高等数学下期末考试题
(完整版)高等数学下册期末考试试题及答案,推荐文档
又
1 zx2
z
2 y
a
a2 x2 y2 ，…..………【３】
第3页共2页
高数
故
dS z
Dxy
adxdy a2 x2 y2
a
2 d
0
a2 h2 0
d a2 2
2
a
1 2
ln(a2
2
)0
a2 h2
2 a ln a ..【7】 h
三、【9 分】解：设 M (x, y, z) 为该椭圆上的任一点，则点 M 到原点的距离为 d x2 y2 z2 ……【1】
n1
n
4、设 z f (xy, x ) sin y ，其中 f 具有二阶连续偏导数，求 z ,
2z
．
y
x xy
5、计算曲面积分 dS , 其中 是球面 x2 y2 z2 a2 被平面 z h (0 h a) 截出的顶部．
z
三、（本题满分 9 分） 抛物面 z x2 y2 被平面 x y z 1 截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离
第1页共2页
的最大值与最小值．
高数
（本题满分 10 分）
计算曲线积分 (ex sin y m)dx (ex cos y mx)dy ， L
其中 m 为常数， L 为由点 A(a, 0) 至原点 O(0, 0) 的上半圆周 x2 y2 ax (a 0) ．
四、（本题满分 10 分）
xn
3 , 1 2
3 ,2
3),
1 M2( 2
3 , 1 2
3 ,2
3). …………………【7】
又由题意知，距离的最大值和最小值一定存在，所以距离的最大值与最小值分别在这两点处取得．
高数-下-期末考试试卷及答案
2017学年春季学期《高等数学Ⅰ（二）》期末考试试卷（A)注意：1、本试卷共 3 页;2、考试时间110分钟；3、姓名、学号必须写在指定地方一、单项选择题（8个小题，每小题2分，共16分）将每题的正确答案的代号A 、B 、C 或D 填入下表中．1．已知a 与b都是非零向量，且满足-=+a b a b ，则必有（ ）。
（A)-=0a b （B)+=0a b （C)0⋅=a b (D)⨯=0a b 2。
极限2222001lim()sinx y x y x y →→+=+( ）.(A ） 0(B) 1 (C) 2(D ）不存在 3．下列函数中，d f f =∆的是( ）。
（A ）(,)f x y xy = （B ）00(,),f x y x y c c =++为实数(C ）(,)f x y =（D ）(,)e x y f x y +=4．函数(,)(3)f x y xy x y =--，原点(0,0)是(,)f x y 的( ).(A ）驻点与极值点 (B ）驻点，非极值点 （C ）极值点，非驻点 （D ）非驻点，非极值点 5．设平面区域22:(1)(1)2D x y -+-≤，若1d 4D x y I σ+=⎰⎰，2DI σ=，3DI σ=，则有（ ）。
（A ）123I I I << （B ）123I I I >> （C ）213I I I << （D ）312I I I <<6．设椭圆L ：13422=+y x 的周长为l ，则22(34)d L x y s +=⎰( ）. （A) l (B ） l 3 (C) l 4 (D ） l 127．设级数∑∞=1n na为交错级数，0()n a n →→+∞，则（ ）。
（A)该级数收敛 (B ）该级数发散(C ）该级数可能收敛也可能发散 （D ）该级数绝对收敛 8.下列四个命题中,正确的命题是( ）。
（A ）若级数1nn a∞=∑发散，则级数21nn a∞=∑也发散（B)若级数21nn a∞=∑发散,则级数1nn a∞=∑也发散 （C)若级数21nn a∞=∑收敛,则级数1nn a∞=∑也收敛（D ）若级数1||nn a∞=∑收敛，则级数21n n a ∞=∑也收敛二、填空题(7个小题，每小题2分,共14分)．1。
第二学期高数下期末考试试卷及答案
第二学期期末高数（下）考试试卷及答案1一、 填空题(每空 3 分，共 15 分) 1.设()=⎰22t xFx e dt ，则()F x '=-22x xe.2.曲面sin cos =⋅z x y 在点,,⎛⎫⎪⎝⎭1442ππ处的切平面方程是--+=210x y z .3.交换累次积分的次序：=(),-⎰⎰2302xxdx f x y dy.4.设闭区域D 是由分段光滑的曲线L 围成,则：使得格林公式： ⎛⎫∂∂-=+ ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰ÑD LQ P dxdy Pdx Qdy x y 成立的充分条件是：()(),,和在D上具有一阶连续偏导数P x y Q x y .其中L 是D 的取正向曲线;5.级数∞=-∑1nn 的收敛域是(],-33.二、 单项选择题 (每小题3分,共15分)1.当→0x ，→0y 时,函数+2423x yx y 的极限是()DA.等于0;B. 等于13;C. 等于14; D. 不存在.2.函数(),=zf x y 在点(),00x y 处具有偏导数(),'00x f x y ，(),'00y f x y 是函数在该点可微分的()CA.充分必要条件;B.充分但非必要条件;C.必要但非充分条件;D. 既非充分又非必要条件.3.设()cos sin =+x ze y x y ，则==10x y dz()=BA.e ;B. ()+e dx dy ;C. ()-+1edx dy ; D. ()+x e dx dy .4.若级数()∞=-∑11nn n a x 在=-1x 处收敛,则此级数在=2x处()AA.绝对收敛;B.条件收敛;C.发散;D.收敛性不确定.5.微分方程()'''-+=+3691x y y y x e 的特解*y 应设为()DA. 3xae ; B.()+3x ax b e ;C. ()+3x xax b e ; D. ()+23x x ax b e .三.（8分）设一平面通过点(),,-312,而且通过直线-+==43521x y z,求该平面方程. 