《高等代数》中一处证明的简化
用高等代数方法证明不等式-[开题报告]
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毕业论文开题报告数学与应用数学用高等代数方法证明不等式一、选题的背景、意义柯西不等式是由大数学家柯西（Cauchy ）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。
柯西不等式的基本形式1、在初等数学中，,,1,2,,,i i a b R i n ∀∈=L ，有，当且仅当存在不全为零的常数1k ，2k ，使120,1,2,,i i k a k b i n +==L时，等式成立。
2、在积分学中，[](),(),f x g x C a b ∀∈，有，，当且仅当存在不全为零的常数12,k k ，使12()()0k f x k g x +=时，等式成立。
柯西不等式在数学各个分支里都有极其广泛的应用，它在不同的领域就有着不同的表现形式，对它的应用可谓灵活多样，无论是初等数学还是高等数学都有着极其不菲的价值，主要都充分体现了数学各领域间的内通性、渗透性和统一性。
柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。
Hadamand 不等式是关于正定矩阵的行列式上界估计的不等式Hadamand 不等式222111n n ni i i ii i i a b a b ===⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑∑[]222()()()()bba af xg x dx f x dx g x dx≤⋅⎰⎰我们总约定：n n R ⨯为实数域R 上n n ⨯矩阵的集合，()1nii i tr A a ==∑为()n n ij A a R ⨯=∈的迹, det A 为A 的行列式，且用(),1,2,i A i n λ=L 表示A 在复数域上的所有特征根。
设()n n ij A a R ⨯=∈使正定矩阵，则A 的行列式1det nii i A a =≤∏当且仅当A是对角矩阵时，上式成立。
尤其应该指出的是，高等代数方法在证明不等式中有着独特的作用，参见[1]-[17]。
国内外研究现状、发展动态本人以1999—2010十一年为时间范围，以“柯西不等式”、“柯西不等式的应用” “Hadamand 不等式“为关键词，在中国知网以及万方数据等数据库中共搜索到30余篇文章，发现国内外对可惜不等式的其研究进展主要分配在以下领域：一、柯西不等式、Hadamand 不等式的证明 ； 二、柯西不等式的推广； 三、柯西不等式的应用举例；二、研究的基本内容与拟解决的主要问题 【研究内容】 柯西不等式的证明 一、常规方法配方（Lagrange 恒等式）法 数学归纳法 △判别法 向量内积法 二、新方法基本不等式法 Jensen 总和不等式法 利用二次型正定利用2维随机变量的数学期望 利用算术平均-几何平均不等式柯西不等式的推论： 推论1：设1212,n n a a a b b b L L 、、、、、、为实数，则有当且仅当1,2,,i i a b i n λ==L 时等号成立。
高等代数几个重要定理的证明-毕业论文
---文档均为word文档，下载后可直接编辑使用亦可打印--- 摘要代数是学学的心础课程，是其它课程的要提.本文共分三大部分，第一大部分主要介绍了高等代数课程的七个重要定理的内容、证明.因高等代数中提出了许多新概念、新定义、新定理，譬如多项式、数域、线性空间、映射等，且都是较为抽象的内容，故此将其中各章节中的重要定理列举出来，并寻找多个定理证明来加深对其的理解及认识.第二大部分主要介绍了在高等代数学习中遇到的问题及解决的方法.第三大部分则主要讲了高等代数在实际问题中的应用中的两种应用方法，即矩阵密码与保密通讯和情报信息检索模型.关键词：定理证明；矩阵；行列式；线性空间；高等代数应用AbstractHigher algebra is the core curriculum of university mathematics,and it is an important prerequisite for learning other courses. This paper is divided into three parts,and the first part mainly introduces the seven important theorems in advanced algebra course content. Because of Higher Algebra put forward many new concepts and new definition, theorems, such as polynomial, the number of domain, linear space mapping, etc., which are more abstract content.Therefore one of the important theorem of various sections of the list, and to find a proof of the theorem to deepen understanding