工程数学练习题(附答案版)
《工程数学(本)》期末综合练习
《工程数学（本）》期末综合练习一、单项选择题1．设B A ,均为n 阶可逆矩阵，则下列等式成立的是( )． A ．()BAAB 11=- B ．()111---+=+B A B A C ．()111---=B A AB D ．1111----+=+B A B A正确答案：A2．方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=-331232121a x xa x x a x x 相容的充分必要条件是( )，其中0≠i a ，)3,2,1(=i ．A ．0321=++a a aB ．0321=-+a a aC ．0321=+-a a aD ．0321=++-a a a 正确答案：B3．设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1111A 的特征值为0，2，则3A 的特征值为 ( ) ．A ．0，2B ．0，6C ．0，0D ．2，6 正确答案：B4. 设A ，B 是两事件，则下列等式中（ ）是不正确的． A. )()()(B P A P AB P =，其中A ，B 相互独立 B. )()()(B A P B P AB P =，其中0)(≠B P C. )()()(B P A P AB P =，其中A ，B 互不相容 D. )()()(A B P A P AB P =，其中0)(≠A P 正确答案：C5．若随机变量X 与Y 相互独立，则方差)32(Y X D -=（ ）． A ．)(3)(2Y D X D - B ．)(3)(2Y D X D + C ．)(9)(4Y D X D - D ．)(9)(4Y D X D + 正确答案：D6．设A 是n m ⨯矩阵，B 是t s ⨯矩阵，且B C A '有意义，则C 是( )矩阵．A ．s n ⨯B ．n s ⨯C ．t m ⨯D ．m t ⨯ 正确答案：B7．若X 1、X 2是线性方程组AX =B 的解，而21ηη、是方程组AX = O 的解，则（ ）是AX =B 的解． A ．213231X X + B ．213231ηη+ C ．21X X - D ．21X X + 正确答案：A8．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=211102113A ，则A 的对应于特征值2=λ的一个特征向量α=( ) ． A ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101 B ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-101 C ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡011 D ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100 正确答案：C9. 下列事件运算关系正确的是（ ）．A ．AB BA B += B ．A B BA B +=C ．A B BA B +=D ．B B -=1 正确答案：A10．若随机变量)1,0(~N X ，则随机变量~23-=X Y （ ）． A ．)3,2(-N B ．)3,4(-N C ．)3,4(2-N D ．)3,2(2-N 正确答案：D11．设321,,x x x 是来自正态总体),(2σμN 的样本，则（ ）是μ的无偏估计． A ．321525252x x x ++ B ．321x x x ++ C ．321535151x x x ++ D ．321515151x x x ++ 正确答案：C12．对给定的正态总体),(2σμN 的一个样本),,,(21n x x x ，2σ未知，求μ的置信区间，选用的样本函数服从（ ）．A ．χ2分布 B ．t 分布 C ．指数分布 D ．正态分布 正确答案：B二、填空题1．设412211211)(22+-=x x x f ，则0)(=x f 的根是 ．应该填写：2,2,1,1--2．设向量β可由向量组n ααα,,,21 线性表示，则表示方法唯一的充分必要条件是n ααα,,,21 ．应该填写：线性无关3．若事件A ，B 满足B A ⊃，则 P （A - B ）= ． 应该填写：)()(B P A P -4．．设随机变量的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+=其它,010,1)(2x x kx f ，则常数k = ．应该填写：π45．若样本n x x x ,,,21 来自总体)1,0(~N X ，且∑==ni i x n x 11，则~x ．应该填写：)1,0(nN 6．行列式701215683的元素21a 的代数余子式21A 的值为= ． 应该填写-567．设三阶矩阵A 的行列式21=A ，则1-A = ． 应该填写：28．若向量组：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=2121α，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1302α，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=2003k α，能构成R 3一个基，则数k ．应该填写：2≠9．设4元线性方程组AX =B 有解且r （A ）=1，那么AX =B 的相应齐次方程组的基础解系含有 个解向量． 应该填写：310．设A B ,互不相容，且P A ()>0，则P B A ()= ． 