电路理论基础 第九章 正弦稳态电路的分析
第9章正弦稳态电路分析
第9章正弦稳态电路分析●本章重点1、阻抗和导纳的概念及电路阻抗的计算；2、相量法分析计算电路；3、平均功率、无功功率、视在功率及复功率的理解；4、最大功率；5、谐振的条件及特点的理解。
●本章难点1、相量图求解电路；2、提高功率因数的计算；3、含有谐振电路的计算。
●教学方法本章是正弦稳态电路分析的重要内容，通过举例较详细地讲述了相量法的解析方法和几何方法；对阻抗和导纳的概念、如何求解及两者间的关系也要详细讲解；对正弦稳态电路有关功率的概念、公式以及所代表的含义要讲解透彻，通过例题讲清楚提高功率因数的方法和意义；对谐振这部分内容主要讲述串联谐振，并联谐振按两者间的对偶关系加以理解。
本章主要采用课堂讲授的教学方法，共用8课时。
●授课内容9.1 阻抗和导纳一、阻抗1．定义：在正弦稳态无源二端网络端钮处的电压相量与电流相量之比定义为该二端网络的阻抗，记为Z ，注意：此时电压相量U g与电流相量I g的参考方向向内部关联。
uiU U Z I I ψψ∠==∠ （复数）阻抗()Ω z j Z R X ψ=∠=+其中 ()U Z I=Ω —阻抗Z的模，即阻抗的值。
Z u i ϕψψ=- —阻抗Z 的阻抗角 z cos ()RZ ϕ=Ω —阻抗Z 的电阻分量z sin ()X Zϕ=Ω —阻抗Z 的电抗分量阻抗三角形电阻元件的阻抗： 在电压和电流关联参考方向下电阻的伏安关系的相量形式为RR U R I = R I 与R U 共线则 R R RU Z R I ==电感元件的阻抗： 在电压和电流关联参考方向下电感的伏安关系的相量形式为L L j U L I ω= 则 L L L Lj j U Z L X I ω===g U U Z I=-gg gRX|Z |Z ϕgR Uggg电容的阻抗： 在电压和电流关联参考方向下电容的伏安关系的相量形式为C CC CC j 11j j I C U U I I C Cωωω===- 则 CC C C1jj U Z X C I ω=-= C 1X Cω=-—容抗 2. 欧姆定律的相量形式 U Z I =电阻、电感、电容的串联阻抗：在电压和电流关联参考方向下，电阻、电感、电容的串联，得到等效阻抗eq ZR L C eq R L C1L C Z Z I Z I Z IU Z Z Z Z I I R j L R jX jX R jX Z j Cωϕω++===++=++=++=+=∠其中：阻抗Z 的模为||Z =阻抗角分别为 1/LCZXL Carctgarctg arctgRRRXXωωϕ+-===。
第09章 正弦稳态电路的分析
uC
–
ɺ 2U C Cos ( ω t + ϕ u ) ↔ U C = U C ∠ ϕ u ɺ 2 I C Cos ( ω t + ϕ i ) ↔ I C = I C ∠ ϕ i
6
du C iC = C = dt
2 ω U C [ Sin ( ω t + ϕ u )] ⋅ C
π = 2 ω U C Cos ( ω t + ϕ u + ) ⋅ C 2 ɺ = ωU C ∠ ( ϕ + π ) ∴ IC C u 2
ɺ ɺ ∴ U = ZI
复阻抗： Z = R + j ( ωL − 1 )
ωC
18
二、Z的意义的讨论 1. 物理意义 元件在正弦稳压状态下电压相量和电流 相量的比值定义为Z。
ɺ U U∠ϕ u U Z= = = ∠ϕ u − ϕ i ɺ I I∠ϕ i I
∆
Z = | Z | ∠φ
19
∆
阻抗 单位Ω | Z |= U
ɺ ɺ ɺ ɺ KCL I R = I L = I C = I
ɺ ɺ ɺ ɺ KVL U = U R + U L + U C
ɺ ɺ VCR U R = R ⋅ I R
ɺ ɺ U L = jωL ⋅ I L
ɺ UC =
1 ɺ ⋅ IC jωC
17
化简：
ɺ = RI + jωLI + 1 I ɺ ɺ ɺ U R L C jωC 1 ɺ = [ R + j ( ωL − )] I ωC ɺ = ZI
ɺ UL ɺ UR
ɺ U
容性电路 X L = XC 3）X = 0
ϕ=0
第九章 正弦交流电路的稳态分析
560 V U jL j2π 3 10 4 0.3 10 3 j56.5Ω
R R j L L uL - + + + + u - + UL + +U + R .C R u u C 1 U i. U C I jC -
1 Z R jL j 15 j56.5 j26.5 C o 33.5463.4 Ω
U R RI R U L j LI L 1 UC IC j C
ZR
UR R IR
称为电阻 称为电感的阻抗，简称为感抗 称为电容的阻抗，简称为容抗
UL ZL j L IL UC 1 ZC I C j C
注：RLC元件电压相量与电流相量之间的关系类似欧姆定律，电 压相量与电流相量之比是一个与时间无关的量，它是一个复数。
可见，二者依据的电路定律是相似的。只要作出正弦 电流电路的相量模型，便可将电阻电路的分析方法应用到 正弦稳态的相量分析中。
I
.
