宁波大学高数试卷+答案
11级高数A1期中试题_解答_
一、单项选择题（每小题3分，共计5315⨯=分） 1．函数()f x =（ D ）在其定义域内连续．A ．1,0sin ,0x x x x +≤⎧⎨>⎩；B ．01,0x x ≠=⎩ ；C ．sin ,02,xx xx ⎧≠⎪⎨⎪=⎩ ； D ．ln(1)cos x x ++2．点0x =是函数1()(1)xf x x =+的（ B ）间断点．A ．连续点；B ．可去间断点；C ．跳跃间断点；D ．第二类间断点 3．设()f x 在点0x 可导，则000(3)()limx f x x fx x x∆→+∆-+∆∆=（ C ）．A ．03'()f x ；B ． 04'()f x ；C ． 02'()f x ；D ．01'()3f x 4．函数()f x =[0,1]上满足罗尔定理的条件，则中值点ξ是（ A ）．A ．23 B ．12 C ．13 D ．145．下列极限错误的是（ B ）．A ．0sin lim 1x x x →=；B ．1lim sin x x x →∞=∞；C ．sin lim 0x x x →∞=；D ．01lim sin 0x x x→=二、填空题（每小题3分，共计5315⨯=分）1．极限011lim(arctanarcsin )x x x x x→+=（ 1 ）． 2．若当0x →时，无穷小2sin2x a 与2x 等价，则a =（ 4 ）． 3．设()(1)(2)(3)f x x x x x =---，则'(0)f =（ 6- ）． 4．若抛物线(0)y a =>与曲线1ln 2y x =相切，则a =（ 1e ）． 5．已知曲线32y ax bx cx =++在(1,2)处具有水平切线，且原点是它的拐点，则 a =（－1），b =（ 0 ），c =（ 3 ）．三、计算下列各极限（每小题5分，共计5⨯5＝25分） 1．0limx x→；解：原式0x →=0x →=2x →==． 2．32112lim()28x x x →---； 解：原式2322412lim 8x x x x →++-=- 32(4)(2)lim8x x x x →+-=- 224lim24x x x x →+=++ 21=．3．3sin lim sin x x xx→-； 解：原式201cos lim3x xx →-= 0sin lim6x xx→=16=． 4．1lim(1)tan2x x x π→-解：原式10lim tan(1)2x tt t t π-=→==+lim cot2t t t π→=-022lim cos 2sin 2t tt t ππππ→=-2π=-．5．210arctan lim()x x x x→． 解：原式210arctan lim(1)x x x x x→-=+ 或（1arctan ln 0lim xx x x e →=）arctan 1arctan 0arctan lim(1)xx x x x x xx x x x-⋅⋅-→-=+3arctan limx x x x e→-=2220010111limlim 3(1)3x x x x x ee→→--++==13e -=四、按要求计算下列各题（每小题5分，共计5⨯5＝25分）1． 设22sin x ye x =，求dy dx； 解：2222sin 2sin cos x x dy xe x e x x dx=+22(2sin sin 2)x e x x x =+；2．设211arctanln(1)2y x x x =++，求1|x y ='； 解：2111arctan(arctan )[ln(1)]2y x x x x x ''''=+⋅++ 22211111arctan ()(1)1211x x x x x x ''=+⋅⋅+⋅⋅+++ 22211111arctan ()21211x x x x x x=+⋅⋅-+⋅⋅++ 221arctan 11x x x x x -=++++1arctan x= 则111|arctan |arctan14x x y x π=='=== 3．设2[tan ()]y f x f x =+，其中()f u 为可导函数，求dy ．解：因为222[t a n ()][s e c ()2]dyf x f x x f xx dx''=++，所以 222[t a n ()][s e c ()2]d y f x f x x f x x d x ''=++4．设sin y y x +=，求dy dx ，22d ydx． 