宁波大学科学学院 高等数学(下)期末试题
高数下期末考试试卷与答案
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名⋯姓⋯⋯⋯⋯．⋯号⋯学⋯⋯线封号序密过超号班要学教不纸题卷试答⋯学⋯大．峡三⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2021学年春季学期"高等数学Ⅰ〔二〕"期末考试试卷〔A〕注意：1、本试卷共3页；2、考试时间110 分钟； 3 、**、学号必须写在指定地方题号一二三四总分得分阅卷人得分一、单项选择题〔 8 个小题，每题 2 分，共 16 分〕将每题的正确答案的代号 A、B、 C 或 D 填入下表中．题号12345678答案1．a与b都是非零向量，且满足a b a b ，那么必有〔〕.(A) a b0(B) a b0(C) a b0(D) a b 02.极限lim( x2y 2 )sin12().x0x2yy0(A) 0(B) 1(C) 2(D) 不存在3．以下函数中，df f 的是().〔 A 〕f ( x, y)xy〔B 〕f ( x, y)x y c0 , c0为实数〔 C〕f (x, y)x2y2〔 D〕f ( x, y)e x y4．函数f ( x, y)xy (3x y) ，原点 (0,0)是 f (x, y) 的().〔 A〕驻点与极值点〔 B〕驻点，非极值点〔 C〕极值点，非驻点〔 D〕非驻点，非极值点5 ．设平面区域D : (x 1)2( y1)22，假设I1x y d， I 2x yd ，D4D43x y d，那么有〔〕 .I 34D〔A〕I1I 2I 3〔B〕I1I 2I 3〔C〕I2I 1I 3〔D〕I3I1 I26．设椭圆L：x2y 21的周长为l，那么(3x2 4 y2 )ds〔〕 .43L(A) l(B)3l(C)4l(D)12l7．设级数a n为交织级数， a n0(n) ，那么〔〕 .n1(A) 该级数收敛(B) 该级数发散(C) 该级数可能收敛也可能发散(D) 该级数绝对收敛8. 以下四个命题中，正确的命题是〔〕 .〔 A 〕假设级数a n发散，那么级数a n2也发散n 1n 1〔 B〕假设级数a n2发散，那么级数a n也发散n 1n 1〔 C〕假设级数a n2收敛，那么级数a n也收敛n 1n 1〔 D〕假设级数| a n |收敛，那么级数a n2也收敛n 1n 1阅卷人得分二、填空题 (7 个小题，每题 2 分，共 14 分) ．1. 直线3x 4 y2z60a 为.x3y z a与 z 轴相交，那么常数2．设f ( x, y)ln( xy),那么 f y (1,0)___________.x3．函数f (x, y)x y 在 (3, 4) 处沿增加最快的方向的方向导数为.4．设D : x2y22x ，二重积分( x y)d=.D5f x2222在是连续函数，{( x, y ,z) | 0z9x y } ， f ( x y )dv．设的三次积分为.6. 幂级数( 1)n 1 x n的收敛域是.n 1n!7. 将函数 f ( x)1,x0为周期延拓后，其傅里叶级数在点x2,0 x以 21于.2021年"高等数学Ⅰ〔二〕"课程期末考试试卷 A 共 3 页第1 页⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名⋯姓⋯⋯⋯⋯．⋯号⋯学⋯⋯线封号序密过超号班要学教不纸题卷试答⋯学⋯大．峡三⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯阅卷人得分三、综合解答题一〔 5 个小题，每题7分，共35分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤〕1．设 u xf ( x,x) ，其中 f 有连续的一阶偏导数，求u，u．y x y解：2．求曲面 e z z xy 3 在点 (2,1,0) 处的切平面方程及法线方程．解：3. 交换积分次序，并计算二次积分dxsin ydy ．0x y解：4．设是由曲面z xy, y x, x 1及z0 所围成的空间闭区域，求 I xy2 z3dxdyd解：5．求幂级数nxn 1的和函数 S(x) ，并求级数n的和．n 1n 12n解：2021年"高等数学Ⅰ〔二〕"课程期末考试试卷 A 共 3 页第2 页⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名⋯姓⋯⋯⋯⋯．⋯号⋯学⋯⋯线封号序密过超号班要学教不纸题卷试答⋯学⋯大．峡三⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯阅卷人得分四、综合解答题二〔 5 个小题，每题7分，共35分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤〕1.