研究生入学考试工程数学
《工程数学》考试大纲
《工程数学》考试大纲一、基本信息：《工程数学》考试内容主要包括高等数学和线性代数两部分，主要题型为选择题和计算题。
答题方式为笔试、闭卷。
考试时间为120分钟，试卷总分为100分，其中高等数学约70%，线性代数约30%。
二、考试内容1.函数、极限、连续（1）分段函数概念；函数的有界性、（严格）单调性、奇偶性、周期性以及他们各自反映在函数图形上的特点；反函数与隐函数的概念；函数极限的唯一性，有界性，保号性；无穷小，无穷大、高阶无穷小和等价无穷小的概念；函数的左连续与右连续的概念；初等函数的连续性；闭区间上连续函数的性质。
（2）函数、区间及邻域等概念；复合函数及初等函数的概念；极限的概念；函数的左、右极限及其与函数极限的关系；函数在一点连续的概念；函数在一个区间上连续的概念。
（3）基本初等函数的性质及其图形；极限的四则运算法则。
2.导数、微分及应用（1）函数的可导性与连续性的关系；高阶导数概念；微分的几何意义及函数的可微性与可导性的关系。
导数的几何意义；微分的概念。
初等函数的一阶、二阶导数的求法。
求隐函数和参数式所确定的函数的一阶导数以及比较简单的二阶导数。
（2）罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理、罗必达法则；函数插值的思想和一些方法。
函数的极值概念。
用导数判断函数的单调性和求极值的方法；函数图形的凹凸性及其判定法。
（3）基本初等函数的性质及其图形；极限的四则运算法则。
3.不定积分、定积分及应用（1）简单的有理函数、三角函数有理式和简单的无理函数的积分法。
原函数和不定积分的概念。
不定积分基本公式和不定积分换元法和分部积分法。
（2）定积分的性质、定积分的中值定理；两种广义积分的概念，用定义求解较简单的广义积分，定积分数值计算的思想和一些方法。
定积分的概念和几何意义；变上限的定积分作为其上限的函数及其求导定理。
牛顿-莱布尼兹公式；定积分的换元法和分部积分法。
（3）元素法的思想，用定积分求一些几何量和物理量的方法，建立一些几何量与物理量的积分表达式（如面积、体积、弧长、功、水压力等）。
2024研究生入学考试数学一
2024年全国硕士研究生入学统一考试数学一考试内容主要包括
高等数学、线性代数、概率论与数理统计、离散数学、常微分方程、数学分析、复变函数等。
数学一的总分是150分，考试时间一般为
3小时，难度相对较高。
具体来说，数学一主要考察的内容有：
1. 高等数学：主要包括极限、一元函数微积分学、常微分方程、无穷级数、多元函数微积分学以及空间解析几何等。
2. 线性代数：主要包括行列式、矩阵、向量、线性方程组、特
征值和特征向量以及实二次型等。
3. 概率论与数理统计：主要包括随机事件和概率、随机变量及
其分布、多维随机变量及其分布、随机变量的数字特征以及大数定
律和中心极限定理等。
4. 离散数学：主要包括图论基础、组合计数和概率基础、集合
论基础、逻辑基础等。
5. 数学分析：主要包括极限理论、实数理论、导数与微分、积分、级数等内容。
6. 复变函数：主要包括复数与复变函数、导数与微分、积分、
级数等内容。
在备考研究生入学考试数学一时，建议考生系统学习数学基础
知识，多做真题和模拟题，掌握解题技巧和方法，同时也要注重数
学思维和逻辑推理能力的培养。
南京航空航天大学-《高等工程数学》试卷
五（ 20 分）矩阵
，向量
，
1．求矩阵 的满秩分解，并计算 ；(10 分)
2．对于方程组
，用广义逆判断方程组是否相容，若相容，求其通解及极小范数解，若不相容，
求其通解及极小最小二乘解。(10 分)
，可验证
，故方程组相容
4. 令
，确定幂级数
；(6 分) 的收敛半径。令
论矩阵幂级数 的绝对收敛性（收敛圆边界上的情形除外）。(2 分)
，对上述 讨
特征多项式 特征值 不变因子 初等因子 最小多项式
时 绝对收敛
三（20 分）．1. 求矩阵
的奇异值分解. (10 分)
2. 已知矩阵 ，存在可逆矩阵
实数. (10 分)
，其中
，
，
，使得
共5页 第3页
，求 ，这里 是
共5页 第4页
四（20 分）1．当实数 满足什么条件时，
2．令 3． 令 若
为复矩阵，证明：
为复矩阵，
为
，则
. (3 分)
1. 所有主子式非负，
.
