(完整版)实变函数证明题大全(期末复习)
实变函数期末考试重点
实变函数考试重点题目第一章：求极限 Eg ：求1(,)n A n n=的上下极限下极限1111lim inf (,)(,)(0,)n nm n m m A n m n m ∞∞∞======+∞上极限1111lim sup (,)(,)(0,)n nm n mm A n m n m ∞∞∞======+∞P24页 第5题5、设F 是]1,0[上全体实函数所构成的集合,c F 2=.证明：(1)设)(x E χ为E 的示性函数,]}1,0[|{⊂=E E A ,F E x B E ⊂⊂=]}1,0[|)({χ,显然B A ~,于是F B A c ≤==2；(2)设]}1,0[|))(,{(∈=x x f x G f ,}|{F f G C f ∈=,}]1,0[|{R ⨯⊂=P P D ,显然D C F ⊂~,于是cD C F 2=≤=,总之,c F 2=.P30页 定理1 定理2 P35页 第2 12题2.设一元实函数)()(R C x f ∈⇒R ∈∀a ,})(|{a x f x G >=是开集,})(|{a x f x F ≥=是闭集.证明：(1)G x ∈∀0,取0)(0>-=a x f ε,因)()(0x C x f ∈,那么对于0>ε,0>∃δ,..t s δ<-||0x x 时, ε<-|)()(|0x f x f ,即a x f x f =->ε)()(0,从而G x N ⊂),(0δ,所以G 是开集.(2)F x '∈∀0,∃互异点列F x k ⊂}{..t s 0x x k →,显然a x f k ≤)(,因)()(0x C x f ∈,有a x f x f k k ≤=∞→)(lim )(0,即F x ∈0,于是F F ⊂',所以所以F 是闭集.12、设实函数)()(nC x f R ∈⇔O ∈∀G ,O ∈-)(1G f.证明：“⇒”O ∈∀G ,)(10G fx -∈∀,因O ∈∈G x f )(0,0>∃ε..t s G x f N x f ⊂∈)),(()(00ε,那么对于0>ε,0>∃δ,..t s ),(0δx N x ∈∀,均有G x f N x f ⊂∈)),(()(0ε, 从而)(1G fx -∈,于是)(),(10G fx N -⊂δ,所以O ∈-)(1G f.“⇐”n x R ∈∀0,0>∀ε,由于O ∈=)),((0εx f N G , 那么O ∈∈-)(10G fx ,这样0>∃δ..t s )(),(10G fx N -⊂δ,从而)(),(10G f x N x -⊂∈∀δ,均有)),(()(0εx f N x f ∈,即)()(nC x f R ∈.P42页 定理4P44页 定理2 定理3定理2：∀非空n E R ⊂,0>∀d ,}),(|{d E x x U <=ρ ⇒ O ∈⊂U E . 证明：显然U E ⊂.U x ∈∀,取0),(>-=E x d ρδ,),(δx U y ∈∀,有d E x E x x y E y =+<+≤),(),(),(),(ρδρρρ可见U y ∈,这样U x U x ⊂∈),(δ, ∴O ∈⊂U E .P45页 第5.6题5、设非空n E R ⊂,则),(E P ρ在n R 上一致连续.证明：0>∀ε,取εδ=,n Q P R ∈∀,,只要δρ<),(Q P ,由于),(),(),(E Q Q P E P ρρρ+≤,),(),(),(E P P Q E Q ρρρ+≤,有ερρρ<≤-),(|),(),(|Q P E Q E P ,所以, ),(E P ρ在n R 上一致连续.6、∀非空⊕C ∈21,F F ⇒)()(nC P f R ∈∃..t s 1)(0≤≤P f ,且0)(≡P f ,1F P ∈;1)(≡P f ,2F P ∈.证明：显然)(),(),(),()(211nC F P F P F P P f R ∈+=ρρρ,1)(0≤≤P f ,且0)(≡P f ,1F P ∈;1)(≡P f ,2F P ∈.P54页 定理（3）（4） P57页 第5 7题5、设实函数)(x f 在],[b a 上连续,}),(|),{(b x a x f y y x E ≤≤==,证明0*=E m . 证明：因为],[)(b a C x f ∈,于是)(x f 在],[b a 上一致连续,那么0>∀ε, 0>∃δ, ..t s 当δ<-||t s ,时,ε<-|)()(|s f t f .取δ<-na b ,将],[b a 进行n 等分,其分点为b x x x a n =<<<= 10,记],[1i i i x x I -=,])(,)([εε+-=i i i x f x f J ,显然,)(}),(|),{(11ni i ini i J II x x f y y x E ==⨯⊂∈==,∑∑==⨯=⨯≤≤ni i ini i iJ m Im J Im E m 11*)]()([)(0εε)(2)2(1a b na b ni -=⋅-=∑=,于是,由ε的任意性,知0*=E m .7、0*>E m ,证明必E x ∈∃,..t s 0>∀δ,都有0)),((*>δx N E m .证明：反证.假设E x ∈∀,0>∃x δ,使得0)),((*=x x N E m δ ,当然存在以有理数为端点的区间x I ..t s ),(x x x N I x δ⊂∈,由于}{x I 至多有可数个,记作}{k J ,有)(1∞=⊂k kJE E 那么0)(01**=≤≤∑∞=k k J E mE m ,这与条件0*>E m 不符,说明必E x ∈∃,..t s 0>∀δ,都有0)),((*>δx N E m .P65页 定理5 定理6 P68页 第4 5 9 11题4、设M ⊂}{m E ,证明m mm mmE E m inf lim )inf lim (≤.