湖南大学研究生工程数学历年试卷
高等工程数学考研真题试卷
高等工程数学考研真题试卷一、选择题（每题3分，共30分）1. 设函数\( f(x) \)在点\( x_0 \)处可导，且\( f'(x_0) \neq 0 \)，则\( f(x) \)在\( x_0 \)处的切线斜率为：A. \( f(x_0) \)B. \( f'(x_0) \)C. \( x_0 \)D. \( 0 \)2. 线性代数中，若矩阵\( A \)可逆，则下列哪个说法是正确的？A. \( A \)是对称矩阵B. \( A \)是正交矩阵C. \( A \)的行列式不为零D. \( A \)是单位矩阵3. 根据概率论，若随机变量\( X \)服从正态分布\( N(\mu,\sigma^2) \)，则其期望值和方差分别是：A. \( \mu, \sigma \)B. \( \sigma, \mu \)C. \( \mu, \sigma^2 \)D. \( \sigma, \sigma^2 \)4. 常微分方程\( y'' - 2y' + y = 0 \)的特征方程是：A. \( r^2 - 2r + 1 = 0 \)B. \( r^2 - 2r + 2 = 0 \)C. \( r^2 + 2r + 1 = 0 \)D. \( r^2 - 2r - 1 = 0 \)5. 在多元函数极值问题中，若函数\( f(x, y) \)在点\( (x_0, y_0) \)处取得极小值，则下列说法正确的是：A. 在该点处，\( f(x, y) \)的一阶偏导数都为零B. 在该点处，\( f(x, y) \)的二阶偏导数都为正C. 在该点处，\( f(x, y) \)的Hessian矩阵是正定的D. 在该点处，\( f(x, y) \)的梯度向量为零二、填空题（每题4分，共20分）6. 若函数\( f(x) = 3x^3 - 2x^2 + x - 5 \)，则\( f''(x) \)的值为________。
湖南大学高等代数2005--2009年考研真题
高等代数——2005年真题一．（20分）证明：数域F 上的一个n 次多项式()f x 能被它的导数整除的充要条件是()()nf x a x b =-，(),a b F 其中是中的数.二．（20分）设120n a a a ≠ ，计算下面的行列式：12311111111111111111111na a a a ++++三．（15分）已知矩阵A PQ =，其中2431P ⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2121Q ⎛⎫⎪- ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭，Q '，求矩阵2100,A A A 和。
四．（20分）给定线性方程组23112131231222322313233323142434x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a ⎧++=⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩ （1） 当1234,,,a a a a 满足什么条件时，方程组（1）有惟一解？无穷多解？无解？ 五．（20分）设()fX XA X '=是一实二次型，若有实n 维向量1X ,2X 使得()()12f X f X >0,<0，证明：必存在实n 维向量00X ≠使()00f X =。
六．设W 是齐次线性方程组1234512352300x x x x x x x x x +-+-=⎧⎨+- +=⎩ （2）的解空间。
1.W 中的向量与方程组（2）的系数矩阵的行向量有何关系？2。
求W 的一组标准正交基。
七．（15分）求复矩阵131616576687⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪---⎝⎭的不变因子，初等因子及Jordan 标准形。
八．（10分）设整系数线性方程组1nij ji j a xb ==∑，()1,2,,i n = 对任意整数12,,,n b b b 均有整数解。
证明该方程组的系数矩阵的行列式必为1±。
九．（15分）设,,A B C 为复数域上n 维空间V 的线性变换，AB BA C -=,并且C 可以与,A B 交换。
大学工程数学考试题及答案
大学工程数学考试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列哪个选项是微积分的基本定理？A. 积分中值定理B. 洛必达法则C. 牛顿-莱布尼茨公式D. 泰勒级数展开答案：C2. 在概率论中，随机变量X服从二项分布B(n, p)，其中n=10，p=0.3，那么E(X)等于多少？A. 2B. 3C. 4D. 5答案：A3. 线性代数中，一个矩阵A可逆的充分必要条件是什么？A. 行列式非零B. 秩等于A的阶数C. A的所有特征值非零D. 所有选项都是答案：D4. 在复数域中，下列哪个表达式表示复数的共轭？A. z + z*B. z - z*C. |z|^2D. z * z*答案：B5. 傅里叶级数在工程数学中的应用之一是？A. 信号处理B. 量子力学C. 统计物理D. 所有选项都是答案：A二、填空题（每题3分，共15分）6. 函数f(x) = sin(x)的一阶导数是_________。