2. 根据定义证明即可.
3. 先证明
，再证明
.
半正定? (10 分)
为
半正定矩阵. (7 分)
正定矩阵，利用 2.中结论证明：
南京航空航天大学 2020 级硕士研究生
共5页 第1页
二 O 二 O～二 O 二一 学年 第 1 学期
《高等工程数学》课程 A 卷
考试日期: 2020 年 11 月 15 日
课程编号：
学院
学号
姓名
成绩
一（20 分）已知
，求 ，
，
，。
考研工程数学知识点梳理
考研工程数学知识点梳理一、数列与数学归纳法数列的概念与性质等差数列与等差数列的通项公式等比数列与等比数列的通项公式数学归纳法的基本思想与应用二、极限与连续函数函数极限的概念与性质极限的四则运算法则无穷大与无穷小连续函数与间断点利用极限计算函数的连续性与间断点初等函数的连续性与间断点三、导数与微分函数的导数概念与性质基本初等函数的导数公式导数的四则运算法则高阶导数与莱布尼兹公式隐函数求导参数方程求导微分的概念与性质高阶微分与泰勒展开四、定积分与不定积分定积分的概念与性质定积分的计算与应用牛顿—莱布尼兹公式不定积分的概念与性质不定积分的基本公式换元积分法分部积分法定积分与不定积分的关系五、微分方程常微分方程的基本概念与性质一阶常微分方程解法可分离变量方程一阶线性齐次方程与非齐次方程二阶常系数齐次线性方程解法二阶常系数非齐次线性方程解法常系数线性微分方程组应用问题的建模与求解六、无穷级数与幂级数数项级数的基本概念与性质正项级数的审敛法交错级数与绝对收敛性函数项级数与幂级数幂级数的收敛半径与收敛区间幂级数的逐项求导与逐项积分幂级数的和函数七、多元函数微分学二元函数的极限与连续性偏导数的定义与计算全微分的概念与计算多元函数的隐函数求导多元函数的极值与条件极值多元复合函数的导数多元函数的泰勒公式八、空间解析几何空间点、直线、平面的基本性质空间直线与平面的位置关系空间曲线与曲面的方程与性质曲线的切向量与法平面柱面与曲面的求交与切线空间曲线与曲面的参数方程九、多元函数积分学二重积分的概念与性质二重积分的计算方法三重积分与累次积分三重积分的计算方法曲线积分与曲面积分格林公式与高斯公式应用问题的建模与求解总结：本文对考研工程数学的知识点进行了梳理，包括数列与数学归纳法、极限与连续函数、导数与微分、定积分与不定积分、微分方程、无穷级数与幂级数、多元函数微分学、空间解析几何和多元函数积分学等内容。
每个知识点都有相应的概念、性质、公式和应用问题的求解方法，在文章中运用合适的格式进行叙述，使读者能够清晰地理解每个知识点的要点和重点。
[研究生入学考试]工程数学—第一章
![[研究生入学考试]工程数学—第一章](https://img.taocdn.com/s3/m/38c47948561252d380eb6e55.png)
1
误差分析
例如：计算I n , 并估算误差 In e
1 1
x e dx, n 0,1,2...
n x 0
I n 1 nIn 1 I0 1 e
1
分部积分
误差分析
泰勒展开
2 k ( 1 ) ( 1 ) e 1 1 ( 1) ... 2! k! ( 1)k 1 Rk (k 1)!
0
1
误差分析
例如：计算I n , 并估算误差 In e
n 0 1 2 3 4
1
x e dx, n 0,1,2...
n x 0
In n 0.6321 0.3679 0.2644 0.2073 0.1708
1
n 5 6 7 8 9
IInn 0.1455 0.1268 0.1121 0.1035 0.0684
n
误差分析
~ E 0 I 0 I 0 ~ En I n I n nEn 1 n 1,2,3... En ( 1) n! E0
n
e 0.3679
1
误差分析
~ E 0 I 0 I 0 ~ En I n I n nEn 1 n 1,2,3... En ( 1) n! E0
f ( ) n 1 Rn ( x ) x ， 0 x (n 1)!