又+∞<∞=)(1m m E m ,证明m mm m mE E m sup lim )sup lim (≥.证明：因m m k k E E ↑⊂∞= ,有m mmk km m mk km mmE EEm E m inf lim lim)()inf lim (1≤==∞=∞→∞=∞=.又因m mk k E E ↓⊃∞= ,+∞<∞=)(1 m m E m ,有m mmk km m mk km mmE EEm E m sup lim lim)()sup lim (1≥==∞=∞→∞=∞=.5、设M ⊂}{m E ,+∞<∑∞=1)(m m E m ,证明0sup lim =m mmE .证明：因m mk k E E ↓⊃∞= ,+∞<≤∑∞=∞=11)()(m mm m Em E m ,有0)(lim)(lim )()sup lim (01=≤==≤∑∞=∞→∞=∞→∞=∞=mk km mk k m m mk km mEm E m E m E m,所以0sup lim =m mmE .P103页 第2题2、证明当)(x f 既是1E 上又是2E 上的非负可测函数时,)(x f 也是21E E 上的非负可测函数. 证明：由条件知 R ∈∀a ,n E x a x f x E M ∈∈>],)(;[1,n E x a x f x E M ∈∈>],)(;[2,于是],)(;[21E E x a x f x E ∈>n E x a x f x E E x a x f x E M ∈∈>∈>=],)(;[],)(;[11 所以)(x f 也是21E E 上的非负可测函数.P104页 第6 11题6、设实函数)()(n C x f R ∈,证明:M ∈∀E ,均有)()(E x f M ∈. 证明：M ∈∀E ,R ∈∀a ,显然O ∈+∞=),(a G ,下面证明M ∈-)(1G f.},)(|{)(10nx a x f x G fx R ∈>=∈∀-,因O ∈∈G x f )(0,0>∃ε..t s G x f N x f ⊂∈)),(()(00ε,这样对于0>ε,0>∃δ,..t s ),(0δx N x ∈∀,均有G x f N x f ⊂∈)),(()(0ε,从而)(1G f x -∈,于是)(),(10G f x N -⊂δ,那么M O ⊂∈-)(1G f.由于M ∈=∈>=--)(},)(|{)(11G f E E x a x f x G f,所以)()(E x f M ∈.11、设)(x f 是E 上的可测函数,)(y g 是R 上的连续函数,证明)]([x f g 是E 上的可测函数.证明：R ∈∀a ,因)()(R C y g ∈,若O ∈-∞=),(a G ,有O ∈<=-})(|{)(1a y g y G g由于})]([|{a x f g x x <∈⇔a x f g <)]([⇔)()(1G g x f -∈⇔)]([11G gfx --∈,于是M ∈=<--)]([})]([|{11G gf a x fg x ,所以)()]([E x f g M ∈.P117页 第2题2、设K x f k ≤|)(|..e a E ,)()(x f x f mk →E x ∈, 证明K x f ≤|)(|..e a E . 证明：+∈∀N m ,当mx f x f k 1|)()(|<-,K x f k ≤|)(|时,mK x f x f x f x f k k 1|)(||)()(||)(|+<+-≤,于是]1|)(|;[m K x f x m mE m +≥= ]|)(|;[]1|)()(|;[K x f x m m x f x f x m k k >+≥-≤0]1|)()(|;[→≥-≤mx f x f x m k ,∞→k ,有0=m mE ,因↑}{m E ,有0lim ]|)(|;[==≥∞→m m E K x f x m 所以K x f ≤|)(|..e a E .课件 第四章第四节 倒数第2~5题3、定理：设)()(x f x f mk →,)()(x g x f mk →E x ∈, 则)(~)(x g x f E. 证明： +∈∀N k m ,, 若mx f x f k 21|)()(|<-,mx g x f k 21|)()(|<-,有mx g x f x f x f x g x f k k 1|)()(||)()(||)()(|<-+-≤-,于是 ]1|)()(|;[m x g x f x E ≥-]21|)()(|;[]21|)()(|;[m x g x f x E m x f x f x E k k ≥-≥-⊂ ,从而]1|)()(|;[m x g x f x mE ≥-]21|)()(|;[]21|)()(|;[mx g x f x mE m x f x f x mE k k ≥-+≥-≤000=+→, 又因∞=≥-=≠1]1|)()(|;[)]()(;[m mx g x f x E x g x f x E ,有 0)]()(;[=≠x g x f x mE ,所以)(~)(x g x f E.1、设)()(x f x f mk →,)()(x g x g mk →,E x ∈, 证明)()()()(x g x f x g x f mk k ++→. 