221211221/2122/212//1(1,1)(1,1)S S S S P F n n F n n αασασ-⎛⎫<<=- ⎪----⎝⎭，所求2221σσ的置信度为α-1的置信区间为 222212121/212/212//, (1,1)(1,1)S S S S F n n F n n αα-⎛⎫ ⎪----⎝⎭． 九、(本题10分)试简要论述线性回归分析包括哪些内容或步骤．答：建立模型、参数估计、回归方程检验、回归系数检验、变量剔除、预测。
高等工程数学考试
e2 f (2) 2 (2) f (2) e f e2 (2) f f (2) f (2) 2 2! e2 f (2) f (2) f (2) f (2) 2! 3! 6 e 2t
k
PJ kP 1
(3)
f ( A) b0 E b1 A b2 A2 bm Am b0 E b1 PJP1 bm PJ m P 1 P b0 E b1 J b2 J 2 bm J m P 1 Pf ( J ) P 1
8、 设 A Cnn， f(λ)是 A 的任一零化多项式， m(λ)是 A 的最小多项式， 试证明： m(λ)| f(λ)。 证：用 m(λ)作除式，f(λ)作被除式，两多项式相除，设商式为 g(λ)，余式为 r(λ)， 则 f(λ)= m(λ)q(λ)+ r(λ) （这里 r(λ)≡0 或 r(λ)是一个次数比 m(λ)低的非零多项式） 下证：r(λ)≡0 反证，r(λ)是一个比 m(λ)次数低的非零多项式。 1 设 r(λ)的最高次项系数为 k(k≠0)，令 r1 ( ) r ( ) k 1 ∴r1(λ)是首一多项式，且 r1 ( A) r ( A) 0 k ∴r1(λ)是 A 的首一零化多项式，而且 r1(A)与 r(A)同次，均比 m(λ)次数低，这与 m(λ)为 A 的最小多项式矛盾！ ∴r(λ)≡0，m(λ)| f(λ)。
2 9、设 x 0 C 3 ，则 3 4i
x 1 2 0 3 4i 2 0 5 7 x 2 2 2 0 2 5 2 29 x
南京理工大学(工程数学(4.0学分)(A)(17.1.2))
9．矢量场 过点 的矢量线方程为；
10．已知 ，则矢量场 是。
(A)有势场 (B)管形场 (C)调和场
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南京理工大学课程考试试卷(学生考试用)
课程名称：工程数学学分：4.0教学大纲编号：11024001
试卷编号：A考试方式：闭卷满分分值：80考试时间：120分钟
组卷日期：2017年1月2日组卷教师(签字)：命题组审定人(签字)：
二．（每小题5分，共15分）：
1．计算积分 ，其中 是0到 的直线段；
2．设函数 解析，且 ，求函数）：
1．将函数 展开成 的幂级数，并指出其收敛半径；
2．将函数 在圆环域 内展开成洛朗级数。
四．计算下列各题（每小题4分，共8分）：
1．设 ，其中 ，求 的Fourier变换 ；
2．设 ，求 的Laplace变换 。
五．（7分）用积分变换法求解微分方程 。
六．（10分）证明矢量场 为有势场，并求其势函数。
七．（6分）求一映射 ，将z平面的区域： 映射成w平面
上的区域： 。
八．（6分）若 解析，且 ，则 ，且 。
所有解答必须写在答题纸上，写在试卷上无效!
