一元二次方程判别式与根系关系
一元二次方程根的判别式、根与系数关系
上述命题的逆命题也正确
例1：不解方程判断下列方程根的情况 ① x²-4x-1=0 ②x²+5=2x ③ x²-mx+m²+1=0
例2：k取何值时，方程4 x²-（k+2）x+（k-1）=0 ①有一个根是-1。 ②有两个相等的实根
解：∵方程x²+2ax+1=0有两个不相等的实根 ∴Δ 1=4a²-4＞0 既a²＞1 方程②中a＞1 ∴ 2a²-1＞1≠0 既方程②为一元二次方程 Δ 2=4a²-4（2a-1）2=-4（4a-1）（a-1） ∵a²＞1 ∴a²-1＞0 ∴（4a²-1）＞0 2=-4（4a²-1）（a²-1）<0 ∴方程②无实根
一元二次方程的根与系数关系
一元二次方程的根与系数关系(或称韦达定理)是初中数学内容中一个很重要的 知识点，在中考中占有重要的地位，纵观近年全国各地的中考试题，这个知 识点的考查可以解决以下几个问题：
一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是x 1，x 2，那么
点评：本题的解题关键是把a、b看作一元二次方程x 2－3x＋1＝0的 两根，利用根与系数关系得a＋b＝3，ab＝1，再通过运用整体代换 的思想代入运算，问题可求．利用根与系数的关系求与根有关的代数 式的值，
五、利用给出条件，确定一个一元二次方程中某个字母系数的值
例3 已知关于x的方程x 2＋px＋q＝0的两实数根和的平方比两实数根之积 大7，而两实数根差的平方比两实数根之积的3倍小5，求p、q值．
(x 1－x 2) 2＝3 x 1·x 2－5 ……③ ∵(x 1－x 2) 2＝(x 1＋x 2) 2-4 x 1·x 2
一元二次方程中根的判别式以及根与系数关系的应用
一元二次方程中根的判别式以及根与系数关系的应用【主体知识归纳】1．一元二次方程的根的判别式：b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式．通常用符号“Δ”来表示．2．对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根．反过来也成立．3.如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根是x1，x2，b那么x1+x2=-ac，x1x2=a4. 如果关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-p，x1x2=q【基础知识讲解】1．根的判别式以及根与系数的关系都体现了根与系数之间的联系22.根的判别式是指Δ＝b2－4ac，而不是指Δ＝．b4ac3．根的判别式与根与系数的关系都是在一元二次方程一般形式下得出的，因此，必须把所给的方程化为一般形式再判别根的情况．要注意方程中各项系数的符号．4．如果说一元二次方程有实根，那么应当包括有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根两种情况，此时b2－4ac≥0，不要丢掉等号．5. 利用一元二次方程的根与系数的关系的前提是：（1）二次项系数a≠0，即保证是一元二次方程；（2）由于我们目前只研究实数根的问题，故还要考虑实数根存在的前提，即：b2－4ac≥06．判别式有以下应用：(1)不解方程，判定一元二次方程根的情况；(2)根据一元二次方程根的情况，确定方程中未知系数的取值范围；(3)应用判别式进行有关的证明．根与系数的关系有以下应用：(1)已知一根，求另一根及求知系数；(2)不解方程，求与方程两根有关的代数式的值；(3)已知两数，求以这两数为跟的方程；已知两数的和与积，求这两个数(4)确定方程中字母系数的取值范围(5)确定根的符号。
【例题罗列】根的判别式类型1：不解方程，判别下列方程的根的情况：（1）3x2－2x－1＝0；（2）y2＝2y－4；（3）（2k2＋1）x2－2kx＋1＝0；（4）9x2－（p＋7）x＋p－3＝0．（系数中有字母的情况）解：(1)∵Δ＝（－2）2－4×3×（－1）＝4＋12＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．(2)原方程就是y2－2y＋4＝0．∵Δ＝（－2）2－4×1×4＝4－16＜0，∴原方程无实数根．(3)∵2k2＋1≠0，∴原方程为一元二次方程．又∵Δ＝（－2k）2－4（2k2＋1）×1＝－4k2－4＜0，∴原方程无实数根．(4)Δ＝［－（p＋7）］2－4×9×（p－3）＝（p－11）2＋36，∵不论p取何实数，（p－11）2均为非负数，∴(p－11)2＋36＞0，即Δ＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．升级:如果关于x的方程x2＋2x＝m＋9没有实数根，试判断关于y的方程y2＋my－2m＋5＝0的根的情况．这是一类需要自己找出隐含条件的题解：∵x2＋2x－m－9＝0没有实数根，∴Δ1＝22－4(－m－9)＝4m＋40＜0，即m＜－10．又y 2＋my －2m ＋5＝0的判断式Δ2．Δ2＝m 2－4(－2m ＋5)＝m 2＋8m －20当m ＜－10时，m 2＋8m －20>0，即Δ2>0．∴方程y 2＋my －2m ＋5＝0有两个不相等的实数根．类型2：1.已知关于x 的一元二次方程(k －1)x 2＋2kx ＋k ＋3＝0．k 取什么值时，(1)方程有两个不相等的实数根? (2)方程有两个相等的实数根? (3)方程没有实数根?解：Δ＝(2k )2－4（k －1）（k ＋3）＝－8k ＋12．(1)当－8k ＋12＞0，且k －1≠0，即k ＜且k ≠1时，方程有两个不相等23的实数根；(2)当－8k ＋12＝0，且k －1≠0，即k ＝时，方程有两个相等的实数根；23(3)当－8k ＋12＜0，且k －1≠0，即k ＞时，方程没有实数根．23说明：当已知方程为一元二次方程时，要特别注意隐含的条件：二次项系数不等于零．2．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且方程a(1+x 2)+2bx-c(1-x 2)=0有两个相等的实数根，则此三角形为（ ）A 、等腰三角形 B 、等边三角形 C 、直角三角形 D 、斜三角形 看到有两个相同的实数根立即判断 应用根的判别式解：原方程可化为（a+c ）x 2＋2bx ＋a-c ＝0，Δ＝(2b)2－4（a +c ）（a -c ）＝0得到a 2=b 2+c 2，因此此三角形为直角三角形。
一元二次方程中根的判别式以及根与系数关系的应用
一元二次方程中根的判别式以及根与系数关系的应用【主体知识归纳】1．一元二次方程的根的判别式：b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式．通常用符号“Δ”来表示．2．对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根．反过来也成立．3.如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-ab，x1x2=ac4. 如果关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-p，x1x2=q【基础知识讲解】1．根的判别式以及根与系数的关系都体现了根与系数之间的联系2.根的判别式是指Δ＝b2－4ac，而不是指Δ＝acb42 ．3．根的判别式与根与系数的关系都是在一元二次方程一般形式下得出的，因此，必须把所给的方程化为一般形式再判别根的情况．要注意方程中各项系数的符号．4．如果说一元二次方程有实根，那么应当包括有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根两种情况，此时b2－4ac≥0，不要丢掉等号．5. 利用一元二次方程的根与系数的关系的前提是：（1）二次项系数a≠0，即保证是一元二次方程；（2）由于我们目前只研究实数根的问题，故还要考虑实数根存在的前提，即：b2－4ac≥06．判别式有以下应用：(1)不解方程，判定一元二次方程根的情况；(2)根据一元二次方程根的情况，确定方程中未知系数的取值范围；(3)应用判别式进行有关的证明．根与系数的关系有以下应用：(1)已知一根，求另一根及求知系数；(2)不解方程，求与方程两根有关的代数式的值；(3)已知两数，求以这两数为跟的方程；已知两数的和与积，求这两个数(4)确定方程中字母系数的取值范围(5)确定根的符号。