答案：cos(x)7. 矩阵的特征值是_________。
答案：λ8. 拉普拉斯变换的逆变换通常使用_________。
答案：拉普拉斯逆变换9. 随机变量X和Y相互独立，且P(X=x) = 2x，P(Y=y) = 3y，则P(X+Y=4)等于_________。
答案：1/410. 曲线y = x^2在点(1,1)处的切线斜率是_________。
答案：2三、解答题（共75分）11. （15分）证明函数f(x) = e^x在实数域上是单调递增的。
答案：由于f'(x) = e^x > 0对于所有实数x，因此f(x)在实数域上是单调递增的。
12. （20分）解线性方程组：\[\begin{align*}x + 2y &= 5 \\3x - y &= 4\end{align*}\]答案：使用高斯消元法或克拉默法则，解得 \( x = 2, y = 1.5 \)。
13. （20分）计算下列定积分：\[\int_{0}^{1} x^2 dx\]答案：使用基本积分公式，得到 \( \frac{1}{3}x^3 \) 在0到1的积分为 \( \frac{1}{3} \)。
研究生数学试题及答案
研究生数学试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个选项是函数f(x)=x^2+3x+2的导数？A. 2x+3B. 2x+6C. x^2+3D. 3x+2答案：A2. 矩阵A和矩阵B的乘积AB中，如果A是3x2矩阵，B是2x4矩阵，那么AB的维度是多少？A. 3x4B. 3x3C. 2x4D. 4x4答案：A3. 以下哪个级数是收敛的？A. 1/nB. 1/n^2C. 1/n^3D. 1/n^(1/2)答案：B4. 函数f(x)=sin(x)在区间[0, π]上的定积分是多少？A. 0B. πC. 2D. -π答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 如果函数f(x)在x=a处连续，那么lim(x→a)f(x) = _______。
答案：f(a)2. 矩阵A的特征值是特征多项式det(A-λI)=0的解，其中I是单位矩阵，λ代表_______。
答案：特征值3. 微分方程y''+y=0的通解是y=C1cos(x)+C2sin(x)，其中C1和C2是常数，那么这个方程的特解y_p=_______。
答案：04. 函数f(x)=x^3-3x+1在x=1处的二阶导数是_______。
答案：6三、解答题（每题15分，共30分）1. 证明函数f(x)=x^3在实数域R上是单调递增的。
证明：由于f'(x)=3x^2≥0对所有x∈R成立，且仅在x=0时取等号，因此f(x)在R上单调递增。
2. 求解微分方程y'+2y=e^(-2x)的通解。
解：首先找到齐次方程y'+2y=0的解，得到y_h=Ce^(-2x)。
然后使用待定系数法找到特解y_p=A，代入原方程得到A=1/2e^(-2x)。
因此，通解为y=Ce^(-2x)+1/2e^(-2x)。
结束语：本试题及答案旨在考察研究生数学的基本概念、计算能力和证明技巧，希望同学们通过练习能够加深对数学知识的理解与应用。
考研数学-湖南大学高等代数2005--2009年考研真题[1]
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高等代数——2005年真题一．（20分）证明：数域F 上的一个n 次多项式()f x 能被它的导数整除的充要条件是()()nf x a x b =-，(),a b F 其中是中的数.二．（20分）设120n a a a ≠，计算下面的行列式：12311111111111111111111na a a a++++三．（15分）已知矩阵A PQ =，其中2431P ⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2121Q ⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭，Q '，求矩阵2100,A A A 和。
四．（20分）给定线性方程组23112131231222322313233323142434x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a ⎧++=⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩ （1） 当1234,,,a a a a 满足什么条件时，方程组（1）有惟一解？无穷多解？无解？ 五．（20分）设()fX XA X '=是一实二次型，若有实n 维向量1X ,2X 使得()()12f X f X >0,<0，证明：必存在实n 维向量00X ≠使()00f X =。
