正弦稳态电路的分析
正弦稳态电路分析和功率计算
2
Y = 0.1 + j0.2S
0.025F 0.1S
0.02F
十、利用相量图求解电路
例 如图所示电路，uS 2US cost ，求输出电压 uO(t) 对 uS(t) 的相位关系。
C
解：（一）解析法
+
+
1
uS
R uO
–
–
（二）相量图法
U O②
I jC
+ US
U C
R
+ UO
–
–
I ①
③ U C
直流电阻电路：（ m个网孔，m个网孔电流 Im1 , Im2 , … Imm）
R11Im1 R12Im2 R1mImm uS11
R
21I
m1
R
22I
m2
R 2mImm
uS22
R m1Im1 R m2Im2 R mm Imm uSmm
正弦稳态电路：（ m个网孔，m个网孔电流 Im1 , Im2 , … Imm）
ZZ1211IImm11
Z12I m 2 Z 22I m 2
Z1m I mm Z 2 m I mm
U S11 U S22
Zm1Im1 Zm2Im2 Zmm Imm U Smm
例 uS = 6cos3000t V，求正弦稳态时的 i1 , i2 。
i1 1k
+2000–i1 i2
uS
(3)
Z
U I
U I
u i
= R + jX = |Z| Z
Z R2 X2
Z
arctg
X R
ZU I
Z = u – i
(4) 阻抗的性质
正弦稳态电路的分析
14、如图所示14正弦稳态电路，R=XL=5Ω，I1=10A，
UC=100V，XC=10Ω，
试求U和I。
解：设 2=I2 A
=50 V
=100 2=10 A 1=10 A
所以，I= =10 AI12+I2=I22
易知 与 同相
U= UC=100 V
15、如图15a所示正弦稳态电路，R1=1KΩ，R2=2KΩ，L=1H，求Ucd=Uab时C的值。
解：电路的总阻抗为
Z=-jXC+ = +j( -XC)
当XC=1Ω和XC=2Ω，可以列出如下两个方程
(1)
(2)
解（1）、（2）得，R=2 Ω，XL=2Ω
4、图4所示工频正弦电流电路中，U=100V，感性负载Z1的电流I1=10A，功率因数λ1=0.5，R=20Ω。
（1）求电源发出的有功功率、电流I、功率因数λ
(3)u= u1+u2+u3的表达式
解：（1）将 ， 写成标准指数形式，即
=-100∠150°V=100∠-30°V
=-100+j100 V=100 ∠135°V
根据相量和正弦量的关系，可得
u1=50 cos(314t+60°) V，u2=100 cos(314t-30°) V
u3=200cos(314t+135°) V
解： =Y =( ) = 45°
I= A
11、列出图11所示电路相量形式的回路方程和结点方程。
解：设各回路方向如图所示。
回路方程如下：
（1）
（2）
（3）
（4）
- = S（5）
选结点0作为参考结点，结点方程如下:
第九章正弦稳态电路分析
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
邱关源《电路》第九章正弦稳态电路的分析1
BUCT
9. 1 阻抗和导纳 9. 2 阻抗（导纳）的串联和并联 9. 3 电路的相量图 9. 4 正弦稳态电路的分析 9. 5 正弦稳态电路的功率 9. 6 电路的谐振
1
9. 3 电路的相量图
一、RL、RC串联电路
IR
+
U _
+
_ UR +
jL
U_L
P188
U
j
0
8—11 BUCT
1, 纯电阻 0， 纯电抗
X<0, j < 0 , 容性负载， 超前功率因数
例：cos j = 0.5 (滞后)，则j =60o(电压领先电流60o)。
一般用户： 异步电机 空载 cosj =0.2~0.3 满载 cos j =0.7~0.85
日光灯
cosj =0.45~0.6
17
功率因数的提高
k
1
Qk
0
14
* 复功率守恒, 不等于视在功率守恒.