【例题罗列】根的判别式类型1：不解方程，判别下列方程的根的情况：（1）3x2－2x－1＝0；（2）y2＝2y－4；（3）（2k2＋1）x2－2kx＋1＝0；（4）9x2－（p＋7）x＋p－3＝0．（系数中有字母的情况）解：(1)∵Δ＝（－2）2－4×3×（－1）＝4＋12＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．(2)原方程就是y2－2y＋4＝0．∵Δ＝（－2）2－4×1×4＝4－16＜0，∴原方程无实数根．(3)∵2k2＋1≠0，∴原方程为一元二次方程．又∵Δ＝（－2k）2－4（2k2＋1）×1＝－4k2－4＜0，∴原方程无实数根．(4)Δ＝［－（p＋7）］2－4×9×（p－3）＝（p－11）2＋36，∵不论p取何实数，（p－11）2均为非负数，∴(p－11)2＋36＞0，即Δ＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．升级:如果关于x的方程x2＋2x＝m＋9没有实数根，试判断关于y的方程y2＋my－2m＋5＝0的根的情况．这是一类需要自己找出隐含条件的题解：∵x2＋2x－m－9＝0没有实数根，∴Δ1＝22－4(－m－9)＝4m＋40＜0，即m＜－10．又y 2＋my －2m ＋5＝0的判断式Δ2．Δ2＝m 2－4(－2m ＋5)＝m 2＋8m －20 当m ＜－10时，m 2＋8m －20>0，即Δ2>0．∴方程y 2＋my －2m ＋5＝0有两个不相等的实数根． 类型2：1.已知关于x 的一元二次方程(k －1)x 2＋2kx ＋k ＋3＝0．k 取什么值时， (1)方程有两个不相等的实数根? (2)方程有两个相等的实数根? (3)方程没有实数根?解：Δ＝(2k )2－4（k －1）（k ＋3）＝－8k ＋12．(1)当－8k ＋12＞0，且k －1≠0，即k ＜23且k ≠1时，方程有两个不相等的实数根；(2)当－8k ＋12＝0，且k －1≠0，即k ＝23时，方程有两个相等的实数根；(3)当－8k ＋12＜0，且k －1≠0，即k ＞23时，方程没有实数根．说明：当已知方程为一元二次方程时，要特别注意隐含的条件：二次项系数不等于零．2．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且方程a(1+x 2)+2bx-c(1-x 2)=0有两个相等的实数根，则此三角形为（ ）A 、等腰三角形B 、等边三角形C 、直角三角形D 、斜三角形 看到有两个相同的实数根立即判断 应用根的判别式解：原方程可化为（a+c ）x 2＋2bx ＋a-c ＝0，Δ＝(2b)2－4（a +c ）（a -c ）＝0得到a 2=b 2+c 2，因此此三角形为直角三角形。
一元二次方程判别式与根的关系
一元二次方程判别式与根的关系一元二次方程，听起来是不是有点儿高深莫测？其实它就在我们身边，简单得让人忍不住想笑。
想象一下，一元二次方程就像是那位总在聚会上分享冷笑话的朋友，时而引人发笑，时而让人捧腹。
我们说的一元二次方程通常是形如ax² + bx + c = 0 的样子。
这个方程就像是一个复杂的拼图，咱们得找出它的根，才能揭开谜底。
咱们得聊聊这个神奇的“判别式”，也就是D = b² 4ac。
你听说过没？这玩意儿就像是方程的“身份证”，帮助我们判断根的性格。
如果 D 大于零，嘿，那简直是个开心果，方程的根就是两个不重合的实数，咱们可以开怀大笑，想象它们在数轴上翩翩起舞。
你看，这两根就像是一对欢喜冤家，总是在一起，却从不重叠，互相辉映，真是热闹非凡。
生活中就像有些朋友，永远不会走到一起，却总是相互吸引，真是有趣得很。
再来看看 D 等于零的情况。
这时候，根就像是两个孪生兄弟，长得一模一样，重合在一起。
你说这情形是不是让人又爱又恨？两个根，然而却只有一个，真是令人捧腹。
生活中有时候也会遇到这种情况，明明是两个不同的人，却因某种原因走得特别近，彼此成了默契的存在，简直像是个绝配。
如果 D 小于零，那就完了。
这方程就像是失落的旅人，根本没有实数根。
你说这是什么情况？简直让人哭笑不得。
就像是在黑暗中摸索，却什么也找不到，徒劳无功。
生活中也是如此，有些事情就是不如意，明明努力了，却还是碰壁。
咱们只能笑笑，然后继续寻找下一次的机会。
咱们的生活其实就像这些一元二次方程，充满了各种可能性。
每一次的选择，都是在判别 D，决定了未来的走向。
朋友们常说：“人生如戏，全靠演技。
”这句话简直是说到了心坎里。
无论是开心的还是失落的时刻，咱们都得学会面对，用幽默的态度去看待这一切。
所以说，了解一元二次方程的判别式和根的关系，不仅仅是数学的知识，更是一种生活的智慧。
我们每个人都在这个方程中扮演着不同的角色。
选择让我们欢笑，选择让我们失落，但无论如何，我们都得学会从中找乐子。
第十四讲 一元二次方程之判别式
第十四讲一元二次方程—根的判别式与根系关系（1）【新知讲解】1、一元二次方程的根的判别式一元二次方程ax 2 +bx+c=0 (a ≠0）是否有实根，完全取决于b 2 - 4ac的值的符号，我们就把 b 2 - 4ac 叫做一元二次方程ax 2 +bx+c=0的根的判别式，通常用“△”来表示，即：△= b 2 - 4ac注意：（1）根的判别式是指△=b 2 - 4ac，而不是△（2）使用判别式之前一定要先把方程变为一元二次方程的一般形式.2、一元二次方程的根的情况与判别式“△”的关系。
（1）判别式定理：△>0方程有两个不相等的实数根；△=0方程有两个相等的实数根；△<0方程没有实数根；△≥0方程有两个实数根。
（2）判别式定理的逆定理：方程有两个不相等的实数根△ > 0；方程有两个相等的实数根△ = 0；方程没有实数根△ < 0；方程有两个实数根△≥ 0；【例题解析】一、不解方程，判断方程根的情况。
例1：不解方程判断下列一元二次方程根的情况：（1）3x 2 -3x+1=0 (2) 2x 2 +1=(3) ax 2 +bx=0(a≠0) (4) (x-1) 2 -7x=0思路点拨：按照“一求二判”的思路来完成。
“一求”是指第一步求方程中“△”的值，“二判”是指第二步判断△的符号从而确定方程根的情况。
变式议练：1、下列方程中，有两个不相等的实数根的方程是（）A. 3x 2 -2x-2=0B. 3y 2 -222、已知方程mx 2 - mx+2=0有两个不相等的实数根，则m的取值是________。
3已知方程（5+11m)x2+(2-11m)x+3(m-1)=0有两个相等的实数根，则m=______。
4、已知方程2a(1-x)=b(1-x 2 )有两个相等的实数根, 则a与b的关系是_____。
5、关于x的一元二次方程（x-a)(x-b-a)=1（a、b均为实数）（）A. 无实数根B. 有两个相等的实数根C. 有两个不相等的实数根D. 有两个相等或不相等的实数根6、方程（2a-1)x 2 -8x+6=0没有实数根，则a的最小整数值是______。
一元二次方程根的判别式与根系关系
