一元二次方程的判别式
一元二次方程的根的判别式
一元二次方程的根的判别式一元二次方程的根的判别式是指b²-4ac，它可以用来判断方程的根的情况。
当b²-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当b²-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b²-4ac<0时，方程没有实数根。
判别式的应用包括不解方程判断根的情况、确定方程待定系数的取值范围、证明方程根的性质以及解决综合题。
正确理解判别式的性质并熟练灵活地运用它是本节的重点和难点。
举例来说，对于方程2x²-5x+10=0，其判别式为b²-4ac=(-5)²-4×2×10=－550，因此该方程有两个不相等的实数根。
对于方程x²-2kx+4(k-1)=0，其判别式为b²-4ac=(-2k)²-4×1×4(k-1)=4(k-2)²≥0，因此该方程有实数根。
对于方程2x²-(4m-1)x+(m-1)=0，其判别式为b²-4ac=(-(4m-1))²-4×2×(m-1)=4(2m-1)²+5>0，因此该方程有两个不相等实根。
对于方程4x²+2nx+(n²-2n+5)=0，其判别式为b²-4ac=(2n)²-4×4(n²-2n+5)=－12(n-4/3)²－176/33<0，因此该方程没有实数根。
解这类题目时，一般先求出判别式Δ=b^2-4ac，然后对XXX进行化简或变形，使其符号明朗化，进而说明Δ的符号情况，得出结论。
对判别式进行变形的基本方法有因式分解、配方法等。
在解题前，首先应将关于x的方程整理成一般形式，再求Δ=b^2-4ac。
当Δ≥0时，方程有实数根，反之也成立。
例2已知关于x的方程x-(m-2)x+m^2=0，求解以下问题：1)有两个不相等实根，求m的范围。
一元二次方程求根虚根公式
一元二次方程求根虚根公式
一元二次方程的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为实数，且a不等于0。
求解一元二次方程的根可以使用虚根公式（也称为根的判别式）。
一元二次方程的判别式Δ（delta）定义为：Δ = b^2 - 4ac
根据判别式Δ的值，可以得出以下结论：
1. 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实根：
x1 = (-b + √Δ) / (2a)
x2 = (-b - √Δ) / (2a)
2. 当Δ = 0时，方程有两个相等的实根（即重根）：
x1 = x2 = -b / (2a)
3. 当Δ < 0时，方程没有实根，但存在两个共轭复根：
x1 = (-b + i√(-Δ)) / (2a)
x2 = (-b - i√(-Δ)) / (2a)
其中，i是虚数单位，满足i^2 = -1。
通过使用上述公式，可以计算一元二次方程的根，具体取决于判别式Δ的值。
请注意，在实际计算过程中，应该先计算Δ的值，然后根据Δ的结果选择相应的公式计算根。
第十四讲 一元二次方程之判别式
第十四讲一元二次方程—根的判别式与根系关系（1）【新知讲解】1、一元二次方程的根的判别式一元二次方程ax 2 +bx+c=0 (a ≠0）是否有实根，完全取决于b 2 - 4ac的值的符号，我们就把 b 2 - 4ac 叫做一元二次方程ax 2 +bx+c=0的根的判别式，通常用“△”来表示，即：△= b 2 - 4ac注意：（1）根的判别式是指△=b 2 - 4ac，而不是△（2）使用判别式之前一定要先把方程变为一元二次方程的一般形式.2、一元二次方程的根的情况与判别式“△”的关系。
（1）判别式定理：△>0方程有两个不相等的实数根；△=0方程有两个相等的实数根；△<0方程没有实数根；△≥0方程有两个实数根。
（2）判别式定理的逆定理：方程有两个不相等的实数根△ > 0；方程有两个相等的实数根△ = 0；方程没有实数根△ < 0；方程有两个实数根△≥ 0；【例题解析】一、不解方程，判断方程根的情况。
例1：不解方程判断下列一元二次方程根的情况：（1）3x 2 -3x+1=0 (2) 2x 2 +1=(3) ax 2 +bx=0(a≠0) (4) (x-1) 2 -7x=0思路点拨：按照“一求二判”的思路来完成。
“一求”是指第一步求方程中“△”的值，“二判”是指第二步判断△的符号从而确定方程根的情况。
变式议练：1、下列方程中，有两个不相等的实数根的方程是（）A. 3x 2 -2x-2=0B. 3y 2 -222、已知方程mx 2 - mx+2=0有两个不相等的实数根，则m的取值是________。
