实变函数证明题全套整合(期末深刻复习)

1、设',()..E R f x E a e ⊂是上有限的可测函数，证明：存在定义在'R 上的一列连续函数{}n g ，使得lim ()()..n n g x f x a e →∞=于E 。

证明：因为()f x 在E 上可测，由鲁津定理是，对任何正整数n ，存在E 的可测子集n E ，使得1()n m E E n-<， 同时存在定义在1R 上的连续函数()n g x ，使得当n x E ∈时，有()()n g x f x =所以对任意的0η>，成立[||]n n E f g E E η-≥⊂-由此可得1[||]()n n mE f g n m E E n-≥≤-<，因此lim [||]0n n mE f g n →∞-≥=即()()n g x f x ⇒，由黎斯定理存在{}n g 的子列{}k n g ，使得lim ()()k n k g x f x →∞=，..a e 于E2、设()(,)f x -∞∞是上的连续函数，()g x 为[,]a b 上的可测函数，则(())f g x 是可测函数。

证明：记12(,),[,]E E a b =-∞+∞=，由于()f x 在1E 上连续，故对任意实数1,[]c E f c >是直线上的开集，设11[](,)n n n E f c αβ∞=>=，其中(,)n n αβ是其构成区间（可能是有限个，nα可能为-∞nβ可有为+∞）因此222211[()][]([][])n n n n n n E f g c E g E g E g αβαβ∞∞==>=<<=><因为g 在2E 上可测，因此22[],[]n n E g E g αβ><都可测。

故[()]E f g c >可测。

3、设()f x 是(,)-∞+∞上的实值连续函数，则对于任意常数a ，{|()}E x f x a =>是一开集，而{|()}E x f x a =≥总是一闭集。

证明：若00,()x E f x a ∈>则，因为()f x 是连续的，所以存在0δ>，使任意(,)x ∈-∞∞，0||()x x f x a δ-<>就有， 即任意00U(,),,U(,),x x x E x E E δδ∈∈⊂就有所以是开集若,n x E ∈且0(),()n n x x n f x a →→∞≥则，由于()f x 连续，0()lim ()n n f x f x a →∞=≥，即0x E ∈，因此E 是闭集。

4、（1）设2121(0,),(0,),1,2,,n n A A n n n-==求出集列{}n A 的上限集和下限集证明：lim (0,)n n A →∞=∞设(0,)x ∈∞，则存在N ，使x N <，因此n N >时，0x n <<，即2n x A ∈，所以x 属于下标比N 大的一切偶指标集，从而x 属于无限多n A ，得lim n n x A →∞∈，又显然lim (0,),lim (0,)n n n n A A →∞→∞⊂∞=∞所以lim n n A φ→∞=若有lim n n x A →∞∈，则存在N ，使任意n N >，有n x A ∈，因此若21n N ->时，211,0,00n x A x n x n -∈<<→∞<≤即令得，此不可能，所以lim n n A φ→∞=（2）可数点集的外测度为零。

证明：证明：设{|1,2,}i E x i ==对任意0ε>，存在开区间i I ，使i i x I ∈，且||2i iI ε=所以1i i I E ∞=⊃，且1||i i I ε∞==∑，由ε的任意性得*0m E =5、设}{n f 是E 上的可测函数列，则其收敛点集与发散点集都是可测的。

证： 显然，{}n f 的收敛点集可表示为0[lim ()lim ()]n n x x E E x f x f x →∞→∞===11[lim lim ]n n x x k E ff k∞→∞→∞=-<∏. 由n f 可测lim n x f →∞及lim n x f →∞都可测，所以lim lim n n x x f f →∞→∞-在E 上可测。

从而，对任一自然数k ，1[lim lim ]n n x x E f f k→∞→∞-<可测。

故 011[lim lim ]n nx x k E E f f k ∞→∞→∞==-<∏ 可测。

既然收敛点集0E 可测，那么发散点集0E E -也可测。

6、设qR E ⊂，存在两侧两列可测集{n A }，{n B },使得n A ⊂ E ⊂n B 且m （n A -n B ）→0，（n →∝）则E 可测.证明：对于任意i ，i n n B B ⊂∞=1，所以 E B E B i n n -⊂∞=-1又因为 E A i ⊂ ，i i i A B E B -⊂-所以对于任意i ，)(**1E B m E B m i n n -≤-∞=）（ )(*i i A B m -≤)(i i A B m -=令i →∝ ，由)(i i A B m -→0 得0*1=-∞=）（E B m n n 所以E B n n -∞=1是可测的又由于n B 可测，有n n B ∞=1也是可测的所以)(11E B B E n n n n --=∞=∞= 是可测的。