一元二次方程的判别式与根系关系【知识精讲】1.一元二次方程的根的判别式（1）根的判别式：一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 是否有实根，由符号确定，因此我们把 叫做一元二次方程的根的判别式，并用△表示，即（2）一元二次方程根的情况与判别式的关系：△>0⇔方程有 的实数根；△=0方程有 的实数根；△<0方程 实数根；△≥⇔方程 实数根.注：①使用前应先将方程化为一般形式；②使用此性质要保证方程为一元二次方程，即0≠a ；③性质顺用、逆用均可；④不解方程，可判断根的情况；⑤根据方程的情况，可确定方程中字母系数的值或取值范围；⑥在函数图像的交点问题中可以判断交点的个数；2.根系关系（韦达定理）（1）对于一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两根,,21x x 有ac x x a b x x =•=+2121,- （2）推论：如果方程02=++q px x 的两根是,,21x x 那么q x x x x =•=+2121,-p（3）常用变形：+=+2122122212-)(x x x x x x 21212214-)()-(x x x x x x += 注：①使用次性质要保证一元二次方程有两根，即0≠a 和△0≥；②不解方程，可计算代数式的值③根据两根之间的关系，可求方程中字母系数的值④与根的判别式一起使用，可确定根的符号问题【典型例题精讲】【例1】是否存在这样的非负数m ，使得关于x 的一元二次方程01-91-3(2-2=+m x m mx ）有两不相等的实数根，若存在，请求出m 的值，若不存在，请说明理由。
【拓展练习】1.关于x 的方程01)2(2-)1-(22=++x m x m 有实根，求m 的取值范围。
2.求证不论m 取何值时，若关于x 的方程02)5(22=++++m x m x 恒有两个不相等的实根。
3.已知关于x 的方程042-)1(222=+++k kx x k ，求证：次方程没有实根。
3.一元二次方程的判别式与根系关系(教师)
一元二次方程的判别式与根系关系模块一 一元二次方程的判别式1．定义：在一元二次方程()ax bx c a 2++=0≠0中，只有当系数a 、b 、c 满足条件△≥b ac 2=-40时才有实数根．这里b ac 2-4叫做一元二次方程根的判别式，记作△．2．判别式与根的关系：在实数范围内，一元二次方程()ax bx c a 2++=0≠0的根的情况由△b ac 2=-4确定．设一元二次方程为()ax bx c a 2++=0≠0，其根的判别式为：△b ac 2=-4，则①△>0⇔方程()ax bx c a 2++=0≠0有两个不相等的实数根,x 12．②△=0⇔方程()ax bx c a 2++=0≠0有两个相等的实数根bx x a12==-2．③△<0⇔方程()ax bx c a 2++=0≠0没有实数根．特殊的：（1）若a ，b ，c 为有理数，且△为完全平方式，则方程的解为有理根；（2）若△为完全平方式，同时b -2a 的整数倍，则方程的根为整数根． 模块二 一元二次方程的根与系数关系 1．韦达定理：如果()ax bx c a 2++=0≠0的两根是x 1，x 2，则b x x a 12+=-，cx x a12=．（使用前提：△≥0）特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设x 1，x 2是方程x px q 2++=0的两个根，则x x p 12+=-，x x q 12=． 2．韦达定理的逆定理：如果有两个数x 1，x 2满足b x x a 12+=-，cx x a12=，那么x 1，x 2必定是()ax bx c a 2++=0≠0的两个根．特别地，以两个数x 1、x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是()x x x x x x 21212-++=0．3．韦达定理与根的符号关系：在△≥b ac 2=-40的条件下，我们有如下结论：（1）当ca <0时，方程的两根必一正一负．①若≥b a -0，则此方程的正根不小于负根的绝对值；②若ba -<0，则此方程的正根小于负根的绝对值．（2）当ca >0时，方程的两根同正或同负．①若b a ->0，则此方程的两根均为正根；②若ba -<0，则此方程的两根均为负根．注意：（1）若ac <0，则方程()ax bx c a 2++=0≠0必有实数根．（2）若ac >0，方程()ax bx c a 2++=0≠0不一定有实数根．模块一 一元二次方程的判别式例1、（1）不解方程，直接判断下列方程的解的情况：①x x 27--1=0 ②()x x 29=43-1③x x 2+7+15=0 ④()mx m x 2-+1+=02（m 为常数）（2）已知a 、b 、c 分别是三角形的三边，则方程()()a b x cx a b 2++2++=0的根的情况是（ ） A ．没有实数根 B ．可能有且只有一个实数根 C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根【解析】（1）①△>0，有两个不等实根；②△=0，有两个相等实根； ③△<0，无实根；④△m 2=+1>0，方程有两个不等实根．（2）由题()()()()△c a b a b c c a b 22=2-4+=4++--∵a b c ++>0，c a b --<0，故方程没有实根．选A ．【点评】这道题（1）主要考察判别式与根的关系，属于特别基础的题，锻炼孩子们的思维，（2）结合三角形三边关系来考察一元二次方程的判别式和根的个数的关系．例2、（1）若关于x 的一元二次方程()k x x 21-1+-=04有实根，则k 的取值范围为______．（2）关于x的一元二次方程()k x 21-2--1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围______． （3）当a 、b 为何值时，方程()x a x a ab b 222+21++3+4+4+2=0有实根？ 【解析】（1）≥k 0且≠k 1；（2）≤k -1<2且k 1≠2，由题意，得()()k k k k 4+1+41-2>0⎧⎪+1≥0⎨⎪1-2≠0⎩，解得≤k -1<2且k 1≠2；（3）要使关于x 的一元二次方程()x a x a ab b 222+21++3+4+4+2=0有实根，则必有△≥0，即()()≥a a ab b 22241+-43+4+4+20，得()()a b a 22+2+-1≤0．又因为()()a b a 22+2+-1≥0，所以()()a b a 22+2+-1=0，得a =1，b 1=-2．【点评】这道题（1）（2）主要是结合一元二次方程的定义和判别式与根的关系的考察，（3）把判别式和平方的非负性结合起来考查．例3、已知关于x 的一元二次方程()a x ax 213-1-+=04有两个相等的实数根，求代数式a a a 21-2+1+的值．【解析】由题，一元二次方程()a x ax 213-1-+=04有两个相等的实数根，所以a a 2-3+1=0．所以有a a a 2-2+1=，a a 2+1=3．代入a a a21-2+1+，得a a a a a a a a a 2211+13-2+1+=+===3．【点评】这道题主要是考察判别式与代数式的结合，难度不大．例4、在等腰△ABC 中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，已知a =3，b 和c 是关于x 的方程x mx m 21++2-=02的两个实数根，求△ABC 的周长．【解析】当b c =时，方程有两个相等的实数根，则=△m m 21⎛⎫-42-=0 ⎪2⎝⎭，∴m 1=-4，m 2=2．