高等代数考试大纲
801《高等代数》考试大纲
801 《高等代数》考试大纲一、考试要求1．掌握基本的代数运算方法，包括：行列式的计算，矩阵运算（乘法、求秩、判别方阵的可逆性及求逆、求方阵的特征值及特征向量），线性方程组解的判定及求解，多项式运算（带余除法，辗转相除法，综合除法）等.2．掌握基本的代数分析技巧，包括：向量的线性相关和线性无关性，向量空间的基与维数，线性方程组解的结构, 线性变换和矩阵的关系，方阵可相似对角化的判定,对称矩阵与二次型，一元多项式的整除性及因式分解.3．掌握代数的基本几何背景，理解代数与几何的关系，包括：欧氏空间和酉空间，正交变换与正交矩阵, 对称变换与对称矩阵, 主轴定理, 利用二次型理论化简二次曲面方程.二、考试内容第一部分多项式1.一元多项式的定义和基本运算；2.多项式的带余除法与综合除法，多项式整除性的常用性质；3.多项式的最大公因式概念及性质，辗转相除法；4.不可约多项式的概念及性质，多项式的唯一因式分解定理，多项式的重因式；5.多项式函数与多项式的根的概念及性质；6.代数基本定理，复数域和实数域上多项式的因式分解定理，Vieta定理；7.整系数多项式的有理根，Eisenstein判别法；8.多元多项式概念及字典排列法，对称多项式.第二部分行列式1. 线性方程组和行列式的关系，排列、n阶行列式及其子式和代数余子式；2. 行列式的性质及行列式的基本计算方法；3. 克拉默法则.第三部分线性方程组1.线性方程组求解的消元法；2.矩阵的秩的概念，用矩阵的初等变换求秩；3.线性方程组可解的判别法；4.两个多项式的结式和多项式的判别式.第四部分矩阵1. 矩阵的线性运算、乘法、转置及其运算法则；2.逆矩阵概念，矩阵可逆的判定条件及可逆矩阵的性质，求可逆矩阵的逆矩阵的方法；3.矩阵的分块法，分块矩阵的运算法则.第五部分向量空间1. 向量空间及子空间的定义；2.向量组线性相关、线性无关的定义，向量组线性相关性的判定条件和性质，向量组的极大无关组；3.向量空间的基与维数，过渡矩阵及坐标变换式；4.向量空间的同构及其性质；5.齐次线性方程组的解空间与基础解系；线性方程组的结构式通解.第六部分线性变换1. 向量空间线性映射概念及其相关性质；2.线性变换的运算和矩阵的相似关系；3.不变子空间及其性质；4.方阵的特征值和特征向量；5.可以对角化的矩阵.第七部分欧氏空间和酉空间1. 向量空间中向量的内积、长度、夹角的定义及性质,规范正交基,Schmidt正交化方法；2. 正交变换与正交矩阵的定义和性质；3. 对称变换与实对称矩阵，实对称矩阵的正交相似对角化；4.酉空间的定义及其基本性质，酉变换和酉矩阵.第八部分二次型1. 二次型与对称矩阵，矩阵的合同关系；2.复数域和实数域上的二次型，用正交变换化实二次型为标准形的方法；3.正定二次型与正定矩阵，实对称矩阵正定的判定条件和性质；4.主轴定理, 利用二次型理论化简二次曲面方程.参考文献1.张禾瑞，郝鈵新《高等代数》（第四版）高等教育出版社 19992.北京大学数学系《高等代数》（第三版）高等教育出版社 20033.丘维声《高等代数》（第二版）高等教育出版社 2003。
《高等代数》考试大纲
五邑大学2021年硕士学位研究生招生《高等代数》课程考试大纲一、课程的性质，目的和任务高等代数是数学（数学与应用数学，数学教育）专业的一门重要基础课程。
通过本课程的教学，应培养学生良好的数学素养，打下较扎实的代数学理论基础，提高学生的抽象思维的能力和逻辑推理能力，并掌握较系统的代数基础知识，为学习后继课程服务。
二、基本要求这门课程大致分为两部分:多项式理论和线性代数。
前者以数域上一元多项式的因式分解理论为中心内容；后者主要讲授线性方程组的理论，向量空间和线性变换。