BUCT
I
+
U_
+ U 1 _
+
U_ 2
S UI* (U1 U 2 )I * U1I * U 2I* S1 S2
b
一般情况下： S Sk k 1
例：
S S2 Q2 S1 P2
Q1 P1
R2 UR2 I 33.9 1.73 19.6W
L UL2 I 72.45 1.73 41.88W
L2 41.88 314 0.133H
12
复功率
BUCT
为了用相量U和I来计算功率，引入“复功率”
I
+
第3章 正弦交流稳态电路(5.6.7.8节)
例二： 在图3．5-2(a)所示电路中，已知R1=48Ω ，R2=24Ω ，
R3=48Ω ,R4=2Ω ，
3
XL=2．8Ω ， U 1
=220∠0°V，U
2
=220∠-120°V，U
=220∠120°V。
试求感性负载上的电流L。
例一：
如下图所示电路中，已知I1=10A，UAB=100V。求电压表V和电 流表A的读数。
解：设
U AB 为参考相量，即 U AB =100∠0°V，则
U AB 0 I2 10 2 45 A, I1 10900 A 5 j5
I I1 I 2 10900 10 2 450 1000 A U c1 I ( j10) j100 V U U c1 U AB j100 V 100 V 100 2 450 V 141.1 450 V
§3．5正弦稳态电路的分析
3．5．1相量分析法 在正弦稳态电路的分析中，若电路中的所有元件都用阻
抗模型表示，电路中的所有电压和电流都用相量表示，所
得电路的相量模型将服从相量形式的欧姆定律和基尔霍夫 定律，此时列出的电路方程为线性的复数代数方程(称为相 量方程)，与电阻电路中的相应方程类似。这种基于电路的 相量模型对正弦稳态电路进行分析的方法称为相量分析法。
QC=-P(tanφ L-tanφ )
例：
(3．7-4)
已知某目光灯电路模型如图3．7-1(a)中的实线所示。图中L为铁心线圈，称 为镇流器，R为灯管的等效电阻。已知电源电压U=220V，f=50Hz，日
第9章 正弦稳态电路的分析(答案)
第9章 正弦稳态电路的分析 答案例 如图所示正弦稳态电路，已知I1=I2=10A,电阻R 上电压的初相位为零，求相量•I 和•S U 。
解： 电路中电阻R 和电容C 并联，且两端电压的初相为0。
由电阻和电容傻姑娘的电压与电流的相位关系可知：电阻电流•1I 与电压•R U 同相，电容电流•2I 超前电压•R U 相角90○，故ο0101∠=•I A ο90102∠=•I A由KCL 方程，有 ()101021j I I I +=+=•••A由KVL 方程，有 ︒•••∠==++-=+=9010010010010010010101j j I I j U S V例 如图所示正弦稳态电路，R 1=R 2=1Ω。
（1）当电源频率为f 0时，X C2=1Ω，理想电压表读数V 1=3V ，V 2=6V ，V 3=2V,求I S 。
（2）电路中电阻、电容和电感的值不变，现将电源的频率提高一倍，即为2 f 0，若想维持V 1的读数不变，I S 问应变为多少如果把电源的频率提高一倍，而维持V1的读数不变，即R1上的电压有效值U R1＝3V，那么R1上的电流的有效值I也不变，此时仍把•I设置为参考相量，故︒•∠=03I A。
由于L和C1上的电流•I不变，根据电感和电容上电压有效值与频率的关系，电源的频率提高一倍，电感上电压表的读数增大一倍，而电容上电压表的读数降为原来的一半，故电源得频率提高一倍，X C2也降为原来得一半，即所以例如图所示正弦稳态电路，已知I1＝10A，I2=20A，R2=5Ω，U=220V,并且总电压•U与总电流•I同相。
求电流I和R，X2，X C的值。
例 如图所示正弦稳态电路，已知有效值U 1=1002V, U=5002V ，I 2=30A ，电阻R=10Ω，求电抗X 1，X 2和X 3的值。
由电路可得两边取模得已知2550=U V ，所以6002=U V ，故有。
第五章 正弦稳态电路分析
5.3.2 复数的概念 复数运算是正弦稳态电路分析法的数学工具，掌握复数运算和如何将正弦信号与复 数建立关系是关键。 1. 正弦信号与复数之间的关系 欧拉公式
e jx = cos x + j sin x
根据欧拉公式有
U me j(ωt+θi ) = U m cos(ωt + θi ) + jU m sin(ωt + θi )
n•
∑ ∑ I km = 0 或
Ik =0
k =1
k =1
KVL 相量形式（对于回路）