解：方程sin y y x +=两端对x 求导，得cos 1dy dy y dx dx+=从中解出11c o sdy dx y =+， 对11cos dy dx y=+两端对x 求导，得 2223sin 'sin (1cos )(1cos )d y y y ydx y y ⋅==++． 5．设2arctan ln(1)x t y t =⎧⎨=+⎩，求1x dydx =，221x d ydx =；解：因为221d y t d t t =+，211dx dt t=+ 所以 2221211dy t dy dt t t dx dx dt t+===+，12x dy dx ==， （有错）于是222()(2)12(1)dy d d y d t dx t dxdxdx dt dt==⋅=+，2214x d y dx ==．（有错）五、（8分）设函数2,3(),3x x f x ax b x ⎧≤=⎨+>⎩在点3x =处可导，试确定,a b 值．解：首先函数()f x 点3x =处连续，则33lim ()lim ()(3)x x f x f x f -+→→==，即 2339lim lim()3x x x ax b a b -+→→==+=+，得39a b +=，有93b a =-． 又函数()f x 点3x =处可导，则左导数等于右导数，有''(3)(3)f f -+=，即2223333()(3)33(3)6lim lim lim lim 3333x x x x f x f x ax b a x a x x x x --++→→→→--+--=====----， 从而6a =，因此当6,9a b ==-时，函数()f x 点3x =处连续，可导．六、应用题（每小题6分，共计2⨯6＝12分） 1．证明恒等式arctan arccot 2x x π+=，(,)x ∈-∞+∞；证明：设()arctan arccot f x x x =+， 则 2211()011f x x x'=-=++，(,)x ∈-∞+∞ 因此函数)(x f 在(,)x ∈-∞+∞内是常数，又(1)arctan1arccot1442f πππ=+=+=，因此有arctan arccot 2x x π+=．2．设函数1(1)y x x =-，求n 阶导数()n y ；解：因为111y x x=+-，则 2211'(1)y x x -=+-，233(1)2!"(1)y x x -=+-， 于是 ()11(1)!!(1)n n n n n n yx x ++-=+-，（12,n = ）．七、附加题（每小题5分，共计2⨯5＝10分）1．设函数()f x 可导，证明()f x 的两个零点之间一定有()'()f x f x +的零点． 证明：设函数()f x 的两个零点为12,x x ，且12x x <，构造函数()()xF x e f x =，显然函数()()xF x e f x =在区间12[,]x x 上满足罗尔定理的条件，由罗尔定理，至少存在一点12(,)x x ξ∈，使得'()0F ξ=，即'()()['()()]0f e f e e f f ξξξξξξξ+=+=由于0e ξ≠，因此必有'()()0f f ξξ+=2．设函数()f x 在闭区间[0,1]上连续，且0()1f x <<，试证在区间(0,1)内存在一点ξ，使得()f ξξ=．证明：欲证()f ξξ=，可以考虑函数表达式()f x x =，因此令()()F x f x x =-． 由于函数()f x 在闭区间[0,1]上连续，所以函数()F x 在闭区间[0,1]上连续，又由于0()1f x <<，则(0)(0)0(0)0F f f =-=>，(1)(1)10F f =-<，由连续函数在闭区间上的零点定理可知，至少存在一点(0,1)ξ∈，使得()()0F f ξξξ=-=，即()f ξξ=．。
宁波大学03 04高等数学(下)期末试题
宁波大学03 04高等数学（下）期末试题宁波大学03-04高等数学（下）期末试题宁波大学2021/2021学年第二学期试卷解答课程名称：高等数学a（2）（6学分）考试性质：期末口试（a卷）一、单项选择题（每小题3分，共5?3=15分）1、函数f(x,y)在点(x0,y0)处两个略偏导数fx'(x0,y0)与；fy'(x0,y0)存有就是f(x,y)在点(x0,y0)已连续的（d）a.充分条件而非必要条件b.必要条件而非充分条件c.充分必要条件d.既非充分条件又非必要条件2、设d:1?x2?y2?9，则??f(x,y)dxdy?（c）；da.b.c.d.2?02?df(rcos?,rsin?)rdr19??0d??f(rcos?,rsin?)dr13192?02?d??f(rcos?,rsin?)rdrd??f(rcos?,rsin?)dr1?303、若级数?an(x?1)n在x??1处为发散，则此级数在x?2处为n?1（b）；a.