证明：已知,0>∀σ,当2|)()(|σ<-x f x f k ,2|)()(|σ<-x g x g k ,时,σ<-+-≤+-+|)()(||)()(||)]()([)]()([|x g x g x f x f x g x f x g x f k k k k ,由于)()(x f x f m k →,)()(x g x g mk →,E x ∈,有]|)]()([)]()([|;[0σ≥+-+≤x g x f x g x f x m k k0]2|)()(|;[]2|)()(|;[→≥-+≥-≤σσx g x g x m x f x f x m k k ,所以)()()()(x g x f x g x f mk k ++→.2、设)()(x f x f mk →,)()(E x g M ∈且几乎处处有限, 证明)()()()(x g x f x g x f mk →. 证明：已知,)()(x f x f mk →,)(x g 在E 上几乎处处有限,那么0>∀σ,0>∀ε,0>∃K ..t s2]|)()(|;[εσ<≥-Kx f x f x m k , 2]|)(|;[ε<≥K x g x m ]|)()()()(|;[σ≥-x g x f x g x f x m k ]]|)(||)()(|;[σ≥-≤x g x f x f x m k]|)(|;[]|)()(|;[K x g x m K x f x f x m k ≥+≥-≤σεσ<≥+≥-≤]|)(|;[]|)()(|;[K x g x m Kx f x f x m k ,所以)()()()(x g x f x g x f mk →.3、设0)(→mk x f ,证明0)(2→mk x f .证明：已知,0)(→mk x f ,那么0>∀σ,0>∀ε,..t s εσ<≥-]|)()(|;[x f x f x m k ,有εσσ<≥=≥-]|)(|;[]|0)(|;[2x f x m x f x m k k ,所以0)(2→mk x f .。
实变函数期末考试题库
《实变函数》期末考试试题汇编目录《实变函数》期末考试模拟试题（一） (2)《实变函数》期末考试模拟试题（二） (7)《实变函数》期末考试模拟试题（三） (13)《实变函数》期末考试模拟试题（四） (18)《实变函数》期末考试模拟试题（五） (27)《实变函数》期末考试模拟试题（六） (30)《实变函数》期末考试模拟试题（七） (32)《实变函数》期末考试模拟试题（八） (36)《实变函数》期末考试模拟试题（九） (41)《实变函数》期末考试模拟试题（十） (47)《实变函数》期末考试题（一） (57)《实变函数》期末考试题（二） (63)《实变函数》期末考试模拟试题（一）（含解答）一、选择题（单选题）1、下列集合关系成立的是（ A ）（A ）(\)A B B A B ⋃=⋃ （B ）(\)A B B A ⋃= （C ）(\)B A A A ⋃⊆ （D ）(\)B A A ⊆ 2、若n E R ⊂是开集，则（ B ）（A ）E E '⊂ （B ）E 的内部E = （C ）E E = （D ）E E '= 3、设P 是康托集，则（ C ）（A ）P 是可数集 （B ）P 是开集 （C ）0mP = （D ）1mP = 4、设E 是1R 中的可测集，()x ϕ是E 上的简单函数，则（ D ） （A ）()x ϕ是E 上的连续函数 （B ）()x ϕ是E 上的单调函数 （C ）()x ϕ在E 上一定不L 可积 （D ）()x ϕ是E 上的可测函数5、设E 是n R 中的可测集，()f x 为E 上的可测函数，若()d 0Ef x x =⎰，则（ A ）（A ）在E 上，()f z 不一定恒为零 （B ）在E 上，()0f z ≥ （C ）在E 上，()0f z ≡ （D ）在E 上，()0f z ≠ 二、多项选择题（每题至少有两个或两个以上的正确答案） 1、设E 是[0,1]中的无理点全体，则（C 、D ）（A ）E 是可数集 （B ）E 是闭集 （C ）E 中的每一点都是聚点 （D ）0mE > 2、若1E R ⊂至少有一个内点，则（ B 、D ）（A ）*m E 可以等于零 （B ）*0m E > （C ）E 可能是可数集 （D ）E 是不可数集3、设[,]E a b ⊂是可测集，则E 的特征函数()E X x 是 （A 、B 、C ） （A ）[,]a b 上的简单函数 （B ）[,]a b 上的可测函数 （C ）E 上的连续函数 （D ）[,]a b 上的连续函数4、设()f x 在可测集E 上L 可积，则（ B 、D ）（A ）()f z +和()f z -有且仅有一个在E 上L 可积 （B ）()f z +和()f z -都在E 上L 可积 （C ）()f z 在E 上不一定L 可积 （D ）()f z 在E 上一定L 可积5、设()f z 是[,]a b 的单调函数，则（ A 、C 、D ）（A ）()f z 是[,]a b 的有界变差函数 （B ）()f z 是[,]a b 的绝对连续函数 （C ）()f z 在[,]a b 上几乎处处连续 （D ）()f z 在[,]a b 上几乎处处可导 三、填空题（将正确的答案填在横线上）1、设X 为全集，A ，B 为X 的两个子集，则\A B=C A B ⋂ 。
（完整版）实变函数期末复习