and understanding of these.The second part mainly introduces the problems and solutions in the study of higher algebra. The third part focuses on the application of advanced algebra in the practical application of the two methods, namely, matrix cryptography and secure communications and information retrieval model.Key words：Theorem proving;matrix;determinant;application of Advanced algebra目录TOC \o "1-2" \u 前言11 定理阐述及证明21.1因式分解及唯一性定理21.2最大公因式存在定理41.3最小数原理51.4替换定理61.5哈密尔顿-凯莱定理81.6带余除法101.7行列式计算定理121.8定理：在数域上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵132 高等代数的重要定理在相关的对应理论中的作用、地位与应用132.1因式分解及唯一性定理142.2 最大公因式存在定理142.3 最小数定理142.4 替换定理142.5 哈密尔顿-凯莱定理152.6 带余除法152.7 行列式计算定理152.8 对称矩阵合同于对角矩阵153 高等代数的学习15结束语17参考文献18引言高代数是范学校学业的学生所学习的一门主要，是学的继与高.它的内容由多项式理论、解理论、线性空间理论三大部分组成.这三大部分的特殊性在于其中的定理和概念较多，具体的模型稀少，，可引导用的例题较少，计算性弱，逻辑性强.在对高等代数几个重要定理的证明方法的探索中，能够改变我们的思维，增强大家都思维能力，辑思维能力和代数计算.此外，高等代数已经是从事科学研究的科技人员必备的数学基础知识，因它是理论化学与理论物理的不可替代的代数基础知识，也已经渗透到了管理、经济、科学技术等多项领域，除此以外，矩阵又有了新的意，尤其是对矩阵的数值分析方面的贡献.由是对于本文探索高等代数的定理新证明又有了重大意义.1 定理阐述及证明1.1因式分解及唯一性定理：理容：数上有的多式都可一地解为域，一些可多项的积，所说的性是说，如有个分式，则，同在当排因的次后有，，且是些零数.证法一：首先要证明的式分解式是否存在，我们对的次数作数学归纳法.因为一次性多项式都是不可约的，所以当时结论成立.先，同设此论对于数的多项式已成立.如果，那么然论成，不是约的，，其的次数都.由归纳假和都可以分解成数上一些多式的积.把，的分式来就可以得到的一个式.由归纳法原理，可知结论普遍成立.下证它的一性.设可以解成约项式的积.如果还有另一个分解，其中都可约多项式，于是. （1）我们对作归纳法.当，是不可约多项式，由定义一定有且现在设可约式的时性已证.由（1）因此，能尽中的一个，.因为也可多式，，（2）在（1）式两边消去，就有.由归纳假设，有，即，（3）并且适当排列次序之后有，，（4）即（2）,（3），（4)三式加起来就是我们所要证得，即证明了分解的唯一性.[1]证法二：可以对因式的用数学归纳法.对于可多式，也是对于的情来说，理成立.假定对于能分解成个不可约因式的乘积的多项式来说，定理成立.们明对于能可因的积的多项来说也立.等(1)表明，积可以被可多式整.性，若项与的积能被可多式，则有一能被的，且某一能被.适当调整的次序，可以假定即.但不是可约多项式，而的次数是零，所以必须是一个多项式：（2）, 把的表示式代入式（1）的右端，得:，等端除为的多项式，得出式,令那么是一个能分解成不约多项式乘积的多项式.于是由归纳假定得，亦即，并且可以假定（3）其及都是次多式.令，由（2）及（3）得，这样得到明1.2最大公因式存在定理：如果中意个项在中存一个大因，且表示为的一个合，即中项式使.证法一：数学归纳法证明：将定理证明过程中会用到的引理列出：引理[1]:如有式成，和有同的因式.下面用归纳证明大因式在定理.（种形证）证明当或时，的最大公因式为或，显然有或当且时，不妨设，令，下面对n实行归纳法：.当时设，则（非零常数）或，当时，，于是的最大公因式为，有. 当（非零常数）时，由于，故的最大公因式为，由引理，的最大公因式也为，且有定理成立..假对于的自然，定都成.看n时情形设，则或，⑴时，，于是的最大公因式为，有.⑵时，设，则或⑶时，的最大公因式为，由引理，的最大公因式也为，且有.⑷当时，由归纳假设，存在最大公因式，且由引理，的最大公因式也为，进而的最大公因式也是.所以，对于一切都存在最大公因式.由于所以,取,,则有.[3]1.3最小数原理：负整数集合的任意一个非空子集一定含一个最小数，接下来通过构造的方法证明最大公因式存在定理.证明：分成两种情况当或时，的最大公因式为或，显然有或当且时，令,记,由于，所以，则是非负整数集的一个非空子集.由最小数原理，中存在最小数，故存在，且，即是中最小次数多项式.于是，有中多项式使由带余除法或或’若则，但,即，于是，与是中最小次数多项式矛盾.因此，从而.同理可证：.于是是与的公因式.