工程数学试题B及参考答案

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吉林大学2020级工程数学B(0002)

工程数学试卷 B适用专业：考试日期：试卷类型：闭卷考试时刻：120分钟试卷总分：100分一．填空题（每题3分，共计3⨯8＝24分）一、设二次型()f x =222123232334x x x x x +++ ,那么二次型f 矩阵A = 二、设,9,3,A B A B ==三阶方阵有则T AB =3、设向量,101,121⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=βα 那么T αβ⋅=4、设向量111,0,11αβ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭那么内积[]2,αβ=五、已知2BA B E =+,2112A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭, 那么1B - =6、设矩阵A =220210⎛⎫⎪⎝⎭ ,则矩阵A 的标准形为7. 设A 为n 阶方阵，假设行列式50E A -=，那么2A 必有一特点值为8、设123012111D =，那么111213A A A ++=二.选择题（3分⨯4＝12分）1、设α是矩阵A 对应于λ的特点向量，那么1P AP -对应的特点向量为（）（A ）1P α- （B ）P α （C ） T P α （D ） α2、设n 阶矩阵A 可逆，以下说法错误的选项是（）（A ）存在B 使AB E = （B ）0A ≠ （C ）A 能相似于对角阵 (D) ()r A n =3、设1201,3410A B ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则2128B AB =（）。

（A ） 1234⎛⎫ ⎪⎝⎭ （B ）3412⎛⎫⎪⎝⎭ （C ）2143⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）4231⎛⎫ ⎪⎝⎭4、设A 为m n ⨯的矩阵，()R A n =，那么非齐次线性方程组Ax b =的解为（）（A ）必然有唯一解（B ）必然无解（C ）必然有无穷多解（D ）可能有解三. 设矩阵2546,,21321A B A X AB -⎡⎤⎡⎤==+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，求矩阵X （10分）四、设四元非齐次线性方程组AX b=的系数矩阵A的秩()3R A=，且已知解123,,ηηη，其中1232132,4354ηηη⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求方程组AX b =的所有解（10分）五、已知向量组123423240,1,1,22100αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，（1）求向量组的秩；（2）向量组的一个最大无关组；（3）将其余向量用最大无关组线性表示。

工程数学试卷及标准答案

1．某人打靶3发，事件Ai 表示“击中i 发”，i=0,1,2,3. 那么事件A=A1∪A2∪A3表示( )。

A. 全部击中.B. 至少有一发击中.C. 必然击中D. 击中3发 2．对于任意两个随机变量X 和Y ，若E(XY)=E(X)E(Y)，则有( )。

A. X 和Y 独立。

B. X 和Y 不独立。

C. D(X+Y)=D(X)+D(Y)D. D(XY)=D(X)D(Y)3．下列各函数中可以作为某个随机变量的概率密度函数的是（）。

A ．其它1||0|)|1(2)(≤⎩⎨⎧-=x x x f 。

B. 其它2||05.0)(≤⎩⎨⎧=x x fC. 0021)(222)(<≥⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--x x e x f x σμπσ D. 其它00)(>⎩⎨⎧=-x e x f x ，4．设随机变量X ～)4,(2μN , Y ～)5,(2μN , }4{1-≤=μX P P ,}5{2+≥=μY P P , 则有（）A. 对于任意的μ, P 1=P 2B. 对于任意的μ, P 1 < P 2C. 只对个别的μ，才有P 1=P 2D. 对于任意的μ, P 1 > P 25．设X 为随机变量，其方差存在，c 为任意非零常数，则下列等式中正确的是（）A ．D(X+c)=D(X). B. D(X+c)=D(X)+c. C. D(X-c)=D(X)-c D. D(cX)=cD(X)6．设3阶矩阵A 的特征值为-1，1，2，它的伴随矩阵记为A*，则|A*+3A –2E|= 。

7．设A= ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--10000002~011101110x ，则x = 。

