2008年1月浙江省自考试卷近世代数试题
浙江自考试题及解析近世代数
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯精选自学考料介绍⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯浙江省 2018 年 1 月高等教育自学考试近世代数试题课程代码： 10025一、单项选择题(在每题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的序号填在题干的括号内。
每题 3 分，共 15分 )1. 设会合 A 含有 n 个元素，那么 A 的子集共有多少个 ?()A. n!B. n2C. 2nn(n1) D.22. 以下法例，哪个是集 A 的代数运算 ()。
A. A=N a b=a-bB. A=Z aab b=2C. A=Q aaD. A=R a b=a+ πb=b3.设 S={a,b,c,d}, S 中规定一个代数运算以下表，0a b c da d a a db ac b dc a b c dd d d d a则 S 对于所给代数运算作成的代数系统中的可逆元素为()。
A. a 与 bB. b 与 cC. c 与 dD. d 与 a4. 以下命题中，正确的选项是()。
A.随意一个环 R，必含有单位元B.环 R 中至多有一个单位元C.环 R 有单位元，则它的子环也有单位元D.一个环与其子环都有单位元，则两个单位元必定同样5. p(素数 )阶有限群的子群个数为()。
A. 0B. 1C. 2D. p二、填空题 (每空 3 分，共 27 分 )1.设 A={a,b,c,d} ，则 A 到 A 的一一映照共有 ____________个。
2.设 G 是 6 阶循环群，则 G 的生成元有 ____________个。
3.非零复数乘群 C* 中由 -i 生成的子群是 ____________ 。
4.节余类环 Z7的零因子个数等于 ____________ 。
5.素数阶有限群 G 的非平庸子群个数等于 ____________ 。
6.节余类环 Z6的子环 S={ ［ 0］ ,［ 3］}, 则 S 的单位元是 ____________ 。
近世代数试题及答案
近世代数试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 下列哪个选项不是群的性质？A. 封闭性B. 存在单位元C. 存在逆元D. 交换律答案：D2. 有限群的阶数为n，那么它的子群的个数至少为：A. nB. 1C. n-1D. n+1答案：B3. 以下哪个命题是正确的？A. 任意两个子群的交集仍然是子群B. 任意两个子群的并集仍然是子群C. 子群的子群仍然是子群D. 子群的补集仍然是子群答案：A4. 群G的阶数为n，那么它的元素的阶数不可能是：A. 1B. nC. 2D. n+1答案：D5. 以下哪个不是环的性质？A. 封闭性B. 交换律C. 分配律D. 结合律答案：B二、填空题（每题4分，共20分）1. 如果集合S上的二元运算*满足结合律，那么称S为________。
答案：半群2. 一个群G的所有子群的集合构成一个________。
答案：格3. 一个环R中，如果对于任意的a，b∈R，都有a+b=b+a，则称R为________。
答案：交换环4. 一个环R中，如果对于任意的a，b∈R，都有ab=ba，则称R为________。
答案：交换环5. 一个群G中，如果存在一个元素a，使得对于任意的g∈G，都有ag=ga=e，则称a为G的________。
答案：单位元三、简答题（每题10分，共30分）1. 请简述子群和正规子群的区别。
答案：子群是群G的非空子集H，满足H中的任意两个元素的乘积仍然在H中，并且H对于G的运算是封闭的。
正规子群是子群N，满足对于任意的g∈G和n∈N，都有gng^-1∈N。
2. 请解释什么是群的同态和同构。
答案：群的同态是两个群G和H之间的函数f，满足对于任意的g1，g2∈G，都有f(g1g2)=f(g1)f(g2)。
群的同构是同态，并且是双射，即存在逆映射。
3. 请解释什么是环的零因子和非零因子。
答案：在环R中，如果存在非零元素a和b，使得ab=0，则称a和b 为零因子。
如果环R中不存在零因子，则称R为无零因子环。
近世代数练习题试题库
§1 第一章 根底知识1 判断题：1.1 设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=⋃x 且。
〔 〕1.2 A ×B = B ×A 〔 〕1.3 只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1-f。
〔 〕 1.4 如果ϕ是A 到A 的一一映射,那么ϕ[ϕ(a)]=a 。
( )1.5 集合A 到B 的可逆映射一定是A 到B 的双射。
〔 〕1.6 设A 、B 、D 都是非空集合，那么B A ⨯到D 的每个映射都叫作二元运算。
〔 〕1.7 在整数集Z 上，定义“ 〞：a b=ab(a,b ∈Z)，那么“ 〞是Z 的一个二元运算。
〔 〕1.8 整数的整除关系是Z 的一个等价关系。
( )2填空题：2.1 假设A={0,1} , 那么A ⨯A=__________________________________。
