正弦稳态电路分析

R jL
所以： Y

I U

1 R

j(C
1)
L
电纳：B

(C

1)
L

BC

BL
其中容纳：BC
C，感纳：BL

1
L
当B 0，即C 1 ，Y呈容性；B 0，即C 1 ，Y呈感性
L
L
当满足下列条件时，阻抗和导纳可以等效互换
Z(j)Y(j)=1
即：|Z(j)||Y(j)|=1， Z+Y =0
最大功率为： Pmax

I
2 SC
4Geq
诺顿等效电路
27
例：9-12 电路如图，IS 20 A ，求最佳匹配时获得的
最大功率。
诺顿等效电路
28
9-8 串联电路的谐振 谐振是交流电路可能发生的一种特殊现象。 谐振特点：谐振时，电路的电流 I 和电压 U 相位相同
一、RLC串联谐振
电路输入阻抗：
Z R jL j 1 R j(L 1 )
C
C
电抗：X (L 1 )
其中感抗：X L
C L，容抗：XC

ห้องสมุดไป่ตู้1
C
当X 0，即L 1 ，Z呈感性；X 0，即L 1 ，Z呈容性
C
C
2
导纳： Y

1 Z

I U
I U
/ i
u
I I1 I2 U S U10 U R1 U L
10
9-4 正弦稳态电路的分析 基本分析方法：支路电流法、回路电流法、结点电压法、叠 加原理、戴维南定理等。 注意：使用以上方法分析计算线性正弦交流电路时，电 压、电流要用相量表示，电路参数用复数表示（如复阻 抗、复导纳等）
UI
/ u
i
UI
(c)
U的无功分量
UI cos jUI sin P jQ
S IU a jIU r P jQ
U的有功分量
22
I的有功分量
或由图(c) (c)
S UI UI UI a jUI r P jQ
I的无功分量
20
9-6 复功率 正弦电路的瞬时功率一般为非正弦量。不能用相量法讨论
复功率——将正弦电路的有功功率、无功功率、视在功率之 间的关系用复数形式描述。
设一端口的电压、电流相量为U、I
复功率： S
def

UI*
UI
/ u
i
功率三角形
SQ
UI cos jUI sin P jQ
P
其中 I* 是 I 的共轭复数
复功率单位：V•A（伏安） 当电压、电流为相关联参考方向，为吸收功率，否则为发出功率
注意：复功率不代表正弦量，只是一种表示方法, UI 无意义
21
对于一个无源一端口网络(a)，阻抗可以等效为图(b)或图(c) 的 情况
(a)
(b)
由图(b)
S
def

UI*
S P2 Q2， arctan(Q )
P 17
p UI cos UI cos(2t u i ) UI cos UI cos(2t 2u ) UI cos UI cos cos(2t 2u ) UI sin sin(2t 2u ) UI cos{1 cos[2(t u )]}UI sin sin[2(t u )]
UI cos UI cos(2t u i )
16
p UI cos UI cos(2t u i )
分析：上式第一项为恒定分量。第二项为以2正负交替的正弦 量，即能量在外施电源和一端口之间来回交换。
*平均功率（有功功率）P： ( 单位：瓦特W)
P 1 T
11
例：9-5 电路中的电源为同频率正弦量。列出电路的结点 电压方程和回路电流方程
12
例：9-6 电路中的电源为同频率正弦量。列出电路的结点 电压方程和回路电流方程
13
例：9-7 求图示电路一端口的戴维宁等效电路
求等效阻抗
Zeq I
U OC
U
(c) 戴维宁等效电路
14
例：9-8
电路如图，其中US=380V ， f =50Hz， 电容可调， 当C=80.95F时，交流电流表A的读数最小，为
3、谐振时 U L UC，所以又称为电压谐振。U U R 4、品质因数 Q U L UC 0LI 0L 1 1 LC
U U RI R 0CR R
5、谐振时，电路的无功功率为零。功率因数=cos=1。
阻抗与角频率 的关系曲线
30
I()随频率变化的曲线
| Y
| /Y
代数式：Y=G+jB
其中：| Y | I G2 B2
Y
i
Y
u
arctan[B ] G
电导：G=Re[Y]=|Y|cosY ， 电纳：B= Im[Y]=|Y|sinY Y ： 称为导纳角；也是电流与电压的相位差
导纳三角形
3
对于R、L、C并联电路， I U U jCU
的电压相量。
7
例：9-2
电路如图，其中R1=10，L=0.5H， R2=1000， C=10F，US=100V，=314rad/s。求：各支路电
流相量和电压 U10 。
仿真p195(9-2)
8
9-3 电路的相量图
相量图——相关的电流、电压相量在复平面上的线图。 相量图可用来辅助电路的分析计算。
/ u
i
| Z
| /Z
1
代数式：Z=R+jX
其中：| Z | U R2 X 2
I
电阻：R=Re[Z]=|Z|cosZ ，
电抗：X= Im[Z]=|Z|sinZ
Z
u
i
arctan[X ] R
称为阻抗角；也是电压与电流的相位差
阻抗三角形
对于R、L、C串联电路，
Z( j ) R j(L
1
)
C
当：Im[
Z
(
j
)]