设是与的任一公因式，则，，由得：，所以是与的最大公因式，且有.1.4替换定理：设无关的量组（1）可由组（2）线表，则，且（2）中个量使得向组，（3）与量（2）.证法1.由可知性无的向组由量（2）表示，则有:可由向量组线性表示.从而，由可向量线性表示，得（3）性关.那么根据前面所提供的定理，可知至少有一个向量能用其前个向量线性表示.在向量组（3）中将除去，剩下个向量为（4）这时向量组（4）与（2）等价.同理可得（6）如果线性无关向量组的元素个数，则进行次可得向量组（7）则这个组（7）不含向，但量组（7）与向组（2）价.此又于可由，则可由性出.这与性关，故.由以上的证明过程可以的知向量组同向量组（2）等价. [4]证法2.运极无组的性质证，之后过扩极大关组来证明向量的价.设向组的极大无关组（8），然，因（1）可由线性表示，所也是的一个大无关，又因为性无关，因，又，故.因为的秩为,然，当选，可以把（1）为的一个极无关.因为，均是的极无关组，因此和等价，因此是极1.5哈密尔顿-凯莱定理：设是数上一个阵，是的，则：.证法一：是.因为矩阵都是的多项式，次数不超过，故此由矩阵的运算性质，可以写成.其中都是数字矩阵.设（6）而（7）比较（6）和（7）得（8）以依次从右边乘以（8）的第一式，第二式，…，第式，第式，得（9）把的个式子一块儿起来，就成了，右边，故.证法二:幂级数证法对于，由行列的拉普公式可得标准方程其中表示的伴随矩阵，的系数取自于的形式幂级数.因为所以可逆且为其逆矩阵，因此：将写成的次数取自于的形式幂级数，可得可以注意到中的元素都是的次数不超过的多项式，因此是零矩阵，等式两的系数，可得：，即. [5]1.6带余除法：对于中两个多项，其中，中的项存在，使（1）成立，其中，并且这样是唯一决定的.证法一：（1）中的存在性可以由高等代数北师大第四版课本上第八页所提及的除法直接得出，如果.下面设.令的次数分别为.对的次数作第二数学归纳法.当时，显然取，（1）式成立接下来讨论的情形，假设当次数时，的存在已证，现在看当次数等于时的情形.令的项，然有同的，因多项的数或为0.7对于者，取对于者，由归假，对在使其中，于是，也就是说，有,使成立.由归纳法原理，对的存在性就证明了.下面明性，设另有项使，其中，于是，即如果，又，那么,且有,但,所以不可能立，这就，因此证法二：用限维性来证明的带除法理.引理1：数上的任何线性关向量组构的一基；引理2：上一元多项式中，小于的组成的是上的；引理3：在中，一个互相同的项式组都是无关的.叙述：设是一元多项式环中的任意两个多项式，并且，那么存在唯一一对多项式满足：（1）（2）证明：设先证存在性，如果，那么就是满足定理条件（1）和（2）的唯一,如果，那么由引理2可知，中的个多项式组成的集合是线性空间的一组基.事实上，由引理3知，是一个线性无关集合，再由引理1和引理2的结论可知，它构成了的一组基.因为，所以在数域中存在唯一的一组数令，，于是满足定理的条件.再证唯一性：由于数域中的数是唯一的，所以也是唯一的1.7行列式计算定理：1.首先给出一个上三角行列式行列其实于主对线上素乘积即行列式计算定理.2.定义：数域上列式转化为三角行列式i ；ii ，；iii 换列式中的.比如把行列式的-2倍加到，得到再把第一行加到第三行，得到-2，我们将形如，，其分为三行列式和.1.8定理：在数域上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵对角矩阵：形式为的矩阵，其中是数，通常称为对角矩阵.对称矩阵：矩阵称为对称矩阵，如果：数域上矩阵之，如果有上的矩阵，使.合同是间的一个关系，具备下列三个特点：1）自反性：；2）对称性：由即得;3) 传递性：由和即得.2 高等代数的重要定理在相关的对应理论中的作用、地位与应用2.1因式分解及唯一性定理，我们前把它成几个能再，只是续分解这个是由于我们，并它不能，实际上这是相对于系数的数域而言的，并不是绝对的.因式分解及唯一性定理是对我们初中多项式分解知识有更深刻更宽广的认知，可是该并给出能够解多项式的以上便是多项式理论中的地位与局限.此外，初阶的因式分解定理常应用于初中考试题中.2.2 最大公因式存在定理我们在维纳的经典控制论等学科里常常会用到最大公因式，这说明最大公因式不仅是数学中的重要概念，而且在多个学科里都占据着不可替代的地位，因此在求解两个多项式之间的最大公因式时所用的辗转相除法是最大公因式定理的核心内容，它又被称为欧几里得算法，历史源远流长，是现代人们已得知的最古老的算法，这就是最大公因式存在定理的地位.辗转相除法是证明与计算最大公因式的核心，并且应用范围十分广泛.当需要寻找剩余定理的数时，它会被用来解丢翻图方程；在现代密码学里，RSA的主要构成部分就是它……这些都是辗转相除法应用里的沧海一粟.2.3 最小数定理，它等故此在解决许多存在性问题时常会用到最小数定理，证法与之结合解题常有2.4 替换定理替换定理是高等代数量空间理论的又.它应用广泛，可以被，也可被用于比较大无关量组向量的；亦；也可被用于证明基的扩充性，替换定理可以使这些问题可以得到更好的解决.2.5 哈密尔顿-凯莱定理哈密尔顿-凯莱定理是线性代数中的，是式所具备的一个，它揭示了和它式之间的关系，并且在解决.