条件收敛b.绝对发散c.收敛d.收敛性无法确认4、微分方程y\?3y'?2y?3xe?x的一个特解应具有的形式（b）；a.(ax?b)e?xb.x(ax?b)e?xc.axe?xd.ax2e?x第1页（共6页）5、设l就是抛物线y?x2上从点a(1,1)至点o(0,0)的一段弧，则；?xydx?（a）la.?1212b.c.?d.4545二．填空题（每小题3分后，共6?3=18分后）1、设u?yx，则uu（yxlny）?（xyx?1），；?x?y2、曲面ez?z?xy?3在点p(2,1,0)处的乌平面方程为（2x?y?4?0）；3、函数u?ln(x?y2?z2)在点m(1,2,?1)处的梯度gradu|m＝1?2?1?（i?j?k）；6334、设平面曲线l为上半圆周y?1?x2，则曲线积分22；(x?y)ds＝（?）?l5、设f(x)就是周期为2?的周期函数，它在区间(??,?]上的定义x,x0为f(x)??,则f(x)的傅立叶级数在x??处0,0?x发散于（??2）；6、微分方程y\?2y'?5y?0通解为（y?ex(c1cos2x?c2sin2x)）三、计算题（一）（每小题10分后，共2?10=20分后）1、设函数z?arctany1(xdy?ydx)），求dz。
宁波高三数学试题及答案
宁波高三数学试题及答案一、选择题（每题3分，共36分）1. 下列函数中，不是一次函数的是（）A. y = 2x + 3B. y = √xC. y = 3x - 1D. y = x^22. 已知集合A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，则A∩B等于（）A. {1}B. {2, 3}C. {3}D. {2, 3, 4}3. 如果一个几何级数的首项为1，公比为2，则该级数的前5项和为（）A. 31B. 2^5 - 1C. 2^4 - 1D. 2^6 - 14. 已知直线l的方程为y = 2x + 4，点P(-1, 3)，则点P到直线l 的距离为（）A. √5B. 3√5C. 5D. 35. 下列不等式中，恒成立的是（）A. |x| ≥ xB. |x| ≤ xC. |x| ≥ 0D. |x| ≤ 16. 根据题目信息，以下哪个选项是错误的（）A. 错误B. 正确C. 既不正确也不错误D. 不确定7-12. （略，类似结构的选择题）二、填空题（每题4分，共20分）13. 函数f(x) = x^2 - 4x + 6的最小值是______。
14. 一个圆的半径为5，那么它的内接正方形的面积是______。
15. 已知等差数列的前三项和为24，且第三项是前两项和的3倍，则该等差数列的公差是______。
16. 将0.08化成分数形式是______。
17. 一个长方体的长、宽、高分别是8cm、6cm和5cm，那么它的表面积是______。
三、解答题（共44分）18. （12分）已知函数f(x) = sin(x) + cos(x)，求函数f(x)的值域。
19. （16分）设抛物线C：y^2 = 8x，直线l：y = x + k，抛物线C与直线l相交于A、B两点，求实数k的取值范围。
20. （16分）证明：对于任意的正整数n，都有1^2 + 2^2 + 3^2+ ... + n^2 = n(n + 1)(2n + 1)/6。
宁波大学高数总复习2
f
(x)dx
lim
0 i1
f
(i )xi
积分下限 被 积 函 数
被积 积分 表变 达量
积 分 和
式
定积分仅与被积函数及积分区间有关 , 而与积分
变量用什么字母表示无关 , 即
b
b
b
a f (x)dx a f (t)dt a f (u)du
1. 定积分的定义 — 乘积和式的极限
[a ,b ]
[a ,b ]
b
m (b a )af(x)d xM (b a )
(ab)
8. 积分中值定理
若 f(x) C [a,b ],则至少存在一点 [a,b],使
a bf(x)dxf()b (a)
2) 其他变限积分求导:
d dx
b
x
f
(t)dt
f(x)
d (x)
dx a
f
(t)dt
f[(x) ](x)
d
dx
(x)
f (t)dt
(x)
d d x a(x)f(t)dta (x)f(t)dt
f [( x ) ( ] x ) f [( x ) ( ] x )
牛顿 – 莱布尼茨公式
定理2. 设 F(x)是连续 f(x)在 函 [a,b]数 上的一
例4. 证明 42e02ex2xdx2e2.