从斜边长为 1 的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形．解2．计算积分( x2y2 )ds ，其中L为圆周 x2y2ax (a0 )．L解：3．利用格林公式，计算曲线积分I(x2y2)dx (x 2xy)dy ，其中 L 是由抛物线y x2和Lx y2所围成的区域D的正向边界曲线．y y x2x y2DOx4．计算xdS ，为平面xy z 1在第一卦限局部.解：5．利用高斯公式计算对坐标的曲面积分蝌dxdy + dydz + dzdx，S其中为圆锥面 z2x2y2介于平面z0 及 z 1 之间的局部的下侧.解：2021年"高等数学Ⅰ〔二〕"课程期末考试试卷 A 共 3 页第3 页2021学年春季学期"高等数学Ⅰ〔二〕"期末考试试卷 (A)答案及评分标准一、单项选择题〔 8 个小题，每题 2 分，共 16 分〕题号 123456 7 8答案DABB A D CD1．a 与b 都是非零向量，且满足 ab a b ，那么必有〔 D〕(A) a b0 ；(B)a b 0 ；(C)a b0；(D)a b0 ．2. 极限lim( x 2y 2 )sin2 1 2 ( A )x 0x yy(A) 0 ；(B) 1；(C) 2；(D)不存在 .3．以下函数中，df f 的是(B )；〔 A 〕 f ( x, y) xy ；〔B 〕f (x, y) x yc 0 ,c 0为实数；〔 C 〕f (x, y)x2y 2；〔 D 〕f ( x, y)e xy .4．函数f ( x, y) xy (3 xy) ，原点 (0,0) 是 f (x, y) 的( B).（ A 〕驻点与极值点；〔B 〕驻点，非极值点；（ C 〕极值点，非驻点； 〔 D 〕非驻点，非极值点 . 5 ．设 平 面 区 域 D ：( x 1)2( y 1)22，假设I 1x yd ，I 2x yd ，D4D 43xy，那么有〔 A 〕I 3dD4〔A 〕I 1 I 2 I 3； 〔B 〕 I 1 I 2 I 3；〔C 〕I 2 I 1 I 3；〔D 〕I 3I 1I 2． 6．设椭圆L ：x 2y 21的周长为l ，那么(3x24 y 2)ds 〔 D〕43L(A) l ；(B)3l ；(C)4l ；(D) 12l ．7．设级数a n 为交织级数， a n 0 ( n) ，那么〔C〕n 1(A) 该级数收敛； (B) 该级数发散；(C) 该级数可能收敛也可能发散； (D)该级数绝对收敛． 8. 以下四个命题中，正确的命题是〔 D 〕 〔 A 〕假设级数 a n 发散，那么级数 a n 2 也发散；n 1n 1〔 B 〕假设级数 a n 2发散，那么级 a n 也发散；数n 1n 1〔 C 〕假设级数 a n 2收敛，那么级数a n 也收敛； n 1n 1〔 D 〕假设级数 | a n |收敛，那么级数a n 2也收敛．n 1n 1二、填空题 (7 个小题，每题 2分，共 14 分)．1. 直线3x 4 y 2z 6 0 与 z 轴相交，那么常数a 为3。
大一下学期高等数学期末考试试题及答案
高等数学A(下册)期末考试试题【A卷】院（系）别班级学号姓名成绩一、填空题：（本题共5小题,每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上）1、已知向量、满足，，，则．2、设,则．3、曲面在点处的切平面方程为．4、设是周期为的周期函数，它在上的表达式为，则的傅里叶级数在处收敛于，在处收敛于．5、设为连接与两点的直线段，则．※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上:姓名、学号、班级．二、解下列各题：(本题共5小题，每小题7分，满分35分）1、求曲线在点处的切线及法平面方程．2、求由曲面及所围成的立体体积．3、判定级数是否收敛?如果是收敛的,是绝对收敛还是条件收敛？4、设，其中具有二阶连续偏导数，求．5、计算曲面积分其中是球面被平面截出的顶部．三、（本题满分9分）抛物面被平面截成一椭圆,求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值．四、（本题满分10分）计算曲线积分，其中为常数，为由点至原点的上半圆周．五、（本题满分10分)求幂级数的收敛域及和函数．六、（本题满分10分）计算曲面积分,其中为曲面的上侧．七、(本题满分6分）设为连续函数，，，其中是由曲面与所围成的闭区域，求．—-——-—-——-———--—————-—-——--——---—--—-备注：①考试时间为2小时；②考试结束时，请每位考生按卷面答题纸草稿纸由表及里依序对折上交;不得带走试卷。
