2019宁波大学871高等代数考试大纲
《高等代数》考试大纲
《高等代数》考试大纲（一）多项式考试内容数域；一元多项式；整除的概念及性质；最大公因式及辗转相除法；互素的概念及性质；不可约多项式的概念及性质；因式分解及唯一性定理。
考试要求1。
掌握数域、一元多项式的概念，了解一元多项式的运算及性质。
2。
掌握多项式整除的概念，了解相关的性质。
3。
掌握最大公因式的概念，了解辗转相除法。
4。
理解互素的概念，掌握两个一元多项式互素的充分必要条件。
5。
了解不可约多项式的概念及其性质。
6。
了解一般系数的多项式的因式分解定理，掌握复系数与实系数多项式的因式分解定理。
(二)行列式考试内容行列式的概念和基本性质；行列式计算；行列式按行（列）展开；拉普拉斯（Laplace）定理及行列式的乘法法则。
考试要求1。
理解行列式的概念，掌握行列式的性质，了解拉普拉斯（Laplace）定理及行列式的乘法法则。
2。
会应用行列式概念计算行列式，会利用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式，会运用矩阵的初等行（列）变换计算行列式。
(三)向量和矩阵考试内容向量的线性组合和线性表示；向量组的等价；向量组的线性相关与线性无关；向量组的极大线性无关组；向量组的秩；向量组的秩与矩阵的秩之间的关系。
矩阵的概念；矩阵的基本运算；矩阵的转置、伴随矩阵、逆矩阵的概念和性质；矩阵可逆的充分必要条件；矩阵的初等变换和初等矩阵；矩阵的秩；矩阵的等价；分块矩阵及其运算考试要求1。
理解n维向量、向量的线性组合与线性表示等概念。
2。
理解向量组线性相关、线性无关的定义、熟练掌握判断向量组线性相关、线性无关的方法。
3。
理解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩。
4。
理解向量组等价的概念、清楚向量组的秩与矩阵秩的关系。
5。
理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵，熟悉它们的基本性质。
6。
掌握矩阵的数乘、加法、乘法、转置等运算。
掌握方阵的多项式概念。
7。
宁波大学871高等代数2004,2008--2018年考研初试专业课真题试卷
1 0 0
4. 设 A 为 n 级方阵，且 Ak 0 ，则 (E A)1 _____________________.
5．已知 5 级 λ－矩阵 A(λ)的各级行列式因子：
D1() D2() D3() 1, D4() ( 1), D5() 3( 1)2
幂零矩阵（即存在正整数 m 使 N m 0 ）.
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宁波大学 2015 年攻读硕士学位研究生
入 学 考 试 试 题(A 卷) (答案必须写在答题纸上)
考试科目: 适用专业:
高等代数 基础数学、 应用数学
科目代码： 871
一．填空题（每小题 4 分，共 20 分）
1. 设矩阵 A 2 31 4 2 3 , B 21 3 2 4 3 ， 其中, ,1, 2 , 3 为四维
(1) 证明: C(A)是 Pnn 的一个子空间.
0 0 1
(2)
若
A
1
0
0
,
求 C(A)的维数5 分）设矩阵 A
2
5
4
，
2 4 5
1．求矩阵 A 的所有特征值和特征向量。
2．求正交矩阵 T 使得 T 1 AT 为对角形矩阵。
2. 若二次型 f 为正定二次型，求： a 的取值范围.
3. 当 a 1 时，化二次型 f 为标准形,并写出所作的线性变换.
八. 证明题(38 分)
1. (10 分)
设 A 为 n 维线性空间 V 的线性变换，如果 V 中每一非零向量都是它的特征向量， 证明：A 必是数乘变换.