R
j L + UL 1 jω C
.
+
U
.
+.
-
UC
. . . . U U R U L UC
. 1 . ( R j L j ) I ( R jX ) I C
Z— 复阻抗；R—电阻(阻抗的实部)；X—电抗(阻抗的虚部)； |Z|—复阻抗的模； —阻抗角。
| Z | R 2 X 2 关系： X φ arctg R
解： 已知的都是有效值，画相量图进行定性分析。
2 U 2 U 12 U 2 2U 1U 2 cosq 2 θ 2 64.9o
第九章--正弦稳态电路的分析
US I U L I2
I + U L - 1
+
I1
U S
I2 + U10
-
I1
U10
-
0
②以电路串联部分的电流相量为参考，根据支路的VCR 确定有关电压相量与电流相量之间的夹角；然后再根据 回路上的KVL方程，用相量平移求和法则，画出回路上 各电压相量组成的多边形。
制作群
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X
z
R
阻抗三角形
制作群
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§9-1 阻抗和导纳
z
u
i
arctan
X R
当X > 0 时，z > 0，电压超前电流，Z呈感性； 当X < 0 时，z < 0，电压滞后电流，Z呈容性；
当X = 0 时，z = 0，电压与电流同相，Z呈电阻性。
X
>
0，元件1为感性电抗：Leq
Q U I sin 0 NN
若 cos 0.6，则 P UNIN cos 6kW Q U I sin 8kvar
NN
制作群
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§9-5 复功率
⑵增加线路和发电机绕组的功率损耗
I P
U cos
Y G jB 1 R jX R jX R2 X 2
R G Z2
X B Z2
⑵ 由导纳 Y 变换为等效阻抗 Z
1 G jB
Z
R jX
G jB
G2 B2
R
G Y2
X
B Y2
§9-1 阻抗和导纳
制作群
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第9章正弦稳态电路的分析
第9章正弦稳态电路的分析第九章正弦稳态电路的分析重点：1. 复阻抗、复导纳的概念以及它们之间的等效变换2. 正弦稳态电路的分析3. 正弦稳态电路中的平均功率、⽆功功率、视在功率、复功率、功率因数的概念及计算4. 最⼤功率传输难点：1. 复阻抗和复导纳的概念以及它们之间的等效变换2. 直流电路的分析⽅法及定理在正弦稳态电路分析中的应⽤3. 正弦稳态电路中的功率与能量关系，如平均功率、⽆功功率、视在功率、复功率、功率因数的概念及计算。
4. 应⽤相量图分析电路的⽅法本章与其它章节的联系：本章内容以直流电路的分析和第⼋章阐述的相量法为基础，正弦稳态电路的分析⽅法在第10、11、12章节中都要⽤到。
预习知识：复数概念和复数运算§9－1 阻抗和导纳阻抗和导纳的概念以及对它们的运算和等效变换是线性电路正弦稳态分析中的重要内容。
1. 阻抗1）阻抗的定义图9.1所⽰的⽆源线性⼀端⼝⽹络，当它在⾓频率为的正弦电源激励下处于稳定状态时，端⼝的电压相量和电流相量的⽐值定义为该⼀端⼝的阻抗 Z 。
即单位：Ω上式称为复数形式的欧姆定律，其中称为阻抗模，图9.1 ⽆源线性⼀端⼝⽹络图9.2 等效电路称为阻抗⾓。
