宁波大学 高等数学(下)期末试题 答案 评分标准
11-12(下)高数B参考答案及评分标准
高数期末试题B 参考答案及评分标准一、判断题二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）（6） 2 （7）x z y 522=+（8） －1 （9）9122≤+<y x （10）2ln 162（11） 6 （12）yPx Q ∂∂=∂∂ （13） 右手 （14）⎰20)2sin(21πdt t （15） 偶（16）求曲面42222=++z y x 在点(1,1,1)处的切平面方程，并求过原点与该切平面垂直的直线方程。
()())2(112)3(042111)2()2,2,4(|),,(11142),,()1,1,1(222分直的直线方程为：通过原点与该切平面垂分点处的切平面方程为，，曲面在分点处的法向量，，则曲面在解：记 zy x z y x F F F z y x z y x F z y x ===-++∴==-++=（17）设函数),(y x z z =由方程23222320x z y z x y +-+=所确定，求全微分dz 。
)1(43344322)3(4334)3(43222),,(222222223222222223322232分分分则解：记 dy zy z x y yz dx z y z x x xz dz zy z x y yz F F y z zy z x xxz F F x z y x z y z x z y x F z y z x ++-+--=∴++-=-=∂∂+--=-=∂∂+-+=（18）计算Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由0,1z z ==和222x y x +=围成的区域。
)1(9163238cos 38cos 34)1(21)2(21)1(21)2()1)1(D (203223cos 202222221222212222分分分分分：其中解： =⋅=====+=+=≤+-+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--Ωπππθππθθθθρρθθρρd d d d d d dxdy y x zdz dxdy y x y x dz y x z dxdy dv y x z DDDD（19）计算,)536()24(L⎰+++-+dy y x dx y x 其中L 为三角形(3,0)，(3,2),(0,0)的正向边界。
常微分方程
常微分方程一、填空题1．0),(),(=+dy y x N dx y x M 是恰当方程的定义是 。
如果N M ,在某个单连通区域G 内具有一阶连续偏导数，则它是恰当方程的充分必要条件是 ，此时其通解可用曲线积分表示为 .2．设有定义在矩形域66,111:≤≤-≤-≤-y x R 上的初值问题⎩⎨⎧=+=0)1(sin '2y y x y ，由存在唯一性定理，其解的存在区间是 .3．若)(,),(),(21x y x y x y n 为 n 阶线性微分方程0)()()1(1)(=+++-y x p y x p y n n n的解，其中)(,),(),(21x p x p x p n 在区间[]b a ,上连续，则)(,),(),(21x y x y x y n 在[]b a ,上线性无关的充分必要条件是4．若)(),(t t ψΦ是同一n 阶齐线性微分方程组x t A x )('=在区间[]b a ,上的两个基解矩阵，则它们之间有关系5．方程组⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=521972y x dt dy y x dt dx的奇点是 ，其类型和稳定性为.6、方程),(y y x y '+'=φ)(可微φ 叫（ ）方程，其通解是（），其奇解是（ ）二、求下列微分方程的解（每题10分，共40分）1．)0(2<=+x y xy dx dy x .2．011cos 2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+dy y x y dx y x .3．()0'3'33=-+xy y x (这里dx dy y ='). 4．.0)'("2=+y yy三、求下列方程（组）的通解（每题15分，共30分）1．)5(332233-=+++-t e x dt dx dt x d dt x d t2. ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=.2',2',3'z y x z z x y z y x x 3、 t t x x 2cos sin -=+四、 讨论方程组⎩⎨⎧-=-+=x y x y x x 3λλ零解的稳定性，其中常数0≠λ答案一、填空题1． 如果方程的左端恰好 是某个二元函数 u(x,y) 的全微分 。
宁波大学 高等数学 期末试卷B 答案
