2008年1月浙江省自考试卷近世代数试题
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浙江省2008年1月高等教育自学考试
近世代数试题
课程代码:10025
一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1.设m 是一个正整数,∀a ∈Z,作带余除法:
a=mq+r,0≤r B.单变换 C.一一变换 D.既不是满变换也不是单变换 2.有理数集Q 上的代数运算b a =b 3( ) A.既适合结合律又适合交换律 B.适合结合律但不适合交换律 C.不适合结合律但适合交换律 D.既不适合结合律又不适合交换律 3.剩余类加群Z 8的子群有( ) A.4个 B.5个 C.6个 D.7个 4.在3次对称群S 3中可以与(132)交换的所有元素为( ) A.(1),(132) B.(12),(13),(23) C.(1),(123),(132) D.S 3中的所有元素 5.M 2(R)=⎪⎭ ⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛为实数域R ,R b ,a 0b 0a 按矩阵的加法和乘法构成R 上的二阶方阵环,这个方阵环是( ) A.有单位元的交换环 B.无单位元的非交换环 C.无单位元的交换环 D.有单位元的非交换环 二、填空题(本大题共10小题,每小题3分,共30分) 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 6.设A={a,b,c,d,e,f},则A 的一一变换共有________个. 7.在非零实数乘法群R*中,阶为2的元有________个. 8.在4次对称群S 4中,(132)2(1234)-1=________. 9.模10的剩余类加群Z 10有________个生成元. 10.模P (素数)的剩余类环Zp 有________个可逆元. 2 11.模9的剩余类环Z 9的零因子为________. 12.设Z [x ]是整系数多项式环,则Z [x ]的理想(3,x)=________. 13.主理想环与欧氏环的关系是________. 14.在5,2i+1,π中,________是有理数域Q 上的代数元. 15.21+在有理数域Q 上的极小多项式是________. 三、解答题(本大题共3小题,第16小题10分,第17小题14分,第18小题6分,共30分) 16.设M 是一个非空集合,2M 是M 的幂集(M 的子集的全体称为M 的幂集),问2M 关于集合的交∩是否构成群?试说明理由. 17.找出模20的剩余类环Z 20的所有子环.并说明这些子环是否是Z 20的理想,为什么? 18.Z 3={[0],[1],[2]},找出加群Z 3的所有自同构,再找出域Z 3的所有自同构. 四、证明题(本大题共3小题,第19小题6分,第20小题9分,第21小题10分,共25分) 19.设A={平面上所有直线},给定关系~:l 1~l 2⇔l 1∥l 2或l 1=l 2. 证明:关系~是A 元间的等价关系. 20.假定G 是一个循环群,N 是G 的一个子群,证明:G/N 也是循环群. 21.设R=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Z b ,a b 0a 0关于矩阵的加法和乘法构成一个环,I=⎭ ⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Z x 00x 0, 证明:I 是R 的理想,问商环R/I 由哪些元素组成?