解：()(),,,,,--312430QA B(),,∴=-142u u u rAB 平行该平面∴该平面的法向量()()(),,,,,,=⨯-=--5211428922rn∴所求的平面方程为：()()()----+=83912220x y z即：---=8922590x y z四.（8分）设(),=yz fxy e ,其中(),f u v 具有二阶连续偏导数,试求∂∂z x 和∂∂∂2zx y. 解：令=u xy ，=y v e五.（8分）计算对弧长的曲线积分⎰L其中L 是圆周+=222xy R 与直线,==00x y在第一象限所围区域的边界.解：=++123L L L L其中： 1L ：(),+=≥≥22200xy R x y2L ：()=≤≤00x y R3L ：()=≤≤00y x R而Re ==⎰⎰1202RR L e Rdt ππ故：()Re =+-⎰212R R Le π六、（8分）计算对面积的曲面积分∑⎛⎫++ ⎪⎝⎭⎰⎰423z x y dS ,其中∑为平面++=1234x y z在第一卦限中的部分. 解：Q xy D ：≤≤⎧⎪⎨≤≤-⎪⎩023032x y x=3-==⎰⎰323200x dx七.（8分）将函数()=++2143f x x x ,展开成x 的幂级数.解：()⎛⎫=-=⋅-⋅ ⎪+++⎝⎭+111111121321613Q f x xx x x , 而 ()∞=⋅=-+∑01111212n nn x x , (),-11 ()∞=-⋅=+∑01116313nn n n x x , (),-33 ()()∞+=⎛⎫∴=-+ ⎪⎝⎭∑10111123nnn n f x x , (),-11八.（8分）求微分方程：()()+-+-+=42322253330xxy y dx x y xy y dy 的通解.解：∂∂==-∂∂263Q P Qxy y y x,∴原方程为：通解为：++-=532231332x y x y y x C九.幂级数：()()!!!!=++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅246212462nx x x x y x n1.试写出()()'+y x y x 的和函数;（4分）2.利用第1问的结果求幂级数()!∞=∑202nn x n 的和函数.（8分）解：1、()()!!!-'=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅-35213521n x x x y x x n (),-∞∞于是()()!!'+=++++⋅⋅⋅=23123x x x y x y x x e (),-∞∞ 2、令：()()!∞==∑202nn x S x n由1知：()()'+=x S x S x e 且满足：()=01S通解：()()--=+=+⎰12x x x xx Sx e C e e dx Ce e 由()=01S ，得：=12C ；故：()()-=+12xx S x e e十.设函数()f t 在(),+∞0上连续,且满足条件其中Ωt 是由曲线⎧=⎨=⎩2z ty x ,绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面=zt (参数>0t )所围成的空间区域。
第二学期高等数学期末考试试卷及答案1
第二学期高等数学期末考试试卷答案一．填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分），请将合适的答案填在空中．1．过点()121-，，P 且与直线1432-=-=+-=t z t y t x ，，，垂直的平面方程为_____________________________． 2．设()22ln y x z +=，则=∂∂==11y x xz ， ________________________．3．交换累次积分的顺序()=⎰⎰12xxdyy x f dx， ______________________．4．设222lnz y x u ++=，则()=u grad div ___________________．5．设幂级数∑∞=0n nn x a 的收敛半径为1R ，幂级数∑∞=0n n n x b 的收敛半径为2R ，且+∞<<<210R R ，则幂级数()∑∞=+0n nn n x b a 的收敛半径为_____________．答案：⒈ 043=+--z y x ； ⒉ 1；⒊ ()⎰⎰1yydx y x f dy ，；⒋2221zy x ++；⒌ 1R ．二．选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）。
以下每道题有四个答案，其中只有一个答案是正确的，请选出合适的答案填在空中，多选无效． 1．函数()y x f ，在点()00y x ，处连续是函数()y x f ，在该点处存在偏导数的【 】． （A ）．充分条件； （B ）．必要条件； （C ）．充分必要条件； （D ）．既不是必要，也不是充分条件．2．设D 是xOy 平面上以()11，、()11，-、()11--，为顶点的三角形区域，1D 是D 在第一象限的部分，则积分()⎰⎰+Ddxdyy x xy sin cos等于【 】．（A ）．⎰⎰1sin cos 2D ydxdy x ； （B ）．⎰⎰12D xydxdy ；（C ）．()⎰⎰+1sin cos 4D dxdy y x xy ； （D ）．0．3．下列级数中，属于条件收敛的是【 】．（A ）．()()∑∞=+-111n nnn ； （B ）．()∑∞=-1si n 1n nn nn π ；（C ）．()∑∞=-121n nn； （D ）．()∑∞=+-1131n nn ．4．设函数()x f 是以π2为周期的周期函数，它在[)ππ，-上的表达式为()⎩⎨⎧<≤<≤-=ππx x xx f 000 ，再设()x f 的Fourier （傅立叶）级数的和函数为()x s ，则()=πs 【 】． （A ）．2π-； （B ）．π- ； （C ）．0 ； （D ）．π ．5．设向量a 、b 、c 满足：0c b a =++，则=⨯+⨯+⨯a c c b b a【 】．（A ）．0 ； （B ）．c b a⨯⨯；（C ）．