应该填写：011．若随机变量X ~ ]2,0[U ，则=)(X D ． 应该填写：31 12．设θˆ是未知参数θ的一个估计，且满足θθ=)ˆ(E ，则θˆ称为θ的 估计． 应该填写：无偏三、计算题1．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=210211321,100110132B A ，求：（1）AB ；（2）1-A ． 解：（1）因为210110132-=--=A 12111210211110210211321-=-===B 所以2==B A AB ．（2）因为 []⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=100100010110001132I A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→10010011001012/32/1001100100110010101032所以 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-10011012/32/11A ．2．求齐次线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=++--=++++=++++0233035962023353215432154321x x x x x x x x x x x x x x 的通解．解： A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--326001130012331203313596212331⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→100001130012331⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→100000130001031 一般解为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=--=0313543421x x x x x x ，其中x 2，x 4 是自由元令x 2 = 1，x 4 = 0，得X 1 =)0,0,0,1,3('-； x 2 = 0，x 4 = 3，得X 2 =)0,3,1,0,3('--所以原方程组的一个基础解系为 { X 1，X 2 }．原方程组的通解为： 2211X k X k +，其中k 1，k 2 是任意常数．3．设随机变量)1,4(~N X ．（1）求)24(>-X P ；（2）若9332.0)(=>k X P ，求k 的值． （已知9332.0)5.1(,8413.0)1(,9775.0)2(=Φ=Φ=Φ）．解：（1）)24(>-X P ＝1－)24(≤-X P= 1－)242(≤-≤-X P ＝1－（)2()2(-Φ-Φ） = 2（1－)2(Φ）＝0.045． （2）)44()(->-=>k X P k X P ＝1－)44(-≤-k X P＝1－)5.1(9332.0)4(Φ==-Φk )5.1()5.1(1)4(-Φ=Φ-=-Φk即 k －4 = -1.5， k ＝2.5．4．某切割机在正常工作时，切割的每段金属棒长服从正态分布，且其平均长度为10.5 cm ，标准差为0.15cm.从一批产品中随机地抽取4段进行测量，测得的结果如下：（单位：cm ）10.4，10.6，10.1，10.4问：该机工作是否正常(05.0=α, 96.1975.0=u )？解：零假设5.10:0=μH .由于已知15.0=σ，故选取样本函数nx U σμ-=～)1,0(N经计算得375.10=x ，075.0415.0==nσ，67.1075.05.10375.10=-=-nx σμ由已知条件96.121=-αu，且2196.167.1αμσμ-=<=-nx故接受零假设，即该机工作正常.5．已知矩阵方程B AX X +=，其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=301111010A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=350211B ，求X ． 解：因为B X A I =-)(，且⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-101210011110001011100201010101001011)(I A I ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→11100121010120001110100011110010101 即 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=--110121120)(1A I所以 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-=-334231350211110121120)(1B A I X ．6．设向量组)1,421(1'--=，，α，)4,1684(2'--=，，α，)2,513(3'--=，，α，)1,132(4'-=，，α，求这个向量组的秩以及它的一个极大线性无关组． 