哈密尔顿-凯莱定理的应用可谓十分广泛，在计算方面可以辅助证明方阵的幂与方阵的逆阵，在证明方面即矩阵多项式等于零的有关问题中，可以使问难快速的得到解决.2.6 带余除法高等代数课程中占有重要地位的多项式的整除理论的基础就是带余除法，它是初等代数中最最基础，最最重要也是最直白的定理及工具.带余除法在初等代数中常被用到，常在小学初中的试卷中以应用题的形式出现，而在做这一类题的时候，就需要把题目外面包裹的各种各样的情境忽略掉而直接注意题目的本2.7 行列式计算定理，计算理，学习行列式的计算是学好高等代数的重要基石.，也很要，学会行列式的，我们可以应用它，还可以应用它求.2.8 对称矩阵合同于对角矩阵矩阵概念在高等代数课程的应用与内容中占据了非常广泛且重要的地位.首先，线性方程组的重要性质里就包含了矩阵的知识，例如它的系数矩阵和增广矩阵，除了线性方程组之外，许多问题的研究也常常会用到矩阵，甚至会研究有关于矩阵的方面.此外，对称矩阵、对角矩阵也是矩阵理论的重要研究对象.矩阵的应用方面包括，保密通讯技术时常会用到矩阵，信息的解码和编码也是需要用到矩阵密码这个技巧的.3 高等代数的学习《等代数》与相同，是学习的大学生要学习的核心课程之，是数学在，通过对高等代数的学习，我们可以加强自身的数学素养.在对高等代数的学习过程中，我们应该注意以下几点要求，可以让我们对这门课程的学习领悟更加深刻，更加透彻.高等代数里的抽象概念非常多，学生理解起来就有困难，譬如数域，映射，线性空间等概念，这些概念的特点就在于它们从很多具体的例子中被抽象出来的，总的来说学习高等代数时首要的是注意解相关.一方面，等代数这门课程的理与概念基本属于学专业的，由此，学生首先应注重对课程义的领会和运用，在充分理解定义定理后，我们对这门课的理解也就更深刻，在面对一些复杂的题目时更容易领会解答，从而使学生解高等代数象的内容，也会使学生对这门课程产生，唯有这样，才能对数学学习有正的度.另一方面，寻求正确的学习策略是在以培养学习的兴趣，端正学习的态度的条件下所进行的十足紧要的学习步骤.有些同学学习刻苦努力，但是成绩不算太好，就把原因归结为自己太笨，自暴自弃，其实这不是计算能力的问题，而是因为概念理解能力不行，即习对大家来说，要从、象的高等代数思维蛮困难的，故此我们在学习过程中，不应只是一味努力，也要注重学习方法，课前预习，课后复习，借力于具体的例子来理解抽象的定义定理，加深对定理的理解和掌握，寻找正确的途径学习高等代数.总而言之，学习高等代数，基本上就是在熟练掌握代数方法的同时尝试深入理解几何意义.结束语在完成这篇论文的近一百天的过程中，我再次复习了OFFICE的使用方法，对此更加熟练；阅读了许多关于高等代数重要定理的书本与论文，使我对高等代数的理解变得深刻，兴趣愈发浓厚，这也是我在大学真真正正用心去做，独立思考的稚嫩的成果，希望写论文的这段人生体验能让我在以后的学习生活中乘风破浪，积极进取.参考文献[1]王萼芳，石生明.高等代数[M].第四版.北京：高等教育出版社，2013：18.[2]张禾瑞，郝鈵新.高等代数上[M].第二版.北京人民教育出版社，1979：58.[3]苏白云，张瑞.最大公因式存在定理的两个新证法[D].河南郑州：河南财经政法大学数学与信息科学系，2013.[4]杜奕秋.替换定理的若干证明方法[D].吉林四平：吉林师范大学数学学院，2006.[5]邓勇.关于Cayley-Hamilton定理的新证明[D].新疆喀什：喀什师范学院数学系，2015.[6]王萼芳，石生明.高等代数[M].第四版高等教育出版社2013:8.[7]邓勇.多项式带余除法定理的一种新证明[D].新疆喀什：喀什大学数学与统计学院，[8]韦城东，尹长明，何世榕，庞伟才.大学数学学习成败的原因的成败分析[D].广西：广西师范学院学报，2006.[9]王喜建.高等代数课程教学中的几点体会[D].广东：广东五邑大学数学物理系[10]白永成，郑亚林.数学中的基本元素[D].陕西：安康师专学报,1998.[11]欧阳伦群，欧阳伦键.高等代数学习中的困惑与解决对策[D].湖南:当代教育理论与实践，2015.[12]熊斌，周瑶.最小数原理[D].数学通讯：教师阅读，2017.[13]李丽花.哈密尔顿-凯莱定理的应用[D].上海电力学院学报，2008.[14]侯波，郭艳红.高等代数教学的几点探索[D].学园，2015.[15]张爱萍.可逆矩阵的判定及求法[D].赤峰学院学报(自然科学版)，2011.。
代数数论中若干定理的简化证明
熟知， 数域豳拘代数整数环 是秩为 ＝ ［ 翻 的自由Ａ ｅ群（ 自Ｓｚ ￣） ： ｂ１ 或 － ．假定 ｑ ， ∈ ，而且 的整基 的判 别 式（ 是域 辟 身的不变
（ ＝ 一） 神 （ １‘ Ⅳ（ ”）Ⅳｗ Ⅳ ∞ 一Ｉ Ｐ ， （） （ （ ） （） ２ 其 中 Ⅳ（） 示范 Ⅳ （ ． ．表 ）
由引理ｌ 知Ｎ（ ｐ ｐ ．由于确 全部共轭元（ Ｅ ） 的全部复根） 为 ｒ ≤ ｌ ｓｐ ，ｔ） １ ／ Ｐ
故 Ⅳ（ ： 神 ，ｐｔ 注 ：文 【］ （ ２中积式 的上 限误为 ｐ卜 ） ，
． ．
口
定其别 （ ，：ｔ ） 义判式． … ）ｅｆ ７ ｄ ．． ，
特别地，吐， ） ：
（， … 。 称为￡ １口， 。 ） 中元素耐 于扩张￡ 的判别式．计算元素 的判别式的基本公式为
： ＝Ｈ 砷为新生 罔 ， 上 的极小 多项式 ， 则
引理２ 设三＝ 曲 ，
于整理 想加群结构 定理的证明．从而 简化 了代数数 论 中这 两个重要 定理 的证 明．