若m =-4，原方程化为x x 2-4+4=0， 则x x 12==2，即b c ==2，∴△ABC 的周长为2+2+3=7．若m =2，原方程化为x x 2+2+1=0， 则x x 12==-1，不合题意．当a b =或a c =时，x =3是方程的一个根，则m m 19+3+2-=02，则m 22=-5，原方程化为x x 22221-+=055，解得x 1=3，x 27=5，∴ABC △的周长为7373+3+=55．综上所述，ABC △的周长为7或375．【点评】这道题主要考察学生们的分类讨论能力，应对多种情况是要理清思路．模块二 一元二次方程的根与系数的关系 例5、（1）已知一元二次方程ax ax c 2+2+=0的一根x 1=2，则方程的另一根______x 2=．（2）已知x 1，x 2是方程x x 2-3+1=0的两个实数根，则：①x x 2212+；②()()x x 12-2⋅-2；③x x x x 221122+⋅+；④x x x x 2112+；⑤x x 12-；⑥x x 2212-；⑦x x 1211-． 【解析】（1）-4；（2）()x x x x x x 2222121212+=+-2⋅=3-2⨯1=7，()()()x x x x x x 121212-2⋅-2=⋅-2++4=1-2⨯3+4=-1，()x x x x x x x x 22211221212+⋅+=+-⋅=9-1=8，x x x x x x x x 2221211212+7+===7⋅1，()()x x x x x x 222121212-=+-4⋅=3-4⨯1=5，∴x x 12-=∴()()(x x x x x x 22121212-=+-=3⨯=x x x x x x 21121211--=== 【点评】第三小题，主要是考察韦达定理的灵活运用，包含了各种变形情况．例6、（1）已知关于x 的方程()x k x k 22+2-3+-3=0有两个实数根x 1，x 2，且x x x x 121211+=+，求k 值． （2）已知x 1，x 2是方程ax ax a 24-4++4=0的两实根，是否能适当选取a 的值，使得()()x x x x 1221-2-2的值等于54． 【解析】（1）∵方程()x k x k 22+2-3+-3=0有两个实数根x 1，x 2，∴()()△≥k k k 22=2-3-4-3=21-120得：≤k 74．由韦达定理得，()x x k x x k 12212+=-2-3⎧⎪⎨⋅=-3⎪⎩． ∵x x x x 121211+=+，∴x x x x x x 121212++=，x x 12+=0或x x 12=1，当x x 12+=0时，k 3-2=0，k 3=2，∵k 37=<24，所以k 3=2符合题意．当x x 12=1时，k 2-3=1，k =±2，∵k 7≤4，∴k =2舍去．∴k 的值为32或-2．（2）显然a ≠0由()△a a a 2=16-16+4≥0得a <0，由韦达定理知x x 12+=1，a x x a12+4=4，所以()()()()()a x x x x x x x x x x x x a 2221221121212129+4-2-2=5-2+=9-2+=-24a a+36=4 若有()(),x x x x 12215-2-2=4则a a +365=44，∴a =9，这与0a <矛盾，故不存在a ，使()()x x x x 12215-2⋅-2=4．【点评】这道题主要锻炼孩子们的过程，以及有两个实根，解出来别忘了限制条件，这种类型的题比较常见，一定不要忽视∆的限定条件以及用韦达定理可得到的限定条件．例6、（1）若m ，n 是方程x x 2+-1=0的两个实数根，则m m n 2+2+-1的值为________．（2）已知a ，b 是方程x x 2+2-5=0的两个实数根，则a ab a b 2-+3+的值为__________．（3）已知m 、n 是方程x x 2+2016+7=0的两个根，则()()m m n n 22+2015+6+2017+8= ________． 【解析】（1）∵m ，n 是方程x x 2+-1=0的两个实数根，∴m n +=-1，m m 2+-1=0，则原式()()m m m n 2=+-1++=-1=-1，（2）∵a 是方程x x 2+2-5=0的实数根，∴a a 2+2-5=0，∴a a 2=5-2，∴a ab a b a ab a b a b ab 2-+3+=5-2-+3+=+-+5， ∵a ，b 是方程x x 2+2-5=0的两个实数根，∴a b +=-2，ab =-5，∴a ab a b 2-+3+=-2+5+5=8． 故答案为8．（3）∵m 、n 是方程x x 2+2016+7=0的两个根，∴m n +=-2016，mn =7；∴m m 2+2016+7=0，n n 2+2016+7=0，()()()()m m n n m m m n n n 2222+2015+6+2017+8=+2016+7--1+2016+7++1 ()()()()m n mn m n =-+1+1=-+++1=-7-2016+1=2008故答案是：2008．【点评】这道题主要考查韦达定理根系关系的应用，进一步强化孩子对于韦达定理应用的理解．例7、（1）已知一元二次方程()ax a x a 2+3-2+-1=0的两根都是负数，则k 的取值范围是_________． （2）已知二次方程342x x k 2-+-=0的两根都是非负数，则k 的取值范围是__________．【解析】（1）此方程两实根为,x x 12，由已知得a x x x x 1212≠0⎧⎪∆0⎪⎨+<0⎪⎪>0⎩≥，∴()()a a a a a a a a2≠0⎧⎪3-24-10⎪⎪2-3⎨<0⎪⎪-1⎪>0⎩-≥,即a 91<8≤．（2）此方程两实根为,x x 12，由已知得≥x x x x 1212∆≥0⎧⎪+≥0⎨⎪0⎩，得：∴2()43()k k ⎧⎪-4-⨯-2≥0⎪4⎪>0⎨3⎪-2⎪≥0⎪3⎩即k 102≤≤3．【点评】这道题主要考查韦达定理和判别式结合不等式组的形式去判定根的具体情况，这类题是比较常见一类题，要将这种不等的思想传授给孩子． 课后作业 1．已知关于x 的一元二次方程()()k x k x 22-1+2+1+1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围为_____________．A ．k 1≥4B ．k 1>4且≠k 1 C ．k 1<4且≠k 1 D ．k 1≥4且≠k 1【解析】B ．2．已知关于x 的一元二次方程x m 2-=0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围__________． 3．关于x 的方程()()m x m x 22-4+2+1+1=0有实根，则m 的取值范围__________．【解析】2．由题意可知，原方程的判别式(m m m 21∆=+4=1+3>0⇒>-3．又≥≤m m 1-0⇒1，故≤m 1-<13．3．题设中的方程未指明是一元二次方程，还是一元一次方程，所以应分0m 2-4=和m 2-4≠0，两种情形讨论：当m 2-4=0即m =±2时，()m 2+1≠0，方程为一元一次方程，总有实根； 当m 2-4≠0即m ≠±2时，方程有根的条件是： [()]()≥m m m 22=2+1-4-4=8+20∆0，解得m 5≥-2．∴当m 5≥-2且m ≠±2时，方程有实根．综上所述：当m 5≥-2时，方程有实根．4．已知关于x 的方程()x k x k 2-+1+2-2=0． （1）求证：无论k 为何值，方程总有实根；（2）若等腰ABC △，底边a =3，另两边b 、c 恰好是此方程的两根，求ABC △的周长． 【解析】（1）()()()≥△k k k 22=+1-42-2=-30，∴无论k 为何值，方程总有实根．