∑n • U km = 0
或
k =1
3. 电路元件的相量表示
•
•
电阻元件：U = R I
∑n • Uk =0
k =1
•
•
电感元件：U = jωL I
•
电容元件：U =
1
•
I =−j
1
•
I
jωC
ωC
4. 相量模型 所谓相量模型，就是将电路中正弦电压源和电流源用相量形式表示，电压变量和电 流变量用相量形式表示，电阻、电感和电容用阻抗形式表示。
电阻阻抗形式： Z R = R
电感阻抗形式： Z L = jωL
电容阻抗形式： ZC
=
1 jωC
=−j 1 ωC
5.3.4 电路谐振
•
•
谐振条件，对于二端口网络，端口电压U 与端口电流 I 同相位。根据这一条件
第五章 正弦稳态电路分析 •55•
可知，只有当阻抗的虚部为零才能满足这个条件。使虚部为 0 的频率为谐振频率。 谐振分为串联谐振和并联谐振。 串联谐振常用于无线接收设备中，并联谐振常用于带通滤波、选频电路等。
第九章 正弦稳态电路的分析
1 1 Y = = −53.13°S = (0.024 − j0.032)S (感 ) 性 eq Zeq 25
9-2
电路的相量图
分析阻抗（导纳） 分析阻抗（导纳）串、并联电路时，可以利用相关的 并联电路时， 电压和电流相量在复平面上组成的电路的相量图。 电压和电流相量在复平面上组成的电路的相量图。 1. 并联电路相量图的画法 并联电路相量图的画法 ① 参考电路并联部分的电压相量。 参考电路并联部分的电压相量。 根据支路的VCR确定各并联支路的电流相量与电压相 ② 根据支路的 确定各并联支路的电流相量与电压相 量之间的夹角。 量之间的夹角。 根据结点上的KCL方程，用相量平移求和法则，画出结点 方程， ③ 根据结点上的 方程 用相量平移求和法则， 上各支路电流相量组成的多边形。 上各支路电流相量组成的多边形。
R = G2GB2 , +
−B X = G2+B2
1 | Y |= , φZ = −φY |Z|
已知：R=15Ω, L=12mH, C=5µF, u =100 2cos(5000t) 例9-1 已知 试求:(1)电路中的电流 i, （瞬时表达式）和各元件的 电路中的电流 瞬时表达式） 试求 电压相量； 电路的等效导纳和并联等效电路 电路的等效导纳和并联等效电路。 电压相量；(2)电路的等效导纳和并联等效电路。 jω L R L R • + • - + UL + + uR - + uL - + + + uS C
第二种分解方法
第一种分解方法： p(t) =UI[cosϕ + cos(2ωt −ϕ)] 第一种分解方法： p UIcosϕ 恒定分量 恒定分量 u i
O
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第九章 正弦稳态电路的分析第一节用相量法分析R 、L 、C 串联电路 — 阻抗一、R 、L 、C 串联电路中电流与电压的大小、相位关系： 电路如图9-1-1。
设)t (ISin 2)t (Sin I i i i m ϕ+ω=ϕ+ω=则电路中各元件的电压及总电压均为与电流同频率的正弦量。
由KVL ，C L R u u u u ++=用相量表示：其中： )(IUI U IUZ z Rx tg x R jx R )x x j R C 1L j R Z i u i u ..122C L ϕ-ϕ∠=ϕ∠ϕ∠==ϕ∠=∠+=+=-+=ω-ω+=-或（）（z 称为阻抗的模，ϕ称为阻抗的幅角，由于阻抗本身不是正弦量，是一个纯复数，因此不用“.” 表示。
ϕ又称为阻抗角。
复阻抗与元件的参数和激励的角频率有关，而与电压、电流相量无关，阻抗角是由于储能元件L 、C 造成的。
当00x x 0x x 0x i u C L C L >ϕ-ϕ>ϕ>>->，时即，电压超前电流一个角度ϕ,电路为感性；当00x x 0x x 0x i u C L C L <ϕ-ϕ<ϕ<<-<，时即，电压滞后电流一个角度ϕ,电路为容性。
当，，，0x x 0x C L =ϕ==则电压、电流同相，电路发生串联谐振。
由以上关系： )(zI I z I Z U i i ..ϕ+ϕ∠=ϕ∠ϕ∠== 总电压)t (USin 2)t (zISin 2u u i ϕ+ω=ϕ+ϕ+ω=即间的关系。
为电压、电流有效值之可正可负；，,zI U i u =ϕϕ+ϕ=ϕ 二、R 、L 、C 串联电路的相量图。
为了方便，以感性电路（ϕ>0）为例，如图9-1-2。