c b ⨯； （D ）．()b a⨯3． 答案： ⒈ （A ）； ⒉ （C ）； ⒊ （B ）； ⒋ （A ）； ⒌ （D ）． 三．（本题满分7分）设()xy y x f z ，22-=，其中函数f 具有二阶连续的偏导数，试求xz ∂∂，yx z ∂∂∂2．解：212f y f x xz '+'=∂∂ ，()2221222112224f xyffyx xyf yx z ++-+-=∂∂∂ ．四．（本题满分7分） 计算三重积分()⎰⎰⎰Ω+=dxdydzz x I ，其中Ω是由曲面22y x z +=及221y x z --=所围成的空间区域．解：作球坐标变换θϕρcos sin =x ，θϕρsin sin =y ，ϕρcos =z ， 则空间区域Ω变为，104020≤≤≤≤≤≤Ω'ρπθπθ，，：，因此，()⎰⎰⎰Ω+=dxdydzz x I()⎰⎰⎰Ω+=ρϕθϕρϕρθϕρd d d s i n c o s c o s s i n 2()⎰⎰⎰+=12420s i n c o s c o s s i n ρϕρϕρθϕρϕθππd d d8π=五．（本题满分8分） 计算曲面积分()()⎰⎰∑-+++=dxdy z dzdx z y dydz xz I 322912其中∑为曲面122++=y x z ()21≤≤z ，取下侧．解：取平面21=∑z ：，取上侧．则∑与1∑构成封闭曲面，取外侧．令∑与1∑所围空间区域为Ω，由Gauss 公式，得 ⎰⎰⎰⎰∑∑+∑-=11I()⎰⎰⎰⎰⎰≤+Ω--=132229y x dxdydxdydz⎰⎰⎰⎰⎰≤+--=121120222y x rdxdydz rdr d πθ2π-=六．（本题满分8分） 判别级数()()()()()∑∞=++++12222!2!!3!2!1n n n的敛散性．解： ()()()()()!2!!3!2!102222n n u n ++++=≤()()()()()!2!!!!2222n n n n n ++++≤， ()()n v n n n =⋅=!2!2而()()()()()()()!2!!12!11limlim221n n n n n n v v n nn n ⋅++⋅+=→∞+→∞()()()14122121lim3<=+++=→∞n n n n n所以，由比值判别法，知级数()()∑∑∞=∞=⋅=121!2!n n n n n n v 收敛．再由比较判别法知级数()()()()()∑∑∞=∞=++++=122221!2!!3!2!1n n nn n u 收敛．七．（本题满分8分） 选取a 与b ，使得dy yx b y x dx yx y ax 2222++--++成为某一函数()y x u ，的全微分，并求()y x u ，． 解：()22y x y ax y x P ++=，，()22y x by x y x Q ++-=， 由()()()dy y x Q dx y x P y x du ，，，+=，得xQ yP ∂∂=∂∂即有()()()()222222222222yxxb y x y x yxyy ax y x +⋅+--+=+⋅+-+解得，1=a ，0=b ．所以，()()()()()⎰+--+=y x yx dyy x dx y x y x u ，，，0122⎰⎰+--=yxdy yxyx xdx 0221()⎰⎰+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=yyyx y x d x y x y d x 0222202211ln()x yx xy x ln ln 21arctan ln 22-++-=()xyyx a r c t a n ln 2122-+=八．（本题满分8分） 过直线⎩⎨⎧=-+=-+0272210z y x z y x 作曲面273222=-+z y x 的切平面，求此切平面的方程． 解：过已知直线作平面束方程()0272210=-++--+z y x z y x λ，即()()()0272210=-+-+++z y x λλλ，其法向量为{}λλλ--++=2210，，n．设所求切平面的切点坐标为()000z y x ，，，则有()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-+++=-+---=+=+02722102732222610000202020000z y x z y x z y x λλλλλλ ， 解得1113000-====λ，，，z y x ．或1917173000-=-=-=-=λ，，，z y x ．因此，所求切平面方程为027339=--+z y x ，或02717179=-+--z y x ．九．（本题满分8分）求极限：()422221lim xx tu t x x eduedt ---→-⎰⎰+．解：交换积分()⎰⎰--222x tu t x du edt 中的顺序，有()()⎰⎰⎰⎰----=uu t x x tu t x dt edu du edt 022222，u t v -=，则有()⎰⎰-----=uvuu t dv edt e22所以()()4242222221lim 1lim xuu t xx xx tu t x x edt edueduedt---→---→-=-⎰⎰⎰⎰++4242002222221l i m 1l i mxx vx xxuvx ex d veed ud v e---→---→⎰⎰⎰-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++212lim lim 1lim424222==-⋅=-→--→-→+++⎰xx x vx xx ex dvee十．（本题满分8分）利用⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x dx d 1cos 的幂级数展开式，求级数()()∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛--122!2121n nn n n π的和．