解：因为（1α 2α 3α 4α）=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------12411516431822341 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----→1100770075002341⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→0000200011002341 所以，r (4321,,,αααα) = 3．它的一个极大线性无关组是 431,,ααα（或432,,ααα）．7．设齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=+-0830352023321321321x x x x x x x x x λ，λ为何值时方程组有非零解？在有非零解时，求出通解． 解：因为A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---λ83352231⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→610110231λ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→500110101λ505==-λλ即当时，3)(<A r ，所以方程组有非零解．方程组的一般解为： ⎩⎨⎧==3231x x x x ，其中3x 为自由元．令3x =1得X 1=)1,1,1('，则方程组的基础解系为{X 1}． 通解为k 1X 1，其中k 1为任意常数．8．罐中有12颗围棋子，其中8颗白子，4颗黑子．若从中任取3颗，求：（1）取到3颗棋子中至少有一颗黑子的概率；（2）取到3颗棋子颜色相同的概率．解：设1A =“取到3颗棋子中至少有一颗黑子”，2A =“取到的都是白子”，3A =“取到的都是黑子”，B =“取到3颗棋子颜色相同”，则 （1）)(1)(1)(211A P A P A P -=-=745.0255.01131238=-=-=C C ．（2）)()()()(3232A P A P A A P B P +=+=273.0018.0255.0255.031234=+=+C C ．9．设随机变量X ~ N （3，4）．求：（1）P （1< X < 7）；（2）使P （X < a ）=0.9成立的常数a ． (8413.0)0.1(=Φ，9.0)28.1(=Φ，9973.0)0.2(=Φ)． 解：（1）P （1< X < 7）=)23723231(-<-<-X P =)2231(<-<-X P =)1()2(-Φ-Φ = 0.9973 + 0.8413 – 1 = 0.8386 （2）因为 P （X < a ）=)2323(-<-a X P =)23(-Φa = 0.9 所以28.123=-a ，a = 3 + 28.12⨯ = 5.56 10．从正态总体N （μ，9）中抽取容量为64的样本，计算样本均值得x = 21，求μ的置信度为95%的置信区间．(已知 96.1975.0=u ) 解：已知3=σ，n = 64，且nx u σμ-= ~ )1,0(N因为 x = 21，96.121=-αu，且735.064396.121=⨯=-nuσα所以，置信度为95%的μ的置信区间为： ]735.21,265.20[],[2121=+---nux nux σσαα．四、证明题1．设A 是n 阶矩阵，若3A = 0，则21)(A A I A I ++=--． 证明：因为 ))((2A A I A I ++-=322A A A A A I ---++ =3A I -= I所以 21)(A A I A I ++=--2．设n 阶矩阵A 满足0))((=+-I A I A ，则A 为可逆矩阵．证明： 因为 0))((2=-=+-I A I A I A ，即I A =2 所以，A 为可逆矩阵．3．设向量组321,,ααα线性无关，令2112ααβ+=，32223ααβ+=，1334ααβ-=，证明向量组321,,βββ线性无关。
六年级数学工程问题(附例题答案)
二、典型例题例1. 一件工作，甲做9天可以完成，乙做8天可以完成，.现在甲先做了3天，余下的工作由乙继续完成.乙需要做几天可以完成全部工作？例2.有一工程，甲队单独做24天完成，乙队单独做30天完成，甲、乙两队合做8天后，余下的由丙队做，又做了10天才完成。
这个工程由丙队单独做需几天完成？例3.某工程先由甲单独做63天，再由乙单独做28天即可完成，若由甲乙两人合作，需48天完成，现在甲先单独做12天，然后由乙来单独完成，那么还需要多少天？例3.一项工程，甲乙两人合作4天后，再由乙单独做5天完成，已知甲比乙每天多完成这项工程的1 30，甲乙单独做这项工程各需要多少天？例4.一项工程，甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成，.现在他们两队一起做，其间甲队休息了4天，乙队休息了若干天.从开始到完成共用了17天.问乙队休息了多少天？例6.有甲、乙两项工作，张单独完成甲工作要10天，单独完成乙工作要15天；李单独完成甲工作要8天，单独完成乙工作要20天.如果每项工作都可以由两人合作，那么这两项工作都完成最少需要多少天？例7.甲、乙合做一件工作要15天才能完成，现在甲、乙合做10天后，再由乙独做6天，还剩下这件工作的1/10，甲单独完成这件工作要多少天？例8.一项工程甲队单独做15天可以完成，乙队独坐10天可以完成。
现在开始两队合作，但中间乙队因另有任务调走，从开始到完成任务，甲队工作了9天，乙队比甲队少工作了多少天？例9.甲、乙合做一件工作，合作8天后，乙又独做5天，还剩下这件工作的1/6。