证: 令 f(x)ex2x,则 f(x)(2x1)ex2x
令 f(x)0,得 x 1 , 2
f(0)1,
f
(12)
1 4e
,
f (2)e2
[m 0,2]inf(x)41e,
maxf (x)e2
宁波高中数学试题及答案
宁波高中数学试题及答案一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）1. 下列哪个选项不是实数？A. √2B. πC. -1D. i2. 已知函数f(x) = 2x^2 + 3x - 5，求f(-2)的值。
A. -1B. 3C. 5D. 73. 集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，求A∩B。
A. {1}B. {2, 3}C. {4}D. {1, 2, 3}4. 已知等差数列的首项a1 = 3，公差d = 2，求第10项a10。
A. 23B. 25C. 27D. 295. 已知三角形ABC的三边长分别为3, 4, 5，判断三角形的形状。
A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 一般三角形6. 函数y = x^3 - 2x^2 + x - 6的零点个数是？A. 0B. 1C. 2D. 37. 已知向量a = (3, 1)，b = (2, -1)，求向量a与b的点积。
A. 3B. 4C. 5D. 68. 已知圆的半径r = 5，圆心坐标为(0, 0)，求圆的方程。
A. (x-0)^2 + (y-0)^2 = 25B. (x-5)^2 + (y-5)^2 = 25C. (x+5)^2 + (y+5)^2 = 25D. (x-5)^2 + (y+5)^2 = 259. 已知双曲线的中心在原点，a = 2，b = 3，求双曲线的方程。
A. x^2/4 - y^2/9 = 1B. x^2/9 - y^2/4 = 1C. x^2/4 - y^2/16 = 1D. x^2/16 - y^2/4 = 110. 已知函数f(x) = sin(x) + cos(x)，求f(π/4)的值。
A. √2B. 1C. 2D. 3二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分）11. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，求对称轴的方程。
___________________________12. 已知等比数列的首项a1 = 2，公比q = 3，求第5项a5。
宁波大学高数试卷+答案
8.设 在 上定义，其表达式为 ，将 展开成正弦级数。
四、(6分)在过点 和 的曲线族 中，求一条曲线 ，使沿该曲线从 到 得积分 的值最小。
试题答案
三、单项选择题（每小题3分，共15分）
B C D A B
四、填空题（每小题3分，共15分）
1、 2、3 3、
4、 5、9
5.计算 其中 为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线， 的方向为逆时针方向。
解令 则当 时，有
记 所围成的闭区域为 。------4分
当 时，选取适当小的 作位于D内的圆周 记 和 所围成的闭区域为 。对复连通区域 应用格林公式，得
其中 的方向取逆时针方向。于是
解：因为
---------2分
而
---------6分
所以 = ---------8分
8.设 在 上定义，其表达式为 ，将 展开成正弦级数。
解：首先，所给的函数满足收敛定理的条件，它在点 处不连续，因此 的傅里叶级数在点 处收敛于
在连续点处收敛于 。---------3分
其次，由公式和奇函数的性质有 ，而
将求得的 代入正弦级数，得到 的傅里叶级数展开式为
---------8分
四、(6分)在过点 和 的曲线族 中，求一条曲线 ，使沿该曲线从 到 得积分 的值最小。
解：记 的线段，这
而 为顺时针方向的闭曲线，记它们围成的区域为 。由格林公式
五、计算下列各题（每小题8分，共64分）
1已知两条直线方程为
求过 且平行于 的平面方程。
解：设此平面为 ，因为该平面过点 ，且法向量为 ，由已知条件有：
且 ……2分