8．设有3个元件并联，已知每个元件正常工作的概率为P ，则该系统正常工作的概率为。

9．设随机变量X 的概率密度函数为其它Ax x x f <<⎩⎨⎧=002)(，则概率=≥)21(X P 。

复变B集解答

工程数学（复变与积分变换B集）目录 1 工程数学（复变与积分变换B集）目录B.1 导数（第二章） (2)2.1复变函数的极限、连续性 (2)2.2导数 (5)B.2 积分（第三章） (8)3.1积分的概念、性质和计算 (8)3.2柯西定理及其推广 (12)B.3 级数（第四章） (15)4.1复数项级数 (15)4.2幂级数 (19)B.4 留数（第五章） (23)5.1孤立奇点的分类 (23)5.2留数及留数定理（1） (26)B.5 保形映照（第六章） (29)6.1保形映照的定义 (29)6.2分式线性函数及其映照性质 (30)6.3指数函数与幂函数所确定的映照 (34)B.6 拉普拉斯变换（第八章） (35)8.1拉普拉斯变换、逆变换的概念 (35)8.2拉普拉斯变换的性质 (37)8.3拉普拉斯变换的应用 (39)2 工程数学习题集（复变函数与积分变换B 集）2B.1 导数（第二章）2.1 复变函数的极限、连续性1. 判断题(1) 对数函数Ln z 在整个复平面上处处连续.（ × ）(2) cos z 在整个复平面上连续. （ √ ） (3) z α（α不等于整数）的每一个分支在除去原点的复平面上连续. （ × ） 2. 选择题 (1) ()()000Im Im limz z z z z z →-=-( D )(A) i (B) i - (C) 0 (D) 不存在 (2) 下列函数中,都有()00,f =则( C )在原点不连续(A) ()()Re 1z f z z=+ (B) ()()2Re z f z z ⎡⎤⎣⎦=(C) ()()22Re z f z z=(D) ()()222Re z fz z⎡⎤⎣⎦=(3) 函数()()(),,f z u x y iv x y =+在点000z x iy =+处连续的充要条件是( C ) (A) (),u x y 在()00,x y 处连续 (B) (),v x y 在()00,x y 处连续(C) (),u x y 和(),v x y 在()00,x y 处连续 (D) ()(),,u x y v x y +在()00,x y 处连续B.1 导数（第二章） 34 工程数学习题集（复变函数与积分变换B 集）43. 计算(1) ()()1lim 2Re z iz i z →-+解 ()()()111lim 2Re lim 2lim Re 121z iz iz iz i z z i z i i i →-→-→-+=+=-+=+(2) 31lim z i iz z i→-+解 ()()333lim 1110lim 0lim 2z i z i z iiz iz i i z i z i i i i→→→--⋅-====+++(3) ()()0lim z z P z Q z → ()()()0(0,Q z P z Q z ≠、为多项式）解对多项式()()P z Q z 和，有()()()()000lim ;lim z z z z P z P z Q z Q z →→==，所以()()()()()()0000lim0z z P z P z Q z Q z Q z →=≠4. 证明题：设()22,00,0xyz x yf z z ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩，试证()f z 在0z =处不连续.证因()22222220000lim lim lim 1z z x y kx xy kx kf z x y x k x k →→→=→===+++ 即()0lim z f z →不存在，故()f z 在0z =处不连续.B.1 导数（第二章） 52.2 导数5. 选择题(1) 函数()w f z u iv ==+在点0z 处可导的充要条件是( C ) (A) ,u v 在点0z 处有偏导数 (B) ,u v 在点0z 处满足柯西-黎曼方程(C) ,u v 在点0z 处可微,且满足柯西-黎曼方程 (D) ,u v 在点0z 处可微(2) 下列函数中，在0z =处可导的是（ B ）(A) ()2f z x iy =- (B) ()22f z xy ix y =+ (C) ()2222x y x yf z i x y x y +-=+++(D) ()()Im f z z =(3) 对函数()()Re f z z z =，下列结论正确的是（ C ）(A) 在整个复平面上可导 (B) 在整个复平面上不可导 (C) 仅在0z =点可导 (D) 以上结论都不对 6. 判断题(1) 如果()f z 在0z 连续，那么)(0z f '存在.（ × ）(2) 如果(),u x y ,(),v x y 的偏导数存在，那么()f z u iv =+可导. （ × ） (3) 函数()2f z z =在除0z =以外的复平面上处处不可导. （ √ ） (4) 设()sin 2f z z =，则()f z '=2cos2z . （ √ ）6 工程数学习题集（复变函数与积分变换B 集）67.讨论下例函数在何处可导，并在可导处求出()f z '(1) ()121z f z z -=+解 ()()()()()()()2212112113212121z z z z z f z z z z '''-+--+-⎛⎫'=== ⎪+⎝⎭++ 12z ⎛⎫≠- ⎪⎝⎭ (2)()()Im f z z z =解因()()2f z x iy y xy iy =+=+,而,0,,2u v u vy x y x x y y∂∂∂∂====∂∂∂∂，且这四个偏导连续，所以()f z 仅在0z =时可导，且()00f '=(3) ()2f z x iy =-解由于2,0,0,1u u v vx x y x y∂∂∂∂====-∂∂∂∂在z 平面上处处连续，且当且仅当12x =-时，柯西-黎曼方程成立.故()2f z x iy =-仅在直线12x =-上可导，且()121x f z =-'=-(4) ()1f z z=解因()221x iy f z z x y -==+,而()()()()222222222222222222,,,u y x u xy v xy v y x x y x y x y x y x y x y ∂-∂∂∂-==-==∂∂∂∂++++ 在除0z =外处处连续，且满足柯西-黎曼方程.故()1f z z=在除0z =外均可导，且B.1 导数（第二章） 7()()210u v f z i z x x z∂∂'=+=-≠∂∂8 工程数学习题集（复变函数与积分变换B 集）8B.2 积分（第三章）3.1 积分的概念、性质和计算1. 填空题 (1)C z dz z ++-=+⎰)2cos()2sin((2) 若C 以0z 为圆r 为半径的正向圆周，则002101()n z z ri n dzn z z π-==⎧=⎨≠-⎩⎰ (3) 设C z 2dz z I +=⎰，则当C 为沿2z =上半圆周从0到π时， I= 42i π-+ 当C 为沿2z =下半圆周从π到2π时，I= 42i π+ 当C 为沿2z =上半圆周从0到2π时，I= 4i π 2. 选择题(1)0C zdz z z -⎰=（Ｂ），其中Ｃ为0z z r -=的正向圆周. (A) ０ (B) 02iz π (C) 0z (D) 2i π (2)Re()cz dz ⎰=( B ),其中C 是沿y x =从0到1i +的直线段.(A) 1i + (B)12i + (C) 12i + (D) 0 (3)⎰=⋅-1|||||1|z dz z =(Ｃ )B.2 积分（第三章）9 (A) 1 (B) 4 (C) 8 (D) 010 工程数学习题集（复变函数与积分变换B 集）103. 计算,2⎰Cdz z 其中C 为(1) 从 0到3i +的直线段; (2) 从0沿实轴到3再到3i +的直线段; (3) 从0沿虚轴到i 再到3i +的直线段.解 (1) 设x =3t 0t 1y =t ⎧≤≤⎨⎩，，，故z =3t +it 0t 1.dz =3+i dt ≤≤，（），于是 122301263t it 3i dt 3i 6i 33C z dz =++=+=+⎰⎰ （）（）（） (2)12222,CC C z dz z dz z dz =+⎰⎰⎰12x =3t x =3C :0t 1;C :(0t 1)y =0y =t,⎧⎧≤≤≤≤⎨⎨⎩⎩，，（），11222269t 3dt 3it idt 6i 3Cz dz =⋅++=+⎰⎰⎰（） (3)34222CC C z dz z dz z dz ==+⎰⎰⎰34:(01);:3(01)C z it t C z t i t =≤≤=+≤≤11222`026(3)36.3Cz dz t idt t i dt i =-++=+⎰⎰⎰ 4. 计算积分⎰C dz ||zz 的值，其中C 为4||=z 的正向.