由于 Z 为复数，也称为复阻抗，这样图9.1所⽰的⽆源⼀端⼝⽹络可以⽤图9.2所⽰的等效电路表⽰，所以Z 也称为⼀端⼝⽹络的等效阻抗或输⼊阻抗。
2）单个元件的阻抗当⽆源⽹络内为单个元件时，等效阻抗分别为：a 图b 图c 图说明 Z 可以是纯实数，也可以是纯虚数。
a 电阻b 电容c 电感图 9.3 单个元件的⽹络3） RLC 串联电路的阻抗由 KVL 得：因此，等效阻抗为图 9.4 RLC 串联电路其中 R —等效电阻 (阻抗的实部)；X —等效电抗(阻抗的虚部)；Z 、R 和 X 之间的转换关系为：或图 9.5 阻抗三⾓形可以⽤图 9.5 所⽰的阻抗三⾓形表⽰。
结论：对于RL 串联电路：（1）当ωL＞1/ωC 时，有X＞0，φz＞0，表现为电压领先电流，称电路为感性电路，其相量图（以电流为参考相量）和等效电路如图 9.6 所⽰；图9.6 ωL ＞ 1/ωC时的相量图和等效电路（2）对于RLC串联电路当ωL＜1/ωC时，有X＜0，φz＜0，表现为电流领先电压，称电路为容性电路，其相量图（以电流为参考相量）和等效电路如图 9.7 所⽰；图9.7ωL ＜ 1/ωC时的相量图和等效电路（3）当ωL ＝1/ωC时，有X＝0 ，φz＝0 ，表现为电压和电流同相位，此时电路发⽣了串联谐振，电路呈现电阻性，其相量图（以电流为参考相量）和等效电路如图9.8所⽰；图9.8ωL ＝ 1/ωC时的相量图和等效电路（4）RLC 串联电路的电压U R 、U X 、U 构成电压三⾓形，它和阻抗三⾓形相似。
第9章正弦稳态电路分析
.
I1
.
I2 1 jwC
.
I3
.
③ B=0、jY =0，时的相量图
9.1 阻抗与导纳 . I = G + jB = | Y | j Y Y= . U 1 +wC B = BL+ BC = wL B 2 2 j = arctg |Y| = G +B Y G
+ I U -
.
.
I1
R . I3
.
I2
jwL
N0
+ . U
. I
9.1 阻抗与导纳 (4) RLC串联电路
. I
+ 根据KVL和VCR的 . U 相量形式可得： . . . . 1 U = R I + jwL I - j I wC . . 1 = R + jwL- j I = [R + j(XL + XC)]I wC . . = (R + jX) I = Z I . U =R+jX=|Z| j Z= . z I X 1 jz = arctg X = XL + XC = wLR wC
. - + . + U UL R .+
UC -
R
jwL 1 jwC N0
9.1 阻抗与导纳 . U =R+jX=|Z| j Z= . z I X = XL + XC = wL- 1 wC jz = arctg X R 结论： 1 时， ①当 wL＞ wC 有 X＞0 ，jz＞0 表现为电压超前电 流，Z 呈感性，称 电路为感性电路。
. I + U
.
. - + . + U UL R .+
第九章 正弦稳态电路的分析
复
习
1.电路的相量图 元件的相量图：R、L、C、感性元件、容性元件 串联电路：电压相量图（KVL） 并联电路：电流相量图（KCL） 混联电路：电压、电流相量图 参考相量的选取 2.正弦交流电路的分析计算 分析电阻电路的方法，并借助相量图来求解
例2：电路如图所示，已知 uS 200 2 cos(314t ) V， 3 电流表A的读数为2A，电压表V1、V2的读数为200V。
图9－10a
图9-10b
解： U s 100V
Z L jL j5k
1 1 ZC j －j j 2k 6 C 5000 0.110
画相量模型如图9－10b
.
图9-10b
.