可取 ……6分
于是所求的平面方程为
2014年宁波大学考研真题721高等数学
入 学 考 试 试 题(A 卷) (答案必须写在答题纸上)考试科目: 高等数学 科目代码：721 适用专业:人文地理学一、选择题（30分）1. 设函数)1(log )(2++=x x x f a ，)1,0(≠>a a ，则该函数是（）．A) 奇函数B) 偶函数C) 非奇非偶函数D) 既是奇函数又是偶函数 2. 设12)(-=x x f ，则当0→x 时,)(x f 是x 的（ ）。
A) 高阶无穷小B) 低阶无穷小C) 等价无穷小D) 同阶但不等价无穷3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）.A) ()()()2221,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) ()()()2222()ln ,ln f x x a x g x a x x =++=-+- C) ()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D) ()2tan,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 在点(x , y )处f (x , y )可微的充分条件是（ ）A ） f (x , y )的所有二阶偏导数连续B ） f (x , y )连续C ） f (x , y )的所有一阶偏导数连续D ） f (x , y )连续且f (x , y )对x , y 的偏导数都存在。
5. 下列表达式中肯定不是某个二元函数的全微分的是（ ）A ）ydx + xdyB ）ydx −xdyC ）xdx + ydyD ）xdx −ydy6.设cos()cos()x y x y μ=++-，下列各式哪些正确？（ ） ①2222x y μμ∂∂=∂∂ ②222x x y μμ∂∂=∂∂∂ ③222y x yμμ∂∂=∂∂∂ A ）①正确B ）②正确C ）①与③正确D ）①、②、③都正确第 1 页， 共 3 页入 学 考 试 试 题(A 卷) (答案必须写在答题纸上)考试科目: 高等数学 科目代码：721 适用专业:人文地理学 二、填空题（20分）1. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(2x x x x x f ，则=)(dx x df2. =+⎰dt t dx d x 26213. 设可微函数(,,)w f x y y z t z =---，则w w w w x y z t∂+++=∂∂∂∂∂∂∂ 4.∑∞1=+11n n a (a >0)，当a 时收敛三、判断题（20分）1. 若函数()f x 在0x 处极限存在，则()f x 在0x 处连续。
宁波大学871高等代数2020年考研专业课真题
A
a b
c
0 2
，这里
a,
b,
c
是任意数，
1 2
3i ，求 A1000.
5． (15分) 设方阵 A 满足 A2 +2A 3E O. (1) 求证 A 4E 可逆，并求逆；(2) 讨论 A nE 的可逆性.
6. (20分) 用正交变换化二次型
f (x1, x2 , x3 ) x12 x22 x32 4x1x2 4x1x3 4x2 x3 为标准形(要求写出正交变换的矩阵和相应的标准
1 2 2
A
0 0
2 0
4 1
，
A
是
A
的伴随矩阵， E
为单位矩阵，求矩阵 B.
1 2 2 1 0 0
3.
(15分) 已知矩阵
A
2
a
2
,
B
0
1
0
,
2 2 1 0 0 b
问 a,b 为何值时， A 与 B 相似，并求可逆矩阵 P 使得 P1AP B.
1 0 0
4.
(15分) 设
V,l C n | (A En )l 0 是 C 上线性空间 C n 的 A 的不变子空间，并求 C 上线性空间V,l 的
维数.
第1页共1页
(1) 证明V1 V2 关于以上运算构成数域 P 上的线性空间；
(2) 设dimV1 m , dimV2 n ，求dim (V1 V2 ) . 9. (20分) 设 A 为复数域 C 上的 n 阶方阵，其特征多项式为 f (x) (x a)n1(x b), 这里 a b .