一．填空题（每小题2分，共20分）：
1． ；
2． ；
3． ；
4． ；
5．映射 在点 处的伸缩率为，转动角为；
6．设 ，则Fourier变换 ＝；
7．设 ，则Laplace变换 ；
南京理工大学高数考试题
期中高等数学测验一 填空（共20分，每小题4分） 1 已知)(cos )(sin 22x f x f y +=，则___________________=dxdy2 已知x x x y )1(+=,则___________________=dxdy。
3 已知曲线的极坐标方程为θ3sin a r =，则它在6πθ=处的切线方程____________.4 x x y 2sin =则)(n y=__________________________.5 已知02])2([522lim=-+--+→x B x A x x ，则A=________,B=___________二 计算或证明 （每小题7分，共56分 ）1求 xx x x e sin 1)23(lim +-→ 的极限。
2 求函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<+≤≤-=21,21121,ln 2)(x xx x x f 的导数。
3求f(x) = ln x 在x = 1 点的n 阶泰勒公式（Peano 余项）4求由方程y y x =+)cos(确定的隐函数)(x y y =的二阶导数22dx yd 。
5 222,1)1ln(dx yd arctgty t x 求⎩⎨⎧-=+= 6. 求函数3326)(x x x f -=的极值 7 求⎪⎩⎪⎨⎧>-≤=)1|(||,1|);1|(|,2cos )(x x x xx f π的间断点，并判断其类型。
8 证明方程0132=---x x e x有且仅有三个实根。
三 （8分）设 ⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=-0,0;0,)()(x x xe x g xf x其中，)(x g 有二阶连续导数且 1)0(,1)0('-==g g 。
（1）求)('x f ; （2）讨论)('x f 在),(+∞-∞上的连续性。
四（8分） 设 ),,,max (21m a a a A =, 且0>k a （m k ,,2,1 =），证明A nnm n n n a a a =++∞→ 21lim。
高等工程数学考试部分答案1
工程硕士学位课程考试
高等工程数学试题
注意：每位考生只要选做以下两部分试题，答案必须写在答题纸上
矩阵分析部分
一．（6分）设求值。
解：参考试题2第一题
二．（8分）已知函数矩阵：，求矩阵
解：参考试题2第二题
三．（10分）设向量
与，令，
（1）求的一组基和维数；（2）求维数。
解：参考试题2第三题
四．（10分）设，
1．求的Jordan标准形及最小多项式；
解: 矩阵的最小多项式为, Jordan标准形为
2。
求解初值问题
解：参考试题2第四题（2）小题
五．（8分）设与是线性空间的两个基，为从基到的过渡矩阵，为的一个线性变换，在基下的矩阵，求线性变换在基下的矩阵。
解: 由题意有
所以由第一式有
把第二式和第三式代入得到
把第一式代入左边得到
从而有, 所以
六．（8分）设且可逆，，求证：的特征值都是正数。
证明: 因为为正规矩阵, 所以酉矩阵与对角矩阵. 即存在酉矩阵, 使得, 其中为对角矩阵, 从而
所以的元素全为实数. 设为任意一个特征值, 是属于的特征向量, 则有
得证.。
南京理工大学(工程数学(4.0学分)(A)(18.1.5))
7． ；
8． ；
9．数量场 在点 处方向导数最大的方向为；
10．矢量场 是场。
二、（10分）已知调和函数 ，求一个解析函数 使得 ？
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南京理工大学课程考试试卷(学生考试用)
课程名称：工程数学学分：4教学大纲编号：11024001
试卷编号：A考试方式：闭卷满分分值：100考试时间：120分钟
组卷日期：2018年1月5日组卷教师(签字)：审定人(签字)：
三、（8分）将函数 在下列指定的圆环域内展开成洛朗(Laurent)级数
(1) ；(2) 。
八、（4分）若函数 在圆周 内解析，在圆周上连续，且
，证明：对任意的 ，都有 成立。
所有试题的答案全部写在答题纸上，否则无效！
一、填空题（每题3分，共30分）
1．复数 的三分 ，其中C是从点 沿虚轴到点 的路径；
4．映射 将z平面上区域 映射成w平面上区域；
5．幂级数 的收敛半径R=；
四、（8分）求一个将z平面上区域 映射成w平面上区域 的映射？（请画出映射前后的示意图）
五、（20分）计算下列积分
1） ；（4分）2） ；（6分）
3） ；（4分）4） 。（6分）
六、（10分）1)设 ，计算Fourier变换 。
2)求 。
七、（10分）用Laplace变换求解常微分方程的初值问题 ？