已知乙单独完成这件工作要30天，那么甲单独完成这件工作要多少天？例10.甲、乙合做一件工作，每天能完成全部工作的1/12，甲单独做6天，乙又单独做10天后，还剩下全部工作的11/30没有完成，甲单独完成全部工作要多少天？例11..一项工程，甲单独完成需12天，乙单独完成需9天。
若甲先做若干天后乙接着做，共用10天完成，问甲做了几天？例11.一件工作，甲独做要12天，乙独做要18天，丙独做要24天.这件工作由甲先做了若干天，然后由乙接着做，乙做的天数是甲做的天数的3倍，再由丙接着做，丙做的天数是乙做的天数的2倍，终于做完了这件工作.问总共用了多少天？例12.一份稿件，甲、乙、丙三人单独打字需要的时间分别是20小时、24小时、30小时，现在三人合打，但甲因中途另有任务提前撤出，结果用12小时完成，甲只打了多少小时？例13.一项工程甲单独完成要30天，乙单独完成要45天，丙单独完成要90天。
六年级数学工程问题专项练习(含参考答案)
六年级数学工程问题专项练习（含参考答案）1.一件工作，甲独做需要2天，乙单独做需要4天，两人合做几小时，可以完成这件工作的？2.一项工程，甲单独做需要21天时间，甲、乙合作需要12天时间，如果乙单独做需要多少时间？3.一水池装有一个进水管和一个排水管。
如果单开进水管，5小时可将空池灌满；如果单开排水管，7小时可将整池水排完。
现在先打开进水管，2小时后打开排水管。
请问：再过多长时间池内将恰好存有半池水？4.蓄水池有甲、乙两个进水管，单开甲管需12小时注满水，单开乙管需18小时注满水。
现要求10小时注水池，那么甲、乙两管至少要合开多长时间？5.修一条路，甲队每天修8小时，5天完成；乙队每天修10小时，6天完成。
两队合作，每天工作6小时，几天可以完成？6.甲、乙、丙三人同时分别在3个条件和工作量相同的仓库工作，搬完货物甲用10小时，乙用12小时，丙用15小时．第二天三人又到两个大仓库工作，这两个仓库的工作量相同．甲在A仓库，乙在B仓库，丙先帮甲后帮乙，用了16个小时将两个仓库同时搬完．丙在A仓库搬了多长时间？7.甲、乙合作一件工程，由于配合得好，甲的工作效率比单独做时提高，乙的工作效率比单独做时提高．甲、乙两人合作6小时，完成全部工作的，第二天乙又单独做了6小时，还留下这件工作的尚未完成，如果这件工作始终由甲一人单独来做，需要多少小时？8.有甲乙两个工程，张三单独做完甲工程需要12天，单独做完乙工程需要15天；李四单独做完甲工程需要8天，单独做完乙工程20天．张三李四二人共同完成这个工程最少需要多少天？9.单独完成一件工程，甲需要24天，乙需要32天.若甲先独做若干天后乙单独做，则共用26天完成工作.问甲做了多少天？10.一项工程，甲队单独做需30天完成，乙队单独做需40天完成。
甲队单独做若干天后，由乙队接着做，共用35天完成了任务。
甲、乙两队各做了多少天？11.甲、乙两人合作加工一批零件，8天可以完成。
六年级数学工程问题专项练习(含参考答案)
六年级数学工程问题专项练习（含参考答案）1.一件工作，甲独做需要2天，乙单独做需要4天，两人合做几小时，可以完成这件工作的？2.一项工程，甲单独做需要21天时间，甲、乙合作需要12天时间，如果乙单独做需要多少时间？3.一水池装有一个进水管和一个排水管。
如果单开进水管，5小时可将空池灌满；如果单开排水管，7小时可将整池水排完。
现在先打开进水管，2小时后打开排水管。
请问：再过多长时间池内将恰好存有半池水？4.蓄水池有甲、乙两个进水管，单开甲管需12小时注满水，单开乙管需18小时注满水。
现要求10小时注水池，那么甲、乙两管至少要合开多长时间？5.修一条路，甲队每天修8小时，5天完成；乙队每天修10小时，6天完成。
两队合作，每天工作6小时，几天可以完成？6.甲、乙、丙三人同时分别在3个条件和工作量相同的仓库工作，搬完货物甲用10小时，乙用12小时，丙用15小时．第二天三人又到两个大仓库工作，这两个仓库的工作量相同．甲在A仓库，乙在B仓库，丙先帮甲后帮乙，用了16个小时将两个仓库同时搬完．丙在A仓库搬了多长时间？7.甲、乙合作一件工程，由于配合得好，甲的工作效率比单独做时提高，乙的工作效率比单独做时提高．甲、乙两人合作6小时，完成全部工作的，第二天乙又单独做了6小时，还留下这件工作的尚未完成，如果这件工作始终由甲一人单独来做，需要多少小时？8.有甲乙两个工程，张三单独做完甲工程需要12天，单独做完乙工程需要15天；李四单独做完甲工程需要8天，单独做完乙工程20天．张三李四二人共同完成这个工程最少需要多少天？9.单独完成一件工程，甲需要24天，乙需要32天.若甲先独做若干天后乙单独做，则共用26天完成工作.问甲做了多少天？10.一项工程，甲队单独做需30天完成，乙队单独做需40天完成。
甲队单独做若干天后，由乙队接着做，共用35天完成了任务。
甲、乙两队各做了多少天？11.甲、乙两人合作加工一批零件，8天可以完成。
国家开放大学《工程数学》综合练习题参考答案
A． a1 a2 a3 0
B． a1 a2 a3 0
C． a1 a2 a3 0
D． a1 a2 a3 0
28.设矩阵
A
1 1
1
1
的特征值为 0，2，则 3A 的特征值为
(D)
．
A．0，2 B．2，6 C．0，0 D．0，6 29.若事件 A 与 B 互斥，则下列等式中正确的是（A）．
国家开放大学《工程数学》综合练习题参考答案
一、单项选择题
本套练习题包括题型：
一、单项选择题（40） 二、填空题（35） 三、计算题（28） 四、证明题（6）
1.设 A, B 均为 n 阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（D）． A. ( A B)1 A1 B 1 B. A B A B
C. 2AB 2n A B D. ( AB)1 B 1 A1