（完整版）实变函数期末复习实变函数期末复习选择题1．设,...,],)(,[21121=-+=n nA nn 则（）A.],[lim 10=∞→n n A B.],(lim 10=∞→n n A C.],(lim 30=∞→n n A D.),(lim 30=∞→n n A2.设N i i x i x A i ∈+≤≤=},:{23，则=∞=I 1i i A （） A.（-1,1） B.[0,1] C.? D.{0}3.集合E 的全体聚点所组成的集合称为E 的（）A.开集B.边界C.导集D.闭包4.若}{n A 是一闭集列，则Y ∞=1n n A是（）A.开集B.闭集C.既非开集又非闭集D.无法判断5若)(x f 可测，则它必是（）A.连续函数B.单调函数C.简单函数D.简单函数列的极限6关于简单函数与可测函数下述结论不正确的是（）A.简单函数一定是可测函数B.简单函数列的极限是可测函数C.简单函数与可测函数是同一概念D.简单函数列的极限与可测函数是同一概念7设)(x f 是可测集E 上的非负可测函数，则)(x f （）A.必可积B.必几乎处处有限C.必积分确定D.不一定积分确定8设E 是可测集，则下列结论中正确的是（）A.若)}({x f n 在E 上a.e 收敛于一个a.e 有限的可测函数)(x f ，则)(x f n 一致收敛于)(x fB.若)}({x f n 在E 上基本上一致收敛于)(x f ，则)(x f n a.e 收敛于)(x fC.若)}({x f n 在E 上a.e 收敛于一个a.e 有限的可测函数)(x f ，则)(x f n 基本上一致收敛于)(x fD.若)}({x f n 在E 上a.e 收敛于一个a.e 有限的可测函数)(x f ，则)(x f n ?)(x f9设)(x f 是可测集E 上可积，则在E 上（）A.）（x f +与)(x f - 只有一个可积B.）（x f +与)(x f - 皆可积C.）（x f +与)(x f - 一定不可积D.）（x f +与)(x f - 至少有一个可积 10.)(x f 在可测集E 上)(L 可积的必要条件是，)(x f 为（）A 、连续函数B 、几乎处处连续函数C 、单调函数D 、几乎处处有限的可测函数11设)(x D 为狄立克雷函数，则?=10)()(dx x D L （）A 、 0B 、 1C 、1/2D 、不存在 12设}{nE 是一列可测集，ΛΛn E E E 21，且+∞<1mE ，则有（）（A ）n n n n mE E m ∞→∞==??? ???lim 1 (B) n n n n mE E m ∞→∞=≤??? ???lim 1 （C ）n n n n mE E m ∞→∞=∞→n n A lim( ) A 、Φ B 、[0, n] C 、R D 、(0, ∞)14设)1,0(n A n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( )A 、(0, 1)B 、(0, n1) C 、{0} D 、Φ、填空题1、设A 为一集合，B 是A 的所有子集构成的集合；若A =n, 则B =2、设A 为一集合，B 是A 的所有子集构成的集合；若A 是一可数集, 则B =3、若c A =, c B =, 则=?B A4、若c A =, B 是一可数集, 则=?B A5、若c A =, n B =, 则=?B A6、若}{n A 是一集合列, 且c A n =, =?∞=n n A 1 7、设}{i S 是一列递增的可测集合，则=∞→)lim (n n S m _______。
实变函数(复习资料,带答案)
---《实变函数》试卷一一、单项选择题（ 3 分×5=15 分）1、下列各式正确的是（）（ A） lim A n A k ;（B） lim A nn 1 k n A k ;n n 1 k n n（ C） lim A n A k ;（ D） lim A nn 1 k A k ;n n 1 k n n n2、设 P 为 Cantor 集，则下列各式不成立的是（）（A）P c (B)mP 0(C)P'P(D)P P3、下列说法不正确的是（）(A)凡外侧度为零的集合都可测（ B）可测集的任何子集都可测(C) 开集和闭集都是波雷耳集（D）波雷耳集都可测4、设f n ( x) 是 E 上的a.e.有限的可测函数列 , 则下面不成立的是()（A）若f n(x) f ( x) ,则f n( x) f ( x)(B)sup f n ( x) 是可测函数（C）inf f n (x) 是可测函数 ; （ D）若n nf n (x) f (x) ,则 f (x) 可测5、设 f(x) 是[ a,b]上有界变差函数，则下面不成立的是（）(A) f (x) 在 [ a, b] 上有界(B)f ( x) 在 [ a,b] 上几乎处处存在导数（C）f'( x)在[ a, b]上 L 可积 (D)bf '(x)dx f (b) f (a)a二.填空题 (3 分× 5=15 分 )1、(C s A C s B) ( A ( A B))_________2、设 E 是 0,1 上有理点全体，则oE' =______, E =______, E =______.3、设 E 是 R n中点集，如果对任一点集T 都，则称 E是L可测的4、f ( x)可测的 ________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数 . （填“充分”，“必要”，“充要”）5、设f (x)为 a, b 上的有限函数，如果对于a, b 的一切分划，使_____________________________________则,称f ( x)为a, b 上的有界变差函数。
实变函数(复习资料_带答案)资料
集。
0, 开集 G E,使 m* (G E)
，则 E 是可测
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3. （6 分）在 a, b 上的任一有界变差函数 f ( x) 都可以表示为 两个增函数之差。
5. （8 分）设 f ( x) 在 E a,b 上可积，则对任何 0 ，必存
b
在 E 上的连续函数 ( x) ，使 | f ( x) (x) | dx . a
E
四、解答题 （8 分× 2=16 分） .
