实变函数

第1章 集合与n R 中的点集集合论是德国数学家Cantor (1845-1918)于19世纪后期所创立, 已经成为一门独立的数学分支. 集合论是现代数学的基础, 其概念与方法已经广泛地渗透到现代数学的各个分支. 在实变函数论中经常出现各种各样的集合与集合的运算. 本章介绍今后要用到的集合论的一些基本知识, 包括集合与集合的运算, 可列集和基数等. 本章还要介绍具有某些运算封闭性的集类如代数和σ-代数等, 以及n R 中的一些常见的点集.§ 1.1 集合与集合的运算本节要点 集合论是本课程的基础.本节将引入集的概念与集的运算.De Morgan 公式是以后常用的公式.证明两个集的相等是经常要遇到论证,本节的两个例子说明了证明两个集相等基本方法.集列的极限是一种新型的极限,单调递增和单调递减的集列的极限是常见的情形.1.1.1 集合的基本概念集合是数学的基本概念之一. 它不能用其它更基本的数学概念严格定义之, 只能给予一种描述性的说明. 以某种方式给定的一些事物的全体称为一个集合(简称为集). 集中的成员称为这个集的元素.一般用大写字母如,,A B C 等表示集, 用小写字母如,,a b c 等表示集的元素. 若a 是集A 的元素, 则用记号A a ∈(读作a 属于A )表示. 若a 不是集A 的元素, 则用记号A a ∉(读作a 不属于A )表示.不含任何元素的集称为空集, 用符号∅表示. 本书约定分别用1R , ,Q N 和Z 表示实数集, 有理数集, 自然数集和整数集.表示一个集的方法一般有两种. 第一种方法是列举法, 即列出给定集的全部元素. 例如{}{}0,1,2,3,4,5.1,cos ,sin ,cos 2,sin 2,,cos ,sin ,.A B x x x x nx nx ==另一种方法是描述法. 当集A 是由具有某种性质P 的元素的全体所构成时, 用下面的方式表示集A :{:A x x =具有性质P}.例如A BÈBA BÇAAB1{:sin 0}.A x x x =γR设A 和B 是两个集. 如果A 和B 具有完全相同的元素, 则称A 与B 相等, 记为.A B = 如果A 的元素都是B 的元素, 则称A 为B 的子集, 记为B A ⊂(读作A 包含于B ), 或A B ⊃(读作B 包含A ). 若B A ⊂并且,B A ≠ 则称A 为B 的真子集. 按照这个定义, 空集∅是任何集的子集. 由定义知道A B =当且仅当B A ⊂并且.A B ⊂例如11{:,}{:sin 0}.x x k k x x πÎ=Î=Î=R Z R 11{:2,}{:sin 0}.x x k k x x πÎ=ÎÌÎ=R Z R设X 是一个给定的集. 由X 的所有子集构成的集称为X 的幂集, 记为().X P例如, 设{,,}X a b c =是由3个元素构成的集, 则{}(),{},{},{},{,},{,},{,},.X a b c a b a c b c X =ÆP一般地, 若X 是由n 个元素构成的集, 则X 有2n 个不同的子集.1.1.2 集合的运算设A 和B 是两个集. 由A 和B 的所有元素所构成的集称为A 与B 的并集, 简称为并, 记为.A B È 即{:}.A B x x A x B 或者È=ÎÎ由同时属于A 和B 的元素所构成的集称为A 与B 的交集, 简称为交, 记为.A B Ç 即:{}A B x x A x B Ç=ÎÎ并且(如图1.1). 若,A B Ç=Æ 则称A 与B 不相交. 此时称A B È为A 与B 的不相交并.图1.1一族集的并与交 设I 是一非空集(I 可以是有限集或无限集). 若对每个I αÎ都对应一个集,A α 则称{}I A ααÎ为集族, 称I 为指标集. 特别地, 若指标集是自然数集,N 则称{}n n A ÎN 为集列, {}n n A ÎN 一般简写为{}.n A设{}I A ααÎ是一个集族. 这一族集的并集和交集分别定义为:{IA x ααÎ= 存在,I αÎ使得,}x A αÎ1.2图:{IA x ααÎ= 对每个,I αÎ.}x A αÎ 特别地, 若{}n A 是一个集列, 则n n A ÎN和n n A ÎN可以分别记成1n n A ¥= 和1,n n A ¥= 分别称为{}n A 的可列并和可列交.容易证明并与交运算具有如下性质:(1) 交换律: ,.A B B A A B B A È=ÈÇ=Ç(2) 结合律: ()(),A B C A B C ÈÈ=ÈÈ()().A B C A B C ÇÇ=ÇÇ(3) 分配律: ()()(),A B C A B A C ÇÈ=ÇÈÇ()()().A B C A B A C ÈÇ=ÈÇÈ分配律可以推广到一族集的并与交的情形, 即(),I I A B A B ααααÎÎæö÷çÇ=Ç÷ç÷çèø ().I IA B A B ααααÎÎæö÷ç÷ç÷çèø= 设A 和B 是两个集. 由A 中的那些不属于B 的元素所构成的集称为A 与B 的差集, 记为B A -或\A B . 即:.{}A B x x A x B -=ÎÏ并且通常我们所讨论的集都是某一固定集X 的子集, X 称为全集(或全空间). 