本课程应着重于基本理论的讲授和基本技能的培养和训练,不适求内容上的完备和全面.三、考试范围(一)多项式理论1. 数域 (A)2. 整除的概念 (A)3. 最大公因式. (A)4. 因式分解定理. (A)5. 重因式. (A)6. 多项式函数. (A)8. 复系数与实系数多项式的因式分解. (A)9. 有理系数多项式. (A)*10.多元多项式. (B)*11.对称多程式. (B)(二) 行列式1. 排列. (A)2. n阶行列式的定义和性质. (A)3. 行列式的依行和依列展开. (A)4. 行列式的计算. (A)5. Crammer法则(克莱姆法则). (A)6. Laplace(拉普拉斯)定理. 行列式的乘法规则. (A)(三)线性方程组1. 线性方程组的消元法. (A)2. n维向量空间 (A)3. 线性相关性. (A)4. 矩阵的秩. (A)5. 线性方组有解的判定定理. (A)6. 线性方程组解的结构. (A)7. 二元高次方程. (B)(四) 矩阵1. 矩阵的概念与运算. (A)2. 矩阵乘积的行列式与秩. (A)3. 矩阵的逆. (A)4. 矩阵的分块. (A)5. 初等矩阵. (A)(五) 二次型1. 二次型的矩阵表示. (A)2. 标准形. (A)3. 唯一性. (A)4. 正定二次型. (A)(六) 线性空间1. 线性空间的定义与简单性质. (A)2. 维数.基与坐标. (A)3. 基变换. (A)4. 线性子空间 (A)5. 子空间的交与和. (A)6. 子空间的直和. (A)7. 线性空间的同构. (A)(七) 线性变换1. 定义和例子 (B)2. 线性变换的运算. (A)3. 线性变换的矩阵. (A)4. 特征值与特征向量. (A)5. 对角矩阵. (A)6. 线性变换的值域与核. (A)7. 不变子空间. (A)8. Jordan标准形介绍. (B)(八) 入一矩阵1. 入一矩阵. (A)2. 入一矩阵在初等变换下的标准形. (A)3. 不变因子. (A)4. 矩阵相似条件. (A)5. 初等因子. (A)*6.Jordan标准形的理论推导. (C)(九) 欧几里得空间1. 定义与基本性质. (A)2. 标准正交基. (A)3. 同构. (A)4. 正交变换. (A)5. 子空间. (A)6. 对称矩阵的准形. (A)四、主要教材和参考书1. 北京大学数学力学系，高等代数（第二版），高教出版社。
《高等代数》考试大纲
《高等代数》考试大纲（一）多项式考试内容数域；一元多项式；整除的概念及性质；最大公因式及辗转相除法；互素的概念及性质；不可约多项式的概念及性质；因式分解及唯一性定理。
考试要求1。
掌握数域、一元多项式的概念，了解一元多项式的运算及性质。
2。
掌握多项式整除的概念，了解相关的性质。
3。
掌握最大公因式的概念，了解辗转相除法。
4。
理解互素的概念，掌握两个一元多项式互素的充分必要条件。
5。
了解不可约多项式的概念及其性质。
6。
了解一般系数的多项式的因式分解定理，掌握复系数与实系数多项式的因式分解定理。
(二)行列式考试内容行列式的概念和基本性质；行列式计算；行列式按行（列）展开；拉普拉斯（Laplace）定理及行列式的乘法法则。
考试要求1。
理解行列式的概念，掌握行列式的性质，了解拉普拉斯（Laplace）定理及行列式的乘法法则。
2。
会应用行列式概念计算行列式，会利用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式，会运用矩阵的初等行（列）变换计算行列式。
(三)向量和矩阵考试内容向量的线性组合和线性表示；向量组的等价；向量组的线性相关与线性无关；向量组的极大线性无关组；向量组的秩；向量组的秩与矩阵的秩之间的关系。
矩阵的概念；矩阵的基本运算；矩阵的转置、伴随矩阵、逆矩阵的概念和性质；矩阵可逆的充分必要条件；矩阵的初等变换和初等矩阵；矩阵的秩；矩阵的等价；分块矩阵及其运算考试要求1。
理解n维向量、向量的线性组合与线性表示等概念。
2。
理解向量组线性相关、线性无关的定义、熟练掌握判断向量组线性相关、线性无关的方法。
3。
理解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩。
4。
理解向量组等价的概念、清楚向量组的秩与矩阵秩的关系。
5。
理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵，熟悉它们的基本性质。
6。
掌握矩阵的数乘、加法、乘法、转置等运算。
掌握方阵的多项式概念。
7。
2020云南专升本《高等代数》考试大纲
一、考试内容概述《高等代数》是数学与应用数学的重要的基础内容，其主要内容是一元多项式理论、行列式、线性方程组、矩阵、向量空间(亦称线性空间)、线性变换、欧氏空间、二次型等方面的基本概念、基本知识和一些数学的基本思想方法。