B． AB AB C． AB 1 B 1 A1 D． A B 1 A1 B 1
23.设 A , B 是两个随机事件，下列命题中不正确的是(B) ． A. P( A B) P( A) P(B) P( AB) B. P( AB) P( A)P(B)
C. P( A) 1 P( A) D. P( A B) P( AB)
A． P( A B) P( A) P(B)
B． P(B) 1 P( A)
C． P( A) P( A B)
D． P( AB) P( A) P(B)
30.设 x1, x2 ,, xn 是来自正态总体 N (5,1) 的样本，则检验假设 H 0 : 5 采用统计 量 U =（C）．
A． x 5 5
7.向量组 1 0, 0, 0, 2 1, 0, 0, 3 1, 2 , 0, 4 1, 2 , 3的极大线性无关
工程数学练习习题
综合练习一、单项选择题1．设为阶矩阵，则下列等式成立的是（）．A．B．C．D．正确答案：A2．方程组相容的充分必要条件是（），其中，．A．B．C．D．正确答案：B3．下列命题中不正确的是（）．A．A与有相同的特征多项式B．若是A的特征值，则的非零解向量必是A对应于的特征向量C．若=0是A的一个特征值，则必有非零解D．A的特征向量的线性组合仍为A的特征向量正确答案：D4．若事件与互斥，则下列等式中正确的是(）．A．B．C．D．正确答案：A5．设是来自正态总体的样本，则检验假设采用统计量U =(）．A．B．C．D．正确答案：C6．若是对称矩阵，则等式()成立．A.B。
C.D。
正确答案：B7．( ）．A。
B。
C。
D。
正确答案：D8．若（)成立，则元线性方程组有唯一解．A。
B。
C。
D。
的行向量线性相关正确答案：A9. 若条件(）成立，则随机事件,互为对立事件．A.或B。
或C。
且D。
且正确答案：C10．对来自正态总体（未知）的一个样本，记,则下列各式中（）不是统计量．A。
B。
C.D.正确答案: C二、填空题1．设，则的根是．应该填写：1，—1，2，—22．设4元线性方程组AX=B有解且r（A)=1，那么AX=B的相应齐次方程组的基础解系含有个解向量．应该填写:33．设互不相容，且，则．应该填写:04．设随机变量X ~ B(n，p），则E（X)= ．应该填写：np5．若样本来自总体,且，则．应该填写：6．设均为3阶方阵,，则．应该填写：87．设为n阶方阵，若存在数λ和非零n维向量，使得，则称为相应于特征值λ的特征向量．应该填写：8．若，则．应该填写：0.39．如果随机变量的期望，,那么．应该填写：2010．不含未知参数的样本函数称为．应该填写：统计量三、计算题1．设矩阵，求．解：由矩阵乘法和转置运算得利用初等行变换得即2．求下列线性方程组的通解．解利用初等行变换，将方程组的增广矩阵化成行简化阶梯形矩阵，即→→→方程组的一般解为：，其中,是自由未知量．令，得方程组的一个特解．方程组的导出组的一般解为：，其中，是自由未知量．令,,得导出组的解向量；令，，得导出组的解向量．所以方程组的通解为：，其中，是任意实数．3．设随机变量X ~ N（3，4）．求：（1）P（1< X〈7);（2）使P(X〈a）=0。
高等工程数学练习题及答案
高等工程数学练习题 （2012年12月16）1. n 位男士和n 位女士排成一行，要求男女相间，求有多少种不同的排法？把n 个男、n 个女分别进行全排列，然后按乘法法则放到一起，而男女分别在前面,应该再乘2,即方案数为2·(n!) 个2. n 个人围圆圈坐下做游戏，求不同的坐法数？若某两人不愿坐在一起，有多少种不同的坐法? 若有3人总是坐在一起，又有多少种不同的坐法？ A: Q(n ,n)=(n-1)!;B: Q(n ,n)- Q(n-1,n-1) *2！=(n-1)!- (n-2)! *2！ C: Q(n-2,n-2) *3！= (n-3)! *3！3. 书架上有一部24卷的百科全书，现要从中取出5本，使得没有两本书是连续的，问有多少种不同的取法？ C(24-5+1,5)=C(20,5)4. 设{1,2,3,,(1)}.A n =+ （1）证明最大元素恰为j 的子集的个数是12j -；（2）证明：2112222 1.m m +++++=-A 、最大元素恰为j 的子集的个数，相当于前j-1个元素，每个元素出现或不出现的情况构成的所有子集的数量，每个元素出现或不出现2种可能，因此j-1个2相乘即为所有的情况，即12j -。
B:等比数列a1=2,q=2右侧为1+(2*（1-2^m ）/1-2)=2^(m+1)-2+1=2^(m+1)-1=左侧5. 证明等式: 22222012n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭C(n 0)*C(n 0)=C(n 0)*C(n n); C(n 1)*C(n 1)=C(n 1)*C(n n-1); ……C(n k)*C(n k)=C(n k)*C(n n-k) ,K=0~nC(n k)相当于（0 0）到直线{（n 0）(0 n)}上的某点（n-k,k ）的路径 C(n n-k) 相当于直线{（n 0）(0 n)}上的某点（n-k,k ）到（n n ）的路径根据乘法原理 C(n k)*C(n n-k)相当于（0 0）点通过直线{（n 0）(0 n)}上的某点（n-k,k ）到（n n ）的路径左侧为（0 0）点通过直线{（n 0）(0 n)}上所有点到（n n ）的路径相加由于（0 0）点到达（n n ）的所有路径均通过直线{（n 0）(0 n)}，所以根据加法原理左侧为（0 0）点到（n n ）的所有路径即等于（2n n ） 6. 