关 键 词 ：范 ； 整 基 ： 判 别 式 ： 分 圄域 ； 整 理 想
中图分 类号：Ｏ１６２ １０１６２３ ． ， ５ ５
文献标识码：Ａ
１ 定 义 、记 号及 性 质
设ＬＱ ／ 为数域扩张，［ Ｋ ＝ Ｌ： ｌ ． ： Ｃ １ ） ￣ｎ ＂ － Ｌ （ ｉ 是￡ ４Ｋ 嵌入．对于ａ∈ Ｌ定义
维普资讯
第２ 期
杨 莩： 代数敷 论 中若干 定理 的 简化证 明
ｌ７ ５
《高等代数》电子教案——4.1整数的一些整除性质
第4章 多项式4.1整数的一些整除性质教学内容：4.1整数的一些整除性质教学目标：掌握整除的性质及带余除法，掌握最大公因数与互素的概念及互素的一些简单性质授课时数：2学时教学重点：整除的性质、带余除法、最大公因数存在定理教学难点：带余除法定理及最大公因数存在定理的证明（定理4.1.1与定理4.1.2的证明）教学过程：一、整数的整除1、整除的定义定义1 设,a b 是两个整数。
如果存在一个整数q 使得b aq =，则称a 整除b ，或称b 被a 整除，记作|a b ，也说a 是b 的因数，b 是a 的倍数。
如果对任意整数q ，都有b aq ≠,则称 a 不整除，记作|a b 。
注：用乘积的等式来定义整除，给后面的讨论带来方便，这是研究方法上的一个进步。
例1 3|6,3|6,5|11,0|0,0|(0),|0.b b a -≠2、整除与除法的区别除法中不能用0作除数；由于整除是由乘积的等式来定义的，有0|0。
二．整除的基本性质根据定义，容易推出整除的基本性质：1）若|,|,a b b c ,则|a c 。
2）若|,|a b a c ,则.|()a b c +。
3）若|,a b c Z ∈,则|a bc 。
4）若|,1,2,,i a b i n = ，,对任意12,,,n c c c Z ∈ ,则有1122|()n n a b c b c b c +++ 。
* 4）是2、3）的推广5）对于任意整数a 有，|0,1|,|a a a a ±±。
6）若|a b 且|b a ，则|b a ±。
6）的证明：按定义，存在整数,c d ，使得,b ac =且a bd =。
将b ac =代入a bd =，有()()a bd ac d a cd ===。
若0a =，则0b ac a ===；若0a ≠，则由消去律得1ad =，因此1c d ==±，于是|b a ±。
例2 若3|n ，且7|n ，则21|n 。
高中数学简化运算的小技巧(高手总结来的)
高中数学简化运算的小技巧高中的题型中，思维难度最大的是数列和不等式，其次是函数，函数比较活，要靠平时积累。
然而会做高难度题型显然是不够的，很多人栽在时间不够和计算失误上。
在高考有限的时间内能尽可能挤出时间去解决高难度题型是得高分的关键之一。
下面推荐几个方法，可以减少不少运算，而且能有效提高计算准确率。
假如能在高考中节约10分钟，那都是异常宝贵的，更不用说提高计算准确率了。
注意：下面这些方法是高中没有讲的，在做题时一定注明用到的定理方法名称。
否则遇到钻牛角尖的改卷老师，只能白吃亏。
一.立体几何（强烈建议学会这个方法，其他的如果觉得理解困难可以不掌握。
）行列式简化运算（大概减少5分钟运算）在涉及法向量的计算时用行列式会非常简洁。
二阶行列式�a 11a 12a 21a 22�=a 11a 22−a 21a 12 （即对角线乘积之差）三阶行列式�a 11a 12a 13a 21a 22a 23a 31a 32a 33�可以按照某一行或者某一列展开（习惯按照行展开） �a 11a 12a 13a 21a 22a 23a 31a 32a 33�=a 11�a 22a 23a 32a 33�−a 12�a 21a 23a 31a 33�+a 13�a 21a 32a 31a 33� （即某个元素乘以剔除这个元素所在行和列后所得的新行列式，注意第二个展开式前面是负号，这里是最容易错的）立体几何里要用到向量乘法扩展。
1.求平面法向量 做立体几何的试题的模式化操作无非是建立直角坐标系，然而有点难度的题都会考法向量的应用，平常解方程组的方法求法向量非常麻烦，还要讨论方向。
但用这个方法非常简便，能节省不少时间。
（大一开始就要学这个，其实高中就应该学。
）这是行列式最有用最简洁的地方设方程组求解需要解三元一次方程还要指定一个变量为定值，比较麻烦而且容易出错。
下面的方法简单且容易记忆。
设n 是a =(x 1,y 1,z 1)，b =(x 2,y 2,z 2)所成的平面的法向量 则（i ，j ，k 是坐标轴单位向量）n =�i j k x 1y 1z 1x 2y 2z 2�按第一行展开，就求得n 的向量表达式 n =�i j k x 1y 1z 1x 2y 2z 2�=i �y 1z 1y 2z 2�−j �x 1z 1x 2z 2�+k �x 1y 1x 2y 2�当然，还可以写成更简单的坐标形式。
高等代数课件 第一章
定理1.4.2 任意 n(n 2)个整数 a1, a2 ,, an 都有最
大公因数。如果d是a1, a2 ,, an 的一个最大公因数，那 么 - d 也是一个最大公因数；a1, a2 ,, an 的两个最大公因
数至多只相差一个符号。
证 由最大公因数的定义和整除的基本性质，最后一个论断 是明显的。
称f 是A到B 的一个单映射，简称单射.