高等工程数学训练题
《高等工程数学》训练题I 、矩阵论部分1、 在线性空间V=R 2×2中，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111,0111,0011,00014321ββββ是V 的一个基，则a b c d V α⎛⎫∀=∈⎪⎝⎭，α在{}4321,,,ββββ下的坐标为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---d dc c b b a 。
2、设α1=(1,1,-2,1),α2=(2,7,1,4), α3=(-3,2,11,-1), β1=(1,0,0,1), β2=(1,6,3,3)，令V 1=L(α1,α2, α3)，V 2=L(β1, β2)，(1)求dim(V 1+V 2)及V 1+V 2的一个基； (2)求)V dim (V 21I 。
解：(1)对下列矩阵施行如下初等行变换⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---==00000010*******113210100002000101101132151550525501011011321'20220525505155011321311413011126027111321)(21321TT T T T A ββααα∴r(A)=3∴r(α1, α2, α3, β1, β2)=3 ∴dim(V 1+V 2)=3可选{α1, α2, β1}为V 1+V 2的基(2)∵dim V 1=r{α1, α2, α3}=2,dimV 2=r{β1, β2}=2∴dim(V 1∩V 2)=dimV 1+dimV 2-dim(V 1+V 2)=2+2-3=1 。
3、设V 是数域F 上的n 维线性空间，T 是V 的一个线性变换，证明（1）dimT(V)+dimker(T)=n 。
（2）若T 在{}12,,,n αααL 下对应矩阵为A ，则rankT=dimT(V)=r(A)。
南京理工大学工程硕士高等工程数学题081数值分析部分
数值分析（计算方法）部分一． （8分）求一个次数不高于3的多项式)(x f ，使它满足：,3)1(,4)0(==f f0)1(,8)2(/==f f ，并求差商]3,1,1,3[--f 的值。
解：先用f(0)=4,f(1)=3,f(2)=8求N 2(x) 商差表：0 413-12 8 5 3∴ N 2(x)=4+(-1)(x-0)+3(x-0)(x-1)=4-4x+3x 2∵ f(x)次数≤3∴ 可设f(x)= N 2(x)+k(x-0)(x-1)(x-2)（k 为待定常数）f(x)=4-4x+3x 2+k(x 3-3x 2+2x) ∴ f ’(x)=6x-4+k(3x 2-6x+2)f ’(1)=6-4+k(3-6+2)=2-k=0 ∴ k=2∴ f(x)= 4-4x+3x 2+2(x 3-3x 2+2x)=2x 3-3x 2+4∴ (3)f ()23!f[3,1,1,3]23!3!ξ⨯--===二．（10分）用迭代法求解方程：02010223=-++x x x 的所有实数根（要求判断根的个数及范围，构造收敛的迭代格式，并且求出精确到510-的近似根）。
解：设f(x)=x 3+2x 2+10x-20∵ f ’(x)=3x 2+4x+10=2x 2+(x+2)2+6>0 (x (,)∀∈-∞+∞)∴ f(x)在(-∞,+∞)上单调递增 ∴ 方程最多有一个实根∵ f(1)=-7<0，f(2)=16>0∴ 方程有且仅有一个实根x *，并且x *∈(1,2) 选用Neuton 迭代法32k k k k k 1k k 2k k k f (x )x 2x 10x 20x x x f '(x )3x 4x 10+++-=-=-++ (k=0,1,2,……) 它在单根x *附近至少平方收敛计算，选取x 0=1.5x 1=1.373626，x 2=1.368815，x 3=1.368808 ∵ |x 3-x 2|=0.000007<10-5∴ 1.36881为精确到10-5的近似根1．用列主元素法解方程组： ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛13814142210321321x x x 2．写出用Seidel Gauss-迭代法求解线性方程组⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--13741133403312321x x x 的迭代格式，并讨论其收敛性。
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南京理工大学
工程硕士高等工程数学学位课程考试试题（2010.3）
（一）矩阵分析
一．（6分）设,021320012⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=A 求21,,A A A ∞值。