称全集X 与其子集A 的差集A X -为A 的余集, 记为C A (如图1.2).设,,A B X Ì 称()()A B A B B A =-È- 为A 与B 的对称差集. 对称差集A B 的大小反映了A 与B 差别的大小.以下设所讨论的集都是某一固定集X 的子集. 关于差运算和余运算成立以下性质(4)().(5),.(6),.(7).(8)(),().C C C C C C C C C C C C C A A A A X A A X X A B A B A B A B A B A B =È=Ç=Æ=ÆÆ=-=ÇÈ=ÇÇ=È上述最后一个性质称为De Morgan 公式. De Morgan 公式对一族集的并与交也成立. 这个公式今后要经常用到, 我们将其叙述为如下的定理.定理1.1 (De Morgan 公式) 设{}I A ααÎ是一族集. 则(1) ()CCI IA AααααÎÎ= (并的余集等于余集的交). (2)()CCI IA AααααÎÎ= (交的余集等于余集的并).证明 (1).设(),CIx A ααÎÎ则.Ix A ααÎÏ 于是对任意,I αÎ .x A αÏ 即对任意,I αÎ .C x A αÎ 因此.CIx A ααÎÎ 这表明().CCI IA A ααααÎÎÌ上述推理可以反过来, 即从CIx A ααÎÎ 可以推出().CIx A ααÎÎ这表明().CC IIA A ααααÎÎÌ因此(1)成立. 类似地可以证明(2). ■定理1.1的证明过程是证明两个集相等的典型方法. 下面再举两个例子. 例1 设}{n f 是1R 上的一列实值函数, 满足121()()()(),n n f x f x f x f x +£££££ ∈x 1R .并且1lim ()()().n n f x f x x ¥=ÎR 则对任意实数c 成立1:():().{}{}n n x f x c x f x c ¥=>=> (1.1)证明 若{:()},x x f x c Î> 则().f x c > 由于lim ()(),n n f x f x ¥= 当0n 充分大时, 0().n f x c > 因此0(){:}.n x x f x c >Î 这表明1:():().{}{}n n x f x c x f x c ¥=>Ì>另一方面, 由于1()()(),n f x f x x ³ÎR 对任意自然数,n 若(),n f x c >则().f x c > 因此:():(){}{}.n x f x c x f x c >>Ì 从而1:():().{}{}nn x fx c x f x c ¥=>Ì>这就证明了(1.1)式成立.在给出下面的例子之前, 先解释一下多重可列并与可列交的意义. 设对每个自然数n 和k 对应有一个集,.n k A 则,11n k n k A ¥¥== 表示,11.n k n k A ¥¥==æö÷ç÷ç÷çèø 换言之, 若令,1,n n k k B A ¥== 则,,11111.n k n k n n k n k n A A B ¥¥¥¥¥=====æö÷ç==÷ç÷çèø 对于更多重的可列并和可列交运算, 可以作类似的理解.例2 设{}n f 是定义在n R 上的一列实值函数. 令:lim ()0.{}n n n A x f x ¥=Î=R 则111:().{}n n k m n mA x f x k ¥¥¥====Î<R (1.2)证明 由于0)(lim =∞→x f n n 的充要条件是, 对任意正整数,1≥k 存在正整数,1≥m 使得对任意正整数m n ≥成立1().n kf x < 因此11,1,,:(){}n kx A k m n m x x f x Î "³$³"³Î<使得1111111,1,:()1,:():().{}{}{}n n mn m n m n k m n m kkkk m x x f x k x x f x x x f x ¥=¥¥==¥¥¥=== "³$³Î< "³Î< Î< 使得因此(1.2)成立. ■在例2中, 集A 的表达式(1.2)看起来较复杂, 但它是通过比较简单的集1{:()}n kx f x <的运算得到的, 以后我们会看到集的这种表示方法是很有用的.设1,,n A A 是n 个集. 由有序n 元组的全体所成的集111(,,):,,{}n n n x x x A x A ÎÎ称为1,,n A A 的直积集(简称为直积), 记为1.n A A ´´例如, 平面2R 可以看作是1R 与1R 的直积, 即211=´R R R . 而´Q Q 是平面上以有理数为坐标的点所成的集, ´Q Q 中的点称为有理点. 又例如,[,][,](,):,{}a b c d x y a x b c y d ´=££££就是平面上的长方形.1.1.3 集列的极限设}{n A 是一个集列. 称集:{x x 属于无限多个(1)}n A n ³.为集列}{n A 的上极限, 记为.lim n n A ∞→ 称集:{x x 至多不属于有限个(1)}n A n ³为集列}{n A 的下极限, 记为.lim n n A ∞→显然⊂∞→n n A lim .lim n n A ∞→ 若=∞→n n A lim ,lim n n A ∞→ 则称集列}{n A 存在极限, 并称=A =∞→n n A lim n n A ∞→lim为集列}{n A 的极限, 记为.lim n n A ∞→定理1.2 设}{n A 是一个集列. 