2004-2005年高等数学A2期末B 试卷参考答案一、选择题（每题3分，共15分）： 1、B 2、 A 3、C 4、C 5、D 二、填空题（每题3分，共15分） 1、042=-+y x 2、1556-3、⎰⎰211),(x xdy y x f dx 4、05、为任意常数c e c y x ,)2(tan 3-= 三、计算题（每题7分，共42分）222222)()()(01xy e e z y xy e y x z e yz x z xy e y xzx xy e yz x z x xyz e z z z z z zz --⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂-∂∂-=∂∂-=∂∂=-－＝求导得对上式再次对求导得两边对、解：对 ……… (3分)处取得极小值在唯一可能的极值点所以的是函数所以解以上方程得令则作拉格朗日函数，平面的距离为，到解：设交线上的点为分、)1235,53,54()1235,53,54(,1235,53,541154305102423)1()1543(),,(),,()8(22222z d z y x y x z y x L ky L kx L y x k zy x z z y x L z d xoy z y x z y x =====+=++=+==+==+=-++-+++==λλλλ4320)()()()(1101:1102:3232103112222222222122121πθσσσππ-=-+=+-+=+-=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤--⎩⎨⎧≤≤-≤≤-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--dr r d dx y x dy d y x d y x d y x D D D y x y D y x D D D D积分区域、解： (4分)6分…….2分………..4分……….2分…..4分2111213333)()1()2()32(42＝＝高斯公式得所围成的四面体，则由是由、解：⨯⨯⨯⨯===∂∂+∂∂+∂∂-+++++Ω⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩV dv dv zRy Q x P dzdx z dydz z y dxdy z y x S S(4分) x x dx xx s x x x x x x s x x n x x s x R n n a a xn nn n nn nn n arctan )111()(01)()(].1,1[,12)1()(]1,1[1,1113212lim lim50222121211+-=++-=+-=-='-∈+-=--===⎰∑∑∞=+∞=∞→∞→积分得：到从上式对求导得两边对设所以收敛区间为，收敛。
宁波大学03 04高等数学(下)期末试题
宁波大学03 04高等数学（下）期末试题宁波大学03-04高等数学（下）期末试题宁波大学2021/2021学年第二学期试卷解答课程名称：高等数学a（2）（6学分）考试性质：期末口试（a卷）一、单项选择题（每小题3分，共5?3=15分）1、函数f(x,y)在点(x0,y0)处两个略偏导数fx'(x0,y0)与；fy'(x0,y0)存有就是f(x,y)在点(x0,y0)已连续的（d）a.充分条件而非必要条件b.必要条件而非充分条件c.充分必要条件d.既非充分条件又非必要条件2、设d:1?x2?y2?9，则??f(x,y)dxdy?（c）；da.b.c.d.2?02?df(rcos?,rsin?)rdr19??0d??f(rcos?,rsin?)dr13192?02?d??f(rcos?,rsin?)rdrd??f(rcos?,rsin?)dr1?303、若级数?an(x?1)n在x??1处为发散，则此级数在x?2处为n?1（b）；a.条件收敛b.绝对发散c.收敛d.收敛性无法确认4、微分方程y\?3y'?2y?3xe?x的一个特解应具有的形式（b）；a.(ax?b)e?xb.x(ax?b)e?xc.axe?xd.ax2e?x第1页（共6页）5、设l就是抛物线y?x2上从点a(1,1)至点o(0,0)的一段弧，则；?xydx?（a）la.?1212b.c.?d.4545二．填空题（每小题3分后，共6?3=18分后）1、设u?yx，则uu（yxlny）?（xyx?1），；?x?y2、曲面ez?z?xy?3在点p(2,1,0)处的乌平面方程为（2x?y?4?0）；3、函数u?ln(x?y2?z2)在点m(1,2,?1)处的梯度gradu|m＝1?2?1?（i?j?k）；6334、设平面曲线l为上半圆周y?1?x2，则曲线积分22；(x?y)ds＝（?）?l5、设f(x)就是周期为2?的周期函数，它在区间(??,?]上的定义x,x0为f(x)??,则f(x)的傅立叶级数在x??处0,0?x发散于（??2）；6、微分方程y\?2y'?5y?0通解为（y?ex(c1cos2x?c2sin2x)）三、计算题（一）（每小题10分后，共2?10=20分后）1、设函数z?arctany1(xdy?ydx)），求dz。
【经典期末卷】大学高数(下)期末测试题及答案