3已知方程（5+11m)x2+(2-11m)x+3(m-1)=0有两个相等的实数根，则m=______。
4、已知方程2a(1-x)=b(1-x 2 )有两个相等的实数根, 则a与b的关系是_____。
5、关于x的一元二次方程（x-a)(x-b-a)=1（a、b均为实数）（）A. 无实数根B. 有两个相等的实数根C. 有两个不相等的实数根D. 有两个相等或不相等的实数根6、方程（2a-1)x 2 -8x+6=0没有实数根，则a的最小整数值是______。
一元二次方程的解法及判别
一元二次方程的解法及判别一、一元二次方程的定义一元二次方程是指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的方程。
一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
二、一元二次方程的解法1.因式分解法：将一元二次方程进行因式分解，使其变为两个一次因式的乘积等于0的形式，然后根据零因子定律求解。
2.公式法：利用一元二次方程的求根公式（也称二次公式）求解。
求根公式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。
三、一元二次方程的判别式判别式是用来判断一元二次方程的根的情况的数值。
判别式的公式为：Δ = b^2 - 4ac。
四、判别式的性质与解的情况1.当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根。
2.当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根，也称为重根。
3.当Δ < 0时，方程没有实数根，而是有两个共轭的复数根。
五、一元二次方程的解法比较1.因式分解法适用于方程的系数较小，且容易分解的情况。
2.公式法适用于任何形式的一元二次方程，无论系数的大小和是否容易分解。
六、一元二次方程的应用一元二次方程在实际生活中有广泛的应用，如物体的运动轨迹、投资收益、面积计算等方面。
总结：一元二次方程的解法及判别是中学数学中的重要知识点，掌握因式分解法和公式法求解一元二次方程，以及理解判别式的性质和解的情况，对于解决实际问题具有重要意义。
习题及方法：已知一元二次方程x^2 - 5x + 6 = 0，求解该方程。
这是一个一元二次方程，我们可以尝试使用因式分解法来解它。
首先，我们需要找到两个数，它们的乘积等于常数项6，而它们的和等于一次项的系数（-5）。
这两个数是-2和-3。
因此，我们可以将方程重写为：(x - 2)(x - 3) = 0。
根据零因子定律，我们得到x - 2 = 0或x - 3 = 0。
解得x1 = 2，x2 = 3。
给定一元二次方程2x^2 + 5x - 3 = 0，求解该方程。
一元二次方程判别式
我们知道,任何一个一元二次方程
ax bx c 0(a 0)
2
配方法
b b 4ac x 2 2a 4a
2 2
∵a≠0
∴4a2>0
b b2 4ac x 2a 4a 2
2
∵a≠0 ∴4a2>0 当 b2 4ac 0 时， 方程有两个不相等的实数根：
（3）定理与逆定理的用途不同
定理的用途是：在不解方程的情况下，根据△值的符号，用定理来判断方程根的情况。
逆定理的用途是：在已知方程根的情况下，用逆定理来确定△值的符号，进而可求出系数中某些字母的 取值范围。
（4）注意运用定理和逆定理时，必须把所给的方程化成一般形式后方可使用。
作用2、对于字母系数的一元二次方程，若知道方程根的情况， 可以确定判别式大于零、等于零还是小于零，从而确定字母的取值 例2：当k取什么值时，已知关于x的方程：
2 2
2 x 4k 1x 2k 1 0
（1）方程有两个不相等的实根；（2）方程有两个相等 的实根；（3）方程无实根； 2 4k 1 4 2 2k 2 1 解； =
(1).当
(2).当 (3).当
9 >0 ，方程有两个不相等的实根,8k+9 >0 , 即 k 8 9 = 0 ，方程有两个不相等的实根,8k+9 =0 , 即 k 8 9 <0 ，方程有两个不相等的实根,8k+9 <0 , 即 k 8
16k 2 8k 1 16k 2 8 8k 9
一元二方程根的判别式 b 2 4ac :
一元二次方程判别式