1、（8分）设 f (x)
x2, x为无理数 ，则 f ( x) 在 0,1 上是否 R
1, x为有理数
可积，是否 L 可积，若可积，求出积分值。
五、证明题 （6 分× 4+10=34 分） . 1、（6 分）证明 0,1 上的全体无理数作成的集其势为 c
可测集；
二. 填空题 (3 分× 5=15 分)
1、设 An
11 [ , 2 ], n 1,2,
，则 lim An
_________。
nn
n
2、设 P 为 Cantor 集，则 P
o
，mP _____，P =________。
3、设 Si 是一列可测集，则 m i 1 Si ______ mSi i1 4、鲁津定理：
4.（8 分）设函数列 fn (x) ( n 1,2, ) 在有界集 E 上“基本上” 一致收敛于 f ( x) ，证明： fn (x) a.e.收敛于 f ( x) 。
2． x
E , 则存在 E中的互异点列
{
xn },
使 lim n
xn
x ……… .2
分
xn E, f ( xn ) a ………………… .3 分
实变函数复习题
《实变函数》一、单项或多项选择题1、下列正确的是（ 2 3 4 ）（1）\(\)(\)\A B C A B C = （2）()()()A B C A B A C =（3）()()cc \AB C AB C = （4）()(\)\\A B C A B C =2、下列正确的是（ 2 4 ） （1）无理数集是可数集；（2）超越数构成的集合是不可数集；（3）若R 中两个Lebesgue 可测集A 和B 的基数相等，则它们的测度也相等； （4）Q 表示全体有理数集，则2014Q 是可数集.3、在R 中令111{1,,,,},23A n=则（ 3 4 ） （1）A 为闭集 （2）A 为开集 （3）{}'0A = （4）A 为疏集 4、设A R ⊂满足0mA =，则（ 1 3 ）（1）A 为Lebesgue 可测集 （2）A 为可数集 （3）任意可测函数f 在A 上可积 （4）A 为疏集5、在R 上定义()f x ，当x 为有理数时，()1f x =，当x 为无理数时，()0f x =，则（ 3 4 ）（1） f 几乎处处连续 （2）f不是可测函数（3） f 在R 上处处不连续 （4）f 在R 上为可测函数 6、设,(X),n f f M ∈则（1 2 3 4 ）（1）()f M X +∈ （2）()f M X ∈（3）()2f M X ∈ （4）()lim n nf M X ∈7、若f 在[]0,1上L 可积，则下列成立的是（ 1 2 ）（1）f <+∞在[]0,1上几乎处处成立 （2）f 在[]0,1上L 可积 （3）f 在[]0,1上几乎处处连续 （4）2f 在[]0,1上非L 可积8、设(),1,2,3,n f f n =是X 上几乎处处有限的可测函数，则下列结论正确的是（ 13 ）（1）若,..,n f f a u →则,.e.;n f f a →（2）若,.e.,n f f a →则,..;n f f a u → （3）若,..,n f f a u →则;n f f μ→ （4）若,n f f μ→则,...n f f a u →9、若{}n A 为降列，且12A μ=，则lim n n A μ→∞（ 4 ）（1）0 （2）∅ （3）1n n A μ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭ （4）1n n A μ∞=⎛⎫⎪⎝⎭10、有界实函数f 在区间[]a b ，上Riemann 可积的充要条件是f 的不连续点集为（ 4 ） （1）空集 （2）有限集 （3）可数集 （4）零测度集 11、设[],f BV a b ∈，则下列成立的是（ 1 4 ） （1）f 在[],a b 上有界； （2）f 在[],a b 上连续； （3）f 在[],a b 上可微； （4）f 是两个增函数之差.12、整数集的内部和闭包分别为（ 1 ）（1）∅， （2）， （3）∅， （4），13、设()[](],0,12,1,2x x f x x x ⎧∈⎪=⎨-∈⎪⎩，令()12A x f x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，则mA =（ 2 ）（1）0 （2）1 （3）2 （4）314、下列哪些集合是测度为零的不可数集（ 3 ）（1） （2） （3）Cantor 集 （4）15、设()[]1013,10,0,1\x n f x x n ⎧⎧⎫∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭=⎨⎧⎫⎪∈⎨⎬⎪⎩⎭⎩，则()[]0,1f c dm =⎰（ 1 ）（1）0 （2）1 （3）2 （4）103 16、超越数的个数为（ 3 ）（1）2 （2）a （3）c （4）2c17、[0,1],(0)2,f AC f ∈=且0,.f a e '=，则()f x = 3 （1）0 （2）1 （3） 2 （4）318、设12,A A 是R 的可测集，且12A A ，则下列正确的是（ 2 4 ）（1）12mA mA < （2）12mA mA ≤（3）()1212\mA mA m A A -= （4）()1122\mA