第 1 页 （共 10 页）班级（学生填写）： 姓名： 学号： 命题： 审题： 审批： ----------------------------------------------- 密 ---------------------------- 封 --------------------------- 线 ------------------------------------------------------- （答题不能超出密封线）LQdx Pdy +⎰=( )dxdy )P dxdy x 二重积分的积分区域D 是221≤+x y π C ．2π+⎰L Pdx Qdy在A．∂∂-=∂∂P Qy x第 2 页（共10 页）第 3 页 （共 10 页）班级（学生填写）： 姓名： 学号： ----------------------------------------------- 密 ---------------------------- 封 --------------------------- 线 ------------------------------------------------------- （答题不能超出密封线）()Lx y ds +⎰＝ ()Lx y ds +⎰= Lydx xdy +⎰= 2sin y t =上对应22xy De dxdy --⎰⎰= 2.第 4 页 （共 10 页）三. 计算题（一）（每小题6分，共36分）1.计算：22xy De d σ+⎰⎰，其中D 是由圆周224x y +=所围成的闭区域。
2.计算三重积分xdxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω为三个坐标面及平面21x y z ++=所围成的闭区域。
3.计算xyzdxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面2221x y z ++=，0,0,0x y z ≥≥≥所围成.第 5 页 （共 10 页）班级（学生填写）： 姓名： 学号： ----------------------------------------------- 密 ---------------------------- 封 --------------------------- 线 ------------------------------------------------------- （答题不能超出密封线）4.求2d d Dxx y y⎰⎰，其中D 为1xy =，y x =及2x =所围成的区域。
高等数学下册期末考试试题及答案
高等数学A （下册）期末考试试题【A 卷】考试日期：2009年一、A 填空题：(本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上）1、已知向量a 、b 满足0a b +=，2a =,2b =，则a b ⋅= —4．2、设ln()z x xy =，则32zx y ∂=∂∂ —1/（y ＊y ） ． 3、曲面229x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为 2x+4y+z-14=0 ． 4、设()f x 是周期为2π的周期函数,它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =,则()f x 的傅里叶级数 在3x =处收敛于 ，在x π=处收敛于 ． 5、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则()Lx y ds +=⎰ 1.414 ．※以下各题在答题纸上作答,答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级． 二、解下列各题:（本题共5小题,每小题7分，满分35分）1、求曲线2222222393x y z z x y⎧++=⎪⎨=+⎪⎩在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程． 解：两边同时对x 求导并移项。
2、求由曲面2222z x y =+及226z x y =--所围成的立体体积．3、判定级数11(1)lnn n n n∞=+-∑是否收敛?如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 条件收敛4、设(,)sin xz f xy y y=+,其中f 具有二阶连续偏导数,求2,z z x x y ∂∂∂∂∂． 5、计算曲面积分,dS z ∑⎰⎰其中∑是球面2222x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部．三、（本题满分9分）抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆,求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值．