《高等工程数学》试卷
高等工程数学考试
e2 f (2) 2 (2) f (2) e f e2 (2) f f (2) f (2) 2 2! e2 f (2) f (2) f (2) f (2) 2! 3! 6 e 2t
k
PJ kP 1
(3)
f ( A) b0 E b1 A b2 A2 bm Am b0 E b1 PJP1 bm PJ m P 1 P b0 E b1 J b2 J 2 bm J m P 1 Pf ( J ) P 1
8、 设 A Cnn， f(λ)是 A 的任一零化多项式， m(λ)是 A 的最小多项式， 试证明： m(λ)| f(λ)。 证：用 m(λ)作除式，f(λ)作被除式，两多项式相除，设商式为 g(λ)，余式为 r(λ)， 则 f(λ)= m(λ)q(λ)+ r(λ) （这里 r(λ)≡0 或 r(λ)是一个次数比 m(λ)低的非零多项式） 下证：r(λ)≡0 反证，r(λ)是一个比 m(λ)次数低的非零多项式。 1 设 r(λ)的最高次项系数为 k(k≠0)，令 r1 ( ) r ( ) k 1 ∴r1(λ)是首一多项式，且 r1 ( A) r ( A) 0 k ∴r1(λ)是 A 的首一零化多项式，而且 r1(A)与 r(A)同次，均比 m(λ)次数低，这与 m(λ)为 A 的最小多项式矛盾！ ∴r(λ)≡0，m(λ)| f(λ)。
2 9、设 x 0 C 3 ，则 3 4i
x 1 2 0 3 4i 2 0 5 7 x 2 2 2 0 2 5 2 29 x
高等工程数学考研真题试卷
高等工程数学考研真题试卷一、选择题（每题3分，共30分）1. 设函数\( f(x) \)在点\( x_0 \)处可导，且\( f'(x_0) \neq 0 \)，则\( f(x) \)在\( x_0 \)处的切线斜率为：A. \( f(x_0) \)B. \( f'(x_0) \)C. \( x_0 \)D. \( 0 \)2. 线性代数中，若矩阵\( A \)可逆，则下列哪个说法是正确的？A. \( A \)是对称矩阵B. \( A \)是正交矩阵C. \( A \)的行列式不为零D. \( A \)是单位矩阵3. 根据概率论，若随机变量\( X \)服从正态分布\( N(\mu,\sigma^2) \)，则其期望值和方差分别是：A. \( \mu, \sigma \)B. \( \sigma, \mu \)C. \( \mu, \sigma^2 \)D. \( \sigma, \sigma^2 \)4. 常微分方程\( y'' - 2y' + y = 0 \)的特征方程是：A. \( r^2 - 2r + 1 = 0 \)B. \( r^2 - 2r + 2 = 0 \)C. \( r^2 + 2r + 1 = 0 \)D. \( r^2 - 2r - 1 = 0 \)5. 在多元函数极值问题中，若函数\( f(x, y) \)在点\( (x_0, y_0) \)处取得极小值，则下列说法正确的是：A. 在该点处，\( f(x, y) \)的一阶偏导数都为零B. 在该点处，\( f(x, y) \)的二阶偏导数都为正C. 在该点处，\( f(x, y) \)的Hessian矩阵是正定的D. 在该点处，\( f(x, y) \)的梯度向量为零二、填空题（每题4分，共20分）6. 若函数\( f(x) = 3x^3 - 2x^2 + x - 5 \)，则\( f''(x) \)的值为________。
中南大学高等工程数学试题及参考答案.docx
中南大学专业硕士“高等工程数学Ⅰ”考试试卷（开卷）考试日期： 2014 年月日时间 100 分钟注：解答全部写在答题纸上一、填空题 ( 本题 24 分，每小题 3 分 )1111324（1）如果Ax b, A 161，矩阵 A 1， A，利用 Gauss-Seidel 迭253113344代法求解此方程组是否收敛；答案：953，收敛，212解析： || A ||1为列范数，等于各列绝对值之和的最大值，||A ||为行范数，等于各行绝对值之和的最大值， A 为严格对角占优矩阵，根据课本P143定理 5.4.12 知， Jacobi 和 G-S 均收敛。
（ 2）利用迭代法求解非线性方程 f ( x) 2x e x0 的根，取初值 x0 0.5 。
给出一个根的存在区间，在该区间上收敛的迭代函数为；答案： [-1 ，0] ，g( x) 1 e x2解析：1 1 xf (1)20,f(0)10 ，故在[-10]g(x)e，根据课本P93定理 4.2.32e1可知迭代函数收敛的条件：（1）在[-1,0] 上一阶导数存在；（ 2）x [1,0] ，均有 | g(x) |[-1,0]；（3）| g' ( x) |max 1 ，2 1e x在[-1,0]上收敛。