要求考生理解和掌握映射、数域、带余除法、最大公因式的性质、不可约多项式的定义及性质、重因式、多项式的有理根等相关知识；会应用行列式的性质计算行列式，掌握行列式的一些基本计算方法；理解线性方程组解的相关理论并掌握求解方法及解的表示；掌握矩阵理论并能灵活应用；理解向量空间和欧氏空间的一些基本概念并掌握相关知识的计算方法且能灵活应用；理解和掌握线性变换与矩阵的联系、矩阵相似、线性变换在不同基下的矩阵、矩阵的特征值、特征向量及子空间、正交矩阵等相关知识；掌握正定二次型的等价条件及二次型的标准形并会判定。
要求考生具备逻辑推理、抽象思维与综合分析问题的能力。
能运用高等代数中的基本知识、基本理论进行推理和论证。
考生还应熟练掌握高等代数中常用的计算方法，掌握基本运算中的技能、技巧，提高综合计算和解决问题的能力。
二、考试形式满分：150分(单科成绩)。
考试时间：120分钟。
三、试题难易程度分布较易试题约占50％中等试题约占30％较难试题约占20％四、内容比例基本概念约占3％一元多项式约占12％行列式约占16％线性方程组约占10％矩阵约占16％向量空间与欧式空间约占23％线性变换约占13％二次型约占7％五、参考教材北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编，王萼芳、石生明修订：《高等代数》，高等教育出版社2003年7月第三版。
2．张和瑞、郝炳新编：《高等代数》，高等教育出版社2007年6月第五版。
六、考试内容及要求(一)基本概念考试内容：1．映射。
映射的定义，满射、单射与双射，映射的相等，映射的合成，逆映射。
2．数域。
数域的定义，最小的数域。
考试要求：1．熟记映射、满射、单射、双射的定义，理解它们之间的联系与区别。
936_高等代数
高等代数考试科目大纲一、考试性质高等代数是硕士研究生入学考试科目之一，是硕士研究生招生院校自行命题的选拔性考试。
本考试大纲的制定力求反映招生类型的特点，科学、平等、确切、规范地测评考生的相关基础知识控制水平，考生分析问题和解决问题及综合知识运用能力。
应考人员应按照本大纲的内容和要求自行组织学习内容和控制有关知识。
二、评价目标1、要求考生理解该课程的基本概念和基本理论，控制该课程的基本主意。
2、要求考生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力。
3、要求考生具有综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。
三、考试范围及其基本要求1、行列式考试范围：n阶行列式的定义，n阶行列式的性质与计算。
基本要求：（1）理解罗列及其逆序数，理解n阶行列式的定义，能利用定义计算行列式的值。
（2）熟练控制行列式的性质，能熟练计算低阶行列式的值，能计算较容易的n阶行列式的值。
2、矩阵考试范围：矩阵及其运算，分块矩阵与矩阵的初等变换，矩阵的秩，可逆矩阵。
基本要求：（1）理解矩阵、单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵、反驳称矩阵、方阵的幂及矩阵的转置等概念，熟练控制矩阵的线性运算、乘法运算、转置及其运算逻辑。
（2）理解分块矩阵、准对角矩阵、初等变换和初等矩阵的概念，熟练控制分块矩阵的运算。
（3）理解初等变换与初等矩阵的概念及基本作用，了解矩阵等价的概念及第 1 页/共 6 页性质，能用矩阵的初等变换化矩阵为标准形。
（4）理解矩阵的子式、矩阵的秩的定义，熟练控制矩阵的秩的性质，能求矩阵的秩。
（5）理解满秩矩阵的概念，控制满秩矩阵的性质。
（6）控制两个方阵与其乘积的秩的关系式，能熟练运用方阵乘积的行列式的公式。
（7）理解可逆矩阵的概念，控制可逆矩阵的性质，控制矩阵可逆的充足须要条件。
（8）理解陪同矩阵的概念，控制陪同矩阵的性质，会用陪同矩阵法求可逆矩阵的逆矩阵，能熟练运用矩阵的初等变换求可逆矩阵的逆矩阵，能解矩阵方程。
考研《高等代数》(学术学位)考试大纲
（3）初等矩阵与初等变换
掌握矩阵的初等变换和初等矩阵的概念，明确二者关系。能熟练进行矩阵的初等变换，能利用初等变换求解线性方程组，并能进行有关证明。