四、 (本题满分10分）计算曲线积分(sin )(cos )x x Le y m dx e y mx dy -+-⎰，其中m 为常数，L 为由点(,0)A a 至原点(0,0)O 的上半圆周22(0)x y ax a +=>．五、（本题满分10分)求幂级数13nn n x n∞=⋅∑的收敛域及和函数．六、（本题满分10分）计算曲面积分332223(1)I x dydz y dzdx z dxdy ∑=++-⎰⎰， 其中∑为曲面221(0)z x y z =--≥的上侧．七、(本题满分6分）设()f x 为连续函数，(0)f a =,222()[()]tF t z f xy z dv Ω=+++⎰⎰⎰,其中t Ω是由曲面z=与z =,求 3()lim t F t t +→． ———--——-———-—-—-——————-—-————--——-—-—备注：①考试时间为2小时;②考试结束时,请每位考生按卷面→答题纸→草稿纸由表及里依序对折上交； 不得带走试卷。
大学高等数学下考试题库附答案.docx
《高等数学》试卷1（下）一 . 选择题（ 3 分10）1. 点M12,3,1到点M22,7,4的距离M1M2（）.A.3B.4C.5D.62.向量 a i 2 j k , b2i j ，则有（） .A. a∥bB. a ⊥bC.a,b3D.a, b43.函数 y2x2y 2x 21的定义域是（） . y21A.,1x 2y22B.x, y1x2y22x yC. x, y 1x2y22D x, y 1 x 2y224. 两个向量a与b垂直的充要条件是（）.A. a b0B. a b 0C. a b 0D. a b05. 函数z x3y33xy 的极小值是（）.A.2B.2C.1D.16. 设z x sin y ，则z＝（）. y1, 4A.2B.2C.2D.2227. 若p级数1p收敛，则（）. n 1 nA. p1B.p 1C.p 1D.p18. 幂级数x n的收敛域为（）.n 1nA.1,1B1,1 C.1,1 D.1,1x n9. 幂级数在收敛域内的和函数是（）.2n 0A.1B.2C.2D.12 x 1 x 2 x1x10. 微分方程xy y ln y 0 的通解为（）.A. y ce xB.y e xC.y cxe xD.y e cx二 . 填空题（ 4 分5）1.一平面过点 A 0,0,3 且垂直于直线AB，其中点 B 2, 1,1 ，则此平面方程为______________________.2. 函数z sin xy 的全微分是______________________________.3. 设z x3 y23xy3xy 1，则 2 z_____________________________.x y4.1的麦克劳林级数是 ___________________________.2 x5. 微分方程 y 4 y 4 y 0 的通解为 _________________________________.三 . 计算题（ 5 分 6）1. 设 z e usin v ，而 u xy, v x y ，求 z,z .xy2. 已知隐函数 zz x, y 由方程 x 22y 2z 24x 2z 5 0确定，求z , z .xy3. 计算sin x 2y 2 d ，其中 D :2x 2y 24 2 .D4. 如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径） .5. 求微分方程 y3ye 2 x 在 y x 0 0 条件下的特解 .四 . 应用题（ 10 分 2）1. 要用铁板做一个体积为 2 m 3 的有盖长方体水箱， 问长、宽、 高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？2.. 曲线 y f x 上任何一点的切线斜率等于自原点到该切点的连线斜率的 2 倍，且曲线过点 1, 1，求此曲线方程3.试卷 1 参考答案一. 选择题 CBCAD ACCBD二 . 填空题1. 2x y 2z 60 .2.cos xy ydx xdy .3. 6x2y9 y2 1 .4.1 nx n.2n 1n 05. y C1 C 2 x e 2x.三 . 计算题1.z e xy y sin x y cos x y ，ze xy xsin x y cos x y .x y2.z2x ,z2y .x z1y z 13.22d 6 2.d sin4.16R 3. 35.y e3x e2x.四 . 应用题1. 长、宽、高均为 3 2m时，用料最省.2. y1x 2 .3《高数》试卷2（下）一 . 选择题（ 3 分10）1. 点M14,3,1，M27,1,2的距离M1M2（）.A.12B.13C.14D.152. 设两平面方程分别为x 2y2z 10和 x y50 ，则两平面的夹角为（）.A.6B.4C.3D.23. 函数z arcsin x 2y 2的定义域为（） .A.,0x 2y21B.x, y 0 x2y21x yC.x, y 0 x 2y 22D.x, y 0 x2y 224. 点P1, 2,1 到平面 x 2 y 2 z 5 0 的距离为（）.A.3B.4C.5D.65. 