实变函数期末考试题库

《实变函数》期末考试试题汇编目录《实变函数》期末考试模拟试题（一） (2)《实变函数》期末考试模拟试题（二） (7)《实变函数》期末考试模拟试题（三） (13)《实变函数》期末考试模拟试题（四） (18)《实变函数》期末考试模拟试题（五） (27)《实变函数》期末考试模拟试题（六） (30)《实变函数》期末考试模拟试题（七） (32)《实变函数》期末考试模拟试题（八） (36)《实变函数》期末考试模拟试题（九） (41)《实变函数》期末考试模拟试题（十） (47)《实变函数》期末考试题（一） (57)《实变函数》期末考试题（二） (63)《实变函数》期末考试模拟试题（一）（含解答）一、选择题（单选题）1、下列集合关系成立的是（ A ）（A ）(\)A B B A B ⋃=⋃ （B ）(\)A B B A ⋃= （C ）(\)B A A A ⋃⊆ （D ）(\)B A A ⊆ 2、若n E R ⊂是开集，则（ B ）（A ）E E '⊂ （B ）E 的内部E = （C ）E E = （D ）E E '= 3、设P 是康托集，则（ C ）（A ）P 是可数集 （B ）P 是开集 （C ）0mP = （D ）1mP = 4、设E 是1R 中的可测集，()x ϕ是E 上的简单函数，则（ D ） （A ）()x ϕ是E 上的连续函数 （B ）()x ϕ是E 上的单调函数 （C ）()x ϕ在E 上一定不L 可积 （D ）()x ϕ是E 上的可测函数5、设E 是n R 中的可测集，()f x 为E 上的可测函数，若()d 0Ef x x =⎰，则（ A ）（A ）在E 上，()f z 不一定恒为零 （B ）在E 上，()0f z ≥ （C ）在E 上，()0f z ≡ （D ）在E 上，()0f z ≠ 二、多项选择题（每题至少有两个或两个以上的正确答案） 1、设E 是[0,1]中的无理点全体，则（C 、D ）（A ）E 是可数集 （B ）E 是闭集 （C ）E 中的每一点都是聚点 （D ）0mE > 2、若1E R ⊂至少有一个内点，则（ B 、D ）（A ）*m E 可以等于零 （B ）*0m E > （C ）E 可能是可数集 （D ）E 是不可数集3、设[,]E a b ⊂是可测集，则E 的特征函数()E X x 是 （A 、B 、C ） （A ）[,]a b 上的简单函数 （B ）[,]a b 上的可测函数 （C ）E 上的连续函数 （D ）[,]a b 上的连续函数4、设()f x 在可测集E 上L 可积，则（ B 、D ）（A ）()f z +和()f z -有且仅有一个在E 上L 可积 （B ）()f z +和()f z -都在E 上L 可积 （C ）()f z 在E 上不一定L 可积 （D ）()f z 在E 上一定L 可积5、设()f z 是[,]a b 的单调函数，则（ A 、C 、D ）（A ）()f z 是[,]a b 的有界变差函数 （B ）()f z 是[,]a b 的绝对连续函数 （C ）()f z 在[,]a b 上几乎处处连续 （D ）()f z 在[,]a b 上几乎处处可导 三、填空题（将正确的答案填在横线上）1、设X 为全集，A ，B 为X 的两个子集，则\A B=C A B ⋂ 。

2、设n E R ⊂，如果E 满足E E '⊂，则E 是 闭 集。

3、若开区间(,)αβ是直线上开集G 的一个构成区间，则(,)αβ满足(,)G αβ⊂、,G Gαβ∉∉。

4、设A 是无限集，则A 的基数A≥ a （其中a 表示可数基数）。

5、设1E ，2E 为可测集，2mE <+∞，则12(\)m E E ≥12mE mE -。

6、设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，若对任意实数a ，都有[()]E x f x a > 是 可测集 ，则称()f x 是可测集E 上的可测函数。

7、设0x 是1E R ⊂的内点，则*m E >0。

8、设函数列{()}n f x 为可测集E 上的可测函数列，且()()()n f x f x x E ⇒∈，则由黎斯定理可得，存在{()}n f x 的子列{()}kn f x ，使得()kn f x ..a e →()()f x x E ∈。