解： 设()⎪⎭⎫⎝⎛-=x x dx d x s 1cos ，由于()()()()∑∑∞=-∞=-=--=-11202!211!211c o s n n nn nnn xxn xxx ()-∞<<∞-x因此，()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑∞=-112!211c o s n n n n xdx d x x dx d x s()()∑∞=---=122!2121n n nxn n另一方面， ()21c o s s i n 1c o s x x x x x x dxd x s +--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=所以，()()∑∞=---=+--1222!21211c o s s i n n n nxn n xx x x ()-∞<<∞-x当2π=x 时，()()∑∞=-⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛1222!21212n n nn n s ππ，所以，()()⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛--∑∞=222!2121212πππs n n n nn2221c o s s i n 2ππ=+--⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x x x x22212c o s 2s i n24⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⋅=πππππ21π-=十一．（本题满分8分）已知x 、y 、z 为实数，而且32=++z y e x证明：32≤z y e x．（提示：考虑函数()()223ye y e y xf xx--=，．） 解： 设()()223ye y e y xf xx--=，，由题设32=++z y e x ， 得 32≤+y e x， 即 32=+y e x为其边界．下面只需证明：()()223ye y e y xf xx--=，在区域32≤+y ex上的最大值为1．令：()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=--='=--='0232023222y e y e y x f y e y e y x f x x y x x x ，，， 解方程组得驻点()10，，()10-，和()0，x ．对于驻点()10，和()10-，，有 ()110=，f ，()110=-，f对于驻点()0，x ，()00=，x f ；在边界32=+y e x 上，()002=⋅=y e y x f x，，所以，函数()()223y e y e y x f x x --=，的最大值为1，即()()1322≤--=ye y e y xf xx，即32≤z ye x．。
高数下期末考试试题及答案解析
WORD 格式整理⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名⋯姓⋯⋯⋯⋯．⋯号⋯学⋯⋯线封号序密过超号班要学教不纸题卷试答⋯学⋯大峡．三⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2017 学年春季学期《高等数学Ⅰ（二）》期末考试试卷（A）注意：1、本试卷共3页；2、考试时间110 分钟； 3 、姓名、学号必须写在指定地方题号一二三四总分得分阅卷人得分一、单项选择题（ 8 个小题，每小题 2 分，共 16 分）将每题的正确答案的代号 A、 B、 C或 D 填入下表中．题号12345678答案1．已知 a 与 b都是非零向量，且满足a b a b ，则必有（）.(A)a b0(B) a b0(C) a b0(D)a b02. 极限 lim( x2y2 )sin212().x0x yy0(A) 0(B) 1(C) 2(D)不存在3．下列函数中， df f 的是 ().（ A） f (x, y)xy（ B） f (x, y)x y c0 ,c0为实数（ C） f (x, y)x2y2（ D） f (x, y)e x y4．函数 f ( x, y)xy (3x y) ，原点 (0,0)是 f (x, y) 的 ().（ A）驻点与极值点（ B）驻点，非极值点（ C）极值点，非驻点（ D）非驻点，非极值点5 ．设平面区域 D : (x1)2( y 1)2 2 ，若 I 1x yd， I 2x y d ，D4D4I 33x yd，则有（） .4D（ A） I1I2I3（ B） I 1I 2I 3（ C） I 2I1I 3（ D） I 3 I 1I 26．设椭圆 L ：x2y 21的周长为 l ，则(3x2 4 y2 )ds（） .43Ll3l4l12l(A)(B)(C)(D)7．设级数a n为交错级数， a n0 (n) ，则（） .n 1(A) 该级数收敛(B)该级数发散(C) 该级数可能收敛也可能发散(D)该级数绝对收敛8. 下列四个命题中，正确的命题是（） .（ A）若级数a n发散，则级数a n2也发散n 1n 1（ B）若级数an2发散，则级数a n也发散n 1n 1（ C）若级数an2收敛，则级数a n也收敛n 1n 1（ D）若级数| a n |收敛，则级数an2也收敛n 1n 1阅卷人得分二、填空题 (7 个小题，每小题 2 分，共 14 分) ．3x 4 y2z60a 为.1. 直线3y z a与 z 轴相交，则常数x02．设 f ( x, y)ln( xy ), 则 fy(1,0)___________.x3．函数 f (x, y)x y 在 (3, 4) 处沿增加最快的方向的方向导数为.4．设 D : x2y22x ，二重积分( x y)d=.D5．设 f x 是连续函数，{( x, y , z) | 0z9x2y2 } ， f (x 2y 2 )dv 在的三次积分为.6. 幂级数( 1)n 1x n的收敛域是.n!n 17. 将函数 f ( x)1,x0为周期延拓后，其傅里叶级数在点1x2,0 x以 2于.