十二、判别式及其应用一、一元二次方程的根的判别式:一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根的判别式△＝b 2-4ac 当△＞0时，方程有两个不相等的实数根； 当△＝0时，方程有两个相等的实数根， 当△＜0时，方程没有实数根． 二、判别式的应用：(1)运用判别式，判定方程实根的个数(2)利用判别式，建立等式、不等式,求方程中参数值或取值范围. (3)通过判别式，证明与方程相关的代数问题.(4)借助判别式，运用一元二次方程必有解的代数模型解代数问题.问题一、利用判别式,判定方程根的个数.例1.关于x 的一元二次方程01)12(2=-+++k x k x 的根的情况是（ ）. A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.根的情况无法判断222222.0,||,,()0( )a b c a b c x x b a c x b +>>-<++-+=例2设且那么关于的一元二次方程a 的根的情况A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.根的情况无法判断222222.0,||,,()0( )a b c a b c x a x b a c x b +>>->++-+=变式1设且那么关于的方程的根的情况A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.根的情况无法判断222222.0,||,,()0( )a b c a b c x x b a c x b +>>-<++-+=变式2设且那么关于的方程a 的根的情况A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.根的情况无法判断例3.已知关于x 的方程02)22=++-k x k x （. (1)求证：无论k 取任何实数值，方程总有实数根；(2)若等腰三角形ABC 的一边长为a=1,另两边长b 、c 恰好是这个方程的两个根，求△ABC 的周长；练习1.如果一直角三角形的三边长分别为a 、b 、c ，∠B=90°，那么，关于x 的方程0)1(2)1(22=++--x b cx x a 的根的情况是（ ）. A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.根的情况无法判断练习2.关于x 的方程068)6(2=+--x x a 有实数根，则整数a 的最大值（ ）. A.6 B.7 C.8 D.922.(31)220.(1):,;(2)6,,,,.x x k x k k k ABC a b c -+++==练习3已知关于的方程求证无论取何实数值方程总有实数根若等腰三角形的一边长另两边恰好是这个方程的两个根求此三角形的周长练习4.已知a>0,b>a+c.判断关于x 的方程02=++c bx ax 的根的情况，并给出必要的说明.问题二、求参数的值或取值范围例4.已知一元二次方程04)2422=+--k x k x （有两个不相等的实数根.则k 的最大整数值为_________.例5.关于x 的一元二次方程012)13(2=-+--m x m mx ，其根的判别式的值为1，求m 的值及该方程的根.例6.已知函数xy 2=和)0(1≠+=k kx y . （1） 若这两个函数的图像都经过点（1,a ）,求a 和k 的值； （2） 当k 取何值时，这两个函数的图像总有公共点？例7.对于实数a,只有一个实数值x 满足等式012211112=-++++-+-+x a x x x x x ，试求所有这样的实数a 的和.例8.关于x 的方程a x x =-12仅有两个不同的实根，则实数a 的取值范围是（ ）.A.a>0B.a ≥4C.2<a<4D.0<a<4练习5.如果关于x 的一元二次方程0962=+-x kx 有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ）.A.k<1B.k ≠0C.k<1且k ≠0D.k>1练习6.如果方程0)4(523=-++-k x k x x 的三个根可以作为一个等腰三角形的三边长，则实数k 的值为_________.练习7.设方程42=+ax x 只有3个不相等的实数根，求a 的值和相应的3个根.问题三、运用一元二次方程必有解的代数模型解代数问题 例9．已知x z y =-33,求证:2y ≥xz 4．例10．已知实数a ，b 满足6)3()3(22=-+-b a ,求ab的最大值．22.,,3330, , .x y x xy y x y x y ++--+===练习8若为实数且则.,,30,a b a b u+-==练习9已知都是正数且求代数式1.;2.; 1.; 2.;3.(2)5 1. 2. 3.1622A C D CB B例例变式变式例练习；练习；练习或；11314.;5.2;6.(1)2,1;(2)0;7.;8.;482 k m a k k k D<===≥≠-例例例且例例1231235.;6.4;7.4,2,22-4,2,22C a x x xa x x x==-=-+=--===+=-练习练习练习当时当时10.3.x=1,y=1;.u=2+例练习8练习9。