9、设()f x 是E 上的可测函数，则()f x 在E 上的L 积分不一定存在，且()f x 在E 上 不一定 L 可积。

10、若()f x 是[,]a b 上的绝对连续函数，则()f x 一定 是 [,]a b 上的有界变差函数。

四、判断题（正确的打“√”，错误的打“×”）1、可列（数）个闭集的并集仍为闭集。

（ × ）2、任何无限集均含有一个可数子集。

（ √ ）3、设E 是可测集，则一定存在G δ型集G ，使得E G ⊂，且(\)0m G E =。

（ √ ）4、设E 是零测集，()f z 是E 上的实函数，则()f x 不一定是E 上的可测函数。

（ × ）5、设()f z 是可测集E 上的非负可测函数，则()f x 必在E 上L 可积。

（ × ） 五、简答题1、简述无穷多个开集的交集是否必为开集？ 答：不一定为开集。

例如 取1R 上一列开集为11(1,1)n n--+，1,2,3,n=而111(1,1)[1,1]n n n∞=⋂--+=-是闭集，不是开集。

2、可测集E 上的可测函数与简单函数有何关系？答：①简单函数是可测函数；②可测函数不一定是简单函数；③可测函数一定可以表示成一列简单函数的极限。

3、[,]a b 上的有界变差函数与单调函数有何关系？答：①单调函数是有界变差函数；②有界变差函数不一定是单调函数，但一定可以表示成单调函数的和或差。

六、计算题 1、设1[0,1]()0[0,1]x Q D x x Q∈⋂⎧=⎨∉⋂⎩，其中Q 是有理数集，求[0,1]()d D x x ⎰。

解： 因为{[0,1]}0m Q ⋂=，所以()0..D x a e =于[0,1]，于是[0,1][0,1]()00D x dx dx ==⎰⎰2、求0ln()limcos d xn x n e x x n+∞-→∞+⋅⎰。

解： 因为ln()ln(11)1)cos (1)x x xx x n x n x n e x e e x e n n n----++-+-+≤≤≤+ 而(1)x x e dx +∞-+<+∞⎰所以，由L 控制收敛定理00ln()ln()lim cos d lim cos d 0d 0x xn n x n x n e x x e x x x n n +∞+∞+∞--→∞→∞++⋅=⋅==⎰⎰⎰七、证明题1、证明集合等式：()\(\)(\)A B C A C B C ⋃=⋃证明： （方法1）对任意()\x A B C ∈⋃，有()x A B ∈⋃且x C ∉，即x A ∈或x B ∈且x C ∉ 所以 \x A C ∈或\x B C ∈，即(\)(\)x A C B C ∈⋃。

反之，对任意(\)(\)x A C B C ∈⋃，有\x A C ∈或\x B C ∈，即x A ∈或x B ∈且x C ∉，所以()x A B ∈⋃且x C ∉，即()\x A B C ∈⋃， 综上所述，()\(\)(\)A B C A C B C ⋃=⋃。

（方法2）()\()()()(\)(\)cccA B C A B C A C B C A C B C ⋃=⋃⋂=⋂⋃⋂=⋃。

2、设0E 是[0,1]中的有理点全体，则0E 是可测集且00mE =。

证明： 因为0E 是可数集，则012{,,,,}n E r r r =对任意0ε>，取开区间11(,)22n n n n r r εε++-+，1,2,n =，显然它们把0E 覆盖住。

于是 *012nn m E εε∞=≤=∑。

让0ε→得，*00m E =，从而0E 是可测集且00mE =。

3、证明：1R 上的实值连续函数()f x 必为1R 上的可测函数。

证明：因为对于任意实数a ，由连续函数的局部保号性易知，1[()]R x f x a >是开集，从而1[()]R x f x a >是可测集。

所以()f x 必为1R 上的可测函数。

4、设()f x 是可测集1E R ⊂上的L 可积函数，{}n E 为E 的一列可测子集，mE <+∞，如果lim n n mE mE →∞=，则lim ()d ()d nn E Ef x x f x x →∞=⎰⎰。