专业资料值得拥有--学习资料分享----⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名⋯姓⋯⋯⋯⋯．⋯号⋯学⋯⋯线封号序密过超号班要学教不纸题卷试答⋯学⋯大峡．三⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯阅卷人得分三、综合解答题一（ 5 个小题，每小题7 分，共 35 分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1．设 u xf ( x, x) ，其中 f 有连续的一阶偏导数，求u ，u．y x y解：4．设是由曲面z xy, y x, x 1 及 z 0 所围成的空间闭区域，求 I xy2 z3dxdydz .解：2．求曲面 e z z xy 3 在点 (2,1,0) 处的切平面方程及法线方程．解：5．求幂级数nx n 1的和函数 S(x) ，并求级数n n的和．n 1n 1 2解：3. 交换积分次序，并计算二次积分dxxsin y dy．y解：专业资料值得拥有--学习资料分享----⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名⋯姓⋯⋯⋯⋯．⋯号⋯学⋯⋯线封号序密过超号班要学教不纸题卷试答⋯学⋯大．峡三⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯阅卷人得分四、综合解答题二（ 5 个小题，每小题7 分，共 35 分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1.从斜边长为 1 的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形．解4．计算xdS ，为平面x y z 1在第一卦限部分.解：2．计算积分( x2y2 )d s，其中 L 为圆周 x2y2ax ( a0 ) ．L解：5．利用高斯公式计算对坐标的曲面积分蝌dxdy + dydz + dzdx，S其中为圆锥面 z2x2y2介于平面 z0 及 z 1之间的部分的下侧解：3．利用格林公式，计算曲线积分 I(x2y 2)d x (x 2xy)dy ，其中 L 是由抛物线 y x2和Lx y2所围成的区域 D 的正向边界曲线．yy x2x y2D专业资料值得拥有O x--学习资料分享----2017 学年春季学期《高等数学Ⅰ（二）》期末考试试卷(A)答案及评分标准一、单项选择题（8 个小题，每小题 2 分，共 16 分）题号12345678答案D A B B A D C D1．已知 a 与 b 都是非零向量，且满足a b a b ，则必有（D）(A) a b0 ；(B)a b 0 ；(C) a b0 ； (D) a b0 ．2. 极限 lim( x2y2 )sin212( A )x0x yy0(A) 0；(B) 1；(C) 2；(D)不存在 .3．下列函数中， df f 的是 ( B )；（ A） f ( x, y)xy ；（ B） f ( x, y)x y c0 , c0为实数；（ C） f (x, y)x2y2；（ D） f (x, y)e x y.4．函数 f ( x, y)xy (3x y) ，原点 (0,0)是 f (x, y) 的 ( B).（A）驻点与极值点；（B）驻点，非极值点；（C）极值点，非驻点；（ D）非驻点，非极值点 .5 ．设平面区域 D： ( x 1)2( y 1)2 2 ，若 I1x y d ， I2x ydD4D4WORD 格式整理3 x yd ，则有（ A）I 34D（A） I 1I2I 3；（B） I 1I2I 3；（ C） I 2I1I 3；（D） I 36．设椭圆 L ：x2y 21的周长为 l ，则(3 x24y 2 )ds（ D）43L(A) l ；(B)3l；(C)4l ；(D)12l7．设级数a n为交错级数， a n0(n) ，则（C）n 1(A) 该级数收敛；(B)该级数发散；(C) 该级数可能收敛也可能发散；(D)该级数绝对收敛．8. 下列四个命题中，正确的命题是（D）（ A）若级数a n发散，则级数an2也发散；n1n 1（ B）若级数an2发散，则级数a n也发散；n1n 1（ C）若级数an2收敛，则级数a n也收敛；n1n 1（ D）若级数| a n |收敛，则级数a n2也收敛．n1n 1二、填空题 (7 个小题，每小题 2 分，共 14 分 ) ．3x 4 y2z60a 为31. 直线3y z a与 z 轴相交，则常数。
高等数学A(下册)期末考试试题
高等数学A(下册)期末考试试题大题 一 二 三 四 五 六 七 小题1 234 5得分一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上）1、已知向量a r 、b r满足0a b +=r r r ，2a =r ，2b =r ，则a b ⋅=r r ．2、设ln()z x xy =，则32zx y∂=∂∂ ． 3、曲面229x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为 ．4、设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =，则()f x 的傅里叶级数 在3x =处收敛于 ，在x π=处收敛于 ．5、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则()Lx y ds +=⎰ ．※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级． 二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分）1、求曲线2222222393x y z z x y⎧++=⎪⎨=+⎪⎩在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程． 2、求由曲面2222z x y =+及226z x y =--所围成的立体体积．