(4) 相似矩阵与矩阵合同
三、主要参考书目
1、《高等代数》（第三版），北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组著，高等教育出版社 2003 或之后版本
2、《高等代数（上下册）》（第二版），丘维声著，高等教育出版社，1999 或之后版本
硕士研究生入学考试自命题科目考试大纲
科目代码、名称:
专业类别：
■学术学位□专业学位
适用专业:
数学
一、基本内容
1、多项式
本部分要求掌握一元多项式及其整除问题、多项式函数、最大公因式、重因式和因式分解定理等有关概念和基本结论，能够进行多项式的有关计算和有关问题的证明。
2、行列式
（1）定义与性质
要求熟悉排列、逆序、对换等概念；理解行列式的定义；掌握行列式的性质。
9、欧几里得空间
掌握欧几里得空间的定义与性质，掌握内积、正交性、标准正交基的概念及有关计算方法，能证明有关性质和结论。
二、考试要求（包括考试时间、总分、考试方式、题型、分数比例等）
考试时间：180分钟
总分：150分
考试方式：笔试，闭卷
题型：填空题，计算与证明题
分数比例：填空题（60分）占40%，计算与证明题（90分）占60%。
（3）线性方程组解的结构
掌握线性方程组解的判定定理，会求有解的线性方程组的通解，熟练掌握线性方程组常用的解
法，并能证明有关结论。
4、矩阵
864高等代数
题号：864《高等代数》考试大纲一、考试内容(一) 行列式1．n阶行列式的概念和基本性质。
2．行列式按一行(列)展开定理，Laplace定理，行列式乘积法则。
(二) 矩阵1．矩阵的加法、乘积、方幂、转置等运算及性质。
2．矩阵的秩的概念及性质。
3．矩阵的初等变换，等价矩阵，等价标准形。
4．初等矩阵的概念和性质。
5．逆矩阵的概念和性质，矩阵可逆的充分必要条件，用伴随矩阵及初等变换求逆矩阵。
6．分块初等矩阵及应用。
(三) 向量1．向量的概念、运算，向量的内积。
2．向量组的线性相关与线性无关。
3．向量组的极大线性无关组，向量组的秩。
4．等价向量组的概念和性质。
5．向量空间的概念，基与正交基、规范正交基。
(四) 线性方程组1．Cramer法则。
2．求解线性方程组的消元法。
3．线性方程组有解的判定，齐次线性方程组有非零解的充分必要条件。
4．齐次线性方程组的基础解系和通解，解空间。
5．非齐次线性方程组的解向量的性质和通解。
(五) 相似矩阵1．矩阵的特征值与特征向量的概念、性质。
2．相似变换、相似矩阵的概念及性质。
3．矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵。
4．正交矩阵、实对称阵及其性质，实对称阵正交相似于对角阵的计算。
5． ‐矩阵及其标准形，行列式因子，不变因子，初等因子。
6．Jordan标准形及相似变换阵的计算。
7．Hamlton-Cayley定理，最小多项式。
(六) 二次型1．二次型的矩阵表示及秩。
2．用可逆线性变换化二次型为标准形(配方法，初等变换法)。
3．合同矩阵、对称阵在合同变换下的标准形。
4．用正交变换化二次型为标准型。
5．一般数域、复数域、实数域上二次型的标准形和规范形，惯性定理。
6．正、负定二次型(或正、负定矩阵)的判定。
(七) 线性空间1．线性空间、基底、维数及坐标等概念。
2．线性子空间及其交与和的基与维数。
3．线性空间的基变换和过渡矩阵。
4．线性子空间的直和。
5．线性空间的同构。
(八) 线性变换1．线性变换的概念及矩阵表示。
《高等代数》考试大纲
《高等代数》考试大纲一．课程任务二．教材与参考书目1．教材：1.《高等代数》北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编，第三版，高等教育出版社，2003年7月。
2．《高等代数辅导与习题解答》王萼芳，石生明编，高等教育出版社，2007年2月。
3．《高等代数》丘维声编，第二版，高等教育出版社，2002年7月。
4.《LinearAlgebra》彭国华，李德琅编，高等教育出版社，2006年5月。
5.《高等代数解题方法与技巧》李师正主编，高等教育出版社，2004年2月。