7、设在E 上()()n f x f x ⇒，而()()n n f x g x =..a e 成立，1,2n =，则有()()n g x f x ⇒设[]n n n E E f g =≠，则110n n n n m E mE ∞∞==⎛⎫≤= ⎪⎝⎭∑。

σ∀>1n n n n E f g E E f f σσ∞=⎛⎫⎡-≥⎤⊂⎡-≥⎤ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭所以1n n n n n mE f g m E mE f f mE f f σσσ∞=⎛⎫⎡-≥⎤≤+⎡-≥⎤=⎡-≥⎤ ⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭因为()()n f x f x ⇒，所以0lim lim 0n n nnmE f g mE f f σσ≤⎡-≥⎤≤⎡-≥⎤=⎣⎦⎣⎦即 ()()n g x f x ⇒8、证明：()A B A B '''⋃=⋃。

证明：因为A A B ⊂⋃，B A B ⊂⋃，所以，()A A B ''⊂⋃，()B A B ''⊂⋃，从而()A B A B '''⋃⊂⋃反之，对任意()x A B '∈⋃，即对任意(,)B x δ，有(,)()((,))((,))B x A B B x A B x B δδδ⋂⋃=⋂⋃⋂为无限集，从而(,)B x A δ⋂为无限集或(,)B x B δ⋂为无限集至少有一个成立，即x A '∈或x B '∈，所以，x A B ''∈⋃，()A B A B '''⋃⊂⋃。

综上所述，()A B A B '''⋃=⋃。

9、证明：若()()n f x f x ⇒，()()n f x g x ⇒（x E ∈），则()()f x g x =..a e 于E 。

证明：由于11[()()][]n E x f x g x E x f g n∞=≠=-≥，而 111[][][]22n n E x f g E x f f E x f g k k k-≥⊂-≥⋃-≥，所以，111[][][]22n n mE x f g mE x f f mE x f g k k k-≥≤-≥+-≥，由()()n f x f x ⇒，()()n f x g x ⇒（x E ∈）得1lim []02n n mE x f f k →∞-≥=，1lim []02n n mE x f g k→∞-≥=。

所以，1[]0mE x f g k-≥=，从而[()()]0mE x f x g x ≠=，即()()f x g x =..a e 于E 。

10、、证明：若()()n f x f x ⇒，()()n g x g x ⇒（x E ∈），则()()()()n n f x g x f x g x ±⇒±（x E ∈）。

证明：对任意0σ>，由于()()[()()]()()()()n n n n f x g x f x g x f x f x g x g x ±-±≤-+-，所以，由()()[()()]n n f x g x f x g x σ±-±≥可得，1()()2n f x f x σ-≥和1()()2n g x g x σ-≥至少有一个成立。

从而11[[]][][]22n n n n E x f g f g E x f f E x g g σσσ±-±≥⊂-≥⋃-≥，所以，11[[]][][]22n n n n mE x f g f g mE x f f mE x g g σσσ±-±≥≤-≥+-≥。

又由()()n f x f x ⇒，()()n g x g x ⇒（x E ∈）得，1lim []02n n mE x f f σ→∞-≥=，1lim []02n n mE x g g σ→∞-≥=。

所以，lim [[]]0n n n mE x f g f g σ→∞±-±≥=，即()()()()n n f x g x f x g x ±⇒±（x E ∈）。

11、若()()n f x f x ⇒（x E ∈），则()()n f x f x ⇒（x E ∈）。

证明：因为()()()()n n f x f x f x f x -≥-，所以，对任意0σ>，有[][]n n E x f f E x f f σσ-≥⊂-≥，[][]n n mE x f f mE x f f σσ-≥≤-≥。

又由()()n f x f x ⇒（x E ∈）得，lim []0n n mE x f f σ→∞-≥=。

所以，lim []0n n mE x f f σ→∞-≥=，即()()n f x f x ⇒（x E ∈）。

12、证明：1R 上的连续函数必为可测函数。

证明：设()f x 是1R 上的连续函数，由连续函数的局部保号性，对任意实数a ，11[]{(),}R x f a x f x a x R >=>∈是开集，从而是可测集。

所以，()f x 是1R 上的可测函数。