2. （10 分）
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宁波大学 2014 年攻读硕士学位研究生
19数学与应用数学专业本科插班生考试大纲
《高等代数》考试大纲考试对象数学与应用数学专升本学生考试目的考生应该理解和掌握《高等代数》中的映射、数域、一元多项式、n阶行列式、线性方程组、矩阵、向量空间、线性变换、欧氏空间、二次型等基本概念、基本知识。
要求考生具备逻辑推理、抽象思维与综合分析问题的能力。
能运用高等代数中的基本知识、基本理论进行推理和论证。
考生还应熟练掌握高等代数中常用的计算方法，掌握基本运算中的技能、技巧，提高综合计算和解决问题的能力。
考试方法1、考试方法：（闭卷笔试）2、记分方式：百分制，满分为100分3、命题的指导思想和原则命题的总的指导思想是：全面考查学生对本课程的基本原理、基本概念和主要知识点学习、理解和掌握的情况，特别是灵活解决问题的能力。
命题的原则是：题目数量多、份量小，范围广，最基本的知识一般要占60%左右，稍微灵活一点的题目要占20%左右，较难的题目要占20%左右。
客观性的题目应占比较重的份量。
4、题目类型选择题填空题计算题综合应用题证明题考试内容及要求一、基本概念(一)知识范围（1）. 映射映射的定义满射、单射与双射映射的相等映射的合成逆映射2．数域数域的定义最小的数域(二)要求1．熟记映射、满射、单射、双射的定义，理解它们之间的联系与区别。
能根据定义判定所给的法则是否为映射，为何种映射。
理解映射的相等与映射的合成概念。
2．会正确地判定所给的数集是否为数域。
二、一元多项式(一)知识范围1．一元多项式的概念、运算及整除性一元多项式的定义及运算多项式整除的定义整除的基本性质带余除法定理2．多项式的最大公因式因式、公因式、最大公因式的定义辗转相除法多项式互素的判别方法多项式互素的性质3．多项式的因式分解不可约多项式的性质因式分解存在唯一性定理多项式的典型分解式4．多项式的重因式与根多项式有无重因式的判断多项式的值与根余式定理综合除法5．复数域、实数域、有理数域上的多项式代数基本定理复数域上多项式的典型分解式实数域上多项式的典型分解式有理数域上多项式的可约性艾森斯坦因判别法有理数域上多项式的有理根整系数多项式的有理根(二)要求1．理解一元多项式的基本概念，熟记整除的定义，掌握整除的基本性质并会运用这些性质证明有关的基本问题。
《高等代数》考试大纲
《高等代数》考试大纲（适用专业：数学与应用数学、应用统计学）第一章基本概念一.主要内容1、集合子集集的相等集合的交与并及其运算律笛卡儿积2、映射映射满射单射双射映射的相等映射的合成可逆映射映射可逆的充要条件3、数学归纳法自然数的最小数原理第一数学归纳法第二数学归纳法4、整数的一些整除性质5、数环和数域二. 考试要求（一）掌握1、集合的交与并及其运算律2、映射满射单射双射映射的相等映射的合成3、数环和数域的定义及性质4、数学归纳法的运用（二）理解1、集合的交与并及其运算律2、可逆映射映射可逆的充要条件3、数环和数域的判别（三）了解自然数的最小数原理第一数学归纳法、第二数学归纳法的证明整数的一些整除性质第二章多项式一. 主要内容1、一元多项式的定义和运算2、多项式的整除性整除的基本性质带余除法定理3、多项式的最大公因式最大公因式概念、性质辗转相除法多项式互素概念、性质4、多项式的唯一因式分解定理不可约多项式概念唯一因式分解定理典型分解式5、多项式的重因式多项式的重因式概念多项式有重因式的充要条件6、多项式函数与多项式的根多项式函数的概念余式定理综合除法多项式的根的概念根与一次因式的关系多项式根的个数7、复数域和实数域上多项式的因式分解（代数基本定理不证明）8、有理数域上多项式的可约性及有理根本原多项式的定义Gauss引理整系数多项式在有理数域上的可约性问题Eisenstein判别法有理数域上多顶式的有理根9、多元多项式多元多项式的概念字典排列法多元多项式的和与积的次数10、对称多项式对称多项式的概念初等对称多项式对称多项式基本定理二. 考试要求（一）掌握1、一元多项式的定义和运算2、整除的基本性质带余除法定理3、最大公因式概念、性质辗转相除法多项式互素概念、性质4、唯一因式分解定理典型分解式5、多项式的重因式概念多项式有重因式的充要条件6、余式定理综合除法多项式的根的概念7、复数域和实数域上多项式的因式分解有理数域上多顶式的有理根（二）理解1、不可约多项式概念2、多项式的重因式概念3、多项式函数与多项式的根4、多项式函数的概念5、本原多项式的定义 Gauss引理6、整系数多项式在有理数域上的可约性问题Eisenstein判别法（三）了解1、对称多项式的概念2、多元多项式的概念3、多元多项式的概念字典排列法初等对称多项式对称多项式基本定理三. 说明本章主要介绍数域上一元多项式的概念及其运算、整除性、因式分解和有理系数多项式有理根的求法，简单介绍了多元多项式及对称多项式。
宁波大学871高等代数2020年考研专业课真题
A
a b
c
0 2
，这里
a,
b,
c
是任意数，
1 2
3i ，求 A1000.