......C .L .R ..IZ I ]C1L j R [I C 1j I L j I R U C L R U U U U =ω-ω+=ω-ω+=++=）（量关系表达式的电压、电流之间的相、、带入)20t 314(Sin 2202u ︒+=在相量上，表明各个相量之间的相位关系非常重要，在指定电流的初相角的情况下，可按给定的初相角画出其相量，若在题目中只给定了电流的有效值，而没有给定初相角的情况下，可设电流为参考正弦量，令其初相角为0，其它相量可根据与参考正弦量的关系得到。
在串联电路中，以电流I 为参考正弦量较方便。
如图9-1-3，9-1-4。
由以上分析可以看出：三个电压的有效值之间形成直角三角形的关系—电压三角形，故若将电压三角形三边分除以I ，得到阻抗三角形。
如图9-1-5。
从电压三角形可以看出：【实例9-1】一个实际的电感线圈具有电阻R=30Ω，L=127mh ，与电容器C=40μF 串联后接至电压 的电源上。
如图例9-1。
求：①复阻抗，电流的有效值、相量、瞬时值。
②电容和线圈上电压的瞬时值。
③作电压、电流相量图。
【解】XR 2C L 2R 2X 2R U U U )U U (U U U U +≠-+=+=一般情况下9.163521.734.4*80j I c1j U )2()1.73t 314(Sin 4.42i :A4.4I 1.734.41.535020220Z U I 80j Z 1.5350314j 30Z 1.535040j 3080j 40j 3010*40*3141j 10*127*314j 30Z Z )C 1L (j R Z )1(.C ...C RL 63C RL ︒-∠=︒∠-=ω-=︒+==︒∠=︒∠︒∠==Ω-=Ω︒-∠=+=Ω︒∠=-=-+=-+=+=ω-ω+=--瞬时值表达式为其中有效值电流，其中阻抗相量图如9-1-6。
第二节 用相量法分析R 、L 、C 并联电路 — 导纳一、R 、L 、C 并联电路中电流与电压的大小、相位关系： 电路如图9-1-7。
设)t (USin 2)t (Sin U u u i m ϕ+ω=ϕ+ω=则电路中各元件的电流及总电流均为与电压同频率的正弦量。
由KCL ，当B>0时，电路为容性，B<0时，电路为感性，B=0电路发生并联谐振。
二、相量图：如图9-2-2为一般情况下，感性电路各电压、电流之间的关系。
图9-2-3是以电压为参考正弦量时，感性电路、容性电路的相量图。
称为复导纳。
式中)(y y jB G )]B B (j G [Y UY U )]B B (j G [U jB U jB U G U C j L j UR U I I I I u i C L ..C L .C .L ....C.L .R ..ϕ-ϕ-∠=ϕ-∠=-=--==--=+-=ω+ω+=++=。
，可见或即或R 1G G 1R B G B X B G G R X R X B X R R G X R jX R jX R 1B G Y Y1Z Z 1Y 2222222222≠≠⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=⇒+-=+=-===（感性）。
，即并联等效电路参数为：（感性）。
，即串联等效电路参数为：，）解：电路。
求：其串联、并联等效已知：S 1.0B S 31.0G 1.0j 31.0302.0UI Y 5.2X 35.2R 5.2j 35.2305IUZ 6022I 90210U 60t 10(Sin 2)30t 10(Cos 2i A)30t 10(Cos 2i V)90t 10(Sin 10u ......==-=︒-∠==Ω=Ω=+=︒∠==︒∠=︒∠=︒+=︒-=︒-=︒+=由相量图可见：三、复阻抗与复导纳的等值转换：任意无源一端口网络可以用一等值阻抗或等值导纳来描述。
如图9-1-10。
因此复阻抗与复导纳之间等效转换的关系为：【实例9-2】电路如图例9-2。
CL R 2C L 2R I I I I )I I (I I ++≠-+=一般情况下，解之得：）（）（整理）（452U 4522U j U j 1U j 1j 1U j U U U j R 1j 1U j 1j 01U j 1U )j 1j 1(U ...2n .1n .2n .1n .2n .1n .1.1.1n .2n .1n .1n .︒∠=︒∠=⎪⎩⎪⎨⎧=++---=-⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+-+---︒∠=---+第三节 正弦交流电路的计算直流电路中以KCL 、KVL 为基础的方法和定理完全适用于正弦交流电路，不同的是电压、电流为相量，电阻变为阻抗，在复杂电路中还可以借助于相量图进行分析，特别在定性分析中尤为重要。