高等数学A（下册)期末考试试题【A卷】参考解答与评分标准一、填空题【每小题4分，共20分】1、；2、;3、; 4、3，0；5、。
二、试解下列各题【每小题7分,共35分】1、解：方程两边对求导,得，从而，…………。
【4】该曲线在处的切向量为…………。
.【5】故所求的切线方程为 (6)法平面方程为即…….。
【7】２、解：，该立体在面上的投影区域为．….。
【2】故所求的体积为 (7)３、解:由，知级数发散 (3)又,。
故所给级数收敛且条件收敛．【7】４、解:， (3)【7】５、解：的方程为，在面上的投影区域为．又，…。
宁波大学2014-2015年高等数学A2期末考试试卷
宁波大学2014-2015年高等数学A2期末考试试卷一、选择题（每题3分，共15分）：1、设函数),(y x f 有连续偏导数，且2)2,1(=-x f ， 1)2,1(-=-y f ，则函数),(y x f 在点)2,1(-M 处增加最快的方向是（ ）（A ） j - （B ）j i -2 （C ） i2 （D ）j i +22、二元函数极限32lim2++∞→→y xyy x 的值为 （ ） (A)、 4 ( B )、 ∞+ (C)、 34( D ) 0 3.下列说法正确的是( )(A).若∑∞=1n n u ,∑∞=1n n v 都发散,则∑∞=+1)(n n n v u 发散;(B).若∑∞=1n n u 发散,则∑∞=11n nu 收敛 (C). 若∑∞=1n n u 收敛,则∑∞=11n nu 发散; (D).若∑∞=1n n u ,∑∞=1n n v 都发散,则∑∞=1)(n n n v u 发散4、函数x e y y y x 2cos 52=+'-''的一个特解应具有形式：( ) (A)、x Ae x 2cos (B)、)2sin 2cos (x B x A e x + (C)、)2sin 2cos (x B x A xe x + (D)、)2sin 2cos (2x B x A e x x +5、设曲线积分ydy x f ydx e x f cx cos )(sin ])([--⎰与路径无关，其中)(x f 具有一阶连续导数，且0)0(=f ，则)(x f 等于（ ）(A))(21x x e e -- (B) )(21x x e e -- (C) 1)(21---x x e e (D) )(211x x e e ---二、填空题（每题3分，共15分）： 1、曲面3=+-xy z e z 在点)0,1,2(处的切平面方程为 , 2、曲线积分dx y x L⎰-)(22＝ ，其中L 是抛物线2x y =上从点)0,0(到)4,2(的一段弧。
【经典期末卷】大学高数(下)期末测试题及答案
第 1 页 （共 10 页）班级（学生填写）： 姓名： 学号： 命题： 审题： 审批： ----------------------------------------------- 密 ---------------------------- 封 --------------------------- 线 ------------------------------------------------------- （答题不能超出密封线）LQdx Pdy +⎰=( )dxdy )P dxdy x 二重积分的积分区域D 是221≤+x y π C ．2π+⎰L Pdx Qdy在A．∂∂-=∂∂P Qy x第 2 页（共10 页）第 3 页 （共 10 页）班级（学生填写）： 姓名： 学号： ----------------------------------------------- 密 ---------------------------- 封 --------------------------- 线 ------------------------------------------------------- （答题不能超出密封线）()Lx y ds +⎰＝ ()Lx y ds +⎰= Lydx xdy +⎰= 2sin y t =上对应22xy De dxdy --⎰⎰= 2.第 4 页 （共 10 页）三. 计算题（一）（每小题6分，共36分）1.计算：22xy De d σ+⎰⎰，其中D 是由圆周224x y +=所围成的闭区域。
2.计算三重积分xdxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω为三个坐标面及平面21x y z ++=所围成的闭区域。