则1lim ,n k n n k n A A ¥¥¥=== (1.3)1lim .n k n n k nA A ¥¥¥=== (1.4)证明 我们有lim n n x A ¥Î x 属于无限多个(1)n A n ³.对任意1,,k n k n x A ³³Î存在使得对任意1,k k n n x A ¥=³Î1.k n k nx A ¥¥== Î因此(1.3)式成立. 类似地可证明(1.4)式. ■设}{n A 是一个集列. 若对每个1,n ³ 均有1+⊂n n A A , 则称}{n A 是单调递增的, 记为↑n A . 若对每个1,n ³ 均有1n n A A +É, 则称}{n A 是单调递减的, 记为↓n A . 单调递增和单调递减的集列统称为单调集列.定理1.3 单调集列必存在极限. 并且(1) 若}{n A 是单调递增的, 则1lim n n n n A A ¥¥== .(2) 若}{n A 是单调递减的, 则1lim n n n n A A ¥¥== .证明 (1). 因为}{n A 是单调递增的, 因此对任意,1≥n 有,kn k nAA ¥==1.kk k nk A A ¥¥===于是利用定理1.2得到11lim .n k n n n k nn A A A ¥¥¥¥=====1111lim .n k k k n n k nn k k A A A A ¥¥¥¥¥¥========所以 .lim lim 1∞=∞→∞→==n n n n n n A A A 因此n n A ∞→lim 存在, 并且1lim .n n n n A A ¥¥== 类似可证明结论(2). ■例 3 设110,1,0,1.((]n n A B n n=-=+ 由于}{n A 是单调递增的, {}n B 称单调递减的. 根据定理1.3,),1,0(lim 1==∞=∞→ n n n n A A ].1,0(lim 1==∞=∞→ n n n n B B例 4 设{}n f 和f 如例1. 令:()(1){}.n n A x f x c n =>³ 则{}n A 是单调递增的. 根据定理1.3并且利用(1.1)式, 我们有1lim :().{}n n n n A A x f x c ¥¥===>习 题 习题1, 第1题的(2), (4), (5)小题, 第 2,3,4题.§ 1.2 映射 可列集与基数本节要点 本节除介绍映射的基本概念外,重点介绍基数,可数集与不可数集的基础知识.一一对应的思想与方法贯穿本节的核心.基数的概念,可数集的讨论,都要用的一一对应的思想.要证明一个集是可数集或者证明两个集的基数相等,有时需要一定的技巧,因而具有一定的难度.本节举了较多的例子说明这种方法和技巧.Bernstein 定理是在证明两个集的基数相等时常用的定理. 1.2.1 映 射在学习数学分析时我们对函数已经很熟悉. 在那里函数的定义域通常是nR 的子集, 值域是实数集或者复数集. 若将函数的定义域和值域换成一般的集, 就得到映射的概念.定义1.1 设,X Y 是两个非空集. 若f 是某一法则，使得对每个x X Î有唯一的Y y ∈与之对应, 则称f 为从X 到Y 的映射, 记为.:Y X f →当y 与x 对应时, 称y 为x 在映射f 下的像, 记为).(x f y = 称x 为y 的一个原像. 称X 为f 的定义域.在上述定义中, 若Y 是实数集或复数集, 习惯上仍称f 为函数.在数学分析中我们熟知的函数当然是一种映射. 除此之外, 我们还经常会遇到许多其它的映射. 由于习惯的原因, 这些映射在不同的场合有不同的名称.例1 设()i j A a =是一个n n ´阶矩阵. 作映射:n n T R R 使得11(,,)(,,),n n T x x y y =其中1ni i j j j y a x ==å(1,,).i n = 用矩阵表示即111111n n n nn n y a a x y a a x æöæöæö÷÷÷ççç÷÷÷ççç÷÷÷ççç÷÷÷=ççç÷÷÷ççç÷÷÷ççç÷÷÷÷÷÷çççèøèøèø. 在线性代数中, 称T 为由矩阵A 确定的线性变换.例 2 设[,]C a b 是区间[,]a b 上实值连续函数的全体, 0[,].x a b Î 则0:[,],(),:[,],()ba C ab f f x C a b f f x dxϕψ òR R都是[,]C a b 到1R 的映射. 在泛函分析中, 这两个映射都称为泛函.例 3 设(1)[,]C a b 是区间[,]a b 上具有一阶连续导数的函数的全体. 则(1):[,][,],()()D C a b C a b f x f x ¢是(1)[,]C a b 到[,]C a b 的映射. 在泛函分析中, 这个映射称为算子.例4 设{}n x 是一实数列. 令()(),n f n x n =ÎN 则f 是N 到1R 的映射. 因此数列实际上是定义在自然数集N 上的函数.