六．设W 是齐次线性方程组1234512352300x x x x x x x x x +-+-=⎧⎨+- +=⎩ （2）的解空间。
1.W 中的向量与方程组（2）的系数矩阵的行向量有何关系？2。
求W 的一组标准正交基。
七．（15分）求复矩阵131616576687⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪---⎝⎭的不变因子，初等因子及Jordan 标准形。
八．（10分）设整系数线性方程组1nij ji j a xb ==∑，()1,2,,i n =对任意整数12,,,n b b b 均有整数解。
证明该方程组的系数矩阵的行列式必为1±。
九．（15分）设,,A B C 为复数域上n 维空间V 的线性变换，AB BA C -=,并且C 可以与,A B 交换。
工程数学习题集(含部分湖大版《大学数学5》课后答案)
习题一1.用复数的代数形式a+ib表示下列复数.①解②解：③解：④解：2.求下列各复数的实部和虚部(z=x+iy )R);①：∵设z=x+iy则∴,．②解：设z=x+iy∵∴,．③解：∵∴,．④解：∵∴,．⑤解：∵．∴当时，，；当时，，．3.求下列复数的模和共轭复数①解：．②解：③解：．④解：4、证明：当且仅当时，z才是实数．证明：若，设，则有，从而有，即y=0∴z=x为实数．若z=x，x∈ ，则．∴．命题成立．5、设z,w∈ ，证明：证明∵∴．6、设z,w∈ ，证明下列不等式．并给出最后一个等式的几何解释．证明：在上面第五题的证明已经证明了．下面证．∵．从而得证．∴几何意义：平行四边形两对角线平方的和等于各边的平方的和．7.将下列复数表示为指数形式或三角形式①解：其中．②解：其中．③解：④解：.∴⑤解：解：∵．∴8.计算：(1)i的三次根；(2)-1的三次根；(3)的平方根.⑴i的三次根．解：∴．⑵-1的三次根解：∴⑶的平方根．解：∴∴．9.设. 证明：证明：∵∴，即．∴又∵n≥2．∴z≠1从而11.设是圆周令,其中.求出在a 切于圆周的关于的充分必要条件.解：如图所示．因为={z : =0}表示通过点a且方向与b同向的直线，要使得直线在a处与圆相切，则CA ⊥．过C作直线平行，则有∠BCD=β，∠ACB=90°故α-β=90°所以在α处切于圆周T的关于β的充要条件是α-β=90°．12.指出下列各式中点z所确定的平面图形，并作出草图.解：(1)、argz=π．表示负实轴．(2)、|z-1|=|z|．表示直线z =．(3)、1<|z+i|<2解：表示以-i为圆心，以1和2为半径的周圆所组成的圆环域。
（4）、Re(z)>Im z．解：表示直线y=x的右下半平面5、Im z>1，且|z|<2．解：表示圆盘内的一弓形域。
习题二1. 求映射下圆周的像.解：设则因为,所以所以,所以即，表示椭圆.2. 在映射下，下列z平面上的图形映射为w平面上的什么图形，设或.（1）；（2）;(3) x=a, y=b.(a, b为实数)解：设所以(1) 记，则映射成w 平面内虚轴上从O到4i的一段，即(2) 记，则映成了w 平面上扇形域，即(3) 记，则将直线x=a 映成了即是以原点为焦点，张口向左的抛物线将y=b映成了即是以原点为焦点，张口向右抛物线如图所示.3. 求下列极限.(1) ;解：令,则.于是.(2) ;解：设z=x+yi ，则有显然当取不同的值时f(z)的极限不同所以极限不存在.（3）；解：=.（4）.解：因为所以.4. 讨论下列函数的连续性：(1) 解：因为,若令y=kx,则,因为当k取不同值时，f(z)的取值不同，所以f(z)在z=0处极限不存在.从而f(z)在z=0处不连续，除z=0外连续.(2)解：因为,所以所以f(z)在整个z平面连续.5. 下列函数在何处求导？并求其导数.(1) (n为正整数)；解：因为n为正整数，所以f(z)在整个z平面上可导..(2) .解：因为f(z)为有理函数，所以f(z)在处不可导.从而f(z)除外可导.(3) .解：f(z)除外处处可导，且.(4) .解：因为.所以f(z)除z=0外处处可导，且.6. 试判断下列函数的可导性与解析性. (1) ;解：在全平面上可微.所以要使得，,只有当z=0时,从而f(z)在z=0处可导，在全平面上不解析.(2) .解：在全平面上可微. 只有当z=0时,即(0,0)处有,.所以f(z)在z=0处可导，在全平面上不解析.(3) ;解：在全平面上可微.所以只有当时，才满足C-R方程.从而f(z)在处可导，在全平面不解析.(4) .解：设，则所以只有当z=0时才满足C-R方程.从而f(z)在z=0处可导，处处不解析.7. 证明区域D内满足下列条件之一的解析函数必为常数.(1) ;证明：因为，所以,.所以u,v为常数，于是f(z)为常数.(2) 解析.证明：设在D内解析,则而f(z)为解析函数，所以所以即从而v为常数，u为常数，即f(z)为常数. (3) Ref(z)=常数.证明：因为Ref(z)为常数，即u=C1,因为f(z)解析，C-R条件成立。
工科考研数学试题及答案
工科考研数学试题及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 函数f(x)=x^2-4x+3的零点个数是（）。