证明恒等式： 11221011220n r n r n r n m r mn r m m m m m -+-+-+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（-r-1,0）到(-1,i)路径为c(r+i,i)(-1,i)到(0,i)路径为1(0,i)到(n-m,m)路径为c(n-i.m-i)根据乘法原理，c(r+i,i) c(n-i.m-i)为（-r-1,0）经过(-1,i)到(0,i)再到(n-m,m)点的路径 左侧为i 取0至m ，（-r-1,0）经过(-1,i)到(0,i)再到(n-m,m)点的路径之和， 右侧围（-r-1,0）到(n-m,m)点的路径 左右相等7. 求不定方程123(,)n x x x x r n r Z +++++=∈的非负整数解的个数；设r n ≥，求不定方程的正整数解的个数. C （n+r-1,r ）C(n+r-n-1,r-n)=c(r-1,r-n),相当于每盒先放一个球，球数量变成r-n ，再求解。
工程数学练习题
工程数学练习题一、 判断题1． 若A 为集合，则A Φ={ф} （ ） 2． 设A ，B 为集合。
若B ≠ф，则A —B ⊂A 。
（ ） 3． 若R 为集合A 上的反对称关系，则R 2亦然。
（ ） 4． 若R 1，R 2为集合A 上的相容关系，则R1·R2亦然。
（ ） 5． 若g ·f 为内射且f 为满射，则g 为内射。
（ ）6． 若f:X →Y 且A ，B ⊆Y ，则f -1[A ⋂B ]=f -1[A] ⋂f -1[B] （ ） 7． 若P 为命题变元，则P ∧—P 为主合取范式。
（ ） 8． 若P ，Q 为命题变元，则（P Q ） （-P Q ）为可满足的。
（ ） 9． 简单无向图的邻接矩阵是一个对角线元素全为“0”的0-1矩阵。
（ ） 10．若V 为有向图G 的结点集，则∑∑∈-∈-=Vv Vv v G d v G d )()(。
（ ）11．π是无理数，并且如果3是无理数，则2也是无理数。
（ ） 12．只有6能2整除，6才能被4整除。
（ ） 13．用真值表判断下列公式类型1）)(r q p p ∨∨→ （ ） 2）q p p 7)7(→→ （ ） 3）r r q ∧→)(7 （ ） 4）)77()(p q q p →→→ （ ） 5）)77()(q p r p ∧↔∧ （ ） 6）)())()((r p r q q p →→→∧→ （ ） 7）)()(s r q p ↔↔→ （ ） 14．判断下述命题的真假1）)()()(C A B A C B A ⨯=⨯ （ ） 2）)()()(C A B A C B A ⨯⨯=⨯⨯ （ ） 3）存在集合A 使得A A A ⨯⊆ （ ） 4）)()()(A A P A P A P ⨯=⨯⨯ （ ）二、单项选择题1．1、一个连通的无向图G ，如果它的所有结点的度数都是偶数，那么它具有一条 （ ） A 、汉密尔顿回路 B 、欧拉回路 C 、汉密尔顿通路D 、初级回路2、设G 是连通简单平面图，G 中有11个顶点5个面，则G 中的边是（ ） A 、10 B 、12 C 、16 D 、143、设i 是虚数，·是复数乘法运算，则G=（{}+--i i ,,1,1·）是群，下列是G 的子群是（ ）A 、（{},1·）B 、（{},1-·）C 、（{},i ·）D 、（{},i -·）4、设Z 为整数集，A 为集合，A 的幂集为P （A ），+、－、／为数的加、减、除运算， 为集合的交运算，下列系统中是代数系统的有（ ）A 、（Z , + , /）B 、（Z , /）C 、（z , －, /）D 、（P （A ）, ）5、设A=（1,2,3），A 上二元关系R 的关系图如下： R 具有的性质是 （ ）A 、自反性B 、对称性C 、传递性D 、反自反性 6、设A=|a,b,c|A 上二元关系R=|〈a,a 〉〈b,b 〉〈a,c 〉|，则关系R 的对称闭包S （R ）是（ ） A 、R I A B 、R C 、R |〈c,a 〉| D 、R I A 7、设X=|a,b,c|,1X 上恒等关系，要使1X |〈a,b 〉,〈b,c 〉,〈c,a 〉, 〈b,a 〉| R 为X 上的等价关系，R 应取 （ ） A 、|〈c,a 〉, 〈a,c 〉| B 、|〈c,b 〉, 〈b,a 〉| C 、|〈c,a 〉, 〈b,a 〉| D 、|〈a,c 〉, 〈c,b 〉| 8、下列式子正确的是（ ）A 、Ø∈ØB 、Ø⊆ØC 、|Ø|⊆ ØD 、|Ø|∈Ø9、若P:他聪明:Q:他用功:则“他虽聪明，但不用功”，可符号化为 （ ） A 、PVQ B 、PA|Q C 、P ΓQ D 、PV –Q10、以下命题公式中，为永假式的是 （ ） A 、p →（pVqVr ） B 、（p →Γp ）→Γp C 、|（q →p ）∧pD 、|(pV Γp) →（p ∧Γp ）11、M 未知时，求Q 2的置信区间，应选择统计量为（ ） A ．)1,0(/～N nQ M x -B ．)1(/--n ～t nS M xC ．)1,0(～N QMx - D ．)1(122--n ～n x Q12、)3)(2)(1()(+++=S S S SS F 不解析点有（ ）个。