m A A mA =+ 19、当f 在[)1,+∞上连续且Lebesgue 可积时，则lim ()x f x →+∞= 1（1） 0 （2）1 （3）-1 （4）+∞ 20、21[0,1]n A -=，2[0,2]n A =,()1,2,n =，则lim n nA 和lim n nA 分别为（ 3 ） （1） [][]0,1,0,2 （2）[][]0,1,0,2 （3）[][]0,2,0,1 （4）[][]0,2,0,2 21、下列正确的是（1 4 ） （1）()()()\\C \AB C A B C = （2）()()A B C A B C =（3）\(\)(\)\A B C A B C = （4）()(\)\\A B C A BC =22、设:f X X →是一个映射，,A B X ⊂,下列正确的是（ 2 4 ） （1）()1A ff A -= （2）()()()111f AB f A f B ---= （3）()1B f f B -= （4）()()()111f A B f A f B ---=23、下列与有相同基数的集合是（ 2 3 ）（1） []0,1 （2） （3）（4）24、设A 是[]0,1上所有有理数构成的集合，则'A =（3 ） （1） A （2）[]0,1\A （3）[]0,1 （4）以上都不对 25、下列说法正确的是（ 1 2 3 ） （1）是上的闭集（2）上的开集都可以表示成互不相交的开区间的并（3）是上的疏集（4）的子集不是开集就是闭集 26、下列正确的是（ 1 ） （1）有理数集是可数集；（2）代数数构成的集合是不可数集；（3）若R 中两个Lebesgue 可测集A 和B 的测度相等，则它们的基数也相等； （4）[]0,2内包含的点比[]0,1内包含的点多。
实变函数证明题大全
1、设',()..E R f x E a e ⊂是上有限的可测函数,证明:存在定义在'R 上的一列连续函数{}n g ,使得lim ()()..n n g x f x a e →∞=于E 。
证明:因为()f x 在E 上可测,由鲁津定理就是,对任何正整数n ,存在E 的可测子集n E ,使得1()n m E E n-<, 同时存在定义在1R 上的连续函数()n g x ,使得当n x E ∈时,有()()n g x f x =所以对任意的0η>,成立[||]n n E f g E E η-≥⊂-由此可得1[||]()n n mE f g n m E E n-≥≤-<,因此lim [||]0n n mE f g n →∞-≥=即()()n g x f x ⇒,由黎斯定理存在{}n g 的子列{}k n g ,使得lim ()()k n k g x f x →∞=,..a e 于E2、设()(,)f x -∞∞是上的连续函数,()g x 为[,]a b 上的可测函数,则(())f g x 就是可测函数。
证明:记12(,),[,]E E a b =-∞+∞=,由于()f x 在1E 上连续,故对任意实数1,[]c E f c >就是直线上的开集,设11[](,)nn n E f c αβ∞=>=U ,其中(,)n n αβ就是其构成区间(可能就是有限个,nα可能为-∞nβ可有为+∞)因此222211[()][]([][])n n n n n n E f g c E g E g E g αβαβ∞∞==>=<<=><I U U 因为g 在2E 上可测,因此22[],[]n n E g E g αβ><都可测。
故[()]E f g c >可测。
3、设()f x 就是(,)-∞+∞上的实值连续函数,则对于任意常数a ,{|()}E x f x a =>就是一开集,而{|()}E x f x a =≥总就是一闭集。
实变函数期末考试题
上单调函数的不连续点所成之集的测度等于n上的广11 ()k E f ak∞=≥+=_________.7．设f是[a上的单调函数，则8．设f是可测集E上的非负可测函数，则_________.9．区间[上的有界是10．设F (x)是定义在的充要条件是：1jk j k A∞∞==； B.1jk j kA∞∞==C.1lim k j k k j kA A ∞∞→∞===； D. 1lim k j k k j kA A ∞∞→∞===。
2．设f (x )是E 上的可测函数，则对任意实数a ，有 ( )A. E [x ; f (x ) >a ]是开集；B. E [x ; f (x ) ≥ a ]是闭集；C. E [x ; f (x ) >a ]是可测集；D. E [x ; f (x ) = a ]是零测集。
3．下列断言中错误的是 ( )A. 有理点集为零测集；B. Cantor 集为零测集；C. 零测集的子集是零测集；D. 无穷个零测集的并是零测集。
4．设f (x )为可测集E 上的可测函数，若()Ef x dx <+∞⎰，则下列断言错误的是 ( )A. f (x )在E 上L-积分存在；B. f (x )在E 上L-可积；C. f (x )在E 上未必L-可积；D. f (x )在E 上a.e.有限。
5．设{}k f 是nE ⊂上的可测函数列，lim ()k k f x →∞存在，则lim ()k k f x →∞是 （ ）A.简单函数；B.连续函数；C.可测函数；D.单调函数。