解令θi re z = 则ri d rie rre dz z zi i r z πθπθθ2||20||==⎰⎰-= rid rie r re dz z zi i rz πθθπθ220==⎰⎰-=当4=r 时，为i π8123.2 柯西定理及其推广5. 选择题(1) 设)(z f 在单连通域B 内解析，C 为B 内任一闭曲线，则必有（D ） (A)⎰=Cdz z f 0)](Im[ (B) ⎰=Cdz z f 0)](Re[(C)⎰=Cdz z f 0|)(| (D) ⎰=Cdz z f 0])(Re[(2) 函数)(z f 在单连通域B 内解析是)(z f 沿B 内任一闭曲线C 的积分⎰=Cdz z f 0)(的（ C ）(A) 充分条件 (B) 必要条件(C) 充要条件 (D) 既非充分也非必要条件(3) 函数)(z f 在单连通域B 内解析是)(z f 存在原函数的（ A ） (A) 充分条件 (B) 必要条件(C) 充要条件 (D) 既非充分也非必要条件 (4) 下列积分中,其积分值不为零的是( C ) (A)⎰=-2||3z dz z z (B) ⎰=1||sin z dz z z(C) ⎰=15z z dz ze (D) ||11zz e dz =+⎰(5) 设函数)(z f 是复平面上的解析函数,C 是复平面上的任意一条简单闭曲线,则()0cf z dz z z =-⎰在下例（ B ）的条件下成立，其中0()0f z ≠.(A) 0z 在C 内 (B) 0z 在C 外z在C上 (D) 均不对(C)146. 计算(1)⎰=-2||21z dz z z 解2||2||2||2111220(1)z z z dz dz dz i i z z z z ππ====-=-=--⎰⎰⎰(2)(1)z cz e dz --⎰，其中C 为沿2y x =从0到i 的曲线段解因(1)zz e --为解析函数，所以，原式=(1)(1)()i iz z z e dz z d e ---=--⎰⎰00(1)|iz i z i z e e dz ie ---⎡⎤=---=-⎢⎥⎣⎦⎰sin1cos1i =--7. 计算⎰=1||)(z dz z f 的值，并说明所得结果的依据.zz f z z z f z z z f cos 1)()3(221)()2(3)()1(22=++=-=解以上积分均为零.原因：(1) 函数奇点为3z =在1z =之外，由柯西定理知其积分为0； (2) 函数奇点为1,21z i =-±在1z =之外，积分为0； (3) 函数奇点为()10,1,2,2n z n n π⎛⎫=+=±± ⎪⎝⎭，均在1z=之外，积分为0.B.3 级数（第四章）4.1 复数项级数1. 选择题(1) 设,n n n ib a z +=则复数列n z 收敛的充要条件是（ C ）（A ）}{n a 收敛（B ）}b {n 收敛（C ）}b {}{n ，n a 同时收敛（D ）以上均不对 (2) 若复数项级数)(0n n n n nib a z+=∑∑∞=∞=收敛，则( D )（A ）对部分和n n z z z S ++=21，有0lim =∞→n n S（B ）对部分和数列}{n S 有界（C ）0lim =∞→n n z（D ）∑∞=0n na和∑∞=0n nb都收敛(3) 若级数)(0n n n n nib a z+=∑∑∞=∞=绝对收敛，则下列各项不正确的是( C )（A ）||0∑∞=n nz收敛（B ）||0∑∞=n na和||0∑∞=n n b 都收敛（C ）∑∞=0n na和∑∞=0n nb均不一定收敛（D ）任意重排各项次序所得到的级数也绝对收敛，且其和不变162. 根据复数列收敛的充要条件，判定下列数列是否收敛，如果收敛求出它们的极限.(1) 2)1(2ni z n n -+-= 解 2lim ;0)1(limlim ,2lim 2-==-=-=∞→∞→∞→∞→n n nn n n n n z n b a 故(2) 21i n n e nz π-=解 ),2sin 2(cos 112πππn i n n e n z i n n -==-于是由,0lim lim ==∞→∞→n n n n b a知}{n z 收敛，且.0lim =∞→n n z3. 选择题 (1) 设数列),2,1()1( =++-=n in ni a n n则=∞→n n a lim ( C )（A ）0 （B ）1 （C ）i（D ）不存在(2) 下列级数中，绝对收敛的级数是（ D ）（A ）∑∞=+1)1(1n n in （B ）∑∞=2ln n n n i（C ） ∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-12)1(n n n i n （D ）∑∞=1!)8(n n n i (3) 级数∑∞=1n ine为（ B ）（A ）收敛（B ）发散（C ）绝对收敛（D ）条件收敛(4) 下列级数中绝对收敛的是（ A ）（A ）∑∞=+1!)43(n n n i （B ）nn i∑∞=+1)231(（C ）∑∞=1n n n i （D ）∑∞=+-11)1(n nn i184. 判断下列级数的敛散性(1) ∑∞=+08)56(n nni 解因,.1861|8i 56|<=+故绝对收敛.(2) ∑∞=+0!)53(n nn i解 ,!)34(|!)53(|00∑∑∞=∞==+n n n n n n i 由,10!)34()!1()34(lim 1<=++∞→n n n n n 所以原级数绝对收敛.(3))11ln(10n i n n+∑∞= 解因∑∑∞=∞=+=+10)11ln(|)11ln(1|n n n n n i 发散，而1212111112111ln(1)(cos sin )ln(1)2211(1)ln(1)(1)ln(1)221n n n k k k k n n i i n n k k ππ∞∞==∞∞==+=-+=-++-+-∑∑∑∑ 上两级数均为收敛的交错级数，故原级数条件收敛.4.2 幂级数5. 判断题(1) 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛.（ × ） (2) 每一个幂级数在它的收敛圆内与收敛圆上收敛.（ × ）(3) 每一个幂级数收敛于一个解析函数. （ × ） (4) 每一个幂级数的和函数在收敛圆内可能有奇点. （ × ） (5) 若函数)(z f 在0z 处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.( √ )6. 选择题 (1) 若级数n n nz a)1(0-∑∞=在3=z 发散，则它必在（ B ）（A ）1-=z 收敛（B ）23-=z 发散（C ）2=z 收敛（D ）以上全不正确 (2) 设幂级数n n nz a∑∞=0的收敛半径0>R ，则它（ B ）（A ）在R z ≤||上收敛（B ）在2||Rz ≤上一致收敛（C ）在R z <||上一致收敛（D ）在R z ≤||上绝对收敛(3) 幂级数302nn n z n∞=∑的收敛半径是（ A ）（A ）∞ （B ）2 （C ）0 （D ）21207. 求下列幂级数的收敛半径. (1)n n nz n∑∞=02解 2212lim ||lim 11=+==+∞→+∞→n n n n nn n n a a R (2)nn n z n n ∑∞=0! 解 e na a R n n n n n =+==∞→+∞→)11(lim ||lim 1 (3)∑∞=-1)5(n nnz解 1|1|lim ||lim 1=+==∞→+∞→n na a R n n n n (4) ∑∞=++01212n n n z解 23212lim(||||)||, 1.2321n n n z z z R n n ++→∞==++ (5)n n nz an ∑∞=+0)(解 |)1(|lim ||lim 11+∞→+∞→+++==n nn n n n a n a n a a R当1||≤a 时，1=R ；当1||>a 时，.||1a R =B.3 级数（第四章） 218. 选择题 (1) 幂级数∑∞=+2)31(n n n z i的收敛半径是（ D ）（A ）2 （B ）12（C ）2 （D (2) 设幂级数n n nz a)1(0-∑∞=在点3=z 收敛而在i z 21+=发散，则它的收敛半径=R （Ａ）（A ） 2 （B ）12（C ） 1 （D ）∞+9. 填空题 (1) 幂级数∑∞=+0)1(n n n z i 的绝对收敛域为 22||<z ，发散域为22||>z (2) 设幂级数nn n z a )2(0-∑∞=在4=z 收敛而在i z 22+=发散，则其收敛半径=R 2 ，该幂级数的收敛域为2|2|<-z(3) 设幂级数n n nz c∑∞=0的收敛半径R ,那么幂级数n n n nz c ∑∞=-0)12(的收敛半径=R 2R22 工程数学习题集（复变函数与积分变换B 集）2210. 讨论幂级数n n nz a)2(0-∑∞=能否在0=z 收敛而在3=z 发散？为什么？解不能.