设A 是X 的子集. 称Y 的子集():{}f x x A Î为A 在映射f 下的像, 记为().f A 特别地, 称()f X 为f 的值域. 设B 是Y 的子集. 称X 的子集:(){}x X f x B ÎÎ为集B 在映射f 下的原像, 记为1().f B -由像和原像的定义可以直接验证以下事实: 设f 是X 到Y 的映射, 则()()()()()()111111()().()().()().()().()().IIIIIIIICC f A f A A X fA f A A X fB fB B Y f B fB B Y f B f B B Y ααααααααααααααααααααÎÎÎÎ--ÎÎ--ÎÎ--=ÌÌÌ=Ì=Ì=Ì 定义1.2 设Y X f →:是X 到Y 的映射. 如果当21x x ≠时，),()(21x f x f ≠ 则称f 是一对一的 (或单射). 如果,)(Y X f = 则称f 为映上的(或满射). 如果映射:f X Y 是一对一映上的, 则称f 是X 到Y 的一一对应(或双射).定义1.3 设:f X Y 是一一对应的映射. 定义映射:,,g Y X y x其中X x ∈并且满足y x f =)((由于f 是一对一映上的, 这样的x 存在并且唯一). 称g 为f 的逆映射, 记为.1-f逆映射是反函数概念的推广. 由逆映射的定义知道成立以下等式:11(())(),(())().f f x x x X f f y y y Y --=Î=Î定义1.4 设Y X f →:和Z Y g →:是两个映射. 令()(()),.h x g f x x X =Î则h 是X 到Z 的映射. 称h 为f 与g 的复合映射, 记为.f g设Y X f →:和Z Y g →:是两个映射, .C Z Ì 则111()()(()).g f C f g C ---= 设A 是X 的子集, f 和f ~分别是A 到Y 的和X 到Y 的映射. 若对每个A x ∈成立),()(~x f x f = 则称f ~是f 在X 上的延拓. 称f 是f ~在A 上的限制, 记为.~A f f =设A 是X 的子集. 令1,,()0,.A x A x x A Îìïï=íïÏïîχ则()A x χ是定义在X 上的函数, 称之为A 的特征函数. 以后会经常用到这个函数.关于特征函数成立以下简单性质:(1)()().(2)()()()().A B A B A B A B A B x x x x x x χχχχχχÈÇÌ £=+-11(3)()()().(4)()()(()),()().(5)(,)()()(,).CA B A B A B A B A A A B A B x x x x x x x x x y x y A X B Y χχχχχχχχχχχÇ-´=⋅=-=-=⋅ÌÌ()11(6)()(),().n A A n m n n n x x A A A A m n χχ¥¥====Ç=ƹå利用特征函数为函数的表示带来方便. 例如, 设1,,n A A 是X 的互不相交的子集, 1.ni i X A == 若()(1,,)i f x i n = 是定义在i A 上的函数, 则定义在X 上的函数11(),,()(),,nn f x x A f x f x x A ìÎïïïï=íïïÎïïî可以表示为1()()().i ni A i f x f x x χ==å1.2.2 可列集定义 1.5 设B A ,是两个非空集. 若存在一个从A 到B 的一一对应的映射, 则称A 与B 是对等的, 记为A B . 此外规定∅~.∅例如, 数集{}111,,,23A = 与自然数集N 是对等的. 又如圆周去掉一点后与全直线对等. 两个半径不同的圆作为平面上的点集是对等的(图1.3).x x 'O Px 'X O xY图1.3 显然, 集的对等关系具有如下性质:(1) A A (反身性).(2) 若,A B 则B A (对称性).(3) 若,A B ,B C 则A C (传递性).利用对等的概念, 可以给出有限集和无限集的严格定义. 设A 是一非空集. 若存在一个自然数,n 使得A 与集1,2{,,}n 对等, 则称A 为有限集. 规定空集是有限集. 若A 不是有限集, 则称A 为无限集.自然数集N 是无限集. 自然数集有一个重要的特点, 就是它的元素可以编号排序成为一个无穷序列(稍后我们将会举例说明, 并非每个无限集都可以做到这一点). 具有这种性质的集就是我们下面要讨论的可列集.定义1.6 与自然数集N 对等的集称为可列集.有限集和可列集统称为可数集. 注意, 有的作者将我们这里的可列集称为可数集. 此时可数集不包括有限集.由对等关系的传递性知道, 若A 是可列集, B 与A 对等, 则B 也是可列集. 定理1.4 集A 是可列集的充要条件是A 的元素可以编号排序成为一个无穷序列12{,,,,}.n A a a a = (1.5)证明 设A 是可列集, :A ϕ N 是一一对应的映射. 对任意,a A Î 若(),a n ϕ= 则将a 记为.n a 这样, A 的元素就编号排序成为如(1.5)式的无穷序列: 反过来, 若A 的元素可以编号排序成为如(1.4)的无穷序列, 令(),n f a n = 则f 是A 到N 的一一对应的映射. 