证明：因为mE <+∞且n E E ⊂，所以(\)n n n mE m E E mE mE ==- 从而由题设 lim (\)lim 0n n n n m E E mE mE mE mE →∞→∞=-=-=又()f x 在1E R ⊂上的L 可积，且(\)()d ()d ()d ()d nn nnEE E E E E f x x f x x f x x f x x ⋃-=-⎰⎰⎰⎰\\()d ()d ()d ()d E E E E E E f x x f x x f x x f x x =+-=⎰⎰⎰⎰所以由积分的绝对连续性得\lim(()d ()d )lim ()d 0nnn n E EE E f x x f x x f x x →∞→∞-==⎰⎰⎰即lim ()d ()d nn E Ef x x f x x →∞=⎰⎰。

5、设()f x 是可测集1E R ⊂上的L 可积函数，{}n E 为E 中的一列递增可测子集，1lim ()d ()d nnn n E E f x x f x x ∞=→∞=⎰⎰。

证明：记()()()n n E f x f x x χ=⋅，其中1,()0,n nE nx E x x E χ∈⎧=⎨∉⎩显然在1n n E ∞=上，()()()()n n E f x f x x f x χ=⋅→，()()n f x f x ≤且1()()nnn n E E f x dx f x dx ∞==⎰⎰于是由勒贝格控制收敛定理即可的结论。

《实变函数》期末考试模拟试题（二）（含解答）一、选择题（单选题）1、下列集合关系成立的是（ A ）（A ）()()()A B C A B A C ⋂⋃=⋂⋃⋂ （B ）(\)A B A ⋂=∅ （C ）(\)B A A ⋂≠∅ （D ）(\)B A A ⊆ 2、若n E R ⊂是闭集，则（ B ）（A ）E 的内部E = （B ）E E = （C ）E E '⊂ （D ）E E '= 3、设Q 是有理数集，则（ C ）（A ）0mQ > （B ）Q 是闭集 （C ）0mQ = （D ）Q 是不可数集 4、设()f x 为1R 上的连续函数，a 为任意实数，则（ D ）（A ）1[()]R x f x a ≤是开集 （B ）1[()]R x f x a ≥是开集 （C ）1[()]R x f x a >是闭集 （D ）1[()]R x f x a >是开集 5、 设E 是n R 中的可测集，()f x ，()g x 都是E 上的可测函数，若()()d 0Ef xg x x -=⎰，则（ A ）（A ）()()..f z g x a e =于E （B ）在E 上，()()f z g x = （C ）在E 上，()()f z g x ≠ （D ）在E 上，()()f z g x ≤ 二、多项选择题（每题至少有两个或两个以上的正确答案） 1、设E 是[0,1]中的有理点全体，则（C 、D ）（A ）E 是闭集 （B ）E 中的每一点都是内点 （C ）E 是可数集 （D ）0mE = 2、若1E R ⊂的外测度为零，则（ B 、D ）（A ）E 一定是可数集 （B ）E 一定是可测集 （C ）E 不一定是可数集 （D ）0mE =3、设()nmE E R <+∞⊂，函数列{()}n f x 为E 上几乎处处有限的可测函数列，()f x 为E 上几乎处处有限的可测函数，若()()()n f x f x x E ⇒∈，则下列哪些结论不一定成立（A 、B 、C 、D ）（A ）()d Ef x x ⎰存在 （B ）()f x 在E 上L 可积（C ）..()()()a e n f x f x x E →∈ （D ）lim ()d ()d n n EEf x x f x x →∞=⎰⎰4、若()f x 在可测集E 上有L 积分值，则（A 、C ） （A ）()f z +和()f z -中至少有一个在E 上L 可积 （B ）()f z +和()f z -都在E 上L 可积 （C ）()f z 在E 上也有L 积分值 （D ）()f z 在E 上一定L 可积5、设()f z 是[,]a b 的绝对连续函数，则（ A 、B 、C ）（A ）()f z 是[,]a b 上的连续函数 （B ）()f z 是[,]a b 上的一致连续函数 （C ）()f z 是[,]a b 上的有界变差函数 （D ）()f z 在[,]a b 上处处可导 三、填空题（将正确的答案填在横线上） 1、 设A ，B 是两个集合，则A B⋃=(\)B A A ⋃2、设n E R ⊂，如果E 满足int E E =，则E 是 开 集。