3、判定级数11(1)lnn n n n∞=+-∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 4、设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2,z zx x y∂∂∂∂∂． 5、计算曲面积分,dS z ∑⎰⎰其中∑是球面2222x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部． 三、（本题满分9分） 抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值．（本题满分10分）计算曲线积分(sin )(cos )x x Le y m dx e y mx dy -+-⎰，其中m 为常数，L 为由点(,0)A a 至原点(0,0)O 的上半圆周22(0)x y ax a +=>．四、（本题满分10分）求幂级数13nn n x n∞=⋅∑的收敛域及和函数．五、（本题满分10分）计算曲面积分332223(1)I x dydz y dzdx zdxdy ∑=++-⎰⎰，其中∑为曲面221(0)z x y z =--≥的上侧．六、（本题满分6分）设()f x 为连续函数，(0)f a =，222()[()]t F t z f xy z dv Ω=+++⎰⎰⎰，其中t Ω是由曲面z =与z =所围成的闭区域，求 3()lim t F t t +→．-------------------------------------备注：①考试时间为2小时；②考试结束时，请每位考生按卷面→答题纸→草稿纸由表及里依序对折上交； 不得带走试卷。
2021-2022学年高等数学期末考试试卷
2021～2022 学年《高等数学》期末考试试卷一、 选择题（每小题3分，共30分）1. 下列微分方程是线性的是（ ）A.22y x y '=+B.2x y y e '+=C.2y x y '+=D.2y y xy '-=.2.若()f x 为可导、可积函数，则（ ）A. ()d ()f x x f x '⎡⎤=⎣⎦⎰B. d ()()f x dx f x ⎡⎤=⎣⎦⎰ C. ()d ()f x x f x '=⎰ D. d ()()f x f x =⎰3.ln d xx x =⎰（ ）A. 21ln 2x x C +B. 21ln 2x C +C. ln x C x +D. 221ln x C x x-+ 4. 若2()f x dx x C =+⎰，则2(1)xf x dx -=⎰（ ）。
A. 222(1)x C ++ B. 222(1)x C --+ C.221(1)2x C ++ D. 221(1)2x C --+ 5. 设)(x f 在],[b a 上连续，且⎰=badx x f 0)(，则（ ）。
A.在],[b a 的某个子区间上，0)(=x f ；B. 在],[b a 上，0)(≡x f ；C. 在],[b a 内至少有一点c ，0)(=c f ；D. 在],[b a 内不一定有x ，使0)(=x f 。
6．下列所给级数，发散的是（ ）A ．()∑∞=11.0n n nB ．∑∞=12321n n C ．()∑∞=+-18100101n nn D ．∑∞=11sin n n n7.设(,)f x y是连续函数，则二次积分011(,)x dx f x y dy -+⎰改变积分顺序为( )A．1120111(,)(,)y dy f x y dx dy f x y dx ---+⎰⎰⎰ B ．111(,)y dy f x y dx --⎰⎰C．11111(,)(,)y dy f x y dx f x y dx ---+⎰⎰⎰D．21(,)dy f x y dx -⎰⎰8. 设∑∞=1n na收敛，则∑∞=1n na（ ）A ．必收敛，且收敛于∑∞=1n na的和 B ．不一定收敛C ．必收敛，但不一定收敛于∑∞=1n na的和 D ．一定发散9. 设)(x f 是区间[]02，上的连续函数，且20()xf t dt x =-⎰(1)f =（ ）A ． 2B ． -2C ． 0D ．110.设12()()y x y x ，是二阶线性齐次微分方程()()0y P x y Q x y '''++=的两个解，12c c ，是任意常数，则1122()()y c y x c y x =+ ( )A ．是此方程的通解B ．是此方程的特解C ．不一定是该方程的解D ．是该方程的解二、填空题（每小题2分，共10分）11. 微分方程4230xy y y ''''++=的阶数为 ；12. 如果x e -是函数()f x 的一个原函数，则()f x dx =⎰ ；13. 幂级数(21)nn n x∞=+∑的收敛域为 ；14. 设:00D y x a ≤≤≤≤，由二重积分的几何意义知2Ddxdy =⎰⎰___________；15.设()f x 是连续函数，且0()sin ()d f x x xf x x π=+⎰，则()f x = ；二、 计算题（每小题6分，共48分）16.⎰ 17. 2arctan 1xdx x +⎰18. ⎰--112d x x x19. 计算二重积分d d Dx x y ⎰⎰，其中D 是由抛物线2y x =及直线2y x =+所围成的区域；20.利用极坐标计算二重积分arctan d d Dy x y x ⎰⎰，其中22:14,0,D x y y y x ≤+≤≥≤；21.判断级数的收敛性：1!n n n n ∞=∑；22. 求解微分方程232x y y y e -'''++=的通解；23.求幂级数11n n nx∞-=∑的和函数.四、证明应用题（每小题6分，共12分 ）24.证明：设)(x f 在区间)0(],[>-a a a 上连续，证明：[]0()()()a a af x dx f x f x dx -=-+⎰⎰25.求一曲线的方程，这曲线通过原点，并且它在点(,)x y 处的切线的斜率等于2x y +.。
高等数学(同济)下册期末考试题及答案(5套)