（2）当a =3为底，b ，c 为腰时，b c =，∴方程有两个相等的实根，∴∆=0，即()k 2-3=0，k =3，此时方程为x x 2-4+4=0，解x x 12==2，∴ABC △的周长为3+2+2=7，当a =3为腰，则方程有一根为3，将x =3代入方程，得k =4，方程为x x 2-5+6=0，解得x 1=2，x 2=3，∴ABC △的周长为2+3+3=8，综上所述，ABC △的周长为7或8．5．关于x 的方程x kx 22+=10的一个根是-2，则方程的另一根是_______；k =________．6．已知a ，b ，c 为正数，若二次方程ax bx c 2++=0有两个实数根，那么方程a x b x c 2222++=0的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的正实数根 B ．有两个异号的实数根 C ．有两个不相等的负实数根 D ．不一定有实数根7．设α，β是一元二次方程x x 2+3-7=0的两个根，则ααβ2+4+=________．【解析】5．设另一根为x ，由根与系数的关系可建立关于x 和k 的方程组，解之即得．x 5=2，k =-1． 6．a x b x c 2222++=0的()()D b a c b ac b ac 42222=-4=+2-2， ∵二次方程ax bx c 2++=0有两个实数根， ∴≥b ac 2-40， ∴b ac 2-2>0，∴()()△b a c b ac b ac 42222=-4=+2-2>0∴方程有两个不相等的实数根，而两根之和为负，两根之积为正． 故有两个负根．故选C ．7．∵α，β是一元二次方程x x 2+3-7=0的两个根， ∴αβ+=-3，αα2+3-7=0，∴αα2+3=7，∴ααβαααβ22+4+=+3++=7-3=4，故答案为：4．8．已知关于x 的方程()x m x m 22+2+2+-5=0有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求m 的值．【解析】有实数根，则∆≥0，且x x x x 221212+-=16，联立解得m 的值．依题意有：()2()3()()x x m x x m x x x x m m 12212121222+=-2+2⎧⎪=-5⎪⎨+-=16⎪⎪∆=4+2-4-5≥0⎩，解得：m =-1或m =-15且m 9≥-4， ∴ m =-1．。
一元二次方程根的判别式及根系关系
一元二次方程根的判别式及根系关系一.根的判别式的应用【基本常识】若方程20(0)ax bx c a ++=≠,24b ac =-Δ（1）△＞0, （2）△=0 （3） △＜0,【典范应用】1.不解方程,断定方程根的情形例1,断定下列方程根的情形（1）2312x x += （2）220x mx m -+-=（m 为常数） 演习1.求证方程()222412x m x m m --=+必定有两个不相等的实根 例2.依据m 的取值,断定关于x 的方程()228180mx m x m +-+=的根的情形演习2.已知方程2680x x m +-+=没有实数根求证：方程()22210x m x m -+++=有两个不相等的实根2.已知方程根的情形,求方程式中待定系数的值（取值规模） 例3.若关于x 的方程()222110m x m x --+=有两个实数根 求知足前提的最大整数m 的值演习3.若关于x 的方程()()2212210m x m x -+++=有实根求m 的取值规模留意：应用△时,必须在0a ≠的前提下进行二.根与系数的关系的应用【基本常识】若方程20(0)ax bx c a ++=≠,当△≥0时,方程有两根：1x =2x = ,则12x x += ;12x x = ;若10x =,则 ;若12,x x 互为相反数,则 ;若12,x x 互为倒数,则 ;若11x =,则 ;若11x =-,则【典范应用】1.已知方程的一根,求另一根及待定系数的值例4.已知方程250x kx -+=有一个根是2,求另一根及k 的值演习 4.已知方程230x x m ++=的一个根是另一个根的2倍,求m 的值及两根2.不解方程,求关于根的代数式的值例5.已知,m n 是方程227x x +=的两根,求下列各式的值（1）22m n +, （2）m n - （3）22331m m n n ++++（4）2234m n n ++演习5.若实数,a b 知足2850a a -+=,2850b b -+=,且a b ≠,求1111b a a b --+--的值3.已知方程两根知足某种关系,肯定方程中待定系数的值例6.已知关于x 的方程()241210x k x k +++-=（1）求证：此方程必定有两个不等实根（2）若12,x x 是方程的两根且()()122223x x k --=-,求k 的值演习6.已知关于x 的方程230x x k +-=的两根为12,x x ,且()221212149x x x x +++= 求k 的值例7.已知关于x 的方程2230x mx m -+=的两根为12,x x ,且()21216x x -=,假如关于x 的另一个方程22690x mx m -+-= 的两根都在12,x x 之间,求m 的值演习7.已知关于x 的方程()2121402x k x k ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭,若等腰△ABC的边a =4,另双方的长,b c 恰为这个方程的两根,求△ABC 的周长。
4一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系(名师总结)
一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系【知识点1】一元二次方程的根的判别式概念：一元二次方程ax 2＋bx ＋c=0 (a ≠0)的根的判别式为b 2－4ac ，通常用符号“△”来表示。
即△=b 2－4ac 一元二次方程ax 2＋bx ＋c=0 (a ≠0)的根的情况是：①当△＞0时，有两个不相等的实数根。
②当△=0时，有两个相等的实数根。
③当△＜0时，没有实数根 ✪注：当△≧0时，方程有实数根。
【例1】已知a 、b 、c 分别是三角形的三边，则方程(a + b )x 2+ 2cx + (a + b )＝0的根的情况是（ ） A ． 没有实数根B ．可能有且只有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根【例2】如果关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（ ）A.＞B ＞且C.＜D.且【例3】已知关于的一元二次方程有两个不相同的实数根，则的取值范围是【例4】.已知关于x 的二次方程012)21(2=---x k x k 有实数根，则k 的取值范围是 。
【例5】已知a b ，是关于x 的方程2(21)(1)0x k x k k -+++=的两个实数根，则22a b +的最小值是【例6】关于x 的一元二次方程04)(2=-+++ca bx xb a 有两个相等的实数根,那么以a 、b 、c 为三边的三角形是 A 、以a 为斜边的直角三角形 B 、以c 为斜边的直角三角形 C 、以b 为底边的等腰三角形D 、以c 为底边的等腰三角形 【知识点2】一元二次方程根于系数的关系概念：若一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有两个实数根21x x 和，那么=+21x x ，=∙21x x 。
这两个结论称为一元二次方程根与系数的关系，简称韦达定理。