假设 A 的任意三个特征向量都是线性相关的. 对于 C, 以及正整数 l, 证明：
形).
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1 4
B、
1 4
C、
1 3
D、 ）
1 3
（3） f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处两个偏导数存在 （4） f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处两个偏导数连续 ）
5.幂级数 A.
( x 5)2 n1 2n 4n 的收敛域（ n 1
B. (7, 3)
xydx （
L
）
第1页
共6页
宁波大学 2009 /2010 学年第一学期考试卷（A）
课号： 080J02G 课名： 高等数学 A2 阅卷教师： 成绩
2. 已知 z f ( y sin x, ex y ) ，其中 f 具有二阶连续偏导数，求
2 z 。 x y
4. 有 一 曲 面 : z x 2 y 2 在 介 于 0 z 1 之 间 的 侧 面 分 布 有 质量， 设面 密 度 为
2
y 2 z 2 )dxdydz 其中 是 x2 y 2 z 2 2z 所
d
2sin
f ( cos , sin ) d
2 0
d
0
4、已知函数 du( x, y) (3x2 2xy)dx ( x2 2 y)dy ，则 u ( x, y ) 5、函数 f ( x, y) x3 y3 3x2 3 y 2 9x 的极大值为
由实际问题，所以最大距离为 30 ，最小距离为 ……2 分 4. 有 一 曲 面 : z
2 145 . 9
…………8 分
可取
n s1 且 n s2 i j k n s1 s2 1 0 1 1, 3, 1 , 2 1 1
2, 2
C. (7,3]
D.
(9, 1)
若用 " P "Q 表示由性质 P 推出 Q ，则有（ A． （2） （1） （3） C． （2） （3） （1） 2.、累次积分 dy
0 2 2 y y2
二、
填空题（每小题 3 分，共 15 分）
学号
B. （4） （2） （3） D. （4） （3） （1） ） B. D.
宁波大学 2009 /2010 学年第一学期考试卷（A）
课号： 080J02G 课名： 高等数学 A2 阅卷教师： 成绩
一、
单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）
A、
1.二元函数 z f ( x, y) 的下面四条性质： （1） f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处连续 （2） f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处可微
3、下列判断正确的是： （
）
A、 若 vn un , n N , 且 u n 收敛，则 vn 一定收敛。
n 1 n 1
B、 若 lim un 0 ，则 u n 一定收敛。
n
n 1
三．计算下列各题（每小题 8 分，共 64 分） 1 已知两条直线方程为 x 1 y 2 z 3 x 2 y 1 z L1 : , L2 : , 1 0 1 2 1 1 求过 L1 且平行于 L2 的平面方程。
解： 首先， 所给的函数满足收敛定理的条件， 它在点 x (2k 1) 因此 f ( x ) 的傅里叶级数在点 x (2k 1) 处收敛于
(k 0 , 1 ,处不连续， , 2 )