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（一）一、单项选择题（每小题2分，共12分） 1. 设四阶行列式bccad c d b b c a d dc b a D =，则=+++41312111A A A A （ ）.A.abcdB.0C.2)(abcd D.4)(abcd2. 设(),0ij m n A a Ax ⨯==仅有零解，则 （ ）(A) A 的行向量组线性无关; (B) A 的行向量组线性相关; (C) A 的列向量组线性无关; (D) A 的列向量组线性相关;3. 设8.0)(=A P ，8.0)|(=B A P ，7.0)(=B P ，则下列结论正确的是（ ）.A.事件A 与B 互不相容；B.B A ⊂；C.事件A 与B 互相独立；D.)()()(B P A P B A P +=Y4. 从一副52张的扑克牌中任意抽5张，其中没有K 字牌的概率为（ ）.A.552548C C B.5248 C.554855C D.5555485. 复数)5sin 5(cos5ππi z --=的三角表示式为（ ）A ．)54sin 54(cos 5ππi +-B ．)54sin 54(cos 5ππi -C ．)54sin 54(cos 5ππi +D ．)54sin 54(cos 5ππi --6. 设C 为正向圆周｜z+1|=2,n 为正整数，则积分⎰+-c n i z dz1)(等于（ ）A ．1；B ．2πi ；C ．0；D ．iπ21 二、填空题（每空3分，共18分） 1. 设A 、B 均为n 阶方阵，且3||,2||==B A ，则=-|2|1BA .2. 设向量组()()()1231,1,1,1,2,1,2,3,TTTt α=α=α=则当t = 时,123,,ααα线性相关.3. 甲、乙向同一目标射击，甲、乙分别击中目标概率为0.8， 0.4，则目标被击中的概率为4. 已知()1,()3E X D X =-=，则23(2)E X ⎡⎤-=⎣⎦______.5. 设)(t f 是定义在实数域上的有界函数，且在0=t 处连续，则=⎰+∞∞-dt t f t )()(δ .6. 函数)2)(1(15)(-+-=s s s s F 的Laplace 逆变换为()f t = .三、计算题（每小题10分，共70分）1. 设423110123A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭, 而B 满足关系式2AB A B =+,试求矩阵B .2．当λ为何值时,⎪⎩⎪⎨⎧+=+++=++=+324622432132131λλλx x x x x x x x 无解,有解，并在有解时求出其解.3、设在15只同类型的零件中有两只是次品，在其中取3次，每次任取一只，作不放回抽样，以 X 表示取出次品的只数，求X 的分布律。
4(1)若设随机变量X 的分布律(2)若设随机变量X 的概率密度f (x)=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤其他021210x x x x ,就情形（1）和（2）分别求E(X),D(X).5.已知调和函数 y x y x y x u 2),(22+-=，求函数 (,)v x y ，使函数 ()f z u i v =+ 解析且满足 i i f +-=1)(． . 6. 计算⎰-+=c z z z dzI )2)(1(3的值，其中C 为正向圆周.2,1,≠=r r z 。
7.用拉氏变换解方程组：⎩⎨⎧=='=''-=-'+''-'''.2)0(,1)0()0(,133y y y y y y y（二）一、选择题（每小题2分，共12分）1. 设A 为3阶方阵, 数2=λ, |A | =3, 则|λA | = （ ）A ．24;B ．-24;C ．6;D ．-6.2.γβα,,均为三维列向量，),,(γβα=A ，γβα,,组成的向量组线性相关，||A 的值（ ）. A.大于0 B.等于0 C.小于0 D.无法确定3. 设随机变量X 的概率密度为 ⎩⎨⎧≤<+=.,0;10,)(其它x bx a x f 且 83}21{=≤X P ，则有（ )；.21,21)(;1,21)(;0,1)(;2,0)(========b a D b a C b a B b a A 4. 一射手向目标射击3 次，i A ：第i 次击中)3,2,1(=i ，则3次至多2次击中目标表为( )： 321321321321)(;)(;)(;)(A A A D A A A C A A A B A A A A ⋃⋃⋃⋃5. 复数)0(sin )cos 1(πθθθ≤≤++=i z 的辐角为 （ ）A ． θB ．2θ C ．θπ- D ．θ26. 设⎩⎨⎧>≤=111)(t t t f 则其傅氏变换为 （ ） A ．ωωsin 2 B ．ωω2sin C ．⎩⎨⎧>≤11sin ωωωω D ．不存在 二、填空题（每空格2分，共12分）1. 方程组⎩⎨⎧=+=++037032321x x x x x 的基础解系中向量的个数为2. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=8453A ，则=-1A 3. .设某种产品的次品率为0.01，现从产品中任意抽取4个，则有1个次品的概率是_ 4. 随机变量X 与Y 相互独立，2)()(,)()(σμ====Y D X D Y E X E ，则2)(Y X E -=5. 设C 为正向圆周|z －i|=31,则积分⎰c zdz i)-z(z e π=_____________。
6. 1的拉氏变换为______________________。