故 g( x)2（3）设事件A发生的概率为p，在 n 次重复试验中事件m np近似服A 发生次数为m，当 n 充分大时，m )m(1n从的分布为；答案:N (0,1)解析：课本 P187 定理 7.2.4（4）设x1 , x2 , x3 , x4[ 1,1] ，若数值积分公式1 f (x)dx A1 f ( x1 ) A2 f ( x2 ) A3 f ( x3 )A4 f ( x4 ) 的代数精度大于11，则A1A2A3A4；答案： 21解析：令 f ( x) 1 ，可得1dx2A1 A2A3A4。
1（ 5）已知y f ( x) 通过点(x i, y i), i0,1,2,3 ，则其Lagrange插值基函数l2( x)；答案： l 2 ( x)(x x0 )( x x1)( x x3 ) ( x2 x0 )( x2x1 )( x2x3 )解析：课本 P20 拉格朗日插值基函数的定义（式 2.3.2）。
高等工程数学数值分析部分试题(3)
一、填空题
1. 设*
2.40315x =是真值 2.40194x =的近似值，则*
x 有 位有效数字. 2. 数值求积公式⎰++≈10)1(6
1)21(32)0(61)(f f f dx x f 具有 次代数精度 . 3. 已知352)(4
7+++=x x x x f ，则均差=]2,,2,2[810 f .
4.取步长2.0=h ,用Euler 法求解初值问题x y y +-=',1)0(=y ,10≤≤x 的迭代格式为________.
二、计算题
1. 当1,1,2x =-时，()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。
2. 确定求积公式101()()(0)();h h f x dx A f h A f A f h --≈-++⎰中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度。
3. 设线性方程组b X =A 的系数矩阵为
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=a a a A 232131 试求能使Jacobi 迭代收敛的a 的取值范围。
4. 写出用四阶经典的龙格—库塔方法求解初值问题)10(<<+='x y x y ,1)0(=y 的计算公式,并计算出1y 的近似值.(精确到小数点后四位)。
高等工程数学考试部分答案1
工程硕士学位课程考试
高等工程数学试题
注意：每位考生只要选做以下两部分试题，答案必须写在答题纸上
矩阵分析部分
一．（6分）设求值。
解：参考试题2第一题
二．（8分）已知函数矩阵：，求矩阵
解：参考试题2第二题
三．（10分）设向量
与，令，
（1）求的一组基和维数；（2）求维数。
解：参考试题2第三题
四．（10分）设，
1．求的Jordan标准形及最小多项式；
解: 矩阵的最小多项式为, Jordan标准形为
2。
求解初值问题
解：参考试题2第四题（2）小题
五．（8分）设与是线性空间的两个基，为从基到的过渡矩阵，为的一个线性变换，在基下的矩阵，求线性变换在基下的矩阵。
解: 由题意有
所以由第一式有
把第二式和第三式代入得到
把第一式代入左边得到
从而有, 所以
六．（8分）设且可逆，，求证：的特征值都是正数。
证明: 因为为正规矩阵, 所以酉矩阵与对角矩阵. 即存在酉矩阵, 使得, 其中为对角矩阵, 从而
所以的元素全为实数. 设为任意一个特征值, 是属于的特征向量, 则有
得证.。
中南大学高等工程数学试卷超全整理
中南大学工程硕士“高等工程数学”考试试卷（开卷）1考试日期：2010年 4 月 日 时间110分钟注：解答全部写在答题纸上一、填空题(本题24分，每小题3分)1. 若函数1()[,]x C a b ϕ∈,且[,]x a b ∀∈有()[,]x a b ϕ∈和1)('<≤L x ϕ, 则方程()x x ϕ=在[,]a b 上的解存在唯一，对 任意[]b a x ,0∈为初值由迭代公式)(1n n x x ϕ=+产生的序列{}n x 一定收敛于方程()x x ϕ=在[,]a b 上的解*x ，且有误差估计式*x x k-≤L -1ε； 2. 建立最优化问题数学模型的三要素是： 确定决策变量 、 建立适当的约束条件 、 建立目标函数 ；3．求解无约束非线性最优化问题的最速下降法会产生“锯齿现象”，其原因是： 最速下降法前后两个搜索方向总是垂直的 ； 4．