函数z 2 xy 3x2 2 y 2的极大值为（）.A.0B.1C.1D.126. 设z x23xy y 2，则z1, 2（） . xA.6B.7C.8D.97. 若几何级数ar n是收敛的，则（）.n 0A. r 1B.r 1C.r 1D.r18. 幂级数n 1 x n的收敛域为（）.n 0A.1,1B.1,1C.1,1D.1,19. 级数sin na是（） .n 4n 1A. 条件收敛B.绝对收敛C.发散D.不能确定10. 微分方程xy y ln y 0 的通解为（）.A. y e cxB.y ce xC.y e xD.y cxe x二 . 填空题（ 4 分5）x3t1. 直线l过点 A 2,2, 1且与直线 y t平行，则直线 l 的方程为z12t__________________________.2. 函数z e xy的全微分为___________________________.3.曲面z 2x 24y 2在点2,1,4处的切平面方程为_____________________________________.14. 1x2的麦克劳林级数是______________________.5.微分方程xdy 3ydx 0在y x 11条件下的特解为______________________________.三 . 计算题（ 5 分6）1. 设a i 2 j k , b 2 j 3k ，求 a b.2. 设z u 2 v uv 2，而 u x cos y, v x sin y ，求z ,z . x y3. 已知隐函数z z x, y 由 x33xyz2确定，求z ,z .x y4. 如图，求球面x2y 2z24a 2与圆柱面 x2y 22ax （a0 ）所围的几何体的体积.5. 求微分方程y3y 2 y0 的通解.四 . 应用题（ 10 分2）1. 试用二重积分计算由y x, y 2 x 和x 4 所围图形的面积.2. 如图，以初速度v0将质点铅直上抛，不计阻力，求质点的运动规律x x t .（提示：d 2 x g .当t0 时，有x x0， dx v0）dt 2dt试卷 2 参考答案一 . 选择题 CBABA CCDBA.二 . 填空题1.x 2y 2z 1 .1122. e xy ydx xdy .3. 8x 8 y z 4 .4.1 n x2 n .n 05. yx 3 .三 . 计算题1. ij 2k.8 32.z 3x 2sin y cos y cos y sin y ,z2 x3 sin y cos y sin y cos yx 3 sin 3 y cos 3 yxy.3. zyz ,zxz .xxy z 2y xy z 24. 32 a 32 2 .3 35. yC 1e 2 x C 2 e x .四 . 应用题1.16. 32. x 1 gt2v0 t x0.2《高等数学》试卷3（下）一、选择题（本题共10 小题，每题 3 分，共 30 分）1、二阶行列式 2 -3的值为（）4 5A、10B、20C、24D2、设 a=i+2j-k,b=2j+3k，则aA、i-j+2kB、8i-j+2k C 、 22与 b 的向量积为（、 8i-3j+2k D）、8i-3i+k3、点 P（ -1 、 -2 、 1）到平面 x+2y-2z-5=0 的距离为（）A、2B、3C、4D、54、函数 z=xsiny 在点（ 1，）处的两个偏导数分别为（）4A、2, 2 , B 、2,2 C 、22 D 、2 2 , 222222225、设x2+y2+z2 =2Rx，则z ,x z 分别为（ y）A、x R,y B 、x R ,y C 、x R , y D 、x R,y z z z z zz z z6、设圆心在原点，半径为 R，面密度为x2y 2的薄板的质量为（（）面积 A= R2）A、R2AB、2R2AC、3R2AD、1R2A27、级数( 1)n x n的收敛半径为（）n 1nA、2B、1C、1D、3 28、cosx 的麦克劳林级数为（）A、( 1)n x2n B 、( 1) n x2 n C 、( 1) n x2 n D 、( 1) n x 2n 1n 0(2n)!n 1( 2n)!n 0(2n)!n 0(2n 1)!45的阶数是（）9、微分方程 (y``)+(y`) +y`+2=0A、一阶B、二阶C、三阶D、四阶10、微分方程 y``+3y`+2y=0的特征根为（）A、-2 ，-1B、2，1C、-2，1D、1，-2二、填空题（本题共 5 小题，每题 4 分，共 20 分）12：x 1y 3z的夹角为___________。
2020-2021宁波市高三数学下期末试卷(带答案)
B．162 D．324
8．在 ABC 中， A 为锐角， lg b lg(1) lg sin A lg 2 ，则 ABC 为（ ） c
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
9．已知 a, b 是非零向量且满足 (a 2b ) a ， (b 2a ) b ，则 a 与 b 的夹角是（ ）
(1)讨论 f x 的单调性；
(2)当 f x 有最大值，且最大值大于 2a 2 时，求 a 的取值范围.