定义3：如果f 既是满射，又是单射，即如果f 满
足下面两个条件: ① f (A) B
② f (x1) f (x2 ) x1 x2 对于一切 x1, x2 A ，那 么就称f 是A 到B 的一个双射或一一映射。
一个有限集合A到自身的双射叫做A的一个置换.
而 r1 d 。这与d是 I 中的最小数的事实矛盾。这样，
必须所有 ri 0 ，即 d | ai ,1 i n 。
另一方面，如果 c Z, c | ai ,1 i n 。那么 c | (t1a1 tnan ),即c | d 。这就证明了d 是 a1, a2 ,, an的
一个最大公因数。
那么存在一对整数q和r，使得
b aq r且0 r | a |
满足以上条件整数q和r 的唯一确定的。
证 令 S {b ax | x Z,b ax 0。因为 a 0，所以S 是N 的一个非空子集。根据最小数定理（对于N），S 含有一个最小数。也就是说，存在q Z ，使得 r=b-aq 是S 中最小数。于是b=aq+r，并且 r 0 。如果 r | a |，
这时y 叫做 x 在f 之下的象，记作 f (x) .
注意: ① A与B可以是相同的集合，也可以是不同的集
合 ② 对于A的每一个元素x，需要B中一个唯一确定
的元素与它对应. ③ 一般说来，B中的元素不一定都是A中元素的
高等代数中子空间直和的证明方法及应用
高等代数中子空间直和的证明方法及应用高等代数中子空间直和的证明方法及应用是一个重要的概念，也称为微分空间直和原理。
它可以用来证明各种类型的几何图形及其他几何结构的等价性，甚至可以用来证明不同类型的空间布局的等价性。
子空间直和定理指出，一个空间可以转化为其子空间的“直和”；也就是说，可以将原空间分解为若干子空间，并使用这些子空间重新构建原空间。
通常情况下，证明子空间直和会主要做以下几步：
（1）首先证明原空间本身是由它的一系列子空间组成的；（2）接着将上面的子空间称之为有界空间；
（3）然后，可以使用微分空间的直和原理将有界空间的子空间结合起来，并且令其它的子空间等价的表示出来。
高等代数中子空间直和的应用十分广泛，它可以用来证明各种类型的几何图形及其他几何结构的等价性。
例如，如果旋转某一几何图形，某一点会绕着某一点旋转，其他点会随之旋转，从而引出旋转群的概念，并被用于更具体的应用，比如识别特征。
另外，如果将空间分割为平面和三维空间，我们可以使用子空间直和原理来证明任意空间的几何结构的等价性，而不管它处于何种空间内。
此外，子空间直和在研究几何重整学中也非常有用，它可以用来证明形状重整的可能性，例如将正六边形重整为正三角形，可以用它来研究多维空间中的曲线和曲面，以及连通性等相关问题。
总之，高等代数中子空间直和的证明方法及应用十分广泛，可以帮助我们更好地理解几何图形、多维空间及其他几何结构的等价性，从而应用到实际中。
高等代数中子空间直和的证明方法及应用
高等代数中子空间直和的证明方法及应用高等代数中子空间直和可以证明向量空间中子空间的组合是一个新的子空间。
它有助于理解整个子空间的构成，例如子空间变换，因此，在高等代数中应用这一方法非常常见。
子空间直和的证明方法主要有两种：结构性证明和数学归纳法证明。
结构性证明由于其较好的直观效果，通常被推荐用来证明子空间直和。
结构性证明的步骤如下：首先，在子空间V和W中定义两个线性表达式a和b，满足ax + bz = 0，这样就定义了子空间V和W的和空间。
其次，证明任何向量x + z在子空间V和W中均为零。
对于任意给定的向量x + z，设α和β分别为它在V和W中的系数，由于αx + βz = 0，所以它必定等于零。
最后，证明每个给定的向量限于V和W的和的子空间。
由于它们均可以由V和W中定义的线性组合给出，因此限于V和W的和的子空间中的任何向量必定都可以写成V和W的线性组合。
这就是子空间直和的证明。
子空间直和在多个领域中得到了广泛应用，如数值分析、线性代数、统计学中等。
在数值分析中，子空间直和常常用于求解多元函数的最小值。
由于多元函数的大部分特性都可以用子空间直和来表示，所以在求解最优解时，可以使用它来作为一种简单的证明方法。
在线性代数中，子空间直和可以用来证明一个矩阵A的某个子空间P是一个空间基的子空间。
由于任意矩阵A都可以由一组空间基来表示，因此用子空间直和来证明一个矩阵A的子空间P是一个空间基子空间有其独特的优势。
在统计学中，子空间直和可以用来求解某类随机变量的数学期望。
假设X和Y是两个独立的变量，则E(X + Y) = E(X) + E(Y)。
由于E(X + Y) = E(X) + E(Y)，因此它可以用来证明任何随机变量的数学期望的等式。
总之，高等代数中的子空间直和可以用来证明子空间的组合是一个新的子空间，而证明方法主要有结构性证明和数学归纳法证明，并在数值分析、线性代数、统计学等多个领域得到广泛应用。
高中数学代数式化简技巧与应用场景详细分析与解答