方程判别式
方程判别式是针对一元二次方程的,用来判别一个方程是否有实根的，方程
aX^2+bX+c=0中根的判别式为△=b²-4ac
若判别式大于0则有两个不同实根；
若判别式等于0则有两个相同实根；
若判别式小于0则没有实数根。
扩展资料：
一元二次方程的根的判别式为△=b²-4ac（a，b，c分别为一元二次方程的二次项系数，一次项系数和常数项）。
韦达定理与根的判别式的关系更是密不可分。
根的判别式是判定方程是否有实根的充要条件，韦达定理说明了根与系数的关系。
无论方程有无实数根，实系数一元二次方程的根与系数之间适合韦达定理。
判别式与韦达定理的结合，则更有效地说明与判定一元二次方程根的状况和特征。
一元二次方程的根的判别式
一元二次方程的根的判别式为了判断一元二次方程的根的情况，我们可以使用根的判别式。
根的判别式表示为Δ=b^2-4ac，其中Δ代表判别式，b代表x的一次项的系数，a代表x的二次项的系数，c代表常数项。
根的判别式Δ的值决定了一元二次方程的根的数量和性质。
1.当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根。
当判别式Δ大于零时，方程的根可以用求根公式来计算，即x=(-b±√Δ)/(2a)。
由于Δ大于零，所以√Δ也是实数，因此方程有两个实数根。
举个例子，假设我们有方程x^2-3x+2=0，将a=1，b=-3，c=2代入根的判别式Δ=b^2-4ac得到Δ=(-3)^2-4(1)(2)=9-8=1、因为Δ大于零，所以这个方程有两个实数根。
2.当Δ=0时，方程有两个相等的实数根。
当判别式Δ等于零时，方程的根仍然可以用求根公式来计算，即x=(-b±√Δ)/(2a)。
但是由于Δ等于零，所以方程的两个根将会相等。
举个例子，假设我们有方程x^2-4x+4=0，将a=1，b=-4，c=4代入根的判别式Δ=b^2-4ac得到Δ=(-4)^2-4(1)(4)=16-16=0。
因为Δ等于零，所以这个方程有两个相等的实数根。
3.当Δ<0时，方程没有实数根，而有两个虚数根。
当判别式Δ小于零时，方程没有实数根，而有两个虚数根。
此时，无法使用求根公式来计算方程的根，因为虚数不能直接在实数范围内进行计算。
举个例子，假设我们有方程x^2+2x+5=0，将a=1，b=2，c=5代入根的判别式Δ=b^2-4ac得到Δ=(2)^2-4(1)(5)=4-20=-16、因为Δ小于零，所以这个方程没有实数根，而有两个虚数根。
通过根的判别式，我们可以方便地判断一元二次方程的根的情况。
请牢记，Δ大于零时，方程有两个不相等的实数根；Δ等于零时，方程有两个相等的实数根；Δ小于零时，方程没有实数根，而有两个虚数根。
这一判别式是解决一元二次方程问题的重要基础。
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吗？
德育渗透点
1、通过揭示知识之间的内在联系，培养学生的探索精 神。
2、渗透转化和分类的数学思想方法。
布置作业
课本 p45习题2.3B组第3、4题
教学反思
1、关注学生的认知过程； 2、重视讨论、交流和合作； 3、重视探究问题的习惯的培养和养成； 4、不足之处在于学生的训练巩固量和时间不合理，有
b2
方程有两个实数根
b 0, c 0 ax2 c 0
4ac
a、异c号，方程有两个不相等
的实数根
a、 c同号，方程无实数根
小结与评价
1、通过本节课的学习，你有哪些收获？ 本节课的主要内容： （1）、一元二次方程根的判别式的意义。 （2）、由根的判别式的符号判断一元二次方程根的情
况。 （3）、由一元二次方程根的判别式判断根的判别式的
相等的实数根：x1 b
b2 4ac
b
2a
; x2
b2 4ac ;
2a
当b2 4ac =0 时，方程的右边是 0，方程有两个相等的
实数根：x1
x2
b 2a
;
当 b2 4ac ＜0 时，方程的右边是一个负数，因为在实 数范围内，负数没有平方根.所以，方程没有实数根.