因幂级数在0=z 收敛，则收敛半径,2|20|=-≥R 而21|23|<=-在其收敛圆内，故幂级数在3=z 收敛，矛盾.11. 讨论级数)(01n n n z z∑∞=+-的收敛性.解级数的部分和为1)(101-=-=+∞=+∑n n n n n z z zs)1(lim lim 1-=+∞→∞→n n n n zS当1||<z 时，1lim -=∞→n n S ，级数收敛.当1||>z 时，n n S ∞→lim 不存在，级数发散.当1||=z 时，0lim =∞→n n S ，级数收敛.当1||-=z 时，n n S ∞→lim 不存在，级数发散.B.4 留数（第五章） 23B.4 留数（第五章）5.1 孤立奇点的分类1. 选择题 (1) 设函数21()(1)(2)f z z z =--则1z =为()f z 的（ B ）（A ）二阶零点 (B)二阶极点 (C)本性奇点 (D)可去奇点 (2) 设函数sin ()zf z z=则0z =为()f z 的（ C ）（A ）本性奇点 (B) 一阶极点 (C) 可去奇点 (D) 一阶零点(3) 设()f z 、()g z 分别以z a =为本性奇点和m 阶极点，则z a =为()()f z g z ⋅的（ B ）（A ）可去奇点 (B)本性奇点 (C) m 阶极点 (D) 小于m 阶极点 (4) 0z 为()f z 的m 阶零点是0z 为1()f z的m 阶极点的（ C ）（A ）充分条件 (B) 必要条件 (C) 充要条件 (D) 均不对24 工程数学习题集（复变函数与积分变换B 集）242. 找出下例函数的孤立奇点并加以分类，若为极点，指出其阶数.(1) 722(1)(1)z z z --解因772232(1)(1)(1)(1)z z z z z z =---+,所以,1z =为三阶极点,1z =-为二阶极点.(2) 31z e z-解因2333111!2!3!z e z z z z z ⎛⎫-=+++ ⎪⎝⎭,所以,0z =为二阶极点.(3) 21cosz z解因22231111111cos 11!2!3!z z z z z z⎛⎫=+⋅+⋅+⋅+ ⎪⎝⎭,所以, 0z =为本性奇点.(4)1sin zπ⎛⎫ ⎪⎝⎭解孤立奇点为0z =,1z k=(1,2,k =±±), 因01lim sin z z π→⎛⎫ ⎪⎝⎭不存在, 又因11lim sin z k z π→=∞⎛⎫ ⎪⎝⎭,且12111(1)lim sin k z k z k k z ππ+→-⎛⎫-= ⎪⎛⎫⎝⎭ ⎪⎝⎭, 所以, 0z =为本性奇点,1z k=为一阶极点.B.4 留数（第五章） 253. 选择题 (1) 设函数34561111()(1)(1)(1)(1)f z z z z z z ==-+-----其中11z ->，则1z =为（ B ）（A ）本性奇点 (B)3阶极点 (C) 4阶极点(D)可去奇点(2) 函数cot ()23zf z z π=-在2z i -=内的奇点个数为（ D ）（A ）1 (B)2 (C)3 (D)4(3) 设0z 是()f z 的m 阶零点、是()g z 的n 阶极点()n m ≤，则0z 为()()f z g z的（ A ）（A ）可去奇点(B) 本性奇点 (C) m n -阶极点(D) 均不对(4) 设0z 是()f z 的m 阶极点，则0z 是'()f z 的（ C ）阶极点（A ） m (B) 1m - (C) 1m +(D) 均不对(5) 若函数()f z 在点a 解析,且'''()0,()0f a f a =≠，则a 是 ()f z 的（ B ）（A ）一阶零点. (B) 二阶零点. (C) 一阶极点.(D)二阶极点.(6) 设0z 是()f z 的本性极点，则0z 一定为()f z e 的（ D ）（A ）零点. (B) 可去极点. (C) 极点.(D)本性极点.26 工程数学习题集（复变函数与积分变换B 集）265.2 留数及留数定理（1）4. 利用留数定理计算下列积分（所给曲线均为正向曲线） (1)z z z z ⎰=-21||34d 1解原式 = 2Re ((),0)i s f z π=2i π011()21z z =''-=4i π-.(2)⎰= 1||53d 1sin z z zz 解因 )1()!51!311(1sin 53553353 -=-+-=zz z z z z z z ,原式=2Re ((),0)i s f z π=0.(3) ⎰= nz z z ||d tan π，n = 1，2，…解因()f z 被z n =包含的所有奇点1(0,1,(1),)2k z k k k k n k n =+==±=±-=-均为一阶极点,且12sin 1Re ((),)(cos )k z k z s f z z z πππ=+==-',所以,⎰= nz z z ||d tan π=∑<+-=-=nk k ni ni z f s i|21|4)2(2),(Re 2πππ.B.4 留数（第五章） 275.选择题(1) 函数2()(2)ze f z z =-在2z =处的留数为（ C ） (A ）0(B)1 (C) 2e(D)22e(2) 设1()sin f z z z=，则Re ((),)s f z k π=（ D ）（A ）(1)k-(B)0(C)1k π(D)1(1)kk π- (3) 设211()1(1)(1)(1)(1)(1)n n f z z z z z =-+--++--+--则Re ((),1)s f z =( C)（A ）0 (B)1 (C)-1 (D)2 (4) 设函数1()1zef z z=-则Re ((),0)s f z =（ D ）（A ）0(B)1 (C)e (D)1e -(5) 设z a =是()f z 的m 阶极点，则'()()f z f z 在z a =处的留数为（ D ）（A ）1m - (B)1m - (C) m (D)m - (6) 设C 为正向圆周1z =，则cot czdz =⎰（B ）（A ）-2i π (B) 2i π (C)2π (D) 2π- (7) 设C 为正向圆周12z i -=,则2(1)c dz z z +⎰=( B )（A ）i π (B)-i π (C) -1 (D) -2i π28 工程数学习题集（复变函数与积分变换B 集）286. 利用留数定理计算下列积分（所给曲线均为正向曲线） (1)11cos m z zdz z =-⎰(m 为整正数)解因241cos 1()2!4!mm z z z z z -=-+，所以，① 当2m ≤时，原式=0 ② 当3m =时，原式=12③ 当3m >时，原式=322(1)(1)!0m im m m π-⎧-⎪-⎨⎪⎩，当为奇数，当为偶数(2)2sin (1)c zdz z z -⎰，C 为不过0和1的任何简单闭曲线解 ①C 不包含0,1时,原式=0②C 只包含0时,原式='0sin 2lim 21z z i i z ππ→⎛⎫=- ⎪-⎝⎭③C 只包含1时,原式=21sin 2lim2sin1z zi i z ππ→=④C 同时包含0,1时,原式2(1sin1)i π=-+B.5 保形映照（第六章） 29B.5 保形映照（第六章）6.1保形映照的定义1. 填空题(1) 保形映照的概念：如果函数解析且导数不为零,则称此函数所形成的映照为保形映照(2) 保形映照具有保角性和保伸缩性：保角性是指映照前后两曲线交点处切线间的夹角和夹角的方向保持不变保伸缩性是指映照前的图象与映照后的图象近似保持相似 2. 选择题 (1) 映射zw 1=在点i 10+=z 处的伸缩率和旋转角分别为(A)(A)1π,22 (B)1π,24 (C) 1π,32(D) 1π,44 (2) 映射i 0e z z w z z θ-=-) 0)Im ( ,(0<z 为任意实数θ 将Im()0z =映照为(A)(A) 圆周 (B) 直线 (C) 上半平面 (D) A, B, C 都不对 (3) 解析函数的导数的几何意义是（A ）(A) 伸缩比和转动角 (B) 伸缩比 (C) 转动角 (D) 曲线的斜率30 工程数学习题集（复变函数与积分变换B 集）306.2分式线性函数及其映照性质3. 试说明以下各题的映照结果. (1) 1 ||≤z ,zzw +-=i i 解 zzw +-=i i , ∴i )1( ,i)( ,0(i)=∞=-=w w w . 1||=z 映为虚轴 0=v .又 (0)1w =, || 1z <映照成 0)Re(>w .1 || ≤∴z 映照成 0)Re(≥w .(2) 1 |1|≤-z ,zz w 2-=解 zz w 2-=, i i)1( ,0)2( ,)0( =+=∞=∴w w w . |1|1z -=映为虚轴 0=v .又 (1)1w =-, |1| 1z -<映照成 0)Re(<w .1 |1| ≤-∴z 映照成 0)Re(≤w .B.5 保形映照（第六章） 314. 填空题(1) 分式线性映照的定义：分式线性函数 (0)az bw ad bc cz d+=-≠+形成的映照称为分式线性映照.(2) 分式线性映照具有保角性、保圆性、保对称性。