三．课程考核方法与命题要求本课程考核以笔试为主，一般采用闭卷形式，主要考核学生对基础理论，基本概念的掌握程度，以及学生逻辑推理能力计算能力以及综合应用能力。
平时成绩占30%，期末成绩占70%。
考试大纲根据教学目标，划分标准为“识记、领会、简单应用、综合应用”四级，其中识记占20%，领会占30%，简单应用占40%，综合应用占10％，考试的试题应按照这四个层次，按比例命题。
本课程考试题型分为客观题和主观题两部分，其中客观题目有选择题（判断题）、填空题，主观题有解答题（计算题）、证明题等。
（第二学期考核第一至第五章部分；第三学期考核第六至第九章部分）四．课程内容与考核要求第一章基本概念1．知识范围：本章主要介绍集合，映射，数学归纳法，整数的一些整除性质，数环和数域的基本知识。
2．考核要求：深入理解集合的相等、子集、空集、交集、卡氏集等概念及他们之间的关系，掌握映射、满射、单射、双射、映射的合成、可逆映射的概念和映射可逆的充要条件，理解和掌握数学归纳法原理，整数的性质及带余除法、最大公因数与互素、素数的一些简单性质。
能够判别一些数集是否为数环、数域。
3．考核知识点：映射、满射、单射、双射、映射的合成、可逆映射，映射可逆的充要条件，数学归纳法原理，整数的性质及带余除法、最大公因数与互素、素数的一些简单性质，数环、数域的概念。
第二章多项式1．知识范围：本章主要讨论了多项式的整除性，最大公因，因式分解及在常见数域（有理数域、实数域、复数域）上多项式的约性，多项式根的一些性质，属多项式代数的基本知识，是对中学所学知识的加深和推广。
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高等代数考试大纲
Ⅰ考查目标
高等代数课程是一门基础理论课.近年来，由于自然科学，社会科学和工程技术的迅速发展，特别是由于电子计算机的普遍应用，使得代数学得到日益广泛的应用.这就要求数学专业的本科学生不仅了解代数学的一些计算问题，还应具备代数学的基础理论知识，以便融会贯通的运用代数学的工具去解决理论上和实践上遇到的各种问题.
本课程包括一元多项式理论，线性代数，其中以线性代数为主，具有很强的抽象性与逻辑性.本课程的考查注重学生科学的思维方式，分析问题和解决问题的能力；同时渗透现代数学的观点和的思想.通过本课程的考查，能体现“学生掌握多项式理论的基本概念，线性方程组的基本理论，矩阵的基本运算和技巧，线性空间与欧几里得空间的基本性质，线性变换的基本概念和方法”的基本情况.考查学生的抽象思维能力，解决实际问题的方法，从而为学生的研究生阶段的学习打下必要的代数学基础.
难度以应届本科优秀学生能取得及格以上成绩为基准.
Ⅱ考试形式和试卷结构
1填空题约占30%
2计算题约占40%
3证明题约占30%.可以根据需要将证明题分为基本证明题和综合证明题两大部分.
4、试卷总分150分.
Ⅲ考查范围
第一部分多项式
一多项式代数与多项式函数
二最大公因式和互质（与数域扩充无关的性质）
三因式分解（与数域扩充有关的性质）及应用
第二部分行列式
一行列式的定义、性质及应用
二行列式的计算
第三部分矩阵初步
一矩阵代数
二矩阵的初等变换及应用
三方块矩阵的初等变换及应用
第四部分线性空间
一线性空间的定义
二向量的线性关系
三子空间与空间直和分解
第五部分线性变换
一线性映射
二线性变换
三同构对应及应用
第六部分线性方程组
一齐次线性方程组解的存在性、唯一性与表示
二非齐次线性方程组解的存在性、唯一性与表示三线性方程组的反问题和矩阵方程
第七部分矩阵的秩
一矩阵的秩的等价刻划
二关于矩阵秩的命题及应用
第八部分线性空间同构
一线性空间的同构
二三种重要的同构
三命题的互相转化及应用
第九部分特征值与特征向量
一矩阵的特征值与特征向量特征多项式最小多项式
二线性变换的特征值与特征向量特征多项式最小多项式三可对角化的矩阵（线性变换）
第十部分空间分解定理和Jordan标准形
一空间分解定理
二Jordan标准形
三Jordan标准形的求法
四Jordan标准形应用举例
第十一部分欧氏空间
一欧氏空间的正交向量
二欧氏空间的子空间的正交补
三n维欧氏空间的线性变换
第十二部分二次型
一二次型（对称阵）的标准形
二正定二次型（对称阵）与二次型（对称阵）的正定性第十三部分等价关系与矩阵标准型
一等价关系与分类
二矩阵中的几种等价关系与矩阵标准型。