【例1】在一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，有一根为0，则=c ；有一根为1，则=++c b a ；有一根为1-，则=+-c b a ；若两根互为倒数,则=c ；若两根互为相反数，则=b 。
一元二次方程的判别式及跟与系数的关系
一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系要点一、一元二次方程的判别式1．定义：在一元二次方程()ax bx c a 2++=0≠0中，只有当系数a 、b 、c 满足条件△≥b ac 2=−40时才有实数根．这里b ac 2−4叫做一元二次方程根的判别式，记作△．2．判别式与根的关系：在实数范围内，一元二次方程()ax bx c a 2++=0≠0的根的情况由△b ac 2=−4确定． 设一元二次方程为()ax bx c a 2++=0≠0，其根的判别式为：△b ac 2=−4，则①△>0⇔方程()ax bx c a 2++=0≠0有两个不相等的实数根,x 12．②△=0⇔方程()ax bx c a 2++=0≠0有两个相等的实数根b x x a12==−2． ③△<0⇔方程()ax bx c a 2++=0≠0没有实数根． 特殊的：（1）若a ，b ，c 为有理数，且△为完全平方式，则方程的解为有理根；（2）若△为完全平方式，同时b −±2a 的整数倍，则方程的根为整数根．【例1】（1）不解方程，直接判断下列方程的解的情况： ①x x 27−−1=0 ②()x x 29=43−1 ③x x 2+7+15=0④()mx m x 2−+1+=02（m 为常数）（2）已知a 、b 、c 分别是三角形的三边，则方程()()a b x cx a b 2++2++=0的根的情况是（ ） A ．没有实数根B ．可能有且只有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根【解析】（1）①△>0，有两个不等实根；②△=0，有两个相等实根； ③△<0，无实根；④△m 2=+1>0，方程有两个不等实根． （2）由题()()()()△c a b a b c c a b 22=2−4+=4++−−∵a b c ++>0，c a b −−<0，故方程没有实根．选A ．【点评】这道题（1）主要考察判别式与根的关系，属于特别基础的题，锻炼孩子们的思维，（2）结合三角形三边关系来考察一元二次方程的判别式和根的个数的关系．【例2】（1）若关于x 的一元二次方程()k x x 21−1+−=04有实根，则k 的取值范围为______． 【解析】（1）≥k 0且≠k 1；【变式2-1】若关于x 的一元二次方程kx 2﹣4x+3=0有实数根，则k 的非负整数值是（ ） A. 1 B. 0,1 C. 1,2 D. 1,2,3【答案】A.提示：根据题意得：△=16﹣12k≥0，且k≠0，解得：k≤，且k≠0. 则k 的非负整数值为1．【变式2-2】已知关于x 的一元二次方程有实数根，则m 的取值范围是________ 【答案】且m≠1 【解析】因为方程有实数根，所以，解得， 同时要特别注意一元二次方程的二次项系数不为0，即， ∴ m 的取值范围是且m≠1． 【总结升华】注意一元二次方程的二次项系数不为0，即，m≠1．【例3】已知：关于x 的方程有两个不相等的实数根,求k 的取值范围. 【答案】.【变式3-1】关于x的一元二次方程()k x 21−2−−1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围______．≤k −1<2且k 1≠2， 由题意，得()()k k k k 4+1+41−2>0⎧⎪+1≥0⎨⎪1−2≠0⎩，解得≤k −1<2且k 1≠2；2(1)10m x x −++=54m ≤2(1)10m x x −++=214(1)450m m =−−=−+≥△54m ≤(1)0m −≠54m ≤(1)0m −≠2(1)04kkx k x +++=102k k ≠＞－且【变式3-2】已知关于x 的方程x 2+2x+a ﹣2=0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围； （2）当该方程的一个根为1时，求a 的值及方程的另一根． 【思路点拨】（1已知方程有两个不相等的实数根，即判别式△=b 2﹣4ac ＞0．即可得到关于a 的不等式，从而求得a 的范围．（2）设方程的另一根为x 1，根据根与系数的关系列出方程组，求出a 的值和方程的另一根． 【答案与解析】解：（1）∵b 2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×（a ﹣2）=12﹣4a ＞0，解得：a ＜3．∴a 的取值范围是a ＜3；（2）设方程的另一根为x 1，由根与系数的关系得：，解得：，则a 的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3．【变式3-2】关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是 ．【思路点拨】此题要考虑两方面：判别式要大于0，二次项系数不等于0. 【答案】k ＜2且k≠1；【解析】解：∵关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根， ∴k ﹣1≠0且△=（﹣2）2﹣4（k ﹣1）＞0， 解得：k ＜2且k≠1． 故答案为：k ＜2且k≠1．【总结升华】不能忽略二次项系数不为0这一条件.【例4】当a 、b 为何值时，方程()x a x a ab b 222+21++3+4+4+2=0有实根？（3）要使关于x 的一元二次方程()x a x a ab b 222+21++3+4+4+2=0有实根，则必有△≥0，即()()≥a a ab b 22241+−43+4+4+20，得()()a b a 22+2+−1≤0．又因为()()a b a 22+2+−1≥0，所以()()a b a 22+2+−1=0，得a =1，b 1=−2．【变式4-1】已知关于x 的一元二次方程()a x ax 213−1−+=04有两个相等的实数根，求代数式a a a21−2+1+的值．【解析】由题，一元二次方程()a x ax 213−1−+=04有两个相等的实数根， 所以a a 2−3+1=0．所以有a a a 2−2+1=，a a 2+1=3．代入a a a21−2+1+，得a a a a a a a a a 2211+13−2+1+=+===3．【点评】这道题主要是考察判别式与代数式的结合，难度不大．【变式4-2】m 为任意实数，试说明关于x 的方程x 2-（m-1）x-3（m+3）= 0恒有两个不相等的实数根. 【答案】∵Δ=[-(m-1)]2-4×[-3(m+3）]=m 2+10m+37=(m+5)2+12＞0，∴关于x 的方程x 2-（m-1）x-3（m+3）= 0恒有两个不相等的实数根.【例5】在等腰△ABC 中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，已知a =3，b 和c 是关于x 的方程x mx m 21++2−=02的两个实数根，求△ABC 的周长．【解析】当b c =时，方程有两个相等的实数根，则=△m m 21⎛⎫−42−=0 ⎪2⎝⎭，∴m 1=−4，m 2=2．若m =−4，原方程化为x x 2−4+4=0， 则x x 12==2，即b c ==2， ∴△ABC 的周长为2+2+3=7． 若m =2，原方程化为x x 2+2+1=0， 则x x 12==−1，不合题意．当a b =或a c =时，x =3是方程的一个根， 则m m 19+3+2−=02，则m 22=−5，原方程化为x x 22221−+=055，解得x 1=3，x 27=5， ∴ABC △的周长为7373+3+=55．