工数1B-18-19-2-答案(1)

贵州大学2018—2019学年第二学期期末考试卷B参考答案（工程数学1）一、填空填（每空3分，共18分）1、 -12；2、 1A -=133013001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；3、110A 111011⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，秩是 3 ；4、120.4825=； 5、 0.2； 6、 (161.08,) 168.92. 二、选择题（每小题3分，共12分）C, D, A, B三．解： 32151121D 24361122--==112157205721(1)674110674241241---=-⨯-=-( 3分) ( 5分) ( 6分) 四、（7分）解：由AX X B =+得()X A E B -= …1分T ((A E),B )T -=211112141 1 13032⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦11320025037801 2---⎡⎤⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎣⎦1013210028/301025010250033200112/3 -----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦ …5分即()T128/3221X B A E 258/352/312/3---⎡⎤-⎡⎤⎢⎥=-==⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎢⎥-⎣⎦…7分（或 11011(A E)2323330-⎡⎤⎢⎥-=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦， ()1221X B A E 8/352/3--⎡⎤=-=⎢⎥--⎣⎦）五、求k 为何值时，方程组21231231231+k x +2x +3x =6x +2+k)x +3x =6x x +3+k)x =6⎧⎪⎨⎪+-⎩（)（（（1）无解；（2）有唯一解；（3）有无穷多组解，并求出通解.解：21k236123k 6123k 6(A b)12k 360k k 120k k 12123k 602k k 4k 6k 1200k(k 6)6(k 6) , ++-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=+→-→- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪+----+-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭4 分当k 0=时，R(A,b)3R(A)2=≠=，方程组无解当k 0≠或-6时，R(A)R(A,b)3==，方程组有唯一解当k 6=-时，R(A)R(A,b)23==<，方程组有无穷多解7分12361012(A b)06612011200000000 , ----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→-→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭此时，等价方程组为 1323x x 2x x 2-=-⎧⎨-=-⎩，8分令 3x =c ，则方程组的通解为123x 12x 12x 10c +-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（1c ，2c 为任意常数） 10分六、（7分）解：1234531310112011120102313A (α,α,α,α,α)40313045174251102313⎛⎫⎛⎫⎪⎪------ ⎪ ⎪==→⎪ ⎪----⎪⎪--⎝⎭⎝⎭112110010023130101300111001110000000000⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪- ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪---- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭4分故向量组的秩为3，321 , , ααα是其一最大无关组，5 且 4123αααα=+- ，5123α0α3αα=⋅+- 7七、（10分）已知随机变量X 的概率密度函数为ππk cos ,()330x x f x ⎧-≤≤⎪=⎨⎪⎩其他求（1）常数k ；（2）X 的分布函数)(x F ；（3） ππP{}44X -≤≤ ； (4) )(X D 解：由⎰+∞∞-=1)(dx x f 得 ---------1分π302k cos xdx 1=⎰ ，即k =---------2分xx π0,x 31ππF(x)(t)dt tdt x ,x 233π1,x 3f -∞⎧<-⎪⎪⎪===+-<<⎨⎪⎪>⎪⎩⎰⎰ ----5分ππππP{}F()F()4444X -≤≤=--==分π3π3E(X)x dx 0+-==⎰ ---------8分ππ222233π03πE(X )x dx x cosx dx 29+-=⋅=+⎰222πD(X)E(X )[E(X)]29=-=+- ----------10分八、（8分）甲袋中有2只红球和3只白球，乙袋中有3只红球和5只白球，今从甲袋中任取两球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球。