2.2 设A = {1，2}，B = {a ，b}，那么A ×B =_________________。
2.3 设={1,2,3} B={a,b},那么A ⨯B=_______。
2.4 设A={1,2}, 那么A ⨯A=_____________________。
2.5 设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ，那么有=⨯A B 。
2.6 如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，那么()[]=-a f f 1 。
2.7 设A =｛a 1, a 2,…a 8｝，那么A 上不同的二元运算共有 个。
2.8 设A 、B 是集合，| A |＝| B |＝3，那么共可定义 个从A 到B 的映射，其中有 个单射，有 个满射，有 个双射。
2.9 设A 是n 元集，B 是m 元集，那么A 到B 的映射共有____________个.2.10 设A={a,b,c}，那么A 到A 的一一映射共有__________个.2.11 设A={a,b,c,d,e}，那么A 的一一变换共有______个.2.12 集合A 的元间的关系～叫做等价关系，如果～适合以下三个条件：_____________________________________________。
近世代数考试试题题库
近世代数考试试题题库近世代数是一门研究代数结构的数学分支，它主要研究群、环、域等代数结构的性质和它们之间的关系。
以下是一份近世代数考试试题题库的示例内容：一、选择题1. 以下哪个不是群的公理？A. 单位元存在性B. 可逆性C. 交换律D. 结合律2. 一个集合G，配合一个二元运算*，若满足以下条件，则G是一个群：A. 存在单位元B. 每个元素都有逆元C. 运算满足结合律D. 所有上述条件3. 在群G中，若a属于G，a的阶是最小的正整数n，使得a^n等于单位元，那么a的阶是：A. 1B. nC. 0D. G的阶4. 以下哪个是有限群的拉格朗日定理的表述？A. 群的子群的阶总是群的阶的因子B. 群的子群的阶等于群的阶C. 群的子群的阶总是群的阶的倍数D. 群的阶总是其子群的阶的倍数5. 环R中，若存在单位元1，并且对于任意的a, b属于R，都有a*b=b*a，则R是一个：A. 群B. 域C. 交换环D. 模二、填空题6. 群的______性质保证了每个元素都有逆元。
7. 一个有单位元的结合环，如果其每个非零元素都有逆元，则这个环称为一个______。
8. 一个环的加法群是阿贝尔群，如果它的加法运算满足______律。
9. 一个环R中，如果a^2 = a对于所有a属于R，则R被称为______环。
10. 一个域的特征是2，这意味着域中1+1=______。
三、简答题11. 解释什么是子群，并给出一个不是子群的例子。
12. 描述拉格朗日定理，并说明它在群论中的重要性。
13. 什么是环的雅各比恒等式，并解释它在交换环中的意义。
14. 举例说明什么是有限域，并讨论它的性质。
15. 解释什么是主理想环，并讨论它与环的整性之间的关系。
四、证明题16. 证明：如果H是群G的一个子群，那么G/H的阶等于[G:H]。
17. 证明：任何群的子群都是阿贝尔的当且仅当该群本身是阿贝尔的。
18. 证明：如果R是一个有单位元的交换环，并且对于任意的a, b属于R，都有a*b = b*a，则R是一个域。
自学考试线性代数2007-2012历年真题及答案
全国2012年10月自学考试线性代数试题请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
说明：在本卷中，A T 表示矩阵A 的转置矩阵，A *表示矩阵A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，A表示方阵A 的行列式，r(A )表示矩阵A 的秩。
选择题部分一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题 纸”的相应代码涂黑。
错涂、多涂或未涂均无分。
1．设行列式1122=1a b a b ，11221a c a c -=--，则行列式111222=a b c a b c -- A ．-1 B ．0C ．1D ．22．设矩阵123456709⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，则*A 中位于第2行第3列的元素是A ．-14B ．-6C ．6D ．143．设A 是n 阶矩阵，O 是n 阶零矩阵，且2-=A E O ，则必有 A ．1-=A A B ．=-A E C ．=A ED ．1=A4．已知4×3矩阵A 的列向量组线性无关，则r (A T )= A ．1 B ．2 C ．3 D ．45．设向量组T T12(2,0,0),(0,0,-1)αα==，则下列向量中可以由12,αα线性表示的是A ．(-1，-1，-1)TB ．(0，-1，-1)TC ．(-1，-1，0)TD ．(-1，0，-1)T6．齐次线性方程组134234020x x x x x x ++=⎧⎨-+=⎩的基础解系所含解向量的个数为A.1B.2C.3D.47．