已知函数)(x f y =过点(,),0,1,2,,i i x y i n =，[,]i x a b ∈，设函数)(x S 是()f x 的三次样条插值函数，则)(x S 满足的三个条件（1）在每个子区间[]i i x x ,1-（i=1，2，…，n ）上是不高于三次的多项式；（2）S （x ），S ’（x ），S ’’（x ）在[]b a ,上连续；（3）满足插值条件S （x i ）=y i （i=1，2，…，n ）； 5．随机变量1210~(3,4),(,,,)X N X X X 为样本，X 是样本均值，则~X N （3，0.4）；6．正交表()p q N L n m ⨯中各字母代表的含义为 L 表示正交表，N 表示试验次数，n 、m 表示因子水平数，p 、q 表示试验至多可以安排因素的个数 ；7．线性方程组Ax b =其系数矩阵满足 A=LU ，且分解唯一 时，可对A 进行LU 解，选主元素的Gauss 消元法是为了避免 采用绝对值很小的主元素 导致误差传播大，按列选取主元素时第k 步消元的主元a kk 为)1,2,......,1(1-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑+=n i a y a b y iin i j i ij i i 8．取步长0.01h =，用Euler法解'3,[0,1](0)1y x yx y ⎧=-∈⎨=⎩的公式为 。
中南大学高等工程数学考试
中南大学工程硕士“高等工程数学”考试试卷(开卷)考试日期:2010年 4 月 日 时间110分钟注:解答全部写在答题纸上一、填空题(本题24分,每小题3分)1、 若函数1()[,]x C a b ϕ∈,且[,]x a b ∀∈有()[,]x a b ϕ∈与1)('<≤L x ϕ, 则方程()x x ϕ=在[,]a b 上的解存在唯一,对 任意[]b a x ,0∈为初值由迭代公式)(1n n x x ϕ=+产生的序列{}n x 一定收敛于方程()x x ϕ=在[,]a b 上的解*x ,且有误差估计式*x x k-≤L-1ε;2、 建立最优化问题数学模型的三要素就是: 确定决策变量 、 建立适当的约束条件 、 建立目标函数 ;3.求解无约束非线性最优化问题的最速下降法会产生“锯齿现象”,其原因就是: 最速下降法前后两个搜索方向总就是垂直的 ;4.已知函数)(x f y =过点(,),0,1,2,,i i x y i n =L ,[,]i x a b ∈,设函数)(x S 就是()f x 的三次样条插值函数,则)(x S 满足的三个条件(1)在每个子区间[]i i x x ,1-(i=1,2,…,n)上就是不高于三次的多项式;(2)S(x),S ’(x),S ’’(x)在[]b a ,上连续;(3)满足插值条件S(x i )=y i (i=1,2,…,n);5.随机变量1210~(3,4),(,,,)X N X X X L 为样本,X 就是样本均值,则~X N(3,0、4);6.正交表()p q N L n m ⨯中各字母代表的含义为 L 表示正交表,N 表示试验次数,n 、m 表示因子水平数,p 、q 表示试验至多可以安排因素的个数 ;7.线性方程组Ax b =其系数矩阵满足 A=LU,且分解唯一 时,可对A 进行LU 解,选主元素的Gauss 消元法就是为了避免 采用绝对值很小的主元素 导致误差传播大,按列选取主元素时第k 步消元的主元a kk 为)1,2,......,1(1-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑+=n i a y a b y iin i j i ij i i 8.取步长0.01h =,用Euler 法解'3,[0,1](0)1y x y x y ⎧=-∈⎨=⎩的公式为 。
高等工程数学B班试题
高等工程数学B班试题(A)(总2页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--西南科技大学研究生试题单（A 卷）年级 2014 专业 20 14 - 2015 学年第 2 学期考试科目 高等工程数学B 班 命题人 赵松泉，童蓓蕾，姚宗静 共2页 第 1 页第一部分 矩阵理论（共33分）1、（5分）写出二次型12341223(,,,)68f x x x x x x x x =+的矩阵。
2、(9分) 在4R 中，求由基（1）：1234(1,2,1,0),(1,1,1,1),(1,2,1,1),(1,1,0,1),T T T T αααα=-=-=-=-- 到基（2）：1234(2,1,0,1),(0,1,2,2),(2,1,1,2),(1,3,1,2),T T T T ββββ===-= 的过渡矩阵。