反过来，对于方程ax2 bx c 0a 0 ，
3x2 4x 4 0 3
0
有两个相等 的实数根
1 x2 x 1 0 3
1 3
x2 1 0
4
没有实数根
有两个不相 等的实数根
让我们一起学习例题
例2:不解方程，判别方程的根的情况.
4y2 1 4y
一般步骤：
1、化为一般式，确定 a、b、c的值.
2、计算 的值，确定 的符号. 3、判别根的情况，得出结论.
你会了吗？来练一下吧！ 我相信你肯定行！
练习 不解方程，判别下列方程的根的情况：
(1) 1 x2 3x 8； 4
(2)5 t2 1 7t 0.
例3：不解方程，判别关于X的方程根的情况.
x2 2 2kx k 2 0
解： 2 2k 2 41 k 2
8k 2 4k 2 4k 2 ∵ k 2 0,4k 2 0，即 0,
成 xh 2 k 的形式？
ax2 bx c 0
x2 b x c 0 aa
x2 b x c
a
a
x2
b a
x
b 2a
2Hale Waihona Puke c ab 2a2
x
b 2a
2
b2 4ac 4a2
x
b 2a
2
b2 4ac 4a2
(a
0)
当b2 4ac ＞0 时，方程的右边是一个正数，方程有两个不
如果方程有两个不相等的实数根，那么 b2 4ac 0; 如果方程有两个相等的实数根，那么 b2 4ac 0; 如果方程没有实数根，那么 b2 4ac 0.
我们把 b2 4ac 叫做一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0
的根的判别式，用符号“ ”来表示, 即一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 ，
反之，
当 0 时，方程有两个不相等的实数根； 当方程有两个不相等的实数根时， 0 ； 当 0 时，方程有两个相等的实数根；当方程有两个相等的实数根时， 0 ； 当 0 时，方程没有实数根. 当方程没有实数根时， 0 .
让我们一起学习例题 例1 按要求完成下列表格：
Δ的值
根的 情况
课题：一元二次方程的根的判别式
用公式法求下列方程的根
1、 x2 -2x-5=0;
2、 -2 x2+3x-1=0;
3、
1 2
x2+x-1=0
温故而知新
一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0 ,b2 4ac 0)
的求根公式是
x b b2 4ac 2a
如何把一元二次方程 ax2 bxc0a0 写
方程有两个实数根.
很好！你真聪明！
你已学会了系数中含有字母的 一元二次方程的根的情况的判定！ 真棒！
不解方程，判别关于X的方程根的情况.
a2x2 ax 1 0a 0
ax2 bx c 0(a 0)
方程的 形式
b 0, c 0 ax2 0
根的情况
0
方程有两个相等的
实数根
b 0, c 0 ax2 bx 0
待改进。