5． (15分) 设方阵 A 满足 A2 +2A 3E O. (1) 求证 A 4E 可逆，并求逆；(2) 讨论 A nE 的可逆性.
6. (20分) 用正交变换化二次型
f (x1, x2 , x3 ) x12 x22 x32 4x1x2 4x1x3 4x2 x3 为标准形(要求写出正交变换的矩阵和相应的标准
1 2 2
A
0 0
2 0
4 1
，
A
是
A
的伴随矩阵， E
为单位矩阵，求矩阵 B.
1 2 2 1 0 0
3.
(15分) 已知矩阵
A
2
a
2
,
B
0
1
0
,
2 2 1 0 0 b
问 a,b 为何值时， A 与 B 相似，并求可逆矩阵 P 使得 P1AP B.
1 0 0
4.
(15分) 设
V,l C n | (A En )l 0 是 C 上线性空间 C n 的 A 的不变子空间，并求 C 上线性空间V,l 的
维数.
第1页共1页
(1) 证明V1 V2 关于以上运算构成数域 P 上的线性空间；
(2) 设dimV1 m , dimV2 n ，求dim (V1 V2 ) . 9. (20分) 设 A 为复数域 C 上的 n 阶方阵，其特征多项式为 f (x) (x a)n1(x b), 这里 a b .
假设 A 的任意三个特征向量都是线性相关的. 对于 C, 以及正整数 l, 证明：
形).
《高等代数》考试大纲
《高等代数》考试大纲一、《高等代数》的课程性质高等代数是数学与应用数学专业、信息与计算机科学专业和统计学专业一门重要基础课，是中学代数的继续和提高，但是又与中学代数有很大不同，表现在内容的深度和广度上，更主要表现在观点和方法上。
具体表现在内容的高度抽象性、推理的严密性和解题技巧的独特性。
本课程最活跃研究内容：数域上一元多项式理论、行列式、线性方程组、二次型、线性空间、线性变换矩阵、欧氏空间和双线性函数。
方法的特点：在阐述上更强调一般性原则，广泛使用公理化方法，用结构化方法揭示代数系统的内部构造，用矩阵表示作为主线，受整体、统一思想的支配，逐步抽象出高等代数的各个基本概念，揭示代数研究问题的基本方法。
二、《高等代数》课程的教学目的和要求高等代数的教学目的要求是：通过本课程的学习，不仅要求学生掌握一元多项式和线性代数的基础知识、基本理论和基本技能，而且要求学生初步熟悉和掌握抽象的、严格的代数方法，理解具体与抽象、特殊与一般、有限与无限的辩证关系。
培养学生整体思考问题的能力，使之理解代数思想、公理化方法，把握概念的内涵和外延，提高抽象思维、逻辑推理、分析问题和解决问题的能力，为进一步后继课程的学习及继续深造或从事教学工作打下坚实的基础。
三、《高等代数》课程的知识点与考核要求第一章：多项式1、考核知识点：（1）、一元多项式的定义、运算、性质，次数的定义和次数公式；（2）、多项式整除的定义，整除的性质，带余除法；（3）、最大公因子的定义、性质和求法；（4）、多项式互素的概念和性质；（5）、多项式的可约性，因式分解及唯一性定理，标准分解式；（6）、重因式的概念与判别法，求多项式重因式的方法；（7）、多项式函数、多项式根的概念，根的个数定理，多项式相等与根的关系，判别某数是多项式根的综合除法；（8）、复数域和实数域上不可约多项式的特征，因式分解定理；（9）、有理系数多项式是否可约的判别法，根与系数的关系，有理根的求法。
《高等代数》考试大纲
（四）1. 多项式的带余除法及最大公因式
（五）2. 复系数和实系数多项式的因式分解
（六）3. 重因式与重根
（七）4. 对称多项式基本定理
（八）二、行列式
（九）1.行列式的定义及性质
（一十）2. n阶行列式的计算
（一十一）3. Cramer法则
（一十二）三、线性方程组
（一十三）1. 消元法
（一十四）2. 方程组解的判别定理
（一十五）3. 方程组解的结构
（一十六）四、矩阵