高中数学代数式化简技巧与应用场景详细分析与解答代数式化简是高中数学中的一项重要内容，也是解题的基础。
通过化简代数式，可以更好地理解数学概念，简化计算过程，提高解题效率。
本文将详细介绍代数式化简的技巧，并结合实例进行解析，旨在帮助高中学生和家长更好地掌握这一知识点。
一、代数式化简的基本规则代数式化简的基本规则主要包括合并同类项、提取公因式、分解因式等。
下面通过具体的例子来说明这些规则的应用。
1. 合并同类项合并同类项是将具有相同字母部分的项进行合并，从而简化式子。
例如，化简以下代数式：3x + 2x - 5x + 4y - 2y合并同类项后，得到：(3 + 2 - 5)x + (4 - 2)y最终化简为：0x + 2y即：2y2. 提取公因式提取公因式是将代数式中的公因式提取出来，从而简化式子。
例如，化简以下代数式：5x + 10y可以发现，5和10的公因式是5，因此可以提取出来，得到：5(x + 2y)3. 分解因式分解因式是将代数式中的因式分解为乘积形式，从而简化式子。
例如，化简以下代数式：4x^2 - 9y^2可以发现，这是一个差的平方形式，可以分解为：(2x + 3y)(2x - 3y)二、代数式化简的应用场景代数式化简不仅仅是一种解题方法，更是数学思维的培养和数学概念的理解的重要手段。
下面将结合一些具体的应用场景，进一步说明代数式化简的实际应用。
1. 方程求解在解方程的过程中，经常需要对方程进行化简，从而简化计算过程，更好地找到方程的解。
例如，解以下方程：3x + 2 = 10可以通过化简代数式，将方程化简为：3x = 8然后再进行求解，得到：x = 8/32. 几何问题在几何问题中，代数式化简可以帮助我们更好地理解几何概念，并应用到实际问题中。
例如，已知一个矩形的长为x+2，宽为x-1，求矩形的面积。
可以通过代数式化简，将矩形的面积化简为：面积 = (x+2)(x-1)然后再进行计算，得到：面积 = x^2 + x - 23. 函数图像分析在函数图像分析中，代数式化简可以帮助我们更好地理解函数的性质，并进行图像的绘制和分析。
高等代数专题分类解析
高代专题专题1关于相等的常用证明方法1、 数的相等：s t =1）0s t -=；2）1st=；3）,s t s t ≤≥。
2、集合相等：M N =1）一般集合利用,M N N M ⊂⊂（双包含）。
2）特别对于有基的线性空间12V V =的相等可以利用基相等。
3、多项式的相等：()()f x g x =1） 定义法：即对左右任意s 次项系数证明相等。
2） 做差为03） 等同于函数相等4） 首系为1时，证明互相整除。
4、行列式相等：12D D =1） 左边展开式中任意一项都在右边展开式中； 2） 计算结果一样；3） 用一般恒等式证明方法：即左推右，右推左，两边往中间挤。
5、向量的相等，即对应元素相等。
6、映射的相等：στ=1）一般映射利用定义：M α∀∈，证明()()σατα=即可。
2）特别对于线性变换//A B =，只需证明基被作用后相等即可。
专题2关于整除1、定义：数域P 上多项式()g x 称为能整除()f x ，如果有数域P上的多项式()h x ，使得等式()()()f x g x h x =成立。
其中：()|()g x f x ，()|()h x f x 。
2、对数域P 上任意多项式()f x ，()g x ，其中()0g x ≠，()|()g x f x ⇔()g x 除()f x 余式为0.3、若()|()g x f x ，且()|()f x g x ，则()()(0)f x cg x c =≠。
4、若()|()f x g x ，且()|()g x h x ，则()|()f x h x 。
5、若()|()(1,,)i f x g x i r =L ，则11()|(()()()()r r f x g x u x g x u x +L 。
6、若()|()f x g x ，且()|()f x g x ，则()|(()())f x g x h x +。
7、若()|()f x g x ，对任意()h x ，有()|()()f x g x h x 。
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第 三 步 ： 明 Ｖ — Ｗ－ Ｗｚ … ① ｗ 证 ① ① ． 第 四步 ： 明 Ｖ — Ｗ 证 ． 如果 一丝不 苟 的按 这个 流程进行 证明 ， 可 以给读者 很 清晰 的思 路 ， 是值 得 注意 的是 ， 第 则 但 在 三 步 的证 明上 ， 教材 中采用 的方法 是先证 明
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７ ８
高等 数 学 研究
Ｓ ｒＵＤＩ Ｎ ＥＳ Ｉ Ｃ０ＬＬＥ ＧＥ Ｍ ＡＴＨ ＥＭ ＡＴＩ ＣＳ
Ｖｏ． １ １１， Ｎｏ．１
Ｊｍ ，０ ８ ａ ２０