因此A 是可列集. ■注意, 编号排序必须既无遗漏, 也无重复.例 5 自然数集当然是可列集. 以下几个集都可以编号排序, 因此都是可列集:奇自然数集: {1,3,5,,21,}.n -整数集Z : {0,1,1,2,2,,,,}.n n ---三角函数系: {1,cos ,sin ,cos 2,sin 2,,cos ,sin ,}x x x x nx nx在上面的例子中, 奇自然数集是自然数集的真子集, 但却与自然数集对等. 这表明无限集可以与其真子集对等. 这与有限集的情形是不同的.下面给出一个不可数集的例子.定理1.5 区间)1,0(不是可数集证明 首先注意到, 区间)1,0(中的实数可以表示为十进制无限小数:321.0a a a x =,其中i a 是0,1,,9 中的数字, 并且有无限多个i a 不为零. 例如5.0表示为,499.0 不表示为 500.0. 这样, )1,0(中每个实数的表示是唯一的(本节后面讨论的p 进制小数表示法, 将把这种表示法一般化).我们证明)1,0(不是可列集. 用反证法. 若)1,0(是可列集 则)1,0(中的实数可以编号排序成为一个无穷序列:},,,,{)1,0(321 x x x = (1.6),.0)1(3)1(2)1(11 a a a x =,.0)2(3)2(2)2(12 a a a x =,.0)3(3)3(2)3(13 a a a x =.现在考虑小数3210.0a a a x =,其中()()11,2, 1.i i i i i a a a ì¹ïï=íï=ïî则)1,0(0∈x . 但是i x x ≠0(1,2,3,)i = (因为0x 与i x 的第i 位数字不同). 这样0x 就不在(1.6)式的序列中, 这与假设矛盾! 因此)1,0(不是可列集. ■例 6 若A 是可列集, B 是有限集, 则A B È是可列集.证明 设},,,{21 a a A =1{,,}.n B b b = 若,A B Ç=Æ 则A B È的元素可以编号排序为112{,,,,,}.n A B b b a a È=此时A B È是可列集. 若,A B Ç¹Æ 注意到(),A B A B A È=È-这表明A B È可以表示为可列集与有限集的不相交并, 此时A B È也是可列集. ■定理1.6 可列集的任何无限子集还是可列集. 换言之, 可列集的子集是可数集.证明 设A 是一可列集, 则A 的元素可以编号排序成为一个无穷序列.,,,,21 n a a a设B 是A 的一个无限子集. 则B 中的元素是上述序列的一个子列.,,,,21 k n n n a a a因此B 是可列集. ■结合定理1.5和定理1.6知道, 实数集1R 是不可列集.定理1.7 任何无限集必包含一个可列子集.证明 设A 是无限集. 在A 中任取一个元, 记为.1a 假定11,,-n a a 已经取定. 由于A 是无限集, 故},,{11--n a a A 不空. 在},,{11--n a a A 中任取一个元, 记为.n a 这样一直作下去, 就得到A 中的一个无穷序列}.{n a 令112{,,},A a a = 则1A 是A 的一个可列子集. ■定理1.8 若{}i A 是一列可列集, 则1n i i A = 和1i i A ¥= 都是可列集.证明 设{}i A 是一列可列集. 则每个i A 的元素可以编号排序. 设12,{,,,},1,2,.i i i i j A a a a i ==先考虑可列并的情形. 1i i A¥= 的元素可按如下方式编号排序:111121314221222324331323344142::::A a a a a A a a a a A a a a A a a在编号排序时, 若碰到前面已编号的重复元素, 则跳过去不再编号. 于是1ii A ¥= 的全部元素可以按上述方式编号排序成为一无穷序列. 所以1i i A ¥= 都是可列集.1n i i A = 也可以用同样的方法编号排序, 因此1nii A = 也是可列集. ■ 定理1.9 若{}i A 是一列有限集, 则1i i A ¥= 是有限集或可列集.证明 记1.i i A A ¥== 我们只需证明, 当A 不是有限集时, A 是可列集. 事实上, 可以先排1A 的元素, 排完1A 的元素后再排2A 的元素, 这样一直排下去, 若碰到重复元素则跳过去不排. 这样, A 的元素可以编号排序成为一无穷序列. 因此A 是可列集. ■定理1.8和定理1.9可以合并叙述为: 可数个可数集的并还是可数集. 定理1.10 若1,,n A A 是可列集, 则它们的直积1n A A ´´ 是可列集. 证明 为简明计不放只证2=n 的情形. 一般情况可以用数学归纳法证明.设112{,,},A a a = 212{,,}.A b b =对每个正整数,1≥k 令11{}{(,):}.k k i k i E A b a b a A =´=Î则121.k k A A E ¥=´= 将(,)i k a b 与i a 对应即知k E 与1A 对等. 因此每个k E 是可列集.