综上所述，ABC △的周长为7或375． 【点评】这道题主要考察学生们的分类讨论能力，应对多种情况是要理清思路．要点二、一元二次方程的根与系数关系(韦达定理)1．韦达定理：如果()ax bx c a 2++=0≠0的两根是x 1，x 2，则b x x a 12+=−，cx x a12=．（使用前提：△≥0）特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设x 1，x 2是方程x px q 2++=0的两个根，则x x p 12+=−，x x q 12=． 2．韦达定理的逆定理：如果有两个数x 1，x 2满足b x x a 12+=−，cx x a12=，那么x 1，x 2必定是()ax bx c a 2++=0≠0的两个根．特别地，以两个数x 1、x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是()x x x x x x 21212−++=0． 3．韦达定理与根的符号关系：在△≥b ac 2=−40的条件下，我们有如下结论： （1）当ca<0时，方程的两根必一正一负． ①若≥b a −0，则此方程的正根不小于负根的绝对值；②若ba−<0，则此方程的正根小于负根的绝对值．（2）当ca>0时，方程的两根同正或同负． ①若b a −>0，则此方程的两根均为正根；②若ba−<0，则此方程的两根均为负根．注意：（1）若ac <0，则方程()ax bx c a 2++=0≠0必有实数根．（2）若ac >0，方程()ax bx c a 2++=0≠0不一定有实数根．【例6】（1）已知一元二次方程ax ax c 2+2+=0的一根x 1=2，则方程的另一根______x 2=．（2）已知x 1，x 2是方程x x 2−3+1=0的两个实数根，则：①x x 2212+；②()()x x 12−2⋅−2；③x x x x 221122+⋅+；④x x x x 2112+；⑤x x 12−；⑥x x 2212−；⑦x x 1211−．【解析】（1）−4；（2）()x x x x x x 2222121212+=+−2⋅=3−2⨯1=7， ()()()x x x x x x 121212−2⋅−2=⋅−2++4=1−2⨯3+4=−1， ()x x x x x x x x 22211221212+⋅+=+−⋅=9−1=8，x x x x x x x x 2221211212+7+===7⋅1，()()x x x x x x 222121212−=+−4⋅=3−4⨯1=5，∴x x 12−=，∴()()(x x x x x x 22121212−=+−=3⨯=x x x x x x 21121211−−==．【点评】第三小题，主要是考察韦达定理的灵活运用，包含了各种变形情况．【例7】（1）已知关于x 的方程()x k x k 22+2−3+−3=0有两个实数根x 1，x 2，且x x x x 121211+=+，求k 值．（2）已知x 1，x 2是方程ax ax a 24−4++4=0的两实根，是否能适当选取a 的值，使得()()x x x x 1221−2−2的值等于54．【解析】（1）∵方程()x k x k 22+2−3+−3=0有两个实数根x 1，x 2，∴()()△≥k k k 22=2−3−4−3=21−120得：≤k 74． 由韦达定理得，()x x k x x k 12212+=−2−3⎧⎪⎨⋅=−3⎪⎩． ∵x x x x 121211+=+，∴x xx x x x 121212++=，x x 12+=0或x x 12=1，当x x 12+=0时，k 3−2=0，k 3=2，∵k 37=<24，所以k 3=2符合题意． 当x x 12=1时，k 2−3=1，k =±2，∵k 7≤4，∴k =2舍去．∴k 的值为32或−2． （2）显然a ≠0由()△a a a 2=16−16+4≥0得a <0， 由韦达定理知x x 12+=1，a x x a12+4=4， 所以()()()()()a x x x x x x x x x x x x a 2221221121212129+4−2−2=5−2+=9−2+=−24a a+36=4 若有()(),x x x x 12215−2−2=4则a a +365=44，∴a =9，这与0a <矛盾， 故不存在a ，使()()x x x x 12215−2⋅−2=4． 【点评】这道题主要锻炼孩子们的过程，以及有两个实根，解出来别忘了限制条件，这种类型的题比较常见，一定不要忽视∆的限定条件以及用韦达定理可得到的限定条件．【例8】（1）若m ，n 是方程x x 2+−1=0的两个实数根，则m m n 2+2+−1的值为________．（2）已知a ，b 是方程x x 2+2−5=0的两个实数根，则a ab a b 2−+3+的值为__________．（3）已知m 、n 是方程x x 2+2016+7=0的两个根，则()()m m n n 22+2015+6+2017+8= ________．【解析】（1）∵m ，n 是方程x x 2+−1=0的两个实数根，∴m n +=−1，m m 2+−1=0，则原式()()m m m n 2=+−1++=−1=−1，（2）∵a 是方程x x 2+2−5=0的实数根，∴a a 2+2−5=0，∴a a 2=5−2，∴a ab a b a ab a b a b ab 2−+3+=5−2−+3+=+−+5， ∵a ，b 是方程x x 2+2−5=0的两个实数根，∴a b +=−2，ab =−5，∴a ab a b 2−+3+=−2+5+5=8． 故答案为8．（3）∵m 、n 是方程x x 2+2016+7=0的两个根，∴m n +=−2016，mn =7；∴m m 2+2016+7=0，n n 2+2016+7=0，()()()()m m n n m m m n n n 2222+2015+6+2017+8=+2016+7−−1+2016+7++1()()()()m n mn m n =−+1+1=−+++1=−7−2016+1=2008故答案是：2008．【点评】这道题主要考查韦达定理根系关系的应用，进一步强化孩子对于韦达定理应用的理解．【例9】（1）已知一元二次方程()ax a x a 2+3−2+−1=0的两根都是负数，则k 的取值范围是_________．（2）已知二次方程342x x k 2−+−=0的两根都是非负数，则k 的取值范围是__________．【解析】（1）此方程两实根为,x x 12，由已知得a x x x x 1212≠0⎧⎪∆0⎪⎨+<0⎪⎪>0⎩≥，∴()()a a a a a a a a2≠0⎧⎪3−24−10⎪⎪2−3⎨<0⎪⎪−1⎪>0⎩-≥g ,即a 91<8≤．（2）此方程两实根为,x x 12，由已知得≥x x x x 1212∆≥0⎧⎪+≥0⎨⎪0⎩，得：∴2()43()k k ⎧⎪−4−⨯−2≥0⎪4⎪>0⎨3⎪−2⎪≥0⎪3⎩即k 102≤≤3． 【点评】这道题主要考查韦达定理和判别式结合不等式组的形式去判定根的具体情况，这类题是比较常见一类题，要将这种不等的思想传授给孩子．【课后作业】1．已知关于x 的一元二次方程()()k x k x 22−1+2+1+1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围为_____________． A ．k 1≥4 B ．k 1>4且≠k 1 C ．k 1<4且≠k 1 D ．k 1≥4且≠k 1【解析】B ．2．已知关于x 的一元二次方程x m 2−=0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围__________．3．