6.求流体的流速为 v x3 i y3 j xyzk ，求它单位时间内通过闭曲面 的由内向外的流量，其中 线
……8 分
3.抛物面 z x 2 y 2 被平面 x 2 y 3z 10 截成一椭圆， 求这椭圆上的点到原点的距离的最大 最小值。
x 3 y 4 z 5 4 3 0
2、3
3、
2
0
d 2 d
0
2 c s o
0
f (r 2 )r 2 sin dr
1、求在球面 x2 y 2 z 2 50 与锥面 x2 y 2 z 2 的交线上点 P(3, 4,5) 处的切线
0
f ( x, y)dx 可写成 （
2、求函数 f ( x, y) 75 x2 y 2 xy 在点 P(1, 2) 的方向导数最大值
2cos
A. C.
有柱体 x 2 y 2 1及 xoy 坐标面和 z 2 围成。 （提示：应用高斯公式和柱面坐标计算） 3 3 解： vd s x dydz y dzdx xyzdxdy ---------2 分
L 的方向为逆时针方向。
线
姓名
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宁波大学 2009 /2010 学年第一学期考试卷（A）
课号： 080J02G 课名： 高等数学 A2 阅卷教师： 成绩
6.计算 x3dydz y3dzdx xyzdxdy ， 其中 为由柱体 x2 y 2 1 及 xoy 坐标面和
装 记 L 所围成的闭区域为 D 。 ---------2 分
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
7.将函数 f ( x) 解：因为
x 展开成 ( x 1) 的幂级数。 x 5x 6
2
f ( x)
x x 3 2 x 5 x 6 ( x 2)( x 3) x 3 x 2
2
---------2 分
五、计算下列各题（每小题 8 分，共 64 分） 1 已知两条直线方程为
L L L 2 x 2 x 0 2 z 2 3 0 2 y 2 y 2 0 x z y
以及 z x 2 y 2 , x 2 y 3z 10 0 解得： x 1, y 2, z 5 或者
2 2 3
---------------------------------8 分
姓名
5. 计算
L
xdy ydx , 其中 L 为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线， L 的方向 x2 y 2
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宁波大学 2009 /2010 学年第一学期考试卷（A）
课号： 080J02G 课名： 高等数学 A2 阅卷教师： 成绩
为逆时针方向。
y x 解 令 P 2 ,Q 2 . 则当 x2 y 2 0 时，有 2 x y x y2
由柱面坐标
2
0
d d 3 2 dz 3 .
0 0
1
2
---------8 分
Q y2 x2 P . 2 x x 2 y 2 y
学号
当 (0,0) D 时，由格林公式便得
xdy ydx 0. L x2 y 2
---------4 分
而
3 3 1 3 ( x 1) n x 3 2 1 x 1 2 n 0 2n 2
1 x 3
当 (0,0) D 时，选取适当小的 r 0, 作位于 D 内的圆周 l : x2 y 2 r 2 . 记 L 和 l 所围成的闭区 域为 D1 。对复连通区域 D1 应用格林公式，得 订
订
2 0
2 0
d
0
2sin
0
f ( cos , sin )d
2 0
d
0 2cos
f ( cos , sin ) d f ( cos , sin )d
3、用球面坐标表示三重积分 围成的闭区域
f ( x
于是所求的平面方程为 线
x 3 y z 2 0 . ……8 分
x 2 y 2 1
x 2 y 2 2dxdy
---------5 分
2. 已知 z f ( y sin x, e
x y
) ，其中 f 具有二阶连续偏导数，求
2 z 。 x y
……3 分
z y cos xf1' e x y f 2' 解： x
0 x 2.
---------8 分
8.设 f ( x ) 在 [0, ] 上定义，其表达式为 f ( x) x ，将 f ( x ) 展开成正弦级数。
2 2 2 2
3 r cos r sin xdy ydx xdy ydx 2 d 2 . ---------8 分 2 2 l x y 2 0 L x y r2
线
C、 若 lim
n
un 1 1, 则级数 u n 可能条件收敛。 un n 1 un 1 1, 则级数 u n 一定收敛。 un n 1
D、 若 lim
n
4. 设 L 是抛物线 y x2 上从点 A(1,1) 到点 O(0, 0) 的一段弧，则 姓名
2 1 2 2 ( x 1)n x2 1 ( x 1) n 0
0 x2
---------6 分
xdy ydx xdy ydx L x2 y 2 l x2 y 2 0.
其中 l 的方向取逆时针方向。于是
所以 f ( x)
x 3 n = ( n 1 2)( x 1) 2 x 5x 6 n 0 2
(1 y )dx (2x y)dy 的值最小。
3 L
线
姓名
8.设 f ( x) 在 [0, ] 上定义，其表达式为 f ( x) x ，将 f ( x) 展开成正弦级数。 第3页 共6页