根据定理1.8知道12A A ´是可列集. ■推论1.1 设1,,n I I 是n 个可列集. 则1,,11:,,{}n i i n n A a i I i I =ÎÎ是可列集.证明 将1,,n i i a 与1(,,)n i i 对应即知A 与n I I ⨯⨯ 1对等. 由定理 1.10, n I I ⨯⨯ 1是可列集. 因此A 也是可列集. ■例如, 集{:,}i j A a i j =ÎN 是可列集.例7 有理数集Q 是可列集.证明 对每个,,3,2,1 =n 令 {}123,,,.n A n n n= 则每个n A 是可列集. 由于正有理数集+Q =1n n A ¥= 由定理1.8知道+Q 是可列集.由于负有理数集-Q 与+Q 对等, -Q 也是可列集. 从而=Q {0}+-ÈÈQ Q 是可列集. ■ 有理数集是可列集, 这个事实非常重要, 以后会经常用到.例8 设n n=´´Q Q Q 是n R 中的有理点(即座标全为有理数的点)的全体所成的集. 由例7和定理1.10知道n Q 是可列集.例9 整系数多项式的全体是可列集.证明 设n P (0,1,2,3,n = )是n 次整系数多项式的全体. 则0n n P ¥= 就是整系数多项式的全体. 由对应关系0101(,,,)n n n a a x a x a a a +++«即知n P ~01n n -´´´Z Z Z (其中01,,n -=Z Z Z 是整数集，{0}n =-Z Z ). 由于0,,n Z Z 都是可列集, 根据定理1.10, 01n n -´´´Z Z Z 是可列集, 因此每个n P 都是可列集. 再由定理1.8知道0n n P ¥= 是可列集. ■实数x 称为是一个代数数, 若x 是某个整系数多项式的零点. 显然每个有理数是代数数. 由于220x -=的根, 是代数数. 这表明有些无理数也是代数数.例10 代数数集是可列集.证明 根据例9的结论, 可设整系数多项式的全体为}.,,{21 p p 又设 :{A x x =是代数数},:{n A x x =是n p 的实零点}, .,2,1 =n则每个n A 是有限集, 并且1.n n A A ¥== 显然A 是无限集, 根据定理1.9知道, 代数数集是可列集. ■例11 若{}A I α=是直线上一族互不相交的开区间所成的集(注意A 中的元是开区间), 则A 是可数集.证明 对每个,I A αÎ 在其中任意选取一个有理数记为.r α 作映射:f A Q 使得().f I r αα= 由于当12I I αα¹时12,I I ααÇ=Æ因此12.r r αα¹这说明f 是单射. 令(),B f A = 则f 是A 到B 的一一对应的映射, 从而.A B 由于Q 是可列集, ,B ÌQ 由定理1.6知道B 是可数集. 因此A 亦如此. ■例12 定义在区间上的单调函数的间断点的全体是可数集.证明 设()f x 是定义在区间I 上的单调函数, 不妨设()f x 单调增加. 对任意,x I Î()f x 在x 的左右单侧极限(0)f x -和(0)f x +都存在, 并且(0)(0).f x f x -£+ 若x 是()f x 的间断点, 则(0)(0).f x f x -<+ 这样()f x 的每个间断点x 就就对应一个开区间((0),(0)).f x f x -+ 由于当12x x <时12(0)(0),f x f x +£- 因此不同的间断点对应的开区间不相交. 这样()f x 的间断点的全体就对应于直线上的一族互不相交的开区间. 由例11的结果即知()f x 的间断点是可数集. ■1.2.3 基 数两个有限集可以比较它们的元素的多与少. 对于两个无限集, 可以通过元素对应的方法, 在某种意义下也可以比较它们的元素的多与少.定义 1.7 设A 和B 是两个集, 如果,A B 则称A 和B 具有相同的基数(或势). 集A 的基数记为A .根据基数的定义, 所有相互对等的集具有同样的基数. 因此, 集的基数是所有相互对等的集的一种共同属性, 是有限集元素个数这个属性的推广.规定集{1,2,,}n 的基数用n 表示, 空集∅的基数用0表示. 即有限集的基数等于该集中元素的个数. 自然数集N 的基数用符号0À(读作“阿列夫零”)表示.实数集1R 的基数用c 表示, 称之为连续基数.基数的比较 设B A ,是两个集. 若A 与B 的一个子集对等, 则称A 的基数小于或等于B 的基数, 记为.B A ≤ 若,A B £ 但A B ¹ 则称A 的基数小于B 的基数, 记为A B <或.B A >例13 若A 是无限集, 则0.A À£ 换言之, 可列集的基数是无限集基数中的最小的一个. 事实上, 根据定理1.7, A 包含一个可列集. 设这个可列集为1.A 则自然数集N 与A 的子集1A 对等. 因此0.A À=£N此外, 由于N 与1R 不对等, 因此10.À¹=N R 从而0.c À<定理1.11 若A 是无限集, B 是有限集或可列集, 则.A B A È=证明 不妨设,∅=⋂B A 否则用A B -代替.B 又不妨只考虑B 是可列集的情形. 