《 高等 代 数 中一处证 明 的简化 ’
谢 美华 （ 防科学 国 技术大 学理学院数学与系 统科学系 长沙
事 实上 ， 其证 明思路 中结论 ２的证 明以及第 四步 的证 明都 是多余 的． 而且 由于第 四步 的证明不 能直 接利用 第三 步的结论 ， 而必 须利用 到其 中间结果 ， 因此 各 部分 的 证 明之 间缺 乏应 有 的独 立性 ， 很 容易使人 产生误 解 ， 以为第 四步的结论 是从第 三步 的结论得来 的 ， 而 感到思 路不够 流畅． 从
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步骤 ２ ：证明 Ｖ ＝ Ｖ ｏ ｚ … ｏ Ｖ ｏ Ｖ；
步骤 ３ 证 明 为不 变子 空间． ：
其 中步骤 １ 的证 明与教材 中 Ｖ＝ ＋ ＋ …＋ 的证法类 似． 键的步骤 ２体现 了与教材不 同的 关 ， 证明思路和方法． 教材 中采用的方法是首先证明 Ｖ＝Ｗ１ ｏ ｏ … ① ， 然后再证明 Ｖ ＝Ｗｉ但 是 ， ｉ ． 事 实上 ， 由于教 材 中的第二步 已经证 明了 中每个 向量 口都可 以表示成
结论 １ 若 届 ＋ ＋ … ＋屈 一 ０ 其 中 ∈ Ｖｉ则 一 ０ ， ， ．
然 后 再 以 此 为 基 础 证 明
结论 ２ 若 口 ＋ 口 ＋ … ＋ 一 ０ 哦 Ｅ Ｗ 一 １ ２ … ，， 口 亍 ０ ｌ ２ ， ， ， ， ｓ则 ．
而在第 四步 的证 明上 ， 又利用 了结 论 １ 而不 是直接利 用第 三步 的证 明结 果． ， 因此 ， 在其证 明过 程 中 显然存 在 罗嗦之处 ．
则 Ｖ 可 分 解 成 不 变 子 空 间 的 直 和
Ｖ — Ｖ ① Ｖｚ … ｏ ， ①
其 中 Ｖ 一 ｛ ｛ Ａ — Ｅ） 一 ０ Ｅ Ｖ｝ Ｅ 为 单 位 变换 ． （ ０ ， ，
教材 上的证 明给 出了该定理 的全部证 明要 点［ ， １ 此不 赘述． ］ 其证 明步骤 可概括 为以下几步 ： 第一 步 ： 造不变 子空间 Ｗ 构 ； 第二 步 ： 明 中每个向量 ａ都可以表示成 证
本着简 洁清 晰的原则 ， 于本 定理 的证 明 ， 对 可以分 为以下 几步 ： 步骤 １ 证 明 、 ： ，中每个 向量 ｎ都可 以表 示成
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第 １ 卷第 １ １ 期
谢美 华 ：高 等 代数 》中一 处 证 明 的 简化 《
Ｏ＝ ａ ｔ １＋ ａ ＋ … ＋ 口 ， ａ ２ ｆ∈ Ｖ ， ｉ＝ １ ２， ， ； ， … ｓ
ａ— ｍ ＋ ａ ２＋ … ＋ ａ ，ａ ，∈ Ｖ， ，ｉ— ｌ， … ，． ２， Ｓ
由北 京大学数 学 系几何 与代数教 研室前 代数小组 编写 的高校 教材 《 高等代 数 》１ １ ７ ［ ］自 ９ ８年 出 版 以来 ， 已被多所 高等学校 用作数 学专业 课程 “ 高等代数 ”的教材 ． ０ ３年该 教材第 三版 面世 ， ２０ 修正
了前两版 中存在 的一些错 误． 笔者在 教学实践 中发现 ， 中仍 有 部分 地 方 的证 明可 以精 简． 面 但 其 下 针对 该教材 第 ３ ９页定理 １ ０ ２的证 明进行 简化．
Ｖ＝ Ｖｌ Ｖ ０ ｚ ｏ＋ … 十０ ．
基 于 以上分 析 ， 对于本 定理 的证明可 以简化 为
证 明 令
ｆｌ２ （ ）一 一 （ — ）１ — ｚ ｒ… （ ｒ（ ）２ — １ （ ） — ） 一．（ ． — ） 。，
下面 先证明 Ｖ ： Ｖ 十 Ｖ ＋ … ＋ ， 。 即要证对 中每个 向量 ａ都可 以要 通 过 分 析 某《 等 代 数 》 用 教 材 中 线 性 空 间直 和 分解 定 理 的 证 明过 程 ， 出其 在 叙述 上 存 在 的 问 高 常 指 ・ 中图 分 类 号 Ｏ１１ ２ ５ ．
题 ， 出 该定 理 的 一种 简 化 证 明 ， 读 者 能 更 清 晰地 理 解 证 明过 程 ． 给 使 关 键 词 高 等 代 数 ； 理 证 明 ； 化 ． 定 简
教 材 中要 证 明 的 是 如下 线 性 空 间 的直 和 分 解 问 题 ．
定理 设 Ａ是 线性 空 间 中的线性 变换 ， 其特征 多项 式为 厂 ｜ ， （ ） 它可分解成 一次 因式 的乘积 ： 【
．
ｆＡ （ ）一 （ 一 ｜ ） ｜一 ｜ ）２ （【 ｜ ） ｜ ： （【 ： ｒ… ｜一 ： ． ： 【 【 １ ： 【 ２ ： 【
ａ＝ ａ ＋ ａ ＋ … ＋ ， ａ ∈ Ｗ ｆ ｉ １ ２ … ， ， ｌ ２ ｉ ， ＝ ， ， ｓ
而 ＝ Ｗ 当然 有 ＝ ） ，
ａ＝ ｍ ＋ ａ 十 … ＋ ａ ， ａ ２ ‘ ｆ∈ Ｖｉ ， ｉ＝ １ ２， ， ， ， … ｓ
即 Ｖ — Ｖ ＋Ｖ ＋ … ＋ ， 由结论 １ 显然 零 向量 的表示 方法是 唯一 的． ， ｚ 再 ， 因而