高等数学(同济)下册期末考试题及答案(5套)高等数学（下册）考试试卷（一）一、填空题（每小题3分，共计24分）1、z=log(a,(x+y))的定义域为D={(x,y)|x+y>0}。
2、二重积分22ln(x+y)dxdy的符号为负号。
3、由曲线y=lnx及直线x+y=e+1，y=1所围图形的面积用二重积分表示为∬(x+y-e-1)dxdy，其值为1/2.4、设曲线L的参数方程表示为{x=φ(t),y=ψ(t)}(α≤t≤β)，则弧长元素ds=sqrt(φ'(t)^2+ψ'(t)^2)dt。
5、设曲面∑为x+y=9介于z=0及z=3间的部分的外侧，则∬(x+y+1)ds=27√2.6、微分方程y'=ky(1-y)的通解为y=Ce^(kx)/(1+Ce^(kx))，其中C为任意常数。
7、方程y(4)d^4y/dx^4+tan(x)y'''=0的通解为y=Acos(x)+Bsin(x)+Ccos(x)e^x+Dsin(x)e^x，其中A、B、C、D为任意常数。
8、级数∑n(n+1)/2的和为S=1/2+2/3+3/4+。
+n(n+1)/(n+1)(n+2)=n/(n+2)，n≥1.二、选择题（每小题2分，共计16分）1、二元函数z=f(x,y)在(x,y)处可微的充分条件是（B）f_x'(x,y)，f_y'(x,y)在(x,y)的某邻域内存在。
2、设u=yf(x)+xf(y)，其中f具有二阶连续导数，则x^2+y^2等于（B）x。
3、设Ω：x+y+z≤1,z≥0，则三重积分I=∭Ω2z dV等于（C）∫0^π/2∫0^1-rsinθ∫0^1-r sinθ-zrdrdφdθ。
4、球面x^2+y^2+z^2=4a^2与柱面x^2+y^2=2ax所围成的立体体积V=（A）4∫0^π/4∫0^2acosθ∫0^4a-rsinθ rdrdφdθ。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
《高等数学一（下）》期末考试模拟试题一、选择题（本大题共5个小题，每小题4分，满分20分）。
1．函数()3xf x =的一个原函数是13ln 3x（ ）A ．正确B ．不正确2．定积分11430d d x x x x >⎰⎰（ ）A ．正确B ．不正确3．（ ）是2sin x x 的一个原函数（ ）A ．22cos x -B ． 22cos xC ．21cos 2x -D ．21cos 2x 4．设函数0()sin ,xf x tdt =⎰则()f x '=( )A ．sin xB ． sin x -C ．cos xD ． cos x -5．微分方程xy e '=的通解是（ ）（ ）A ．xy Ce -=B ． xy eC -=+C ．xy Ce =D ． xy e C =+二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，满分16分）。
1．219dx x =+⎰ ．2.()cos ,f x dx x C =-+⎰,则()f x '= ．3. 定积分20cos d 1sin xx xπ=+⎰．4．微分方程440y y y '''-+=的通解为 .三、计算下列各题（本大题共5个小题，每小题8分，共40分）1．求不定积分cos 2cos sin xdx x x -⎰.2．求不定积分⎰.3．已知()f x 的一个原函数是2x e-,求()xf x dx '⎰.4．求定积分4x ⎰.5．求定积分1x xe dx ⎰四、（8分）求椭圆22221x y a b+=绕x 轴旋转构成的旋转体的体积.五、（8分）求方程22(1)(1)0x y dx y x dy +-+=的通解.六、（8分）求方程22sin y y x x x'-=的通解.《高等数学一（下）》期末考试模拟试题一答案一、选择题（本大题共5个小题，每小题4分，满分20分）。
1．A 2．B 3．C 4．A 5．D二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，满分16分）。
1．1arctan33xC + 2．cos x 3．ln 2 4．212()x y c c x e =+ 三、计算下列各题（本大题共5个小题，每小题8分，共40分）1．解cos 2cos sin xdx x x -⎰22cos sin cos sin (cos sin )(cos sin )cos sin (cos sin )sin cos x x dxx xx x x x dx x x x x dx x x C-=--+=-=+=-+⎰⎰⎰.2.解121x =+⎰⎰2C==⎰3. 解 2()x f x dx e C -=+⎰，2()2x f x xe -=-，()()xf x dx x df x '=⎰⎰()()xf x f x dx =-⎰ 2222x x x e e C --=--+4. 解2,t x t ==4x ⎰202d 1t t t=+⎰2020201112(1)d(1+)2(1)d 2[(1+)ln (1+)]421ln 3t tt t t t+=-=-==-+-⎰⎰5. 解1101110||1x xxx x xde xe e dx e xe dx e =-=-==⎰⎰⎰四、 解y ==222022aaax aV y dx y dx dx πππ-===⎰⎰⎰ 2232222022042()2[]33aa b b x a x dx a x ab aaπππ=-=-=⎰五、解 可分离变量的方程22(1)(1)y x dy x y dx +=+2211y xdy dx y x=++ 2211y xdy dx y x =++⎰⎰ 22ln(1)ln(1)ln y x C +=++ 22ln(1)ln (1)y C x +=+通解为 221(1)y C x +=+六、解 方程为一阶线性非齐次方程 22sin y y x x x'-=22(),()sin P x Q x x x x=-=通解为：()()[()]P x dxP x dx y eQ x e dx C -⎰⎰=+⎰2222ln 22ln 22[sin ][sin ][sin ][cos ]dxx x x x dxex x e dx C e x x e dx C x x dx C x x C ----⎰⎰=⋅+=⋅+=⋅+=-+⎰⎰⎰《高等数学一（下）》期末考试模拟二一、选择题（本大题共5个小题，每小题4分，满分20分）。