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个答案：C2. 极限lim(x→0) (sin x)/x的值是（）。
A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B3. 若矩阵A和B满足AB=E，其中E为单位矩阵，则矩阵A和B（）。
A. 互为逆矩阵B. 互为转置矩阵C. 互为伴随矩阵D. 互为正交矩阵答案：A4. 曲线y=x^3-3x+2在点(1,0)处的切线斜率是（）。
A. 0B. 1C. -1D. 2答案：D5. 微分方程y''-3y'+2y=0的通解是（）。
A. y=c1e^x+c2e^(2x)B. y=c1e^x+c2e^(-x)C. y=c1e^(2x)+c2e^(-2x)D. y=c1e^(2x)+c2e^(-x)答案：B6. 函数f(x)=x^2+2x+1在区间[-1,1]上的最大值是（）。
A. 0B. 1C. 2D. 3答案：D7. 级数1+1/2+1/4+1/8+...的和是（）。
A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B8. 曲线y=x^2与直线y=2x所围成的面积是（）。
A. 1/3B. 2/3C. 1D. 2答案：B9. 函数f(x)=x^3-3x在x=0处的导数是（）。
A. 0B. 1C. -1D. 3答案：A10. 曲线y=ln(x)的拐点坐标是（）。
A. (1,0)B. (0,1)C. (1,1)D. (0,0)答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 若f(x)=x^2-4x+3，则f'(x)=________。
答案：2x-42. 极限lim(x→∞) (x^2-3x+2)/(x^3+2x^2+1)的值是________。
答案：03. 若矩阵A=\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}，则|A|=________。
湖南大学研究生工程数学历年试卷与答案
XX 大学研究生课程考试命题专用纸考试科目： 工程数学 专业年级：2011级专业型硕士研究生 考试形式：闭卷<可用计算器> 考试时间： 120分钟………………………………………………………………………………………………………………………注：答题〔包括填空题、选择题必须答在专用答卷纸上,否则无效。
一． 填空题〔每小题5分,共30分1. 用355113作为圆周率 3.14159265π=的近似值时,有位有效数字。
2. 2()(5),x x x ϕα=+- 要使迭代法1()k k x x ϕ+=局部收敛到*x = 则α的取值范围是 .3. 若12,21A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦则谱条件数1222()Cond A A A -=⋅= . 4. 设01,,,n x x x 为1n +个互异的插值节点,()()(0,1,,)()j i j i i jx x l x i n x x ≠-==-∏为拉格朗日插值基函数,则1(0)nn i ii l x+==∑ .5.6. 要使求积公式11101()(0)()4f x dx f A f x ≈+⎰具有2次代数精度,则 1x = , 1A =二． < 11分> 给定方程32()360.f x x x =+-=(1) 证明该方程在区间(1,2)内存在唯一实根*;x(2) 用牛顿迭代法求出*x 的近似值,取初值0 1.5,x = 要求5110.k k x x -+-< 三．< 10分> 用高斯列主元素消去法解线性方程组四．<10分> 给定线性方程组写出求解该方程组的雅可比迭代格式,并分析雅可比迭代法的收敛性。
五．<13分>构造Hermite <六．<10分> 求常数,αβ使积分()1220xex xdx αβ--⎰ 取最小值。
七．<16分> 用龙贝格方法求积分 的近似值,要求误差不超过310.-工程数学试题参考答案一． <1> 7 ; <2> ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,51; <3> 3 ; <4> n nx x x 10)1(- ; <5> x 4.19.0+ ; <6> .43,3211==A x二． 解. <1> 因为,)])2,1[(063)(,014)2(,02)1(,]2,1[)(2∈∀>+='>=<-=∈x x x x f f f C x f 所以由零点定理和单调性知原方程在)2,1(内存在唯一实根.*x <4分><2> 牛顿迭代格式为.,2,1,0,6363263632232231=+++=+-+-=+k x x x x x x x x x x kk k k k k k k k k <7分> 取初值,5.10=x 计算结果如下：5*43410, 1.195823.x x x x --<≈=<11分>三．