设12,αα是非齐次线性方程组Ax =b 的两个解向量，则下列向量中为方程组解的是A ．12αα-B ．12αα+C ．1212αα+D ．121122αα+8．若矩阵A 与对角矩阵111-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭D 相似，则A 2= A.EB.AC.-ED.2E9．设3阶矩阵A 的一个特征值为-3，则-A 2必有一个特征值为 A.-9 B.-3 C.3 D.910．二次型222123123121323(,,)222f x x x x x x x x x x x x =+++++的规范形为A ．2212z z -B ．2212z z + C ．21zD ．222123z z z ++二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）11.行列式123111321的值为______. 12.设矩阵011001000⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，则A 2=______．13.若线性方程组12323323122(1)x x x x x x λλ++=⎧⎪-+=-⎨⎪+=-⎩无解，则数λ=______．14.设矩阵43012110⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，=A P ,则PAP 2=______.15.向量组T T 12,-2,2,(4,8,8)k αα==-（）线性相关，则数k =______. 16.已知A 为3阶矩阵，12,ξξ为齐次线性方程组Ax =0的基础解系，则=A ______. 17.若A 为3阶矩阵，且19=A ，则-1(3)A =______． 18．设B 是3阶矩阵，O 是3阶零矩阵，r (B )=1,则分块矩阵⎛⎫⎪⎝⎭E O B B 的秩为______．19．已知矩阵211121322⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，向量11k ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α是A 的属于特征值1的特征向量，则数k =______.20.二次型1212(,)6f x x x x =的正惯性指数为______. 三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21．计算行列式a ba b D a a b b aba b+=++的值．22．设矩阵100112210,022222046A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，求满足方程AX =B T 的矩阵X ．23.设向量组123411212142,,,30614431αααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，求该向量组的秩和一个极大线性无关组.24．求解非齐次线性方程组123412341234124436x x x x x x x x x x x x +--=⎧⎪+++=⎨⎪+--=⎩.(要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示）.25．求矩阵200020002⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 的全部特征值和特征向量．26．确定a ，b 的值，使二次型22212312313(,,)222f x x x ax x x bx x =+-+的矩阵A 的特征值之和为1，特征值之积为-12. 四、证明题（本题6分）27．设矩阵A 可逆，证明：A *可逆，且*11*--=（）（）A A ．全国2012年7月高等教育自学考试一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．设A 为三阶矩阵，且13A -=，则 3A -( )A.-9B.-1C.1D.92.设[]123,,A a a a =,其中 (1,2,3)i a i = 是三维列向量，若1A =，则[]11234,23,a a a a - ( )A.-24B.-12C.12D.243.设A 、B 均为方阵，则下列结论中正确的是（ ） A.若AB =0，则A=0或B=0 B. 若AB =0，则A =0或B =0 C ．若AB=0，则A=0或B=0 D. 若AB ≠0，则A ≠0或B ≠04. 设A 、B 为n 阶可逆阵，则下列等式成立的是（ ） A. 111()AB A B ---=B. 111()A B A B ---+=+ C ．11()AB AB-= D. 111()A B A B ---+=+5. 设A 为m ×n 矩阵，且m ＜n ，则齐次方程AX=0必 （ ） A.无解B.只有唯一解 C ．有无穷解 D.不能确定6. 设12311102103A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦则()r A = A.１ B.２ C.3 D.４7. 若A 为正交矩阵，则下列矩阵中不是正交阵的是（ ） A. 1A -B.