3.计算xyzdxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面2221x y z ++=，0,0,0x y z ≥≥≥所围成.第 5 页 （共 10 页）班级（学生填写）： 姓名： 学号： ----------------------------------------------- 密 ---------------------------- 封 --------------------------- 线 ------------------------------------------------------- （答题不能超出密封线）4.求2d d Dxx y y⎰⎰，其中D 为1xy =，y x =及2x =所围成的区域。
高等数学下册期末考试试题及答案
高等数学A （下册）期末考试试题【A 卷】考试日期：2009年一、A 填空题：(本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上）1、已知向量a 、b 满足0a b +=，2a =,2b =，则a b ⋅= —4．2、设ln()z x xy =，则32zx y ∂=∂∂ —1/（y ＊y ） ． 3、曲面229x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为 2x+4y+z-14=0 ． 4、设()f x 是周期为2π的周期函数,它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =,则()f x 的傅里叶级数 在3x =处收敛于 ，在x π=处收敛于 ． 5、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则()Lx y ds +=⎰ 1.414 ．※以下各题在答题纸上作答,答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级． 二、解下列各题:（本题共5小题,每小题7分，满分35分）1、求曲线2222222393x y z z x y⎧++=⎪⎨=+⎪⎩在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程． 解：两边同时对x 求导并移项。
2、求由曲面2222z x y =+及226z x y =--所围成的立体体积．3、判定级数11(1)lnn n n n∞=+-∑是否收敛?如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 条件收敛4、设(,)sin xz f xy y y=+,其中f 具有二阶连续偏导数,求2,z z x x y ∂∂∂∂∂． 5、计算曲面积分,dS z ∑⎰⎰其中∑是球面2222x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部．三、（本题满分9分）抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆,求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值．四、 (本题满分10分）计算曲线积分(sin )(cos )x x Le y m dx e y mx dy -+-⎰，其中m 为常数，L 为由点(,0)A a 至原点(0,0)O 的上半圆周22(0)x y ax a +=>．五、（本题满分10分)求幂级数13nn n x n∞=⋅∑的收敛域及和函数．六、（本题满分10分）计算曲面积分332223(1)I x dydz y dzdx z dxdy ∑=++-⎰⎰， 其中∑为曲面221(0)z x y z =--≥的上侧．七、(本题满分6分）设()f x 为连续函数，(0)f a =,222()[()]tF t z f xy z dv Ω=+++⎰⎰⎰,其中t Ω是由曲面z=与z =,求 3()lim t F t t +→． ———--——-———-—-—-——————-—-————--——-—-—备注：①考试时间为2小时;②考试结束时,请每位考生按卷面→答题纸→草稿纸由表及里依序对折上交； 不得带走试卷。
宁波大学高数试卷+答案
8.设 在 上定义，其表达式为 ，将 展开成正弦级数。
四、(6分)在过点 和 的曲线族 中，求一条曲线 ，使沿该曲线从 到 得积分 的值最小。
试题答案
三、单项选择题（每小题3分，共15分）
B C D A B
四、填空题（每小题3分，共15分）
1、 2、3 3、
4、 5、9
5.计算 其中 为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线， 的方向为逆时针方向。
解令 则当 时，有
记 所围成的闭区域为 。------4分
当 时，选取适当小的 作位于D内的圆周 记 和 所围成的闭区域为 。对复连通区域 应用格林公式，得
其中 的方向取逆时针方向。于是
解：因为
---------2分
而