解. 12320241911281128241912320--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦ <2分> 24195703225490422⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦<4分>24195490422570322⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦<5分> 24195490422351750088⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦<7分>等价的上三角形方程组为123233249,5494,2235175.88x x x x x x ⎧⎪++=⎪⎪-+=-⎨⎪⎪=-⎪⎩回代得 3215,3, 1.x x x =-==<10分> 四. 解. 雅可比迭代格式为 雅可比迭代矩阵11022101,11022J B ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦<5分> 其特征方程 11||0,22J E B λλλλ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭J B 的特征值 12,310,.2λλ==± <8分> 因为谱半径()11,2J B ρ=< 所以雅可比迭代法收敛。
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湖南大学研究生课程考试命题专用纸考试科目： 工程数学 专业年级：2011级专业型硕士研究生 考试形式：闭卷(可用计算器) 考试时间： 120分钟………………………………………………………………………………………………………………………注：答题（包括填空题、选择题）必须答在专用答卷纸上，否则无效。
一． 填空题（每小题5分，共30分）1. 用355113作为圆周率 3.14159265π=L 的近似值时，有 位有效数字。
2. 2()(5),x x x ϕα=+- 要使迭代法1()k k x x ϕ+=局部收敛到*x = 则α的取值范围是 . 3. 若12,21A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦则谱条件数1222()Cond A A A -=⋅= . 4. 设01,,,n x x x L 为1n +个互异的插值节点，()()(0,1,,)()j i j iijx x l x i n x x ≠-==-∏L 为拉格朗日插值基函数，则 1(0)nn i i i l x +==∑ . 5. 已知实验数据则拟合这组数据的直线为y = . 6. 要使求积公式11101()(0)()4f x dx f A f x ≈+⎰具有2次代数精度，则 1x = ， 1A =二． ( 11分) 给定方程32()360.f x x x =+-=(1) 证明该方程在区间(1,2)内存在唯一实根*;x(2) 用牛顿迭代法求出*x 的近似值，取初值0 1.5,x = 要求5110.k k x x -+-< 三．( 10分) 用高斯列主元素消去法解线性方程组123123201128.2419x x x --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦四．(10分) 给定线性方程组12321111111,1121x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦写出求解该方程组的雅可比迭代格式，并分析雅可比迭代法的收敛性。
五．(13分) 试根据数表构造Hermite (埃尔米特)插值多项式().H x 六．(10分) 求常数,αβ使积分()1220x e x x dx αβ--⎰取最小值。
七．(16分) 用龙贝格方法求积分311I dx x=⎰的近似值，要求误差不超过310.-工程数学试题参考答案一． (1) 7 ; (2) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,51; (3) 3 ; (4) n nx x x Λ10)1(- ;(5) x 4.19.0+ ; (6) .43,3211==A x二． 解. (1) 因为,)])2,1[(063)(,014)2(,02)1(,]2,1[)(2∈∀>+='>=<-=∈x x x x f f f C x f 所以由零点定理和单调性知原方程在)2,1(内存在唯一实根.*x (4分)(2) 牛顿迭代格式为 .,2,1,0,6363263632232231Λ=+++=+-+-=+k x x x x x x x x x x kk k k k k k k k k (7分) 取初值,5.10=x 计算结果如下：5*43410, 1.195823.x x x x --<≈= (11分)三．