3、(9分) 求矩阵311020111A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的最小多项式()m λ。
4、（10分）求矩阵131616576687A ⎛⎫ ⎪=--- ⎪ ⎪---⎝⎭的Jordan 标准形。
第二部分 数值分析（共34分）5、（4分）已知101x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，求x ∞及1x 。
6、（101112,===（1）试用写出二次拉格朗日插值多项式，2（2）用该二次插值多项式计算4位）。
第2页7、（10分）求近似求积公式101113()2()()2()3424f x dx f f f ⎡⎤≈-+⎢⎥⎣⎦⎰ 的代数精度。
8、（10分）试用直接三角（LU ）分解法求解线性方程组：123127701451x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭。
第三部分 数理统计（共33分）9、（10分）：设某木材的横纹压力),(~2σμN X ，现观察10个横纹压力数据，计算得= 475=35.22x s *，，试求：σ的置信水平为的置信区间。
10、（10分）某卷烟厂生产两种香烟，要化验尼古丁含量，各抽取重量相同的6例化验，得尼古丁的含量( 单位: mg)：甲：25, 28, 23, 26, 29, 22.乙：28, 23, 30, 35， 21, 27.3 设两种香烟中尼古丁含量服从正态分布, 且方差都为3, 试问两种香烟的尼古丁含量有无显著差异（取0.05α=）11、（13分）某机器的使用时间与维修费用的统计数据如下表：试求Y 对x附查表值：220.0250.0250.950.05(9) 2.2622, 1.96,(9) 3.325,,(9)16.919====t u χχ。
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《高等工程数学》试题
注意：1. 考试时间2.5小时，答案一律写在本试题纸上，写在草稿纸上的一律无效； 2. 请先填好密封线左边的各项内容，不得在其它任何地方作标记；
3. 可能需要的常数：0.900.950.9951.282, 1.645, 2.576u u u ===
一、填空题(本题共10空，每空3分，满分30分.把答案填在题中的横线上) 1. 给定线性空间22R ⨯的基：
1001000000001001⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩⎭，，，B 及线性变换Tx Px =，其中22
011
0P x R ⨯⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦
，.则T 在基B 下的矩阵为
A =.
2. 设123{}e e e =，，B 是欧氏空间3
V 的标准正交基，令112213.y e e y e e =+=-，则由B 出发，通过Schmidt 标准正交化方法可求得12span{}y y ，的标准正交基为 (用123e e e ，，表示）
． 3．设211113
01021i 0A x ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦
，，其中i =. 则2|||||||| A Ax ∞⋅=. 4．当实常数c 满足条件 时，幂级数1116
k
k k
c k
c ∞
=⎡⎤
⎢⎥-⎣⎦
∑收敛. 5．对称阵321220103A ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎣⎦的Cholesky 分解为
A =.
6．设12101210()()X X X Y Y Y ，，，，
，，，是来自正态总体2~()X N μσ，的两个独立样本，则当常数 c =时，统计量4
21
10
2
5()()
i i i i i i X Y c X Y ==-⋅
-∑∑服从F 分布．
7．袋中装有编号为1~N 的N 个球(N 未知)，现从袋中有放回地任取n 个球，依次
记录下球的编号为12.n X X X ，，，则袋中球的个数N 的矩估计量为ˆ N
=. 8．设12n X X X ，，，为来自总体~(1)X N μ，的样本.为得到未知参数μ的长度不
超过0.2、置信度为0.99的双侧置信区间，其样本容量至少应满足 n ≥.