图9-10b
复习
1.各种元件的相量模型
S
2.阻抗 1）三种元件的阻抗 Z
例1:电路如图所示，已知正弦电压US＝380V，f=50Hz， 电容可调，当C＝80.95F时，交流电流表A的读数最 小，其值为2.59A。求图中交流电流表A1的读数。
IC
R1
1 j C
O
j L1
a
I
US
IC IC
I
I1
解法一：相量图
O
a IC
US
I1
解法二：当I最小时，表示电 路的输入导纳最小（阻 抗最大） R1 L1 Y jC j 2 2
U U Z (u i ) | Z | Z R jX I I
为容性阻抗) 2. 阻抗三角形
U | Z | , Z u i I
def U
U Z (u i ) | Z | Z R jX I I
|Z|
第九章 正弦稳态电路的分析
1 Z R j (L ) Z C
1 L C
X 0, 0
电路为感性，电压超前电流；
1 L C
X 0, 0
电路为容性，电压滞后电流；
1 L C
X 0, 0
电路为电阻性，电压与电流同相。
UP DOWN
L + + uR - + uL u C -
U 1 Z R jL j R jX I C
UP
DOWN
.
I
R
.
j L
.
1 Z R j (L ) Z C
+ + U R- + U L . 1 U jω C -
+.
UC
-
1 L X 0, 0 C 电压超前电流，电路为感性； 1 L X 0, 0 C
混联电路由最末端支路的连接方式决定参考相量。
用途：
①定性分析
②利用比例尺定量计算
UP DOWN
1. RLC串联电路
用相量法分析R、L、C串联电路的阻抗。 . i R I R L + + uR - + uL u C
.
j L
.
由KVL：
+ uC -
+ + U R- + U L . 1 U jω C -
I
+
U
(复)阻 抗 Z
U
| Z | Z
U I
I
Z
Z
阻抗模 单位：
Z u i 阻抗角
UP DOWN
Z
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例1-1 已知：R=15, L=0.3mH, C=0.2F, 4 u 5 2cos (t 60 ), f 3 10 Hz
R L j L R L + ++uR -- ++ u -解 画出相量模型 + U R UL u C 1 5 60 V U . U i I jC jL j2π 3 10 4 0.3 10 3 Ω 求 i, uR , uL , uC。 + + uC . -U C -
> 1/C ，X>0， Z>0，电路为感性，
Z 为复数，称复阻抗。
电压超前电流。 相量图：一般选电流为参考相量，i
0
电压 三角 形 U
Z
UL
UC UX
2 2 2 U U R U X U R (U L U C )2 +U -
R
等效电路 +
R
UR
I
-
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9-2
电路的相量图
分析阻抗（导纳）串、并联电路时，可以利用 相关的电压和电流相量在复平面上组成的电路的相 量图。
j56.5Ω 1 1 j j Ω j26.5Ω 4 6 C 2π 3 10 0.2 10
1 Z R jL j (15 j56.5 j26.5)Ω C 33.54 63.4 Ω
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U 5 60 I A 0.149 3.4 A Z 33.54 63.4
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6. 阻抗（导纳）的串联和并联 ①阻抗的串联
Z1 Z2 Zn
+
I
－
I
+
U
U
-
Z
U U1 U 2 U n I (Z1 Z 2 Z n ) IZ
Z Z k ( Rk jX k )
k 1 k 1
注意 一般情况G1/R ，B1/X。若Z为感
性，X>0，则 B<0，即仍为感性。
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同样，若由Y变为Z，Leabharlann 有Y G jB RZ
jX
Y G jB | Y | φY ,
Z R jX | Z | φZ
1 1 G jB R jX Z Y G jB G 2 B2 B R G 2GB 2 , X G 2 B 2
1 | Y | , φZ φY |Z |
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例1-2 RL串联电路如图，求在＝106rad/s时的等效并
解 联电路。 RL串联电路的阻抗为 50 0.06mH
X L L 106 0.06 103 Ω 60Ω
Z R jX L (50 j60)Ω 78.1 50.2 Ω
或
B=|Y|sin Y
|Y|
I Y U Y i u
导纳三角形
Y
G
B
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分析 R、L、C 并联电路得出：
（1）Y=G+j(C-1/L)=|Y| （2）C
>1/L，B>0，Y >0，电路为容性，
Y 为复数，称复导纳。
电流超前电压。 相量图：选电压为参考向量，
电流落后电压。
Y
.
U
I I I I (I L IC )
2 G 2 B 2 G 2
IG
I .
IC
.