解. 12320241911281128241912320--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦ (2分) 24195703225490422⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦(4分) 24195490422570322⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦(5分) 24195490422351750088⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦(7分)等价的上三角形方程组为123233249,5494,2235175.88x x x x x x ⎧⎪++=⎪⎪-+=-⎨⎪⎪=-⎪⎩回代得 3215,3, 1.x x x =-==(10分)四. 解. 雅可比迭代格式为()()(1)()()123(1)()()213(1)()()3121121(3)112k k k k k k k k k x x x x x x x x x +++⎧=+-⎪⎪=--⎨⎪⎪=--⎩分雅可比迭代矩阵11022101,11022J B ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦(5分) 其特征方程 11||0,22J E B λλλλ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭J B 的特征值 12,310,.2λλ==±(8分) 因为谱半径()11,2J B ρ=< 所以雅可比迭代法收敛。
(10分) 五．列表计算差商)22244()10(1)3(1)(1)(1)(2).39H x x x x x x x x =++++-+++- (13分) 六．解. 取201(),(),();x x x x x f x e ϕϕ=== 定义内积 ()1,()(),(),()[0,1],f g f x g x dx f x g x C =∀∈⎰则 ()120001,,3x dx ϕϕ==⎰()130101,,4x dx ϕϕ==⎰()100,1,x f xe dx ϕ==⎰()141101,,5x dx ϕϕ==⎰()1210, 2.x f x e dx e ϕ==-⎰ (5分)正规方程组为1113411245e αβ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦ (8分) 解得.537454.222080,903090.416860-≈-=≈+-=e e βα (10分)七. 解. 计算结果见下表(14分)因为3332(0)(0)0.62871010,T T ---=⨯< 所以 1.0986306.I ≈ (16分)湖南大学研究生课程考试命题专用纸考试科目： 工程数学(A 卷) 专业年级：2014级专业型硕士研究生 考试形式：闭卷(可用计算器) 考试时间： 120分钟………………………………………………………………………………………………………………………注：答题（包括填空题、选择题）必须答在专用答卷纸上，否则无效。
三． 填空题（每小题4分，共20分）1. 设,)(x x f = 则导数值353101.0)2(≈'f 有 位有效数字。
2. 若,3201,11⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=A x 则=1||||Ax ，条件数()Cond A ∞= .3. 设13)(2-=x x f ，则差商=]2,1[f ，[0,1,2,3]f = .4. 拟合三点)2,2(,)3,1(,)1,0(C B A 的直线是=y .5. 参数=α 时，求积公式)]()0([)]()0([2)(20h f f h h f f hdx x f h'-'++≈⎰α的代数精度达到最高，此时代数精度为 .四． (12分) 给定方程.2x e x -=(3) 证明该方程在区间)1,0(内存在唯一实根*;x (4) 写出牛顿迭代法求*x 的迭代格式；(5) 若取初值,10=x 牛顿迭代法是否收敛？若收敛，指出收敛阶数。
三．( 12分) 用三角分解法解线性方程组 .343112253321321⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---x x x四．( 16分) 分别给出用雅可比迭代法和高斯—赛德尔迭代法解线性方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡3213215010010b b b x x x αββα 时，对任意初始向量都收敛的充要条件.五．(16分) 用插值法求一个二次多项式),(2x P 使得曲线)(2x P y =在0=x 处与曲线 x y cos =相切，在2π=x 处与x y cos =相交，并证明.324|cos )(|max 3220ππ≤-≤≤x x P x六．(12分) 求x xe x f =)(在]1,0[上的一次最佳平方逼近多项式。