２A C ．A ²D. T A8.设三阶矩阵Ａ有特征值0、1、2,其对应特征向量分别为123ξξξ、、，令[]312,,2P ξξξ＝ 则1P AP -=（ ） A. 200010000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ B. 200000001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦C ．000010004⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ D. 200000002⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦9.设A 、B 为同阶方阵，且()()r A r B =,则（ ） A.A 与B 等阶 B. A 与B 合同 C ．A B =D. A 与B 相似10.设二次型22212312123(,,)22f x x x x x x x x =+-+则f 是（ ） A.负定 B.正定 C ．半正定 D.不定二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 11.设A 、B 为三阶方阵，A =4，B =5， 则2AB = 12.设121310A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ , 120101B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ，则TA B 13.设120010002A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦则1A - =14.若22112414A t ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦且()2r A =,则t= 15.设1231120,2,2110a a a -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦则由 123,,a a a 生成的线性空间123(,,)L a a a的维数是16. 设A 为三阶方阵，其特征值分别为1、2、3，则1A E --=17.设111,21t a β-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,且a 与β正交，则t = 18.方程1231x x x +-=的通解是19.二次型212341223344(,,,)5f x x x x x x x x x x x =+++所对应的对称矩阵是20.若00100A x =⎢⎥⎢⎥⎥⎥⎦是正交矩阵，则x =三、计算题 （本大题共6小题，每小题9分，共54分）21.计算行列式1112112112112111⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 22.设010111101A ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦＝ 112053-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦B ＝ ,且X 满足X=AX+B,求X23.求线性方程组的123412345221.53223x x x x x x x x +=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩12x x 的通解，24.求向量组 (2,4,2),(1,1,0),(2,3,1),(3,5,2)====1234a a a a 的一个极大线性无关组，并把其余向量用该极大线性无关组表示。
自学考试：近世代数试题及答案（10）
⾃学考试：近世代数试题及答案（10）.浙江省2008年10⽉⾃学考试近世代数试题课程代码：10025⼀、单项选择题(本⼤题共5⼩题，每⼩题3分，共15分)在每⼩题列出的四个备选项中只有⼀个是符合题⽬要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均⽆分。
1.设集合A中含有4个元素，那么积集合A×A中含有______个元素．( )A.4B.8C.12D.162.设R是整数集，A=R×R，σ∶(x,y)→(x,-y)，则σ是A的( )A.满变换B.单变换C.⼀⼀变换D.不是A的变换3.在有理数集Ｑ中的代数运算a b=b2( )A.适合结合律但不适合交换律B.不适合结合律但适合交换律C.既适合结合律⼜适合交换律D.既不适合结合律⼜不适合交换律4.在4次对称群S4中，阶为2的元有( )A.6个B.7个C.8个D.9个5.除环的理想有( )A.1个B.2个C.3个D.4个⼆、填空题(本⼤题共10⼩题，每⼩题3分，共30分)请在每⼩题的空格中填上正确答案。
错填、不填均⽆分。