IL
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I
等效电路 + U -
IR
R
j Leq
IB
（4）C=1/L，B=0，Y=0，电路为电阻性，
电流与电压同相。
IC
IL
uR 2.235 2cos (ω t 3.4 ) V uL 8.42 2cos (ω t 86.6 ) V
uC 3.95 2cos (ω t 93.4 ) V
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相量图
UC U L
U -3.4°
UR
注意
I
UL=8.42>U=5，分电压大于总电压。
表明 Z 可以是实数，也可以是虚数。
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2. RLC串联电路
L + + uR - + u L - + uC u C i . . . .
R
R
j L
+ +U - + U L - + R . 1 U . UC I jC . .
[ R j(L
1 . KVL： U U R U L UC R I jL I j I C 1
| Z | R 2 X 2 转换关系： X φZ arctan( ) R U R=|Z|cosZ Z 或 I X=|Z|sinZ Z u i
|Z| 阻抗三角形
Z
R
X
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分析 R、L、C 串联电路得出
（1）Z=R+j(L-1/C)=|Z| （2）L
第九章 正弦稳态电路的分析
本章重点
9-1 9-2 9-3 9-4 9-5 9-6 阻抗和导纳 电路的相量图
正弦稳态电路的分析 正弦稳态电路的功率 复功率 最大功率传输
首页
重点： 1. 阻抗和导纳 2. 正弦稳态电路的分析 3. 正弦稳态电路的功率分析
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9-1
1. 阻抗
+
阻抗和导纳
正弦稳态情况下
1 1 Y S 0.0128 50.2 S Z 78.1 50.2 (0.0082 j0.0098) S 1 1 R Ω 122 Ω G 0.0082 1 L H 0.102mH 0.0098
R' L'
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注意
①一端口N0的阻抗或导纳是由其内部的参数、结 构和正弦电源的频率决定的，在一般情况下， 其每一部分都是频率的函数，随频率而变。 ②一端口N0中如不含受控源，则有 或 | Y | 90 | | 90
当无源网络内为单个元件时有
I
+ U -
R
U
-
+
I Y U j C jBC
I 1 Y G U R
I 1 Y jBL U j L
表明 Y 可以是实数，也可以是虚数。
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4. RLC并联电路
i
+ u
-
iR R L
iL C
iC
IR IL IC U R jL 1 jC
+
I
1 (G j jC )U [G j( BL BC )U (G jB)U L
j 1 U jC U 由KCL： I R I L I C G U I L
k 1 k 1 n n
分流公式
两个阻抗Z1、Z2的并联等效阻抗为
Yi Ii I Y Z1Z 2 Z Z1 Z 2
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例1-3 求图示电路的等效阻抗， ＝105 rad/s 。
解 感抗和容抗为 R1
X L L 105 1103 Ω 100Ω
U 1 Z R j L j R jX Z Z I C
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C
)] I [ R j( X L X C )] I ( R jX ) I
Z — 复阻抗；|Z| —复阻抗的模；Z —阻抗角； R —电阻(阻抗的实部)；X—电抗(阻抗的虚部)。
n
n
分压公式
i Zi U U Z
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②导纳的并联 I
+
I
Yn
+
U
－
Y1
Y2
U
-
Y
I I1 I 2 I n U (Y1 Y2 Yn ) UY
Y Yk (Gk jBk )
I IG
U
等效电路
I
+ -U
R
-
UR
+
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5. 复阻抗和复导纳的等效互换
R Z jX Y G jB
Z R jX | Z | φZ Y G jB | Y | φY 1 1 R jX G jB Y Z R jX R2 X 2 1 R , B X G R2 X 2 R2 X 2 | Y | | Z | , φY φZ
Z
但有受控源时，可能会出现
| Z | 90
或
| Y | 90
其实部将为负值，其等效电路要设定受控 源来表示实部。
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注意
③一端口N0的两种参数Z和Y具有同等效用，彼 此可以等效互换，其极坐标形式表示的互换 条件为
| Z || Y | 1
Z Y 0
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R R I 15 0.149 3.4 V 2.235 3.4 V U
U L jLI 56.5 90 0.149 3.4 V 8.42 86.4 V
C j 1 I 26.5 90 0.149 3.4 V 3.95 93.4 V U C i 0.149 2cos(ωt 3.4 ) A 则