七．(12分) 已知函数表请分别用8=n 的复化梯形公式和4=n 的复化辛浦生公式计算积分⎰10)(dx x f 的近似值.（取7位浮点数）工程数学试题(A 卷)参考答案一． (1) 3 ; (2) 5,6; (3) 0,9; (4) 2321+x ; (5)3,121. 二． 解. (1) 因为2)(-+=x e x f x 在)1,0(上连续，并且(),]1,0[01)(,01)1(,01)0(∈∀>+='>-=<-=x e x f e f f x所以由零点定理和单调性知原方程在)1,0(内存在唯一实根.*x (4分) (2) 牛顿迭代格式为.,2,1,0,121Λ=+-+-=+k e x e x x kk x k x k k (8分) ⑶ 因为,])1,0[(0)(∈∀>=''x e x f x ,0)1()1(>''f f 所以牛顿迭代法收敛， 且收敛阶为2. (12分)三. 解. 用杜里特尔分解法求解。
按紧凑格式计算得562852137133321----- 于是得.56133,2800710321,152013001⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=y U L ( 9分) 回代求解上三角形线性方程组,Ux y = 得原方程组的解为 .1,1,2123===x x x即 .)2,1,1(),,(321=x x x ( 12分)四．解. 雅可比迭代矩阵,050100100100)(1⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=+=-αββαU L D B J 其特征方程为,01003||2=⎪⎭⎫⎝⎛-=-αβλλλJ B E ( 4分)J B 的谱半径,10||3)(αβρ=J B 所以J 法收敛的充要条件是3100||<αβ. (8分)赛德尔迭代矩阵,50500010100001000000000500100010)(211⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-=--αββαβαβαβααβU L D B G 其特征方程为,01003||2=⎪⎭⎫⎝⎛-=-αβλλλG B E (12分) G B 的谱半径,100||3)(αβρ=G B 所以G-S 法收敛的充要条件是3100||<αβ.(16分)五．解. 由条件得.0cos 2,0)cos ()0(,1cos )0(220202==⎪⎭⎫⎝⎛='='=====ππx x x x P x P x P (3分).2,0,0]0,0[)0()(22x f x f f x P ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=π ( 6分)作差商表.41)(222x x P π-= ( 9分).2,0,2612!3|sin ||cos )(|222⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-πππξx x x x x x x P ( 12分) 记,2)(2⎪⎭⎫⎝⎛-=x x x g π 令,0)3()(=-='x x x g π 得.3,021π==x x 所以,54323)(max 3220πππππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=≤≤x g x 故.324|cos )(|max 3220ππ≤-≤≤x x P x ( 16分)六．解. (1) 取,)(,1)(10x x x ==ϕϕ 并设一次最佳平方逼近多项式为,bx a y += 则 ,1),(,21),(,11),(100110100======⎰⎰⎰dx xe f xdx dx x ϕϕϕϕϕ,2),(,31),(,21),(10211021101-=====⎰⎰e dx e x f dx x x ϕϕϕϕϕ (6分)正规方程组为 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡213121211e b a ( 8分) 解得⎩⎨⎧-=+-=.3012,166e b e a 故所求的最佳平方逼近多项式为.616)3012(e x e y -+-= ( 12分) 七．解.9767267.09896158.09973978.0(21[161)(18++⨯+=≈⎰T dx x f ]8414709.0)8771925.09088516.09361556.09588510.0+++++ .9456908.0=. ( 6分))8771925.09361556.09767267.09973978.0(41[241)(14+++⨯+=≈⎰S dx x f ]8414709.0)9088516.09588510.09896158.0(2+++⨯+ =.9460833.0 ( 12分)湖南大学研究生课程考试命题专用纸考试科目： 数值分析 （A 卷）参考答案 专业年级： 11级各专业 考试形式： 闭 卷（可用计算器） 考试时间：120分钟………………………………………………………………………………………………………………………注：答题（包括填空题、选择题）必须答在专用答卷纸上，否则无效。