一、阻抗串联：1、复阻抗的计算：Z=Z 1+Z 2+…+Z n2、分压公式：二、阻抗（导纳）并联：1、 复导纳的计算：Y=Y 1+Y 2+…+Y n2、 分流公式：三、复杂连接：通过例题介绍。
【实例9-3】已知：R 1=5Ω，X C1=5Ω，X C2=10Ω，X L2=20Ω，X L3=10Ω。
求：电路的总阻抗Zab ，并说明电路的性质。
【解】根据阻抗的串、并联计算公式：【实例9-4】如图例9-4。
【解】利用结点电压法，方程及结果如下。
为分压系数。
阻抗为正比分压，其中n21Kn 21K .ZK .Z ...Z Z Z Z ...Z Z Z UU ++++=为分流系数。
导纳为正比分流，其中n21Kn 21K .GK .G ...G G G G ...G G G II ++++=。
，电路表现为电阻性质Ω=++-=510j 10j 10j *10j 5j 5Z ab 的瞬时值表达式。
电流相量。
电流求：。
，，，，已知：C C .C L 2S .1S .i )2(I )1(1R j jx j jx A 901I A 01I Ω=Ω-=-Ω=︒-∠=︒∠=3129j 13739.663500035U Z 9.6601.0I 0350035.0*1000I R U 9.663908.001.0*035.0*201.0035.00.04I I 2I I I Cos Cos I I 2I I )180(Cos I I 2I I Cos I I 2I I I ..RL 2.1.1.22221222122122212122212122212+=︒∠=︒∠==︒-∠=∴︒∠=︒∠==︒=θ⇒=--=--=θ∴θ++=θ-︒-+=ϕ-+=而根据相量图。
【实例9-5】图例9-5是一个RC 移相电路，要使输出电压与输入电压之间产生180度的相位移。
求：电源信号的角频率与电路参数之间的关系，并求在此频率下电路的电压传输系数。
【解】本题可有多种解题方法，但基本的是回路电流法，选择回路电流为独立变量，如图例9-4。
【实例9-6】为测量某电感线圈的参数R 、L ，可用一只安培表和一个已知电阻R1，组成电路图9-6。
设R 1=1K ，I=0.04A ，I 1=0.035A,I 2=0.01A ，若电源为工频，求：线圈的参数R ，L 。
，结果同上。
即分子为或则零，即相，令表达式的虚部为为使输出、输入电压反）（）（，所以而）（解得：0180RC 51RC 1CR 6tg RC 610RC 1CR 6)R C 1CR 6(j R C 511)C 1C R 6(j C R 5R R U U I R U )]C1C R 6(j C R 5R [U R I 0I )C 1j R 2(I R 0I R I )C 1j R 2(I R U I R I )C 1j R (222333133333322233222331.2.3.2.3322231.23.3.2.3.2.1.1.2.1.︒=ω-ω-ω=ϕ=ω=ω-ωω-ω-ω-=ω-ω-ω-==ω-ω-ω-=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=ω-+-=-ω-+-=-ω--的大小。
可算出，即可求出即为阻抗角，而间相位差，、一个角度，只要找出滞后于电压电流。
，则为参考正弦量，即分析：以电压RL ..2..2.1...Z U U I U I 0035.0I 0U U U ︒∠=︒∠=这就是三电流表法测未知阻抗的原理。
第四节 正弦交流电路的功率在正弦交流电路中，由于电阻、电感、电容的存在，使得功率的计算比直流电路复杂 得多，既有能量的消耗，又有能量的往返交换。
一、瞬时功率：如图9-4-1（以感性电路为例）。
当p>0时，此二端网络吸收功率，p<0时发出功率。
二、平均功率（有功功率）和功率因数：- 根据数学中平均值的定义，三、无功功率和无功因数：无功功率是这样定义的。
根据瞬时功率的表达式四、视在功率：视在功率定义为S=UI 。
计量单位为“伏-安”、“千伏-安“（V A 、KV A ）。
一般用来表示发电设备的容量。
在数值上等于最大的有功功率。
五、S 、P 、Q 之间的关系：【实例9-7】三表法测未知参数的电路如图例9-7。