高等数学(B2)期末模拟试卷(一)及答案

高等数学（B2）期末模拟试卷（一）
一、选择题（本大题共 小题，每题 ，共 ）

)
1ln(41222
2
-++--=
y x y
x z ，其定义域为
（✌）
✌ {
}
41),(2
2<+<y x y x  {
}
41),(2
2<+≤y x y x
{
}
41),(2
2≤+<y x y x  {
}
41),(2
2≤+≤y x y x

设
y
x z =，则
=dz 
（ ） ✌ dy yx xdx x y y
1
ln -+  dy x dx yx y y +-1
xdy x xdx yx
y y ln ln 1+-  xdy x dx yx y y ln 1+-
 由椭圆
116
252
2=+y x 绕y 轴旋转一周所生成的旋转体体积可表示为 （  ） ✌ 520
2y dx π
⎰
 520
4y dx π⎰  4
20
2x dy π⎰ 
4
20
4x dy π⎰
 设)3,2,1(=a ，)4,3,2(=b ，)2,1,1(-=c
，则.)(c b a ⋅⨯为
（✌）
✌ 5-  1-  1  5
 设05432:=+++∏z y x ，4
1
321:-=
=-z y x L ，则∏与直L 的关系为 （ ✌）
✌ L 与∏垂直  L 与∏斜交  L 与∏平行  L 落于∏内
 若{}4,2),(≤≤=y x y x D ，{}
40,20),(1≤≤≤≤=y x y x D )(2
2y x f +为
D
上的连续函数，则
σ
d y x f D
)(22⎰⎰
+可化为
 （ ） ✌
σd y x f D )(1
22⎰⎰
+  σd y x f D )(21
22⎰⎰+
σd y x f D )(
4
1
22⎰⎰+  σd y x f D )(81
22⎰⎰+
 下列哪个函数是某一二阶微分方程的通解 （ ）
✌ x
e cx y +=  x e
c y x
c +=+21
x c e c y x
21+=  )(21x
e x c c y +=

下
列
哪
个
级
数
收
敛
 （ ） ✌
∑∞
=-1
)
1(n n

∑
∞
=+1
1001
n n  ∑∞
=+1100n n n  ∑∞
=1100100
n n
 若
⎰⎰=D
d 4
σ，其中
ax
y a x D ≤≤≤≤0,0:，则正数
=a （ ）
✌ 3
22  2  3
42  2
32
 若幂级数
∑∞
=-1
)1(n n
n
x a
在3=x 处条件收敛，则其收敛半径为 （ ）
✌ 1  2  3  4
二、计算题（本大题共 小题，每题 ，共 ）
 设),(v u f z =具有二阶连续偏导数，若)cos ,(sin y x f z =，求
.,2y x z
x z ∂∂∂∂∂ 解： ,cos 1xf x
z
=∂∂
=∂∂∂y x z 2.cos sin )sin (cos )(1212xf y y xf x z y -=-⋅=∂∂∂∂  设)sin(2
2
y x z +=，求⎰⎰
D
zdxdy . D 22224ππ≤+≤y x
解：
⎰⎰
D
zdxdy )4cos (cos 22πππ-
 设曲线x
e y 2=， )1ln(+=x y 与直线1=x 及y 轴所围成的区域为D ，求D 的面积
解D 的面积
2ln 2)1(2
12
-+e  解微分方程.2x e x y dx
dy
x -+=
解：x xe y x
dx dy -=-1
x xe x Q x
x P -=-=)(,1
)(
⎰-=∴x dx x P ln )(， x x x dx
x P e dx e xe dx e x Q ----=⋅=⎰
⎰⎰
ln )()(
故通解为)(C e
x y x
+-=-
三、计算题（本题 ）设⎰⎰
=20
2sin π
πy y
dx x
x
dy I ，（ ）改变积分次序；
（ ）计算I 的值
解：⎰
⎰
=
20
2
sin π
πy
y
dx x
x
dy I =πππ
π
π
2
1)2(sin sin 2022022-=-=⎰⎰⎰dx x x x x dy x x dx x
x 四、证明题（本题 ）求证：曲面a z y x =++上任何点处的切平面在
各坐标轴上的截距之和等于a
解：设切点为（000,,z y x ）且设=),,(z y x F a z y x -++，
则切平面方程为：
+
-)(2100
x x x +
-)(2100
y y y 0)(2100
=-z z z
令0==z y 可得：切平面在x 轴上的截距为 a x z x y x x 000000=++
同理可得：切平面在z y ,轴上的截距分别为,,00a z a y
因此切平面在各坐标轴上的截距之和等于a a z a y a x =++000。

五、计算题（本题 ）求1
1
(1)n n
n x n +∞
=-∑的收敛域及和函数
解：解：x x n x n n n n n n =⋅+⋅-++-++++∞→1
1
)1(1
11
)1(1
)1()1(lim
故12)1(1
21
+-+∞
=∑n x n n n
的收敛半径为
易知当1=x 时，1)1(11+-+∞
=∑n x n n n
收敛；当1-=x 时，1)1(11
+-+∞
=∑n x n n n 发散 因此1)1(1
1
+-+∞
=∑n x n n n
在]1,1(-收敛。

六、计算题（本题 ）设)(x f y =是第一象限内连接✌)1,0(， )0,1(的一段连
续曲线，),(y x M 为该曲线上任意一点，点 为 在x 轴上的投影， 为坐标原点 若梯形
✌的面积与曲边三角形 的面积之和为
3
1
63+x ，求)(x f 的表达式 解：⎰+=
++133
1
6)1(2x x ydx y x 11
122)1(2122++=⇒-=-'⇒=-'++Cx x y x
x y x y x y y x y 由20)1(-=⇒=C y ，故 2
)1()(-=x x f
七、应用题（本题 ）设生产某种产品必须投入两种要素 1x 和2x 分别为两种
要素的投入量 产出量为 3
223
1
12x x Q = 若两种要素的价格之比为
42
1
=p p 试问 当产出量12=Q 时 两种要素的投入量21 , x x 各为多少，可以使得投入总费用最小？
解 ．该题为求费用函数 221121),(x p x p x x C += 在条件1223
223
11=x x 下的最小值问题 为此作拉格朗日函数 )212(),,(3223
112211x x x p x p x x L -++=λλ
令⎪⎩
⎪⎨⎧
12
20340
3232
23113123112322321121==-==-=-
-
x x x x p L x x p L x x λλ⎪⎩⎪⎨⎧==⇒122832231112x x x x
⎩⎨⎧==⇒2432
1x x ，即两种要素各投入 可使得投入总费用最小。