22．设椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 的左焦点为 F
，右顶点为 A ，离心率为
1 2
.已知
A 是抛
物线 y2 2 px( p 0) 的焦点， F 到抛物线的准线 l 的距离为 1 . 2
2
2
6
3
4
2
6
3
6
162
.
故选 B.
.
【点睛】
本题首先根据三视图，还原得到几何体——棱柱，根据题目给定的数据，计算几何体的体 积，常规题目.难度不大，注重了基础知识、视图用图能力、基本计算能力的考查.易错点有 二，一是不能正确还原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重多观察、细心计算
2
2
3
________．
19．已知函数 f (x) x(ln x ax) 有两个极值点,则实数 a 的取值范围是__________．
20．能说明“若 f（x）>f（0）对任意的 x∈（0，2］都成立，则 f（x）在［0，2］上是增 函数”为假命题的一个函数是__________．
三、解答题
21．已知 f x ln x a 1 x .
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(1分 )
= 2xex2 y2 z2 2zex2 y2 z2 2x sin y
(2 分)
= 2x(1 2x2 sin 2 y)e x2 y2 x4 sin2 y ,
(3 分)
u f f z y y z y
(4 分)
= 2 yex2 y2 z2 2zex2 y2 z2 x 2 cos y
y2
1 2 yy 22 y5 dy 2 1
=
1 2
y4 4
4 3
y3
2y2
y6 6
2 1
=
5
5 8
5.解 对 f (x) 进行偶延拓, 并由公式有
an
2
x 1 cos nxdx
0
=
2
(x
1) sin n
2b0 x 2b0 b1 2x
比较等式两端同次幂的系数,得
2b0 2, 2b0 b1 0.
解得 b0 1, b1 2. .因此求得一个特解为
y x(x 2)e2x 从而所求的通解为 y C1e2x C2e3x (x2 2x)e2x
(8 分) (10 分)
(5 分)
= 2( y x4 sin y cos y)e x2 y2 x4sin 2 y
2.解 这里方向 l 即向量 PQ (1, 1) 的方向,与 l 同向的
(6 分)
单位向量为
el (
1 , 2
1) 2
因为函数可微分,且
z x
|(1,0)
e2 y
|(1,0)
1
4
cos
x
1 32
cos 3x
1 52
cos
5x
(0 x )
(6 分)
四解
令
P
2(x 2
y
y2)
,
Q
2(
x
x 2
y
2
)
.
则当 x 2
y2
0 时,有
Q
x
2
x2 x2
y2 y2
2
= P y
.
(2 分)
记 L 所围成的闭区域为 D , 当 (0,0) D 时,由格林公式便得
n1
a2 2n 2
收敛,
故原级数绝对收敛.
.
(2)因为
|
un n
|
1 2
(u
2 n
1 n2
)
,
而级数
u
2 n
n1
和级数
n1
1 n2
均收敛
(2 分) (5 分) (6 分) (8 分)
(2 分) (4 分) (5 分)
再由收敛级数的性质知, 级数 (1)n un 绝对收敛. (7 分)
1
z
2 x
z
2 y
a
.
a2 x2 y2
(2 分)
由计算公式得
I
dS z
a2
Dxy
adxdy x2
y
2
.