学院（部） 修读类别（学位/进修） 姓名 学号（编号）
（ 密 封 线 内 请 勿 答 题 ）
……………………………………密………………………………………封………………………………………线……………………………………
9．某城市在一项有关医疗保健的社会调查中，为了了解喜欢吃甜食的人群是否与性别有关， 随机访问了1179位人，调查结果如下表所示
若检验假设
0:H 喜欢吃甜食与性别无关， 1:H 喜欢吃甜食与性别有关
则依据所给数据，算得皮尔逊2χ统计检验量观察值2
ˆ χ
=. 10.为了分析学生的学习情况，考察了某班级全部学生数学1x 与英语2x 两门课程的考试成 绩，算得样本相关矩阵为
10.36.0.361R ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
则第一样本主成分1y 的贡献率为 .
二、(10分) 利用Householder 变换求方阵212
204031A ⎡⎤
-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
的QR 分解.
解
三、(10分) 设00ξη，是欧氏空间n V 的两个非零向量，12c c ，是两个常数
. n V α∀∈定义变换T ：
100200.T c c ααξξαηη=〈〉+〈〉，，
(1) 证明T 是线性变换；
(2) 设12{}n εεεε=，，，B 是n V 的标准正交基，且00ξη，在εB 下的坐标分别为
00x y ，，即有
0000 (x y εεηξ==，B B 其中010*********).n n n x y x y x y R x y ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
==∈⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
，
试求T 在基εB 下的矩阵A ； (3) 证明T 是对称变换.
解
学院（部） 修读类别（学位/进修） 姓名 学号（编号）
（ 密 封 线 内 请 勿 答 题 ）
……………………………………密…………………………………封………………………………………线……………………………………
四、(10分) 设矩阵
2010
201
20
2
A
⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
.
(1)求A的最小多项式()
A
mλ和Jordan标准形；
(2)计算方阵函数 ((,)).
e At t∈-∞+∞
解
五、(10分) 设4111101234001231A b x R ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥==∈⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
，，． (1) 求A 的极大线性无关列及A 的满秩分解；
(2) 证明方程组Ax b =不相容，并求Ax b =的极小范数最小二乘解．
解
学院（部） 修读类别（学位/进修） 姓名 学号（编号）
（ 密 封 线 内 请 勿 答 题 ）
…………………………………………密………………………………………封………………………………………线…………………………………………
六、(10分) 设总体X 的密度函数为| |1()e ()2x f x x σσσ
-
=-∞<<∞;，其中
0>σ为未知参数．12n X X X ，，，是来自总体X 的样本．
(1) 试求σ的极大似然估计量σ
ˆ； (2) 证明σ
ˆ为σ的最小方差无偏估计量． 解
七、(10分) )研究所从某厂定购了一批原料,已知该原料每瓶的杂质含
量2
~()X N μσ，(单位：毫克)，已知02σ=(毫克).若整批原料每瓶杂质的平均含量低于20(毫克)则视为合格，现从该批原料中随机抽取了25瓶
进行检测，计算得18.8x =(毫克).
(1) 问在显著性水平0.01α=下，能否认为该批原料是合格的？
(2) 若厂方要求：当每瓶杂质平均含量低于19(毫克)时，II 类风险不超过0.1β=，试问至少要抽样多少瓶？ 解
学院（部） 修读类别（学位/进修） 姓名 学号（编号）
（ 密 封 线 内 请 勿 答 题 ）
…………………………………………密………………………………………封………………………………………线…………………………………………
八、(10分) 设有线性线性回归模型
20122123451(2)12345~(0).i i i i
y x x i N βββεεεεεεεσ⎧=++-+⎪
=⎨⎪⎩，
，，，，，，，，独立同分布， 其中1234521012x x x x x =-=-===，，，，是已知的观测值． 1）求参数012βββ，，的最小二乘估计012ˆˆˆβββ，，； 2）并判别012ˆˆˆβ
ββ，，是否独立，为什么？。