n 1
误差来源
舍入误差 ：计算机只能处理有限数位的小数 运算，初始参数或中间结果都必 须进行四舍五入运算，这种误差 称为舍入误差。
误差来源
舍入误差 ：计算机只能处理有限数位的小数 运算，初始参数或中间结果都必 须进行四舍五入运算，这种误差 称为舍入误差。
湖南大学研究生工程数学历年试卷与答案
XX 大学研究生课程考试命题专用纸考试科目： 工程数学 专业年级：2011级专业型硕士研究生 考试形式：闭卷<可用计算器> 考试时间： 120分钟………………………………………………………………………………………………………………………注：答题〔包括填空题、选择题必须答在专用答卷纸上,否则无效。
一． 填空题〔每小题5分,共30分1. 用355113作为圆周率 3.14159265π=的近似值时,有位有效数字。
2. 2()(5),x x x ϕα=+- 要使迭代法1()k k x x ϕ+=局部收敛到*x = 则α的取值范围是 .3. 若12,21A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦则谱条件数1222()Cond A A A -=⋅= . 4. 设01,,,n x x x 为1n +个互异的插值节点,()()(0,1,,)()j i j i i jx x l x i n x x ≠-==-∏为拉格朗日插值基函数,则1(0)nn i ii l x+==∑ .5.6. 要使求积公式11101()(0)()4f x dx f A f x ≈+⎰具有2次代数精度,则 1x = , 1A =二． < 11分> 给定方程32()360.f x x x =+-=(1) 证明该方程在区间(1,2)内存在唯一实根*;x(2) 用牛顿迭代法求出*x 的近似值,取初值0 1.5,x = 要求5110.k k x x -+-< 三．< 10分> 用高斯列主元素消去法解线性方程组四．<10分> 给定线性方程组写出求解该方程组的雅可比迭代格式,并分析雅可比迭代法的收敛性。
五．<13分>构造Hermite <六．<10分> 求常数,αβ使积分()1220xex xdx αβ--⎰ 取最小值。
七．<16分> 用龙贝格方法求积分 的近似值,要求误差不超过310.-工程数学试题参考答案一． <1> 7 ; <2> ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,51; <3> 3 ; <4> n nx x x 10)1(- ; <5> x 4.19.0+ ; <6> .43,3211==A x二． 解. <1> 因为,)])2,1[(063)(,014)2(,02)1(,]2,1[)(2∈∀>+='>=<-=∈x x x x f f f C x f 所以由零点定理和单调性知原方程在)2,1(内存在唯一实根.*x <4分><2> 牛顿迭代格式为.,2,1,0,6363263632232231=+++=+-+-=+k x x x x x x x x x x kk k k k k k k k k <7分> 取初值,5.10=x 计算结果如下：5*43410, 1.195823.x x x x --<≈=<11分>三．解. 12320241911281128241912320--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦ <2分> 24195703225490422⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦<4分>24195490422570322⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦<5分> 24195490422351750088⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦<7分>等价的上三角形方程组为123233249,5494,2235175.88x x x x x x ⎧⎪++=⎪⎪-+=-⎨⎪⎪=-⎪⎩回代得 3215,3, 1.x x x =-==<10分> 四. 解. 雅可比迭代格式为 雅可比迭代矩阵11022101,11022J B ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦<5分> 其特征方程 11||0,22J E B λλλλ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭J B 的特征值 12,310,.2λλ==± <8分> 因为谱半径()11,2J B ρ=< 所以雅可比迭代法收敛。
工程数学考研题库及答案
工程数学考研题库及答案工程数学考研题库及答案工程数学是应用数学的一个分支，广泛应用于工程领域的建模、分析和解决问题。
对于工程数学考研的考生来说，掌握一套全面的题库及答案是非常重要的。
本文将为大家介绍一些常见的工程数学考研题型及其答案。
一、线性代数线性代数是工程数学的基础，也是考研中的重点内容之一。