6.剩余类加群Z4有______个⽣成元.7.在4次对称群S4中，(123)(1423)-1=______.8.阶为n的有限循环群同构于______.9.剩余类环Z11的零因⼦个数等于______.第 1 页第 2 页 10.剩余类环Z13的可逆元有______个.11.如果G 是⼀个含有16个元素的群，那么，根据Lagrange 定理知，对于?a ∈G ，元素a 的阶只可能是______．12.整环I ＝｛所有复数a+b7-(a,b 是整数)｝，则I 的单位是______. 13.在3,i+2,π2中，______是有理数域Q 上的代数元.14.设Q 是有理数域，则Q(2+5)=______. 15.12-+i i 在实数域R 上的极⼩多项式是______.三、解答题（本⼤题共3⼩题，第16⼩题7分,第17,18⼩题各12分，共31分）16.假定下表是⼀个群的乘法表，试填出未列出的元．17.找出模15的剩余类环Z15的所有⼦环，这些⼦环是否都是Z15的理想？为什么？18.设Z 是整数环，(2)∩(5)、(2,5)是Z 的怎样的理想？(2)∪(5)是Z 的理想吗？为什么？四、证明题（本⼤题共3⼩题，每⼩题8分，共24分）19.证明：循环群是交换群.20.在⾼斯整环Z ［i ］={a+bi ｜a,b ∈Z}中，证明：3是素元．21.证明：整数加群与偶数加群同构，但整数环与偶数环不同构．百度⽂库：专注、专⼼、专⼀为您服务！。
1月浙江自考近世代数试题及答案解析
1浙江省2018年1月自学考试近世代数试题课程代码：10025一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.以下关系中，哪个不是所给集合元间的等价关系?( )A.在有理数集Q 中关系～：a ～b ⇔a -b ∈ZB.在复数集C 中关系～：a ～b ⇔|a |=|b |C.在实数集R 中关系～：a ～b ⇔a ≤bD.在实数集R 中关系～：a ～b ⇔a =b2.设A =Z ，D =Z +，σ∶n |→⎩⎨⎧<--≥+0,120),1(2n n n n 则σ是Z 到Z +的( )A.单射B.满射C.一一映射D.不是映射3.在实数集R 中定义代数运算aob =a +b +ab ，则这个代数运算( )A.既适合结合律又适合交换律B.适合结合律但不适合交换律C.不适合结合律但适合交换律D.既不适合结合律又不适合交换律4.下列集合对所给运算作成群的是( )A.非零有理数的全体Q *对普通数的加法B.非零有理数的全体Q *对普通数的减法C.非零有理数的全体Q *对普通数的乘法D.非零有理数的全体Q *对普通数的除法 5.设R =⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Z d c b a d c b a ,,,，那么R 关于矩阵的加法和乘法构成环，则这个矩阵环是 ( )A.有单位元的可换环B.无单位元的可换环C.无单位元的非可换环D.有单位元的非可换环二、填空题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
2 6.设A ={a ,b ,c ,d ,e }，则A 的子集共有________个.7.在4次对称群S 4中，(143)2(132)-1=________.8.模12的剩余类加群Z 12的生成元有________个.9.设Z 6是模6的剩余类环，则Z 6中的零因子是________.10.模p (素数)的剩余类环Z p 的特征为________.11.剩余类环Z 17的可逆元有________个.12.在高斯整环Z ［i ］={a +bi |a ,b ∈Z }中,主理想(1+i )＝________.13.在整环I ＝｛所有复数a +b 3-(a ,b 是整数)｝中，1+3-的相伴元是________.14.设R 是实数域，则)1()2(-+i i R =________. 15.51+在有理数域Q 上的极小多项式是________.三、解答题（本大题共3小题，第16小题9分,第17、18小题各10分，共29分）16.找出3次对称群S 3的所有子群,这些子群中哪些是S 3的不变子群?17.设群G =Z 18子群H =(［6］),(1)商群G /H =?(2)商群G /H 与怎样的一个群同构?18.设R =⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Z b a b a ,00关于矩阵的加法和乘法构成一个环，I=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Z x x 000， 证明：I 是R 的理想，问商环R /I 由哪些元素组成？四、证明题（本大题共3小题，第19、21小题每小题8分，第20小题10分，共26分）19.设R 为全体实数组成的加法群,R +表示全体正实数组成的乘法群,则R +与R 同构.20.设M 2(Q )是有理数域Q 上的二阶矩阵环,证明:M 2(Q )只有零理想与单位理想,但不是除环.21.证明：3-2i 是高斯整环Z ［i ］={a +bi |a ,b ∈Z }的素元.。
线性代数自考试题及答案