工程数学试题及参考答案(B卷) (2)

第 1页 /共 1页工程数学(考试形式：闭卷考试时间: 2小时)考试作弊不授予学士学位方向：姓名： ______ 学号： ______1. Find values of:(a) );3(Ln − (b) )i +(12.(10 points)2. Function is harmonic, find an analytic functionsuch that satisfying (0)0f = .(10 points)3. Evaluate each of the following integrals: (20 points) 22;(9)()z zz z z i −+∫(b) d23131(2)z z z z −=−∫ (d)d .4. Find the series representation for the function at .(10 points)5. Evaluate integral of , where . (10 points)6. Find a representation for the function in powers of .(10 points)7. Find the residue of function 6sin ()z z f z z−=at 0z =.(10 points)8. Find the inverse Laplace transform of function 225()(2)9s F s s +=++. (10 points)9. Evaluate integral along positively oriented circle . (10 points) 2(1)z z e z z z =−∫2(a)d ; 10||2()(1)(3)z z z i z z =+−−∫d (c); (,)(cos sin ),()x v x y e y y x y x y f z u iv =+++=+ arctan 0z z = 2sin 14112Cz z C z z π+=−∫d : 11ze z − 1:|-2|2z iCdz C z eiππ=−∫第 1页 /共 3页《工程数学》期末试题答案(B)1.(a) (5 points)1.(b) (5 points)2.(10 points) 3.(a) z=0为一级极点, z=1二级极点(5 points)(b) (5 points))2sin(ln )2[cos(ln 2 0 .,2,1,0 )],2sin(ln )2[cos(ln 2)]22sin(ln )22[cos(ln 2222ln )22(ln )22(ln ) 2ln2)(1(2Ln )1(1i k k i e k i k e e e e k k k i k i k i i i +=±±=+=+++====−−++−++++时，得其主值为其中L πππππππ),2,1,0(,)12(3ln )3(Arg 3ln )3(Ln L ±±=++=−+−=−k i k i 其中π,1)sin sin cos (+++=∂∂y y x y y e xv x ,1)cos sin (cos ++−=∂∂y x y y y e y v x,1)cos sin (cos ++−=∂∂=∂∂y x y y y e y v x u x 由),()sin cos (d ]1)cos sin (cos [ y g x y y y x e x y x y y y e u x x ++−=++−=∫得 , 得由y u xv ∂∂−=∂∂),()sin cos sin (1)sin sin cos (y g y y y y x e y y x y y e x x ′−++=+++,)( C y y g +−=故,)sin cos ( C y x y y y x e u x+−+−=于是,)1()1()1()(C z i ze C i iy i x e iye e xe iv u z f z iy x iy x +++=++++++=+= ,0)0( =f 由,0 =C 得.)1()( z i ze z f z ++=所求解析函数为z z z e z z f z z d )1(lim ]0),([Res 20−⋅=→,1)1(lim 20=−=→z e zz ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−=→221)1()1(d d lim )!12(1]1),(Res[z z e z z z f z z ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=→z e z z z d d lim 10)1(lim 21=−=→z z e z z z z z e C z d )1(2∫−{}]1),(Res[]0),(Res[2z f z f i +=π.2i π=∫=+−22d ))(9(z z i z z z .592d )(9222ππ=−⋅=−−−=−==∫i z z z z i z i z z z第 2页 /共 3页(c)由于－i 与1在C 内部，(5 points) (d)2233131132|(2)8z z d idz i z z dz z ππ=−=−==−∫(5 points) 4.(10 points)5.(10 points)6.(10 points)2, 23 ,0 2 )2(132==−===−z z C z z z z 仅包含奇点和有两个奇点函数;2214sin 2d 114sin d 14sin 12112112i z zi z z z zz z z z z z πππππ=−⋅=+−=−−==+=+∫∫,1d arctan 02∫+=z z z z 因为1,)()1(11 022<⋅−=+∑∞=z z z n nn 且∫+=z z z z 021d arctan 所以∫∑∞=⋅−=z n n n z z 002d )()1(.1,12)1(012<+−=∑∞=+z n z n n ni,1,3)3)(1()(1)(10−∞−−+=点外，其他奇点为除被积函数z z i z z f 0]),(Res[]3),(Res[]1),(Res[]),(Res[ =∞+++−z f z f z f i z f 则∫−−+Cz z i z z )3)(1()(d 10]}1),(Res[]),(Res[{2z f i z f i +−=π]}),(Res[]3),(Res[{2∞+−=z f z f i π.)3(0)3(2121010i i i i +−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧++−=ππ211)1(1)(z e z f z −=′−,)1(1)(2z z f −=,0)()()1( 2=−′−z f z f z 所以0)()32()()1(2=′−+′′−z f z z f z 0)(2)()54()()1(2=′+′′−+′′′−z f z f z z f z L L L ,13)0(,3)0(,)0()0(e f e f e f f =′′′=′′=′=).1(,!313!2313211<⎟⎠⎞⎜⎝⎛++++=−z z z z e e z L第 3页 /共 3页7.利用洛朗展开式(10 points) 8.(10 points)9．由)22(ππk iLnii e e i +−==可知被积函数11)(−=z e z f 以,...)2,1,0(),22(±±=+−=k k z k ππ为一阶极点，其中)42(),22(21ππππ+−=+−=−−z z 包含在ππ2||=−z 内部，由公式,...)2,1,0(|)'(1]),([Re 22++==−=+−k e i e z z f s k z z i z k k ππ，由留数定理，)(2]}),([Re ]),([Re {2)(12723212|2|ππππππ−−−−=−+=+=−∫ee i z zf s z z f s i i e z i z(10 points)223)2(1)2(2)(++++=s s s F )3sin 313cos 2(]}31[]3[2{]312[]3)2(1)2(2[)]([2221221222122211t t e s L s s L e s s L e s s L s F L tt t +=+++=++=++++=−−−−−−−−(0)(0)(0)0,P P P ′′′===(0)0.P ′′′≠3566sin 13!5!z z z z z z z z ⎡⎤⎛⎞−=−−+−⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎣⎦L 16sin 1,0.5!z z c z −−⎡⎤∴==−⎢⎥⎣⎦Res。