设12{,,}.B b b = 因为A 为无限集, 由定理1.7知道A 包含一个可列子集1.A 设112{,,}.A a a = 作映射:,f A B A È 使得当1n a A Î(1,2,)n = 时, 21(),n n f a a -=当n b B Î(1,2,)n = 时, 2(),n n f b a =当1x A A Î-时, ().f x x =显然f 是A B È到A 的一一对应. 因此,A B A È 于是.A B A È= ■例14 无理数集的基数是.c证明 记无理数集为,A 有理数集为.Q 显然A 是无限集. 根据定理 1.11, 我们有1.A A c =È==Q R因此无理数集的基数是.c ■例14表明在实数集中, 无理数比有理数多得多.设x 是一个实数. 若x 不是代数数, 则称x 为超越数. 类似于例14容易证明, 超越数的全体具有基数.c 而代数数集的基数是0.À 这表明超越数是存在的, 而且要比代数数多得多.例15 区间(0,1)和区间[0,1]的基数都是.c证明 作函数:(0,1)f 1,R 12()tan().f x x π=- 则f 是一一对应的映射. 故(0,1)与1R 对等. 因此(0,1)的基数是.c 由于[0,1](0,1){0,1},=È 根据定理1.11, [0,1](0,1).c ==仿例15的证明, 可以证明直线上任何区间的基数都是.c 在上面在证明[0,1](0,1)=时, 我们利用了定理1.11. 实际上也可以直接作出一个[0,1]到(0,1)的一一对应. 例如, 作映射:[0,1](0,1)ϕ 使得1111(0),(1),,2,3,.23211(),0,1,,,.23n n n x x x ϕϕϕϕæöç====ç+çèø=¹则ϕ是[0,1]到(0,1)的一一对应. 因此[0,1]~(0,1).为了下面的需要, 现在介绍p 进制小数. 设2p ³是一自然数, }{n a 是一个数列, 其中n a 只取0,1,,1p - 为值. 则级数++++n n pa p a p a 2211 (1.7) 收敛, 并且其和[0,1].x Î 把级数(1.7)的和记为..021 n a a a x = (1.8)称上式的右边为p 进制小数. 在p 进制小数(1.8)中, 若有无限多个0,n a ¹ 则称之为p 进制无限小数, 否则称之为p 进制有限小数. 这样, 一个p 进制无限小数表示区间(0,1]中的一个实数.定理1.12 p 进制无限小数与区间(0,1]中的实数一一对应.证明 以2=p 为例. 一般情形是类似的. 上面我们已经知道, 一个二进制无限小数表示区间(0,1]中的一个实数. 反过来, 设(0,1].x Î 将区间(0,1]分割为两个等长的区间(120,ùû和(12,1.ùû 若x 落入在第一个区间, 则令10.a = 若x 落入在第二个区间, 则令1 1.a = 设1a 已经确定,则(111222,.a a x ù+ûÎ将区间(111222,a a ù+û分割为两个等长的区间112,1222a a +æùçúççúèû, 11211,2222a a æùçú++ççúèû. 若x 落入在第一个区间, 则令20.a = 若x 落入在第二个区间, 则令2 1.a = 这样一直作下去, 得到一个数列},{n a 其中0n a =或1, 并且有无限多个.1=n a 由这样的数列}{n a 构成的级数(1.7)的部分和n s 满足.1,210≥<-<n s x nn 令∞→n 得到.lim n n s x ∞→= 这表明x 是级数(1.7)的和. 于是x 可以唯一地表示成二进制无限小数..021 n a a a x = ■设12(,,)a a a = 是一数列. 若每个n a 只取0或1两个可能的值, 则称}{n a 为二元数列.定理1.13 (1) 二元数列的全体所成的集具有基数.c(2) 若X 是一可列集, 则)(X P 具有基数.c证明 (1). 将二元数列的全体所成的集记为,A 二进制无限小数的全体记为.E 由定理1.12, (0,1].E c == 令1:(,,,0,),1,2,{}n B a A a a a n =Î== .即B 是从某一项开始恒为零的二元数列的全体. 对每个1,2,,n = 令1:(,,,0,).{}n n B a A a a a =Î=则1.n n B B ¥== 由于每个n B 只有2n 个元, 故B 是可列集. 作映射:f A B E - 使得()1212(,,)0..f a a a a =则f 是A B -到E 的一一对应, 因此,A B E - 从而.c E B A ==- 由定理 1.11知道().A A B B A B c =-È=-=(2). 设}.,,,,{21 n x x x X = 作映射:(),X A ϕ P 使得),,,()(21 a a C =ϕ ∈C ).(X P其中1,,0,.n n n x C a x C Îìïï=íïÏïî则ϕ是一一对应的映射, 因此)(X P ~A , 从而.)(c A X ==P ■特别地, 自然数集N 的子集的全体所成的集具有基数.c定理1.14* (F. Bernstein 定理) 设,A B 是两个集. 若A 与B 的一个子集对等, 并且B 与A 的一个子集对等, 则A 与B 对等. 