常见的线性代数题型包括矩阵的运算、矩阵的特征值和特征向量、线性方程组的解等。
例如，以下是一道关于矩阵的题目：已知矩阵A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]，求矩阵A的特征值和特征向量。
答案：首先，我们需要求解矩阵A的特征值。
特征值满足方程|A-λI|=0，其中I是单位矩阵，λ是特征值。
计算可得特征值λ1=15，λ2=-1，λ3=0。
接下来，我们需要求解每个特征值对应的特征向量。
将特征值代入方程(A-λI)X=0，其中X是特征向量。
计算可得特征向量X1=[1; -2; 1]，X2=[1; 0; -1]，X3=[1; 1; 1]。
二、微积分微积分是工程数学的另一个重要内容，也是考研中的常见题型。
常见的微积分题型包括函数的极限、导数和积分等。
例如，以下是一道关于函数极限的题目：已知函数f(x) = (2x^2 + 3x - 1)/(x^2 + x - 2)，求lim(x→1)f(x)。
答案：根据极限的定义，我们需要求解lim(x→1)f(x) = lim(x→1)(2x^2 + 3x -1)/(x^2 + x - 2)。
首先，我们可以通过因式分解得到f(x) = (2x - 1)(x + 1)/(x -1)(x + 2)。
由于分母(x - 1)(x + 2)在x=1处为0，我们可以通过消去分母的方式来求解极限。
将x=1代入分子(2x - 1)(x + 1)，可得lim(x→1)f(x) = lim(x→1)(2x - 1)(x + 1) = 3。
三、概率论与数理统计概率论与数理统计是工程数学中的一门重要课程，也是考研中的必考内容。
(完整)研究生数值分析(工程数学)试题及答案,推荐文档
五、(15 分) 设有求解初值问题 y f (x, y), y(x0 ) y0 的如下公式： yn1 ayn byn1 h[cf (xn , yn ) df (xn1, yn1)]
假设 yn1 y(xn1), yn y(xn ) ，试确定 a, b, c, d 使该格式的局部截断误差精度尽量高.
h f (x)d x
ห้องสมุดไป่ตู้
h
ax3 bx2 cx d dx 2bh3 2dh
h
h
3
代入求积分公式的右边
h f (h) 4 f (0) f (h) h f (h) f (h) 4h f (0)
3
3
3
2h bh2 d 4hd 2bh3 2dh
3
33
所以所求积分公式对任意 3 次代数多项式是完全精度，求积分公式具有 3 次代数精度。
(4) 4 个求积节点的插值型求积公式的代数精确度至少为___3___次.
(5) 梯形求积公式具有 1 次代数精度,辛普生求积公式具有 3 次代数精度.
(6)
求方程
f (x) 0 根的牛顿迭代格式是______ xn1
xn
f f
xn xn
___.
(7)
设
A
1 3
2 4 , 则 A = ___ 7_____,
f x, g0 x c0 g0 x, g0 x
f x, g1 x c1 g1 x, g1 x
所以有
2 3
1 0
xdx (
1
x,1) c0 011d x c0
2
3
1 0
xdx (
1
x,1) c0 011d x c0
1
15
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- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
数值分析研究对象
工程和科学研究中的数值方法
求 115
发现问题
设计模型
方程求根 x2 115
问题获解
算法设计 程序编写 执行运算
牛顿法
xk 1
1 2
(
xk
115 ) xk
解
x0 10,
x1 10.75,
x2 10.7238
数值分析研究内容
• 函数数值求解 • 数值微分 • 数值积分 • 常微分方程数值解 • 偏微分方程数值解 • 线性方程组数值解 • ……
误差来源
观测误差：数学模型中的已知参数测量过程 产生的误差：工具、方法、观察 者
以上两种误差不在此课程考量范围！
误差来源
截断误差 ：将数学模型简化为易于求解的问 题时产生的误差。
误差来源
截断误差 ：将数学模型简化为易于求解的问 题时产生的误差。
例如：函数 f (x) 用泰勒(Taylor)多项式在零点附近
应用软件：MatLab, Fortran, Origin …
数值分析研究特点
算筹
算盘
计算机
•计算机的应用：加、减、乘、除；逻辑运算；储 存量、运算能力有限
•算法的时空复杂性，收敛性，数值稳定性
数值计算的误差
数值计算的误差
数值计算的误差
数值解 不等于 解析解 或 精确值
数值解 等于 精确值 + 误差 （合理性）
有效数字：如果近似值 x*的误差限是它某一数位 的半个单位，我们就说 x *准确到该
位，从这一位起直到前面第一个非零 数字为止的所有数字称 x *的有效数 字.
误差的度量
有效数字：如果近似值 x*的误差限是它某一数位 的半个单位，我们就说 x *准确到该
位，从这一位起直到前面第一个非零 数字为止的所有数字称 x *的有效数 字.