工程数学试题及答案

工程数学试题及答案《工程数学试题及答案》1. 数列与级数问题：找出以下等差数列的通项公式，并计算前n项和。

1) 3, 6, 9, 12, ...2) 1, 5, 9, 13, ...答案：1) 通项公式为a_n = 3 + 3(n-1)，前n项和为S_n = n(6 + 3(n-1))/2。

2) 通项公式为a_n = 1 + 4(n-1)，前n项和为S_n = n(2 + 4(n-1))/2。

2. 三角函数问题：求解以下方程在给定区间内的所有解。

1) sin(x) = 0.5，其中0 ≤ x ≤ 2π。

2) cos(2x) = 0，其中0 ≤ x ≤ π。

答案：1) 解为x = π/6, 5π/6。

根据周期性，可加2πn得到无穷解。

2) 解为x = π/4, 3π/4。

根据周期性，可加πn得到无穷解。

3. 极限与连续性问题：计算以下极限。

1) lim(x→0) (3x^2 + 2x) / x。

2) lim(x→∞) (e^x + 2x) / e^x。

答案：1) 极限等于2。

2) 极限等于2。

4. 微分与积分问题：求以下函数的导数和不定积分。

1) f(x) = 3x^2 + 4x + 1。

2) g(x) = sin(x) + cos(x)。

答案：1) f'(x) = 6x + 4，∫f(x)dx = x^3 + 2x^2 + x + C。

2) g'(x) = cos(x) - sin(x)，∫g(x)dx = -cos(x) - sin(x) + C。

5. 偏导数与多重积分问题：计算以下偏导数和二重积分。

1) 求f(x, y) = x^3 + 2xy - y^2的偏导数∂f/∂x和∂f/∂y。

2) 计算∬(x^2 + y^2)dA，其中积分范围为R = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2}。

答案：1) ∂f/∂x = 3x^2 + 2y，∂f/∂y = 2x - 2y。

工程数学单元测试参考答案

工程数学单元测试参考答案工程数学单元测试参考答案一、选择题1.答案：B。

根据题意，两个向量相加的结果是另一个向量，所以选项B正确。

2.答案：C。

根据题意，两个向量的数量积等于它们的模长乘积与它们夹角的余弦值，所以选项C正确。

3.答案：A。

根据题意，两个向量的叉积是一个向量，所以选项A正确。

4.答案：D。

根据题意，两个向量的叉积的模长等于它们的模长乘积与它们夹角的正弦值，所以选项D正确。

5.答案：C。

根据题意，两个向量的数量积等于它们的模长乘积与它们夹角的余弦值，所以选项C正确。

二、填空题1.答案：2。

根据题意，由方程组的系数矩阵的行列式不等于0可知，方程组有唯一解，所以填2。

2.答案：(1, 2)。

根据题意，由方程组的系数矩阵的行列式等于0可知，方程组有无穷多解，所以填(1, 2)。

3.答案：-1/2。

根据题意，由方程组的系数矩阵的行列式等于0可知，方程组无解，所以填-1/2。

三、计算题1.答案：(2, -1)。

根据题意，对于二维向量的加法，将两个向量的对应分量相加即可，所以计算结果为(2+0, -1+(-1))=(2, -1)。

2.答案：(3, 0, -4)。

根据题意，对于三维向量的加法，将两个向量的对应分量相加即可，所以计算结果为(1+2, 0+0, (-1)+(-3))=(3, 0, -4)。

3.答案：(1, -1, -1)。

根据题意，对于两个向量的数量积，将两个向量的对应分量相乘再相加即可，所以计算结果为(1×1+(-1)×(-1)+(-1)×(-1))=(1, -1, -1)。

四、证明题1.答案：证明：设向量a=(a1, a2, a3)，向量b=(b1, b2, b3)，向量c=(c1, c2, c3)。

根据向量的数量积的性质，有：a·(b+c) = a1(b1+c1) + a2(b2+c2) + a3(b3+c3)= a1b1 + a1c1 + a2b2 + a2c2 + a3b3 + a3c3= (a1b1 + a2b2 + a3b3) + (a1c1 + a2c2 + a3c3)= a·b + a·c所以，向量的数量积满足分配律。

08-09-2工科本高数 B答案

------------------------------------------------ 装 ---------------------------------订 ---------------------------------线 ------------------------------------------------装订线左侧不要书写内容试卷类型：B 试卷形式：闭卷满分：100 分考试时间：110 分钟考试科目：高等数学（二）专业：08级工科本班级：一、填空题（每空 2分，共 10 分）1. 设函数),(y x f z =在点),(000y x P 处可微且0),(,0),(00/00/==y x f y x f y x ,该条件是 ),(y x f 在),(00y x 处取得极值的 _____________条件。

必要2..设D 为矩形区域：a x ≤≤0，b y ≤≤0，则⎰⎰σDd y x f ),(的累次积分为_________________。

⎰⎰abdx y x f dy 0),(3．.如果xoy 平面上的简单闭曲线L 所围区域的面积为S ，那么用曲线积分表示该面积就是S ＝____________________。

⎰-L ydx xdy 214．设)(x f 具有任意阶导数，则)(x f 的麦克劳林级数为________________。

∑∞=0)(!)0(n n n x n f 5. 微分方程152=-''-'''x y x y 的通解中应含的独立常数个数为（） 3二、单项选择题（每空 2分，共 10 分）1．点()3,2,1M 到平面23160x y z -+-=的距离是( B )2．函数222311z x y =+-在点（1，2）处全微分dz = ( C )(A) 16dx (B) 16dy (C) 4dx +12dy (D) 163．如果Ω是由平面63260x y z ++-=及三个坐标面围成的空间闭区域，(),,f x y z 在Ω上连续，则(),,f x y z dxdydz Ω=⎰⎰⎰( B )(A) ()321 2 33 0 0,,xx y dx dy f x y z dz ---⎰⎰⎰(B) ()123311 22 0 0,,z x z dz dx f x yz dy ---⎰⎰⎰(C) ()11231 32 1,,yy z dy dz f x y z dx ---⎰⎰⎰(D) ()1113231 2 1 0,,z y z dz dy f x y z dx ---⎰⎰⎰4. 设1lim2n n na a +→∞=，则级数210n n n a x ∞+=∑的收敛半径R 为( D ) (A) 2R = (B) 21=R (C) R = (D) R =5.以下级数中，收敛的是( D ) (A) 1n ∞=1511n n ∞=∑ (C) 0.511n n ∞=∑ (D) 115n n ∞=∑分）1. 求过点()1,1,1-且通过z 轴的平面方程。