三、计算题或证明（每小题10分，共70分）1. 已知平面上三条不同直线的方程分别为.032 :,032 :,032 :321=++=++=++b ay cx l a cy bx l c by ax l2. 设四维向量组11100⎛⎫ ⎪- ⎪α= ⎪ ⎪⎝⎭，21211-⎛⎫ ⎪ ⎪α= ⎪ ⎪-⎝⎭，30111⎛⎫ ⎪ ⎪α= ⎪ ⎪-⎝⎭，41321-⎛⎫ ⎪ ⎪α= ⎪ ⎪⎝⎭，52645-⎛⎫ ⎪ ⎪α= ⎪ ⎪⎝⎭，求该向量组的秩及一个极大线性无关组，并把其余向量用该极大线性无关组线性表示3. 据统计男性有5%是患色盲的，女性有0.25%的是患色盲的，今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？4. 设事件A 、B 满足条件41)(=A P ，21)｜()｜(==B A P A B P . 定义随机变量X 、Y 如下：⎩⎨⎧=，A A X 生不发 若,0 发生， 若,1 ⎩⎨⎧=，B B Y 生不发 若,0 发生，若,1 求二维随机变量（X ，Y ）的联合分布律.5. 求22y -2x y x u +=的共轭调和函数v(x,y)，并使v(0,0)＝1;6. 求指数衰减函数⎩⎨⎧≥<=-000)(t et t f t β的Fourier 变换及其积分表达式。
7.用拉氏变换求解微分方程⎩⎨⎧-='='=+-''-''===++''+''1)0()0(sin )()()()(20)0()0(0)()()()(y x tt y t x t y t x y x t y t x t y t x试证：这三条直线交于一点的充分必要条件为c b a ++=0（一） 答案一、单项选择题（每小题2分，共12分）1. B2.C3. C4. A5.C6. C 二、填空题（每空3分，共18分） 1.123-⋅n ； 2. 2 ； 3. 0.88； 4. 6； 5.)0(f ； 6.t t e e 232+-三、计算题或证明（每小题10分，共70分） 1．解：2AB A B =+，(2)A E B A -=，1(2)B A E A -=-，2232110121A E ⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪-⎝⎭，223423110110121123⎛⎫⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭1003860102960012129--⎛⎫ ⎪→-- ⎪ ⎪-⎝⎭， 所以1(2)B A E A -=-3862962129--⎛⎫ ⎪=--⎪ ⎪-⎝⎭. 2. 解：()101|412261423AA b λ⎛⎫ ⎪==λ+ ⎪ ⎪λ+⎝⎭%10101223001λ⎛⎫ ⎪→--λ ⎪ ⎪-λ⎝⎭， 当1≠λ时，()3,()2r Ar A ==%，线性方程组无解；当1=λ时2)()~(==A A r r ，方程组有无穷多解，且其通解为()()k k TT,1,2,10,1,1-+-=x 为任意常数3. 设X 为“取出的次品数”，则31221132********15151522121(0),(1),(2)353535C C C C C P X P X P X C C C ========= 4 (1) E (X)=0.5, D(X)=1.875 (2 ) E (X)=1, D(X)=1/6. 5. 1、(1) 由yvy x x u ∂∂=+=∂∂22，有)(2d )22(2x y y x y y x vϕ++=+=⎰，由)(222x y xv x y y u ϕ'--=∂∂-=+-=∂∂，有 x x 2)(-='ϕ， ⇒ c x x x x +-=-=⎰2d )2()(ϕ，即得 c x y xy y x v +-+=222),(，)2(2)(2222c x y y x i y x y x z f +-+++-=；(2) 由 i i f +-=1)( ⇒ 0=c ，6.(1) 当10<<r 时，设)2)(1(1)(-+=z z z f ，则)(z f 在C 内解析，0=z 在C 内，43])2)(1(1[!22)2)(1(103iz z i z dz z z I z c ππ-=''-+=⋅-+==⎰ （2）当21<<r时，作互不相交，互不包含的圆周321,,C C C 分别包围点0，－1，2，32)2)(1()2)(1(2133i z z z dzz z z dz I C C π=-++-+=⎰⎰（3）当r <2时，作互不相交，互不包含的圆周321,,C C C 分别包围点0，－1，2，12)2)(1()2)(1()2)(1(321333i z z z dzz z z dz z z z dz I C C C π=-++-++-+=⎰⎰⎰7. 在方程两边取拉氏变换，并用初始条件得 ))0()0()((3)0()0()0()(223y Sy S Y S y y S y S S Y S '---''-'--S S Y y S SY 1)())0()((3-=--+)3()33(211)()133(223-++-+-=-+-S S S SS Y S S S)1452(123-+-=S S S S 2)1)(12(1--=S S S 即111)1(12)(-+=--=S S S S S S Y故1)]([)(1+==-t e S Y t y L（二） 答案一、选择题（每小题2分，共12分）1. A2. B3. D4. C5. B6. A 二、填空题（每空格2分，共12分）1. 1；，2. ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--431452， 3. 0.039 4．22σ ，5. π2-; 6、)0(Re 1>s s三、计算题或证明（每小题10分，共70分）1. 解：证明:必要性由123,,l l l 交于一点得方程组有非零解故231()()230()10231a b cb c R A R A b c a a b c c a c a ba b=⇒=⇒++=所以0a b c ++=充分性：0()a b c b a c ++=⇒=-+2222222()2[()][()]02a b ac b ac a c a c a c b c=-=-+=-++-≠。