例如：运动中的时钟：
经典f力 学f ：f0 0
相对论：
f
f f0 (
1 v2
/ c2
1
WR
c2
Wr
)
f0
相对论效应导致地球上空运行的GPS卫星时钟
每天变快38微秒
误差来源
观测误差：数学模型中的已知参数测量过程 产生的误差：工具、方法、观察 者
误差来源
观测误差：数学模型中的已知参数测量过程 产生的误差：工具、方法、观察 者
两个矿道以123度角相交，直道宽7米，斜道宽9米， 能够转过这个弯的梯子不能超过多长？
7m
123º 9m
矿道中移动梯子的问题
两个矿道以123度角相交，直道宽7米，斜道宽9米， 能够转过这个弯的梯子不能超过多长？
l2
l1
C
w1
B
A
w2
矿道中移动梯子的问题
两个矿道以123度角相交，直道宽7米，斜道宽9米， 能够转过这个弯的梯子不能超过多长？
(
x1 x2
)
x1 ( x2) x2 ( x1)
x2 2
x2 0
范例
一个矩形场地两边长分别为100 2m,50 1m 求这个场地的面积，及其误差
Area LengthWidth A 100 50 5.0 103m2
( A) L (W ) W (L ) 100 1 50 2 0.2 103m2
Pn (x)
f (0)
f (0) x 1!
f (0) x2 2!
f (n) (ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ) xn n!
近似代替，则数值方法的截断误差是泰勒余项。
Rn ( x)
f n1( )
(n 1)!
xn1，0
x
误差来源
舍入误差 ：计算机只能处理有限数位的小数 运算，初始参数或中间结果都必 须进行四舍五入运算，这种误差 称为舍入误差。
数值分析绪论
• 数值分析研究对象、内容与特点 • 数值计算的误差 • 误差定性分析 • 避免误差危害
数值分析研究对象
工程和科学研究的一般过程
发现问题 寻找解法 问题获解
解析解 数值解
2
exdx e2 e
1
2
ex2dx 4.0289e+ 019
1
MatLab数值计算结果
矿道中移动梯子的问题
r
(
A
)
4%
误差分析
重要性：对于算法进行评估
误差分析
例如：计算In ,并估算误差
1
In e1 xnexdx, n 0,1,2...
例如： 下列数按四舍五入原则得到的5 位有效数字的近似数分 别是？
187.9325 0.03785551 8.0000033 2.7182818
误差传递
两个近似数 x1 与 x2，其误差分别为 *( x1) 及 *( x2) ( x1 x2) ( x1) ( x2); ( x1x2) x1 ( x2) x2 ( x1);
绝对误差限：ε*， ∣e*∣≤ ε*
相对误差：er* , 相对误差限: εr*,
er* =e*/x=e*/x* εr*= ε*/ ∣ x* ∣
范例
x*
x=π
ε*
3.14
3.14159265…
0.002
3.1416
3.14159265… 0.000008
εr* 0.06% 0.0003%
误差的度量
l
l1
l2
w2 sin B
w1 sin C
B AC
l
w2
w1
sin( A C) sin C
dl / dC 0
w2 cos( A C) sin2( A C)
w1 cosC sin2 C
0
数值分析研究对象
工程和科学研究中的数值方法
发现问题 问题获解
设计模型 算法设计 程序编写 执行运算
工程数学
厦门大学物理与机电工程学院
课程介绍
• 教材：《高等工程数学》 姚仰新、罗家洪、庄 楚强，华南理工大学出版社，2007
• 参考书目：《数值方法》关治、陆金甫，清华大 学出版社，2006
• 学时：54 学时 • 成绩：作业（40%）+考勤（10%）+期末（50%）
• 任课教师：张宇锋 • 电子邮箱：yufengzhang@
误差来源
舍入误差 ：计算机只能处理有限数位的小数 运算，初始参数或中间结果都必 须进行四舍五入运算，这种误差 称为舍入误差。
例如：用3.14159 近似代替，产生的误差 R 3.14159 0.0000026
以上两种误差是此课程考量内容！
误差的度量
绝对误差 ：e*,
e*=x*-x
x x* *
误差来源
模型误差：在建立数学模型时的 “简单化” 导致的误差
误差来源
模型误差：在建立数学模型时的 “简单化” 导致的误差
例如：运动中的时钟：
经典f力 学f ：f0 0
相对论：
f
f f0 (
1 v2
/ c2
1
WR
c2
Wr
)
f0
误差来源
模型误差：在建立数学模型时的 “简单化” 导致的误差