用基数表示就是, 若A B £并且,B A £ 则.A B =证明 略(见教材). ■Bernstein 定理是证明两个集对等的一个有力工具. 下面举两个个例子说明Bernstein 定理的应用.例17 .n c =R证明 由于1R 与n R 的子集1(,0,,0):{}x x ÎR 对等, 因此1.n £R R 另一方面, n R 与¥R 的子集11{(,,,0,):(,,)}n n n x x x x ÎR 对等, 因此1.n ¥£=R R R 再由Bernstein 定理即知1.n c ==R R ■例18 设[,]C a b 是[,]a b 上的连续函数的全体. 则[,].C a b c =证明 对任意1,a ÎR 作常数函数()([,]),f x a x a b =Î 则[,].f C a b Î 因此1R 与[,]C a b 的一个子集对等, 从而1[,].C a b £R (1.11)另一方面, 设12{,,}r r 是[,]a b 中的有理数的全体. 作映射:[,]C a b ϕ¥ R 使得()12()(),(),,[,].f f r f r f C a b ϕ=Î则ϕ是单射. 事实上, 若,[,]f g C a b Î使得()(),f g ϕϕ= 则()()i i f r g r =(1,2,).i = 对任意[,],x a b Î 存在{}n r 的一个子列{}k n r 使得k n r x ().k ¥由于f 和g 的连续性得到()lim ()lim ()().k k n n k k f x f r g r g x ¥ ¥=== 所以.f g = 这表明 是单射, 因此[,]C a b 与¥R 的一个子集对等. 于是1[,].C a b ¥£=R R (1.12)综合(1.11)和(1.12), 利用Bernstein 定理即知1[,].C a b c ==R ■注1 根据定理 1.13(2)的结论, 若X 的基数是0,À 则)(X P 的基数是.c 在例13中的已经知道0.c À< 因此若X 是一可列集, 则().X X <P 一般地可以证明对任何一个非空集A , 必有().A A <P 这说明不存在一个具有最大基数的集.注 2 关于连续统假设. 集合论的创立者Cantor 猜想不存在一个集A 使得0.A c À<< Cantor 用了很大精力试图证明这个结论, 但没有成功. 但他相信这个结论是正确的. 这就是著名的“连续统假设”. 在1900年的国际数学家大会上, 著名的数学家希尔伯特(D. Hilbert, 1862-1943)提出了在新世纪数学家应当关注的23个数学问题, 其中第一个就是连续统假设. 连续统假设的真与假只能在给定的集合论的公理系统下才能作出结论. 在Z-F 集合论公理系统的框架下, 这个问题在1938年获得部分解决, 直到1963年获得最终解决. 结论是, 在Z-F 集合论公理系统的框架下, 连续统假设既不能被证明, 也不能被推翻. 连续统假设与集合论的其他公理是彼此独立的.习 题 习题1, 第5题-第13题.§ 1.3 集 类本节要点 本节介绍了代数和σ-代数这两种重要的集类. 特别是σ-代数是在测度论中常用的集类.由一个给定的集类生成的σ-代数是本节的另一个重要的概念.本节最后一部分介绍了在测度论中常用的一种证明方法,即“σ-代数方法”.利用这种方法常常可以简化一些定理的证明.设X 是一固定的非空集. 以X 的一些子集为元素的集称为X 上的集类. 一般用花体字母如A ,B ,C 等表示集类. 例如, 直线上开区间的全体就是1R 上的一个集类. 由X 的所有子集构成的幂集()X P 就是X 上的一个集类. 本节若无特别申明, 均设所考虑的集类都是X 上的集类.设A 是一非空集类. 若对任意,,,A B A B ÎÈÎA A 均有 则称A 对并运算封闭. 显然若A 对并运算封闭, 则A 对有限个集的并运算也封闭. 若对A 中的任意一列集{}n A 总有1,n n A ¥=ÎA 则称A 对可列并运算封闭. 类似可定义集类对其它运算的封闭性.例如, 考虑1R 上的集类11(,),1,2,,.:n i i i A a b n A A =ìüïïïï===ÆíýïïïïîþÌ=R C 或 易知C 对并运算和交运算封闭, 但对差运算和可列并运算不封闭.1.3.1 代数与σ-代数在测度论中经常要遇到具有某些运算封闭性的集类. 对集类要求不同的运算封闭性就得到不同的集类. 本节主要介绍代数和σ-代数两种集类.定义1.8 设A 是一个非空集类. 若A 对并运算和余运算封闭, 则称A 为代数.例1 设X 是一无限集. 则:{}C A X A A A 或是有限集=Ì是代数.事实上, 由于,ÆÎA 故A 非空. 显然A 对余运算封闭. 设,.A B ÎA 若A 和B 都是有限集, 则A B È是有限集, 因而.A B ÈÎA 若A 和B 中至少有一个是无限集, 不妨设A 是无限集. 则C A 是有限集. 由于()C C C C A B A B A È=ÇÌ,故()C A B È是有限集, 此时也有.A B ÈÎA 因此A 对并运算封闭. 这就证明了A 是代数. ■定理1.15 设A 是一个非空集类. 则。