关于x 的方程()()m x m x 22−4+2+1+1=0有实根，则m 的取值范围__________．【解析】2．由题意可知，原方程的判别式(m m m 21∆=+4=1+3>0⇒>−3．又≥≤m m 1−0⇒1， 故≤m 1−<13．3．题设中的方程未指明是一元二次方程，还是一元一次方程，所以应分0m 2−4=和m 2−4≠0，两种情形讨论：当m 2−4=0即m =±2时，()m 2+1≠0，方程为一元一次方程，总有实根； 当m 2−4≠0即m ≠±2时，方程有根的条件是： [()]()≥m m m 22=2+1−4−4=8+20∆0，解得m 5≥−2．∴当m 5≥−2且m ≠±2时，方程有实根．综上所述：当m 5≥−2时，方程有实根．4．已知关于x 的方程()x k x k 2−+1+2−2=0． （1）求证：无论k 为何值，方程总有实根；（2）若等腰ABC △，底边a =3，另两边b 、c 恰好是此方程的两根，求ABC △的周长．【解析】（1）()()()≥△k k k 22=+1−42−2=−30，∴无论k 为何值，方程总有实根．（2）当a =3为底，b ，c 为腰时，b c =，∴方程有两个相等的实根，∴∆=0，即()k 2−3=0，k =3，此时方程为x x 2−4+4=0，解x x 12==2，∴ABC △的周长为3+2+2=7，当a =3为腰，则方程有一根为3，将x =3代入方程，得k =4，方程为x x 2−5+6=0，解得x 1=2，x 2=3，∴ABC △的周长为2+3+3=8，综上所述，ABC △的周长为7或8．5．关于x 的方程x kx 22+=10的一个根是−2，则方程的另一根是_______；k =________．6．已知a ，b ，c 为正数，若二次方程ax bx c 2++=0有两个实数根，那么方程a x b x c 2222++=0的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的正实数根 B ．有两个异号的实数根 C ．有两个不相等的负实数根D ．不一定有实数根7．设α，β是一元二次方程x x 2+3−7=0的两个根，则ααβ2+4+=________．【解析】5．设另一根为x ，由根与系数的关系可建立关于x 和k 的方程组，解之即得．x 5=2，k =−1． 6．a x b x c 2222++=0的()()D b a c b ac b ac 42222=−4=+2−2， ∵二次方程ax bx c 2++=0有两个实数根， ∴≥b ac 2−40， ∴b ac 2−2>0，∴()()△b a c b ac b ac 42222=−4=+2−2>0∴方程有两个不相等的实数根，而两根之和为负，两根之积为正． 故有两个负根．故选C ．7．∵α，β是一元二次方程x x 2+3−7=0的两个根， ∴αβ+=−3，αα2+3−7=0， ∴αα2+3=7，∴ααβαααβ22+4+=+3++=7−3=4，故答案为：4．11 8．已知关于x 的方程()x m x m 22+2+2+−5=0有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求m 的值．【解析】有实数根，则∆≥0，且x x x x 221212+−=16，联立解得m 的值．依题意有：()2()3()()x x m x x m x x x x m m 12212121222+=−2+2⎧⎪=−5⎪⎨+−=16⎪⎪∆=4+2−4−5≥0⎩，解得：m =−1或m =−15且m 9≥−4， ∴ m =−1．韦达定理说明了一元n 次方程中根和系数之间的关系。
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一元二次方程判别式与根系关系
知识点精讲：
1、一元二次方程判别式
2、一元二次方程根系关系
典型例题：
例题1：当m 为什么值时，关于x 的方程有实根.
变式1：若关于x 的方程x 2+2(k -1)x +k 2=0有实数根，则k 的取值范围是（ ） A. 12k < B. 1
2k ≤ C. 1
2k > D. k ≥1
2
例题2：已知方程2310x x +-=的根为x 1，x 2，求下列各式的值
（1）2212x x + （2）33
12x x + （3）212()x x -
（4）2
112
x x x x + （5）12x x - （6）12(2)(2)x x --
变式1：若1x 、2x 是一元二次方程0572=+-x x 的两根，则2
111x x +的值是（ ） （A ）57 （B ）57- （C ）75 （D ）7
5-
变式2：两个不相等的实数m ，n 满足m 2-6m=4，n 2
-6n=4，则mn 的值为( )
(A)6 (B)-6 (C)4 (D)-4
例题3：已知关于x 的一元二次方程()2120x m x m --++=．
（1）若方程有两个相等的实数根，求m 的值；
（2）若方程的两实数根之积等于292m m -+
变式1：已知关于的方程有实根.求的值;
变式2：已知关于x 的方程 kx 2-2 (k +1) x +k -1=0 有两个不相等的实数根，
(1) 求k 的取值范围；
(2) 是否存在实数k ，使此方程的两个实数根的倒数和等于0 ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.
例题4：如果m 、n 是两个不相等于的实数，且满足122=-m m ,122
=-n n ,那么代数式=+-+199944222n n m
变式1：设x 1、x 2是关于x 的一元二次方程x 2－1840x+1997=0的两个根，求(x 12－1841x 1+1998)（x 22－1841x 2+1998）的值
变式2：已知n m ,是方程0122=--x x 的两根，且8)763)(147(2
2=--+-n n a m m ，求a 的值
变式3：设x 1、x 2是关于x 的一元二次方程x 2－1840x+1997=0的两个根，求(x 12－1841x 1+1998)（x 22－1841x 2+1998）的值
思考题：已知：2710a a -+=，2710b b -+=，求
a b b a
+的值。
课堂练习
1、已知关于x 的一元二次方程2
20x x a -+=有实数根，则实数a 的取值范围是（ ）
A.a ≤1
B. a<1
C. a ≤-1
D. a ≥1
2、一元二次方程4x 2+3x-2=0的根的情况是( )
A.有两个相等的实数根;
B.有两个不相等的实数根
C.只有一个实数根;
D.没有实数根
3、已知方程x 2+(2k+1)x+k 2－2=0的两实根的平方和等于11，k 的取值是（ ）
A ．－3或1
B ．－3
C ．1
D ．3
4、已知：a ＋b ＝m ，ab ＝－4, 化简（a －2）（b －2）的结果是
A. 6
B. 2 m －8
C. 2 m
D. －2 m
5、若1x 、2x 为方程0122=--x x 的两根，则2121x x x x -+＝
6、已知关于x 的方程()04m x m 3x 2
2
=+-+有两个不相等的实数根，那么m 的最大整数值是
7、方程0132=--x x 与032
=+-x x 的所有实数根的和是
8、等腰△ABC 中，BC ＝8，AB 、AC 的长是关于x 的方程0102=+-m x x 的两根，则m 的值是
9、已知关于x 的一元二次方程2x 2+4x+m=0。
(1 )若x=1是方程的一个根，求方程的另一个根；
(2) 若x 1、x 2是方程的两个不同的实数根，且x 1和x 2满足：x 12+x 22+2x 1x 2―x 12x 22=0，求m 的值。
10、已知关于X 的方程035)2(2=-+-+m mx x m （1）求证方程有实数根
（2）若方程有两个实数根，且两根平方和等于3，求m 的值。