线性代数自考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 矩阵A的行列式为0，则矩阵A（）A. 可逆B. 不可逆C. 行等价于零矩阵D. 列等价于零矩阵答案：B2. 若矩阵A的秩为r，则矩阵A的齐次线性方程组的解空间的维数为（）A. rB. r-1C. n-rD. n+r答案：C3. 向量组α1，α2，…，αs线性无关，则（）A. 向量组α1+α2，α2+α3，…，αs-1+αs线性无关B. 向量组kα1，kα2，…，kαs线性无关，其中k为非零常数C. 向量组α1+α2，α2+α3，…，αs-1+αs，αs线性无关D. 向量组kα1，kα2，…，kαs线性相关，其中k为非零常数答案：B4. 设A为n阶方阵，且|A|≠0，则下列命题中正确的是（）A. A与A*的秩相等B. A*与A^(-1)的秩相等C. A与A^(-1)的秩相等D. A与A*的秩不相等答案：C5. 矩阵A=（）A. 行最简形矩阵B. 行阶梯形矩阵C. 行等价于单位矩阵的矩阵D. 行等价于零矩阵的矩阵答案：C6. 设A为3×3矩阵，且|A|=2，则|2A|=（）A. 4B. 8C. 16D. 32答案：C7. 设A为n阶方阵，且A^2=0，则（）A. A=0B. |A|=0C. A可逆D. A不可逆答案：D8. 设A为n阶方阵，且A^2=E，则（）A. A=0B. |A|=0C. A可逆D. A不可逆答案：C9. 设A为n阶方阵，且A^T=A，则（）A. A为对称矩阵B. A为反对称矩阵C. A为正交矩阵D. A为斜对称矩阵答案：A10. 设A为n阶方阵，且|A|=1，则|A^(-1)|=（）A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B二、填空题（每题2分，共20分）11. 若A为n阶方阵，且|A|=-3，则|-2A|=______。
答案：1212. 设A为n阶方阵，且A^2=0，则矩阵A的秩r(A)满足______。
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浙江省2008年1月高等教育自学考试
近世代数试题
课程代码：10025
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
１.设m 是一个正整数，∀a ∈Z,作带余除法：
a=mq+r,0≤r<m,规定：f(a)=r.则f 是Z 的( ) A.满变换
B.单变换
C.一一变换
D.既不是满变换也不是单变换
2.有理数集Q 上的代数运算b a =b 3( )
A.既适合结合律又适合交换律
B.适合结合律但不适合交换律
C.不适合结合律但适合交换律
D.既不适合结合律又不适合交换律 3.剩余类加群Z 8的子群有( )
A.4个
B.5个
C.6个
D.7个 4.在3次对称群S 3中可以与(132)交换的所有元素为( )
A.(1)，(132)
B.(12)，(13)，(23)
C.(1)，(123)，(132)
D.S 3中的所有元素
5.M 2(R)=⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛为实数域R ,R b ,a 0b 0a 按矩阵的加法和乘法构成R 上的二阶方阵环,这个方阵环是( )
A.有单位元的交换环
B.无单位元的非交换环
C.无单位元的交换环
D.有单位元的非交换环
二、填空题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6.设A={a,b,c,d,e,f}，则A 的一一变换共有________个.
7.在非零实数乘法群R*中，阶为2的元有________个.
8.在4次对称群S 4中，(132)2(1234)-1=________.
9.模10的剩余类加群Z 10有________个生成元.
10.模P （素数）的剩余类环Zp 有________个可逆元.
2 11.模9的剩余类环Z 9的零因子为________.
12.设Z ［x ］是整系数多项式环，则Z ［x ］的理想(3,x)＝________．
13.主理想环与欧氏环的关系是________.
14.在5,2i+1,π中，________是有理数域Q 上的代数元. 15.21+在有理数域Q 上的极小多项式是________．
三、解答题（本大题共3小题，第１6小题10分,第17小题14分，第18小题6分,共30分）
16.设M 是一个非空集合，2M 是M 的幂集（M 的子集的全体称为M 的幂集），问2M 关于集合的交∩是否构成群？试说明理由.
17.找出模20的剩余类环Z 20的所有子环．并说明这些子环是否是Z 20的理想，为什么？
18.Z 3={［0］,［1］,［2］}，找出加群Z 3的所有自同构，再找出域Z 3的所有自同构.
四、证明题（本大题共3小题，第19小题6分,第20小题9分,第21小题10分,共25分）
19.设A=｛平面上所有直线｝，给定关系～：l 1～l 2⇔l 1∥l 2或l 1=l 2.
证明：关系～是A 元间的等价关系.
20.假定G 是一个循环群，N 是G 的一个子群，证明：G/N 也是循环群.
21.设R=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Z b ,a b 0a 0关于矩阵的加法和乘法构成一个环，I=⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Z x 00x 0， 证明：I 是R 的理想，问商环R/I 由哪些元素组成？。