---------6分
所以 = ---------8分
8.设 在 上定义，其表达式为 ，将 展开成正弦级数。
解：首先，所给的函数满足收敛定理的条件，它在点 处不连续，因此 的傅里叶级数在点 处收敛于
在连续点处收敛于 。---------3分
其次，由公式和奇函数的性质有 ，而
将求得的 代入正弦级数，得到 的傅里叶级数展开式为
---------8分
四、(6分)在过点 和 的曲线族 中，求一条曲线 ，使沿该曲线从 到 得积分 的值最小。
解：记 的线段，这
而 为顺时针方向的闭曲线，记它们围成的区域为 。由格林公式
五、计算下列各题（每小题8分，共64分）
1已知两条直线方程为
求过 且平行于 的平面方程。
解：设此平面为 ，因为该平面过点 ，且法向量为 ，由已知条件有：
且 ……2分
可取 ……6分
于是所求的平面方程为
【经典期末卷】大学高数(下)期末单元测试卷及详细解答
学生填写）： 姓名： 学号： 命题： 审题： 审批： ------------------------------------------------ 密 ---------------------------- 封 --------------------------- 线 ----------------------------------------------------------- （答题不能超出密封装订线）班级（学生填写）： 姓名： 学号： ---------------------------------------------- 密 ---------------------------- 封--------------------------- 线 ------------------------------------------------ （答题不能超出密封线）4．求方程y y y y '='+''2)(的通解．(4分)5. 求微分方程 2d 22d x yxy xe x -+=的通解。
(4分)6. 求微分方程09422=+y dxyd 满足初始条件23,20====x x dxdy y的特解。
（4分）班级（学生填写）： 姓名： 学号： ------------------------------------------- 密 ---------------------------- 封--------------------------- 线 ------------------------------------------------ （答题不能超出密封线）)7. 求x e y dx dy-=+微分方程的通解。
(4分)8. 求微分方程的一条积分曲线，使其在原点处与直线相切. (4分)9. 求微分方程x y y x sin =+'满足0)(=πy 的特解．(4分)10. 求微分方程430,(0)6,(0)10y y yy y ''''-+===的特解.(4分)11. 求微分方程0)(22=-+xydy dx y x 的通解。
2020-2021宁波市高三数学下期末试卷(带答案)
B．162 D．324
8．在 ABC 中， A 为锐角， lg b lg(1) lg sin A lg 2 ，则 ABC 为（ ） c
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
9．已知 a, b 是非零向量且满足 (a 2b ) a ， (b 2a ) b ，则 a 与 b 的夹角是（ ）
(1)讨论 f x 的单调性；
(2)当 f x 有最大值，且最大值大于 2a 2 时，求 a 的取值范围.
22．设椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 的左焦点为 F
，右顶点为 A ，离心率为
1 2
.已知
A 是抛
物线 y2 2 px( p 0) 的焦点， F 到抛物线的准线 l 的距离为 1 . 2
2
2
6
3
4
2
6
3
6
162
.
故选 B.
.
【点睛】
本题首先根据三视图，还原得到几何体——棱柱，根据题目给定的数据，计算几何体的体 积，常规题目.难度不大，注重了基础知识、视图用图能力、基本计算能力的考查.易错点有 二，一是不能正确还原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重多观察、细心计算
2
2
3
________．
19．已知函数 f (x) x(ln x ax) 有两个极值点,则实数 a 的取值范围是__________．
20．能说明“若 f（x）>f（0）对任意的 x∈（0，2］都成立，则 f（x）在［0，2］上是增 函数”为假命题的一个函数是__________．
三、解答题
21．已知 f x ln x a 1 x .