0,即：
0
L

1
0C
时，电路发生谐振
这时， = 0，所以有 XL = XC
谐振时的角频率0 为：0
1 LC
频率f0 为：
f0 2
1 LC
29
串联谐振的特点 1、电流和电压同相位，电路为纯电阻性，Z=R。 2、电路阻抗最小，电流最大。
T pdt 1
0
T
T
0 UI[cos cos(2t u i )]dt UI cos
其中 cos 为 功率因数 def
*无功功率Q： ( 单位：乏var) Q UI sin
def
*视在功率S：( 单位：伏安V•A) S UI
S Q
P
功率三角形
有功功率）P、无功功率Q、视在功率S 三者的关系：
谐振时电路的相量图
L、C影响正弦电路的谐振频率，R影响谐振时电流和电压的 幅度。
谐振时电路总的无功功率为零，但独立的QL(0), QC (0) 不 为零。
电路内部电感和电容之间周期性地进行磁场能和电场能的交换 31
正弦电路的串联谐振时，功率及能量的情况
1、由于功率因数=cos=1
则：有功功率P(0 )
25
9-7 最大功率传输 ——讨论负载获得最大功率的条件
含源 一端口
负载
戴维宁等效电路
设：Zeq Req jX eq，Z R jX
则负载吸收的有功功率为： P

(R

U
2 OC
R
Req )2 ( X

X eq )2
若除负载以外，其他参数不变，则负载获得最大功率的条件为：
26
P
视在功率不守恒。
23
例：9-10
已知电路 U 500V，I 1 53.13 A,求复功率 S
24
例：9-11 图示电路外加50Hz，380V的正弦电压，感性负载吸 收的功率P1=20kW，功率因数1 (cos1) =0.6。若要使 电路的功率因数提高到=0.9，求在负载两端并联的 电容值。
无功功率：QL
UI
sin
UI
LI 2

U2
L

XLI
2

U2 XL
纯电感不消耗能量，能量交换的幅度为
QL

LI
2

U2
L
18
(3)、对于纯电容，=-/2，
p UI sin[2(t u )] 为正负交替变化，即能量来回交换。
其平均功率： P=0，
无功功率： QC
另外：S UI* IZI* I 2Z
U (UY )* U 2Y *
其中： Z Re jX e，Y * Ge jBe
结论：正弦电流电路有功功率和无功功率分别守恒，即电路总
的有功功率为电路各部分有功功率之和；总的无功功率为电路
各部分无功功率之和。
复功率守恒。
例9-1电路的相量图 I 4 53.13 A，U R 60 53.13V U L 240 36.87 V，UC 160 143 .13V
(a)
U U R U L UC
(b)
9
例9-2电路的相量图 I 0.6052.30 A，U10 182 .07 20.03V I1 0.5769.97 A，I2 0.18 20.03 A

UI

UI

1 2UmIm
无功功率
QL
(0
)

0 LI
2，QC
(0
)


1
0C
I
2
2、电感和电容之间进行磁场能和电场能的交换。能量总和为：
(1)、纯电阻电路，=u-i =0，
p UI {1 cos[2(t u )]} 0 其平均功率： P=UI=RI2 = GU2 即：电阻吸收能量
(2)、对于纯电感，=/2，
p UI sin[2(t u )] 为正负交替变化，即能量来回交换。
其平均功率： P=0，
或：R( ) G( ) ，X ( ) B( )
| Y ( j ) |2
| Y ( j ) |2
例如RLC串联电路，阻抗：Z R j(L 1 ) R jX C
其导纳：Y

G

jB

R2
R X
2

j
R2
X X
2
5
9-2 阻抗（导纳）的串联和并联
形式上类似于电阻的串、并联
2.59A。求：交流电流表A1的读数。
15
9-5 正弦稳态电路的功率
无源网络
吸收的瞬时功率： p ui
设：i 2I cos(t i )
u 2U cos(t u )
则：p 2I cos(t i ) 2U cos(t u )
UI cos(u i ) UI cos(2t u i )

UI

1
C
I2
CU 2

XCI2


1 XC
U2
纯电容不消耗能量，能量交换的幅度为QC
对于无源一端口网络，其等效阻抗一般可以表为如下形式
Z R j(X L XC )
所以，无功功率 Q=QL-QC
19
例：9-9 电路是测量电感参数R、L 的实验电路。已知电压表 读数为50V，电流表读数为1A，功率表读数为30W， 电源频率f=50Hz。求R、L的值。
1、阻抗串联
Zeq Z1 Z2 Zn
分压关系：U k

Zk Zeq
U，k
1，2，n
2、阻抗并联
Yeq Y1 Y2 Yn
分流关系：
Ik

Yk Yeq
I，k
1，2，n
6
例：9-1
电路如图，其中R=15，L=12mH，C=5F，
u 100 2 cos(5000 t)V 。求：电流 i 和各个元件

(R

U
2 OC
R
Req )2 ( X

X eq )2
X Xeq 0
负载获得最大功率的条件
d [(R Req )2 ] 0
解得： X X eq R Req
dR R 即：Z Req jXeq Zeq
最大功率为： Pmax

U
2 OC
4Req
对于诺顿等效电路，有：Y Yeq
4
阻抗和导纳等效关系
由：Z(j)Y(j)=1
即: G( )
jB( )
1
R( ) jX ( )

R( ) Z( j ) 2

j
X ( ) Z( j ) 2
可以推得阻抗和导纳等效关系：
G(
)

|
R( ) Z( j )
|2
，B(
)


|
X Z(
( j
) )
|2
第九章 正弦稳态电路的分析
本章主要内容：用相量法分析线性正弦稳态电路。掌握用电 路相量图分析正弦电路的方法。 涉及：阻抗、导纳、瞬时功率、平均功率、无功功率、视在 功率、复功率概念，以及最大功率传输，RLC电路的谐振等 问题；
9-1 阻抗和导纳
阻抗三角形
无源 网络
阻抗：
Z
def

U I
U I