利用极坐标,得
I
a2
Dxy
adxdy x2
y2
add Dxy a 2 2
(3 分) (4 分)
= a
2 d
D
D
六 解: (1) 因为
= 2 2 e y dy 1 y2 1 y 2 x 2 dx
0
1 y 2
= 2 1 y 2 e y dy 3 e2 1 0
|
(1)n 1
cosa n来自|2sin 2
a 2n
a2 2n 2
.
又级数
0
a2 h2 0
d a2 2
=
2a
1 2
ln
a2
2
a2 h2 0
2a ln a . h
4.解 利用二重积分中 Y-型区域计算公式有
I
xyd
D
2 1
y y2
2
xydx
dy
=
2 x2
1
2
y2 y dy
n1
n
七 解: 由 | un1 | = | 2n 3 x || x | ( n ),
u
2n 1
知级数在 1 x 1 时收敛,显然当 x 1时, (2n 1)(1)n 发散, n1
故收敛区间为 (1,1) . 设其和函数为 S(x) ,则
(2 分)
五 解: 在 xy 面上的投影区域 D 为
D {(x, y) | 0 y 2, 1 y 2 x 1 y 2 }
从而有
I= dxdy 1 y2 x2 e y dz 2 e y 1 y 2 x 2 dxdy 1 y 2 x2
1
z y
|(1,0)
2 xe2 y
|(1,0)
2
故所求方向导数为
(2 分) (4 分)
z l
|(1,0)
1
1 2( 2
1 ) 2
2. 2
3.解: 的方程为
(6 分)
z a2 x2 y2.
在 xOy 面上的投影区域 Dxy 为圆形闭区域 x, y | x 2 y 2 a 2 h2 . 又
(3 分) (6 分) (7 分) r 2 5r 6 0
有两个实根 r1 2, r2 3 .于是与所给方程对应的齐次方程的通解为
Y C1e 2x C2e3x
(3 分)
由于 2 是特征方程的单根, 所以应设 y 为
y x(b0 x b1 )e2x .
把它代入所给方程, 得
nx
cos nx n2
0
=
2 n 2
(cos n
1)
0, n 2,4,6,,
=
4 n 2
,n
1,3,5,.
a0
2
(x 1)dx 2
0
将求得 a n 的代入余弦级数,得
(6 分) (3 分)
(6 分)
(3 分)
x
1
2
S (x 2 ) (2n 1)x 2n
x 2n1 /
n1
n1
= x 2n1 /
n1
1
x
3
x
2
/
3x2 x4 (1 x 2 )2
从而有
S(x)
3x x2 (1 x)2
,
x (1,1)
八解
与所给方程对应的齐次方程为 y // 5 y / 6 y 0 , 它的特征方程
《高等数学 A2》试卷 A 评分标准
一. 1. D;
2. B;
3.A;
4.C
5.C
二.
1. 4 ;
2. 充分
3. P cos Q cos R cos dS , 法向量;
4. 收敛, 发散;
5.
y
x2
1
C
,
其中 C 是任意常数.
三 1.. 证 由复合函数求导法则,
所以 u f f z x x z x
L 2 x2 y2
l
ydx xdy 2 x2 y2
0,
(6 分)
其中 l 的方向取逆时针方向.于是
L
ydx xdy 2 x2 y2
l
ydx xdy 2 x2 y2
=
2 0
r
2
sin
2
2r 2
r
2
cos
2
d
= .
(8 分)
ydx xdy
L 2 x2 y2
0;
(3 分)
当 (0,0) D 时,选取适当小的 r 0 ,作位于 D 内的圆周 l : x 2 y 2 r 2 .
记 L 和 l 所围成的闭区域为 D1 . 对复连通区域 D1 应用格林公式,得
ydx xdy