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宁波大学科技学院2003/2004学年第二学期试卷解答 课程名称：高等数学A （2）（6学分）考试性质：期末统考（A 卷）
一、 单项选择题（每小题3分，共5⨯3=15分）
1、函数),(y x f 在点),(00y x 处两个偏导数),(00'y x f x 与
),(00'y x f y 存在是),(y x f 在点),(00y x 连续的（ D ）
； A.充分条件而非必要条件 B. 必要条件而非充分条件
C. 充分必要条件
D. 既非充分条件又非必要条件
2、设91:22≤+≤y x D ，则⎰⎰=D
dxdy y x f ),(（ C ）；
A.
⎰⎰9120)sin ,cos (rdr r r f d θθθπ B.
⎰⎰9120)sin ,cos (dr r r f d θθθπ C.
⎰⎰3120
)sin ,cos (rdr r r f d θθθπ D. ⎰⎰31
20
)sin ,cos (dr r r f d θθθπ 3、若级数∑∞=-1
)1(n n n x a 在1-=x 处收敛，则此级数在2=x 处
（ B ）；
A. 条件收敛
B.绝对收敛
C.发散
D.收敛性不能确定
4、微分方程x xe y y y -=++32'3"的一个特解应具有的形式（ B ）；
A. x e b ax -+)(
B. x e b ax x -+)(
C. x axe -
D. x e ax -2
5、设L 是抛物线2x y =上从点)1,1(A 到点)0,0(O 的一段弧，则
⎰=L
xydx （ A ）
； A. 41- B. 41 C. 5
2- D. 52 二．填空题（每小题3分，共6⨯3=18分）
1、 设x y u =，则=∂∂x
u （ y y x ln ），=∂∂y u （ 1-x xy ）； 2、 曲面3=+-xy z e z 在点)0,1,2(P 处的切平面方程为（ 042=-+y x ）；
3、函数)ln(22z y x u ++=在点)1,2,1(-M 处的梯度M gradu |＝
（ →→→-+k j i 3
13261 ）； 4、设平面曲线L 为上半圆周21x y -=，则曲线积分
⎰+L
ds y x )(22＝（ π ）； 5、设)(x f 是周期为π2的周期函数，它在区间],(ππ-上的定义
为⎩⎨⎧<≤<≤-=π
πx x x x f 0,00,)(,则)(x f 的傅立叶级数在π=x 处收敛于（ 2
π- ）； 6、微分方程05'2"=+-y y y 通解为（)2sin 2cos (21x c x c e y x +=）
三、计算题（一）（每小题10分，共2⨯10 = 20分）
1、设函数x
y z arctan =，求dz 。
（答案：)(122ydx xdy y x dz -+=）
2、设函数)cos ,(x y y x f z -=，其中f 具有二阶连续偏导数，求 y
x z ∂∂∂2； （答案：x xf x y xf x y x f f cos cos sin sin )sin (cos "22'2"12"11--++- ）
四、计算题（二）（每小题9分，共2⨯9 = 18分） 1、计算二重积分⎰⎰D ydxdy ，其中D 由抛物线2
,y x y x =
=及直线1=y 所围成的平面闭区域。
（答案：5
1） 2、计算曲线积分⎰+--L
dy y x dx y x )sin ()(22，其中L 是在圆周
22x x y -=上由点)0,0(O 到点)1,1(A 的一段弧； （答案：6
72sin 41-） 五、计算题（三）（每小题10分，共2⨯10=20分）
1、计算曲面积分⎰⎰∑
++=dy dx z dzdx y dydz x I 333，其中∑为球面4222=++z y x 在0≥z 部分的上侧。
（答案：
π5
192） 2、求幂级数∑∞=-+1
1)1(n n x n 的收敛域，并求和函数)(x s 。
（答案：收敛域为)1,1(-，=
)(x s 2
)1(2x x --） 六、综合题（9分） 质点在变力k xy j zx i yz F ++=的作用下，由原点沿直线运动
到椭球面1222222=++c z b y a x 上第一卦限的点),,(000z y x P ，问 ),,(000z y x 取何值时，力F 作功最大，最大值是多少？ （ 答案：当3,3,3000c
z b
y a
x ===时，W 有最大值，且最
大值为 abc W 9
3max = ）。