二．（8分）已知函数矩阵：22222222222223332t t
t t t t At
t t t t t t t t t t
t t e e e e e e e e e
e e e e e e e e e e ⎛⎫
--- ⎪
=--- ⎪ ⎪---⎝
⎭
， 求矩阵.A 。
三．（10分）已知矩阵82225
42
4
5
--=A ，()⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=099t t e e t b （1）求At
e ；
（2）求解微分方程()()()()()⎪⎩
⎪
⎨⎧=+=T x t b t Ax dt t dx 2,0,10。
四．（10分）给定3
R 的两个基
()T
x 1,0,11= ()T
x 0,1,22= ()T
x 1,1,13=
()T
y 1,2,11-= ()T
y 1,2,22-= ()T
y 1,1,23--=
定义线性变换：i i y Tx = ()3,2,1=i
（1）写出由基321,,x x x 到基321,,y y y 的过渡矩阵； （2）写出T 在基321,,x x x 下的矩阵； （3）写出T 在基321,,y y y 下的矩阵。
五．（8分）给定(){}
R a a A R
ij ij ∈==⨯⨯222
2（数域R 上的二阶实矩阵按矩阵的加法和数乘
构成的线性空间）的子集 {}022112
2=+∈=⨯a a R A V
（1）证明V 是2
2⨯R
的线性子空间；
（2）求V 的一组基与维数。
六．（8分）设A 是实反对称矩阵，证明：A 的特征值为零或纯虚数。
（二）数值分析
一．（8分）作一个五次多项式()x H ，使得
()31=H ()12-=H ()34=H ()21='H ()12='H ()22=''H 二．（10分）分析方程 ()11=-x
e x
存在几个实根，用简单迭代格式求出这些根（精确到四位有效数字），并说明所用迭代
格式是收敛的。
三．（6分）用列主元素法解线性方程组
⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--9423312113
103
321x x x 。
四．（6分）给定线性方程组
⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1561510413312
1318321x x x （1）写出Seidel Gauss -迭代格式；
（2）分析该迭代格式的收敛性。
五．（8分）给定积分()()⎰
=
b
a
dx x f f I ，记n
a
b h -=
，ih a x i +=，（n i ,2,1,0=） （1）写出复化的梯形公式()f T n 和复化的Simpson 公式()f S n ； （2）证明：()()()f T f T f S n n n 3
1
342-=。
六．（6分）用Romberg 算法求积分
⎰1
sin dx x x。
七．（6分）应用四阶Kutta Runge -法求解初值问题
()⎩⎨
⎧=+-='1
01
y y x y
取步长1.0=h ，计算出()()()()4.0,3.0,2.0,1.0y y y y 。
（三）数理统计
一．（10分）设总体X 的概率密度为
()()⎩⎨⎧+=0
1θθx x f 其它10<<x
其中1->θ是未知参数，n x x x ,,21是来自总体X 的一个容量为n 的简单随机样本，分别用矩估计法和极大似然估计法求θ的估计量。
二．（10分）设出生婴儿（男）的体重服从正态分布，对12名男性婴儿测得体重(克)数据为 3100，2520，3000，3000，3600，3160 3560，3320，2880，2600，3400，2540
试以置信度为95.01=-α的情况下估计男性婴儿的平均体重的置信区间。
三．（10分）抽查10瓶罐头食品的净重，得如下数据（单位：克） 495，510，505，498，503，492，502，512，496，506 问能否认为该批罐头的净重为500克？ 四．（10分）测得某种物质在不同温度下吸附另一种物质的重量如下： C x i 0
/ 1.5，1.8，2.4，3.0，3.5，3.9， 4.4， 4.8， 5.0 mg y i / 4.8，5.7，7.0，8.3，10.9，12.4，13.1，13.6，15.3 有经验可知，吸附量y 与温度x 具有线性关系 ε++=bx a y (
)2
,0~σεN
（1）求y 对x 的线性回归方程；
（2）用F 检验法检验y 对x 的线性相关程度。
（05.0=α）
五．（10分）设X 为任意总体，()()2
,σμ==X D X E ，n X X X ,,21为X 的样本，
∑==n
i i X n X 1
1，
()
2
1
2
11∑=--=n
i i X X n S ，求()X E ，()
X D ，()
2S E 。