（一十七）1. 矩阵的运算
（一十八）2. 矩阵的秩
（一十九）3. 矩阵的逆
（二十）4. 初等矩阵
（二十一）5. 矩阵的分块
（Байду номын сангаас十二）五、二次型
（二十三）1. 二次型及其标准形
（二十四）2. 二次型的规范型
（二十五）3.正定二次型
（二十六）六、线性空间
（二十七）1. 线性空间的维数、基
（二十八）2. 基变换、向量的坐标及变换
（二十九）3. 子空间及其运算
（三十）4. 同构的概念
（三十一）七、线性变换
（三十二）1. 线性变换与矩阵
（三十三）2. 线性变换的特征值与特征向量
（三十四）3. 线性变换的对角化
（三十五）4. 值域与核
（三十六）5. 不变子空间
（三十七）八、 -矩阵
（三十八）1. -矩阵的标准形
（三十九）2. 不变因子、行列式因子、初等因子
（四十）3. Jordan标准形
（四十一）九、欧几里得空间
（四十二）1. 标准正交基
（四十三）2. 正交变换
（四十四）3. 实对称矩阵的标准形
（四十五）4. 最小二乘法
2018年宁波大学871高等代数考研真题试题试卷
i 1 j 1 1 n n
Aij A
xi x j . 设 x ( x1 , x2 ,! , xn )T，证明：
（1）二次型 f ( x ) 的矩阵为 A . （2） 二次型 g ( x ) x T Ax 与 f ( x) 的规范形相同. 5. 设 A，B 为任意两个 n 阶方阵.证明： AB 和 BA 有相同的特征多项式.
b n b # b
#
#
" a " " . # "
3 2 10 9 3. 设 A 2 3 ，利用正交相似变换求 A A 5 A . （n 1） 4. 设 A 是 n 阶正定矩阵 , αR ， 且 α 是非零列向量. 令 B Aαα T , 求 B 的 最大特征值以及 B 的属于这个特征值的特征子空间的维数和一个基.
(答案必须写在考点提供的答题纸上)
科目代码：
871
总分值：
150
科目名称：
高等代数
a b c 2 2 2. 设 为三次原根，证明： c a b (a b c)(a b c )(a b c ) . b c a
3. 设 向 量 β1 4α1 α 2 α3 α 4，β 2 α1 4α 2 α3 α 4 , β3 = α1 + α2 + 4α3 + α4 ，
...让知识更美味...
宁波大学 2018 年硕士研究生招生考试初试试题(A 卷)
(答案必须写在考点提供的答题纸上)
科目代码：
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2019年宁波大学硕士研究生招生考试初试科目考试大纲
科目代码、名称: 871高等代数
一、考试形式与试卷结构
（一）试卷满分值及考试时间
本试卷满分为150分，考试时间为180分钟。
（二）答题方式
答题方式为闭卷、笔试。
试卷由试题和答题纸组成；答案必须写在答题纸（由考点提供）相应的位置上。
（三）试卷内容结构
考试内容主要包括多项式理论、行列式、线性方程组、矩阵理论、二次型、线性空间、线性变换、λ-矩阵、欧氏空间九个部分。
二、考查范围或考试内容概要
（一）多项式理论：多项式的整除，最大公因式，多项式的互素，不可约多项式与因式分解，重因式重根的判别，多项式函数与多项式的根.
重点掌握：重要定理的证明，如多项式的整除性质，Eisenstein判别法，不可约多项式的性质, 整系数多项式的因式分解定理等. 运用多项式理论证明有关问题，如与多项式的互素和不可约多项式的性质有关问题的证明与应用以及用多项式函数方法证明有关的问题.
（二）行列式：行列式的定义、性质和常用计算方法（如：三角形法、加边法、降阶法、递推法、按一行一列展开法、Laplace展开法、范得蒙行列式法）.
重点掌握：n阶行列式的计算及应用.