6．设f 是[,]a b 上有界变差函数，则有 ( )A. ()f x 连续；B. ()f x '存在；C ．()f x ' a.e.存在；D. ()f x ''存在。
7．设E 是可测集，A 是不可测集，0mE =，则E A 是 （ ）.A 可测集且测度为零； .B 可测集但测度未必为零； .C 不可测集； .D 以上都不对。
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1、设',()..E R f x E a e ⊂是上有限的可测函数，证明：存在定义在'R 上的一列连续函数{}n g ，使得lim ()()..n n g x f x a e →∞=于E 。
证明：因为()f x 在E 上可测，由鲁津定理是，对任何正整数n ，存在E 的可测子集n E ，使得1()n m E E n-<， 同时存在定义在1R 上的连续函数()n g x ，使得当n x E ∈时，有()()n g x f x =所以对任意的0η>，成立[||]n n E f g E E η-≥⊂-由此可得1[||]()n n mE f g n m E E n-≥≤-<，因此lim [||]0n n mE f g n →∞-≥=即()()n g x f x ⇒，由黎斯定理存在{}n g 的子列{}k n g ，使得lim ()()k n k g x f x →∞=，..a e 于E2、设()(,)f x -∞∞是上的连续函数，()g x 为[,]a b 上的可测函数，则(())f g x 是可测函数。
证明：记12(,),[,]E E a b =-∞+∞=，由于()f x 在1E 上连续，故对任意实数1,[]c E f c >是直线上的开集，设11[](,)n n n E f c αβ∞=>=，其中(,)n n αβ是其构成区间（可能是有限个，nα可能为-∞nβ可有为+∞）因此222211[()][]([][])n n n n n n E f g c E g E g E g αβαβ∞∞==>=<<=><因为g 在2E 上可测，因此22[],[]n n E g E g αβ><都可测。
故[()]E f g c >可测。
3、设()f x 是(,)-∞+∞上的实值连续函数，则对于任意常数a ，{|()}E x f x a =>是一开集，而{|()}E x f x a =≥总是一闭集。
证明：若00,()x E f x a ∈>则，因为()f x 是连续的，所以存在0δ>，使任意(,)x ∈-∞∞，0||()x x f x a δ-<>就有， 即任意00U(,),,U(,),x x x E x E E δδ∈∈⊂就有所以是开集若,n x E ∈且0(),()n n x x n f x a →→∞≥则，由于()f x 连续，0()lim ()n n f x f x a →∞=≥，即0x E ∈，因此E 是闭集。
4、（1）设2121(0,),(0,),1,2,,n n A A n n n-==求出集列{}n A 的上限集和下限集证明：lim (0,)n n A →∞=∞设(0,)x ∈∞，则存在N ，使x N <，因此n N >时，0x n <<，即2n x A ∈，所以x 属于下标比N 大的一切偶指标集，从而x 属于无限多n A ，得lim n n x A →∞∈，又显然lim (0,),lim (0,)n n n n A A →∞→∞⊂∞=∞所以lim n n A φ→∞=若有lim n n x A →∞∈，则存在N ，使任意n N >，有n x A ∈，因此若21n N ->时，211,0,00n x A x n x n -∈<<→∞<≤即令得，此不可能，所以lim n n A φ→∞=（2）可数点集的外测度为零。
证明：证明：设{|1,2,}i E x i ==对任意0ε>，存在开区间i I ，使i i x I ∈，且||2i iI ε=所以1i i I E ∞=⊃，且1||i i I ε∞==∑，由ε的任意性得*0m E =5、设}{n f 是E 上的可测函数列，则其收敛点集与发散点集都是可测的。
证： 显然，{}n f 的收敛点集可表示为0[lim ()lim ()]n n x x E E x f x f x →∞→∞===11[lim lim ]n nx x k E f f k ∞→∞→∞=-<∏. 由n f 可测lim n x f →∞及lim n x f →∞都可测，所以lim lim n n x x f f →∞→∞-在E 上可测。
从而，对任一自然数k ，1[lim lim ]n n x x E f f k→∞→∞-<可测。
故 011[lim lim ]n nx x k E E f f k ∞→∞→∞==-<∏ 可测。
既然收敛点集0E 可测，那么发散点集0E E -也可测。
6、设qR E ⊂，存在两侧两列可测集{n A }，{n B },使得n A ⊂ E ⊂n B 且m （n A -n B ）→0，（n→∝）则E 可测.证明：对于任意i ，i n n B B ⊂∞=1，所以 E B E B i n n -⊂∞=-1又因为 E A i ⊂ ，i i i A B E B -⊂-所以对于任意i ，)(**1E B m E B m i n n -≤-∞=）（ )(*i i A B m -≤)(i i A B m -=令i →∝ ，由)(i i A B m -→0 得0*1=-∞=）（E B m n n 所以E B n n -∞=1是可测的又由于n B 可测，有n n B ∞=1也是可测的所以)(11E B B E n n n n --=∞=∞= 是可测的。