1．函数1()f x x=的全体原函数是ln ||x C + （ ）A ．正确B ．不正确 2．不定积分ln d ln x x x x xC =-+⎰.（ ）A ．正确B ．不正确3．定积分133d 4ax x =⎰, 则常数a =. （ ）A. 4B. 3C. 2D. 14．下列积分等于零的是( )A ．121cos d x x x -⎰B ．11sin d x x x -⎰ C ．11(sin )d x x x -+⎰D ．11()d x e x x -+⎰5．微分方程34()0xyy xy y y y ''''+-=是（ ）阶微分方程.( )A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，满分16分）。
1．=⎰．2. (())f x dx '=⎰．3. 02arctan limx x t dt x →=⎰ ．4．微分方程0127=+'-''y y y 的通解为 .三、计算下列各题（本大题共5个小题，每小题8分，共40分） 1．求不定积分xdx ⎰3cos .2．求不定积分⎰.3．求定积分⎰--223cos cos ππdx x x4．求定积分21(1ln )edxx x +⎰.5．求定积分1arctan xdx ⎰.四、（8分）求抛物线22y x x =-与0y =所围成图形的面积。
五、（8分）求方程0xy y '''+=的通解。
六、（8分）求微分方程x x y y sec tan =+'满足初始条件1|0==x y 的特解.《高等数学一（下）》期末考试模拟二一、选择题（本大题共5个小题，每小题4分，满分20分）。
1．A 2．A 3．D 4．C 5．B二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，满分16分）。
1．arcsin2x C + 2．()f x 3．124．3412x x y c e c e =+ 三、计算下列各题（本大题共5个小题，每小题8分，共40分）1．解xdx ⎰3cos =C xx x d x xdx x +-=-=⎰⎰3sin sin sin )sin 1(cos cos 322. 2. 解31,3t t x -=331113()3t t d t -+-=⎰41(2)3t t dt =+⎰ 521()35t t C =++C =++3. 解 ⎰2=⎰2=⎰42(cos )3x =-=⎰4. 解122111ln arctan ln |4(1ln )1ln ee e dx d x x x x xπ===++⎰⎰ 5. 解2ln 214|)1ln(2141|arctan arctan 12102101-=+-=+-=⎰⎰ππx dx x x x x xdx 四、（8分）解 220y x x y ⎧=-⎨=⎩得交点：(0,0),(2,0)222320014A (2)[]33x x dx x x =-=-=⎰五、（8分）解 1） 令y p '=，则dp y dx''=2）代入方程得 0dpxp dx+=，1dp dx p x =- 1dp dx p x=-⎰⎰ 1ln ln ln lnC p x C x=-+= 1C p x=3）11,,C C dy dy dx dx x x==1C dy dx x=⎰⎰通解为：12ln y C x C =+六、（8分）解 方程为一阶线性非齐次方程 ()tan ()sec P x x Q x x ==通解为：()()[()]P x dx P x dx y e Q x e dx C -⎰⎰=+⎰tan tan [sec ]xdx xdx e xe dx C -⎰⎰=+⎰2cos [sec ]x xdx C =+⎰cos [tan ]x x C =+特解 ()1tan cos +=x x y《高等数学一（下）》期末考试模拟一、选择题（本大题共5个小题，每小题4分，满分20分）。
1．设()F x 为()f x 的一个原函数,则5()F x +也为函数()f x 的一个原函数（ ） A ．正确 B ．不正确2．()f x '的不定积分是()f x C +．（ ） A ．正确 B ．不正确3．设()f x 为连续函数，则()xa f t dt ⎰为（ ） A.()f x 的一个原函数 B. ()f x '的一个原函数C.()f x 的全体原函数D. ()f x '的全体原函数4．设()f x 为连续函数，则下列各式中不成立的是( ) A ．()d ()d b b a a f x x f t t =⎰⎰ B ．()d ()d ba ab f x x f x x =-⎰⎰C ．()d 0aa f x x =⎰ D ．若()d 0b a f x x =⎰，则()0f x =5．方程x e y y 224=-''的特解*y 的形式为 ( )A. x Ae y 2*=B. x Axe y 2*=C.x e B Ax y 2*)(+=D. x e Ax y 22*=二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，满分16分）。
1．214dx x =-⎰ ．2. 已知C x F dx x f +=⎰)()(，则()x x e f e dx =⎰ ．3. 0x e dx +∞⎰的收敛性为 ．4．微分方程22()30x y dx xydy ++=是 类型的方程.三、计算下列各题（本大题共5个小题，每小题8分，共40分）1．求不定积分⎰+x e dx 1.2．求不定积分21ln x dx x ⎰.3．求不定积分23sin cos .x xdx ⋅⎰4．求定积分40x ⎰.5．求定积分20cos x xdx π⎰.四、（8分）计算曲线3223y x =上相应于x 从a 到b 的的一段弧的长度. 五、（8分）求方程tan dy y y dx x x=+的通解。
六、（8分）求微分方程23x y y e-'+=满足初始条件0|3x y ==的特解.《高等数学一（下）》期末考试模拟试题三答案一、选择题（本大题共5个小题，每小题4分，满分20分）。