（三）线性方程组：向量组线性相（无）关的判别（相应齐次线性方程组有无非零解、性质判别法、行列式判别法、矩阵秩判别法）.向量组极大线性无关组的性质、向量组之间秩的大小关系（向量组（Ι）可由向量组（Ⅱ）线性表示，则（Ι）的秩小于等于（Ⅱ）的秩）及三个推论、矩阵的秩（行秩和列秩、矩阵秩的行列式判别法、矩阵秩的计算）、Cramer法则，线性方程组有（无）解的判别定理、齐次线性方程组有非零解条件（用系数矩阵的秩进行判别、用行列式判别、用方程个数判别）、基础解系的计算及其性质、齐次线性方程组通解的求法，非齐次线性方程组的解法和解的结构.
重点掌握：向量组线性相（无）关的判别、向量组之间秩与矩阵的秩、齐次线性方程组有非零
解条件及基础解系的性质、非齐次线性方程组解的结构与其导出组的基础解系的性质.
（四）矩阵理论：矩阵的运算，矩阵的初等变换与初等矩阵的关系及其应用（求解线性方程组、求逆矩阵、求向量组的秩）、矩阵的等价标准形、矩阵可逆的条件（与行列式、矩阵的秩、初等矩阵的关系）、伴随矩阵及其性质、分块矩阵（包括矩阵乘法的常用分块方法并证明与矩阵相关的问题）、矩阵的常用分解（如：等价分解，满秩分解，实可逆阵的正交三角分解，Jordan分解），几种特殊矩阵的常用性质（如：准对角阵，对称矩阵与反对称矩阵，伴随矩阵、幂等矩阵，幂零矩阵，正交矩阵等）.
重点掌握：利用分块矩阵的初等变换证明有关矩阵秩的等式与不等式，矩阵的逆与伴随矩阵的性质与求法，应用矩阵理论解决一些相关问题.
（五）二次型理论：化二次型为标准形和规范形，实二次型在合同变换之下的规范型以及在正交变换之下的特征值标准型的求法、惯性定律的应用，正定、半正定矩阵的判别及应用、正定矩阵的一些重要结论及其应用.
重点掌握：正定和半正定矩阵有关的证明，实二次型在合同变换之下的规范型以及在正交变换之下的特征值标准型的计算.
（六）线性空间：线性空间、子空间的定义及性质、求线性空间中一个向量组的秩、求线性（子）空间的基与维数的方法、基扩充定理，维数公式，基变换与坐标变换，生成子空间，子空间直和，一些常见的子空间（线性方程组解的解空间、矩阵空间、多项式空间、函数空间、线性变换的特征子空间和不变子空间）.
重点掌握：向量组的线性相关与线性无关的综合证明，求线性（子）空间的基与维数的方法，维数公式的证明及应用，特别是子空间直和的有关证明.
（七）线性变换：线性变换的定义与运算，线性变换与n阶矩阵的对应定理，矩阵的特征多项式（包括最小多项式）及其有关性质，求线性变换的矩阵和特征值以及特征向量的方法，线性无关特征向量的判别及最大个数，实对称矩阵的特征值和特征向量的性质，特征子空间，不变子空间，核与值域的定理. 线性变换（包括矩阵）可对角化的条件（特征向量判别法，最小多项式判别法），Hamilton－Caylay定理.
重点掌握：线性变换（包括矩阵）的对角化，求线性变换的矩阵和特征值以及特征向量的方法，线性变换（矩阵）的特征值以及特征向量的性质，线性变换的核与值域.
（八）λ-矩阵：λ-矩阵的初等变换，λ-矩阵的标准型，行列式因子，不变因子，初等因子，三种因子之间的关系，Jordan标准型理论.
重点掌握：求矩阵的Jordan标准型.
（九）欧氏空间: 内积和欧氏空间的定义及简单性质（柯西-施瓦兹不等式，三角不等式，勾股定理等）. 度量矩阵与标准正交基的求法以及性质的证明和应用，正交变换（正交矩阵）的等价条件，对称变换，求正交矩阵T，使实对称矩阵A正交相似于对角矩阵.
重点掌握：欧氏空间的概念，标准正交基，Schimidt正交化方法，正交变换和对称变换.
参考教材或主要参考书
《高等代数》（第四版）北京大学编，高等教育出版社，2013年。