7、设在E 上()()n f x f x ⇒，而()()n n f x g x =..a e 成立，1,2n =，则有()()n g x f x ⇒设[]n n n E E f g =≠，则110n n n n m E mE ∞∞==⎛⎫≤= ⎪⎝⎭∑。
σ∀>1n n n n E f g E E f f σσ∞=⎛⎫⎡-≥⎤⊂⎡-≥⎤ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭所以1n n n n n mE f g m E mE f f mE f f σσσ∞=⎛⎫⎡-≥⎤≤+⎡-≥⎤=⎡-≥⎤ ⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭因为()()n f x f x ⇒，所以0lim lim 0n n nnmE f g mE f f σσ≤⎡-≥⎤≤⎡-≥⎤=⎣⎦⎣⎦即 ()()n g x f x ⇒8、证明：()A B A B '''⋃=⋃。
证明：因为A A B ⊂⋃，B A B ⊂⋃，所以，()A A B ''⊂⋃，()B A B ''⊂⋃，从而()A B A B '''⋃⊂⋃反之，对任意()x A B '∈⋃，即对任意(,)B x δ，有(,)()((,))((,))B x A B B x A B x B δδδ⋂⋃=⋂⋃⋂为无限集，从而(,)B x A δ⋂为无限集或(,)B x B δ⋂为无限集至少有一个成立，即x A '∈或x B '∈，所以，x A B ''∈⋃，()A B A B '''⋃⊂⋃。
综上所述，()A B A B '''⋃=⋃。
9、证明：若()()n f x f x ⇒，()()n f x g x ⇒（x E ∈），则()()f x g x =..a e 于E 。
证明：由于11[()()][]n E x f x g x E x f g n∞=≠=-≥，而 111[][][]22n n E x f g E x f f E x f g k k k-≥⊂-≥⋃-≥，所以，111[][][]22n n mE x f g mE x f f mE x f g k k k-≥≤-≥+-≥，由()()n f x f x ⇒，()()n f x g x ⇒（x E ∈）得1lim []02n n mE x f f k→∞-≥=，1lim []02n n mE x f g k →∞-≥=。
所以，1[]0mE x f g k-≥=，从而[()()]0mE x f x g x ≠=，即()()f x g x =..a e 于E 。
10、、证明：若()()n f x f x ⇒，()()n g x g x ⇒（x E ∈），则()()()()n n f x g x f x g x ±⇒±（x E ∈）。
证明：对任意0σ>，由于()()[()()]()()()()n n n n f x g x f x g x f x f x g x g x ±-±≤-+-，所以，由()()[()()]n n f x g x f x g x σ±-±≥可得，1()()2n f x f x σ-≥和1()()2n g x g x σ-≥至少有一个成立。
从而11[[]][][]22n n n n E x f g f g E x f f E x g g σσσ±-±≥⊂-≥⋃-≥，所以，11[[]][][]22n n n n mE x f g f g mE x f f mE x g g σσσ±-±≥≤-≥+-≥。
又由()()n f x f x ⇒，()()n g x g x ⇒（x E ∈）得，1lim []02n n mE x f f σ→∞-≥=，1lim []02n n mE x g g σ→∞-≥=。
所以，lim [[]]0n n n mE x f g f g σ→∞±-±≥=，即()()()()n n f x g x f x g x ±⇒±（x E ∈）。
11、若()()n f x f x ⇒（x E ∈），则()()n f x f x ⇒（x E ∈）。
证明：因为()()()()n n f x f x f x f x -≥-，所以，对任意0σ>，有[][]n n E x f f E x f f σσ-≥⊂-≥，[][]n n mE x f f mE x f f σσ-≥≤-≥。
又由()()n f x f x ⇒（x E ∈）得，lim []0n n mE x f f σ→∞-≥=。
所以，lim []0n n mE x f f σ→∞-≥=，即()()n f x f x ⇒（x E ∈）。
12、证明：1R 上的连续函数必为可测函数。
证明：设()f x 是1R 上的连续函数，由连续函数的局部保号性，对任意实数a ，11[]{(),}R x f a x f x a x R >=>∈是开集，从而是可测集。
所以，()f x 是1R 上的可测函数。