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工程数学试题B
一、单项选择题（每小题3分，本题共21分）
1.设B A ,为n 阶矩阵，则下列等式成立的是（）． (A) BA AB = (B) T T T )(B A AB = (C) T T T )(B A B A +=+ (D) AB AB =T )(
2.设⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡=4321
43214321
4321A ，则=)(A r （）． (A) 0 (B) 1 (C) 3 (D) 4
3.设B A ,为n 阶矩阵，λ既是A 又是B 的特征值，x 既是A 又是B 的特征向量，则结论（）成立． <
(A) λ是B A +的特征值 (B) λ是B A -的特征值 (C) x 是B A +的特征向量 (D) λ是AB 的特征值 4.设A B ,为随机事件，下列等式成立的是（）． (A) )()()(B P A P B A P -=- (B) )()()(B P A P B A P +=+ (C) )()()(B P A P B A P +=+ (D) )()()(AB P A P B A P -=- 5.随机事件A B ,相互独立的充分必要条件是（）． (A) )()()(B P A P AB P = (B) )()(A P B A P =
(C) 0)(=AB P (D) )()()()(AB P B P A P B A P -+=+ 6.设)(x f 和)(x F 分别是随机变量X 的分布密度函数和分布函数，则对任意
b a <，有=≤<)(b X a P （）． (A)
⎰b a
x x F d )( (B) ⎰
b
a
x x f d )(
%
(C) )()(a f b f - (D) )()(b F a F -
7. 对来自正态总体X N ~(,)μσ2（μ未知）的一个样本X X X 123,,，
∑==3
1
31i i X X ，则下列各式中（）不是统计量．
(A) X (B)
∑=3
1
i i
X
(C) ∑=-312
)(31i i X μ (D) ∑=-31
2)(31i i X X
二、填空题（每小题3分，共15分）
1.设B A ,均为3阶矩阵，2=A ，3=B ，则=--1T 3B A ．
2.线性无关的向量组的部分组一定．
3.已知5.0)(,3.0)(=-=A B P A P ，则=+)(B A P ．
4.设连续型随机变量X 的密度函数是)(x f ，则=)(X E ．
）
5.若参数θ的估计量θˆ满足θθ=)ˆ(E ，则称θˆ为θ的估计．三、计算题（每小题10分，共60分）
1．设矩阵⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡=3021A ，求A 的特征值与特征向量． 2.线性方程组的增广矩阵为
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡----163132111211 求此线性方程组的全部解．
3.用配方法将二次型322
322213216537),,(x x x x x x x x f +++=化为标准型，并求出
所作的满秩变换．
4.两台车床加工同样的零件，第一台废品率是1％，第二台废品率是2％，加工出来的零件放在一起。

已知第一台加工的零件是第二台加工的零件的3倍,求任意取出的零件是合格品的概率．
5. 袋中有10个球，其中三白七黑，有放回地依次抽取，每次取一个，共取4次求：⑴取到白球不少于3次的概率；⑵没有全部取到白球的概率．
6. 某厂生产一种型号的滚珠，其直径)09.0,(~μN X ，今从这批滚珠中随机
地抽取了16个，测得直径（单位：mm ）的样本平均值为，求滚珠直径μ的置信度为的置信区间)96.1(=λ双侧临界值．
?
四、证明题（本题4分）
设A 为正交矩阵，试证：A 等于1或1-．
参考答案
一、单项选择题（每小题3分，本题共21分）
二、填空题（每小题3分，共15分）
1.18-
2.线性无关
3.8.0
4.⎰∞
+∞-x x xf d )( 5.无偏．
三、计算题（每小题10分，共60分） 1. 解：解特征方程 ^
,0)3)(1(3
2
1
=--=---=
-λλλλλA E 得
特征值：3,121==λλ。

当1=λ时，解方程组0)(=-X A E λ，系数矩阵
⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡→⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-00102020A E ，解得对应的特征向量为：⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=011X 。

当3=λ时，解方程组0)(=-X A E λ，系数矩阵
⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡-→⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-001100223A E ，解得对应的特征向量为：⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=112X 。

因此，特征值3,121==λλ。

与1对应的全部特征值为0,011≠⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=k k kX ；
与3对应的全部特征值为0,112≠⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=k k kX 。

、
2.解：增广矩阵
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----011022011001221442221001163132111211，
方程组等价于：⎩⎨⎧=-=+-121
232
321x x x x x 。

取自由未知量13=x 得对应齐次方程的基础
解系：⎥⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1201η；令03=x ，得特解：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=012X 0。

[][]T
T
120012k X += （其中k 为任意常数）
3.解：配方如下：
.
2)(3753)(375)2(376537),,(232322
12
3
2
32322123
322221322
32221321x x x x x
x x x x x x x x x x x x x x x x x f +++=+-++=+++=+++=
令⎪⎩⎪⎨⎧=+==3332211x y x x y x y ，即所求满秩线性变换为⎪⎩⎪
⎨⎧=-==33
32211y
x y y x y x ，此时可将原二次型
化为标准型：2
32221237y y y ++。

2
32221321237),,(y y y x x x f ++=， ⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321*********y y y x x x 4.解：设A i ={取出的是第i 台机床生产的零件}，i=1，2； B={取出的合格品}。

·
则：
9875
.0.
4003954
1100984310099)
()|()()|()(2211==⨯+⨯=
+=A P A B P A P A B P B P
5.解：（1）所求概率为：0837.01071031071030
4
4413
3
4=⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫
⎝⎛⎪
⎭
⎫
⎝⎛C C ，（2）所求概率为：1-=⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪
⎭⎫
⎝⎛0
4
4
4107103C 9919.0.
6.解：选则统计量：
)1,0(~N n
X σ
μ
-.
由题设：95.096.1=⎪
⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛≤-n X p σμ, 置信区间为⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡+-n X n X σσ96.1,96.1，代入数值，得
]497.4,203.4[．
四、证明题（本题4分）证明：由已知条件有 E AA T =
由矩阵行列式的性质得
12
=====E A A A A A AA T T
即12
=A ，故A 等于1或1-．证毕．。