专题：一元二次方程根的判别式(含答案)
第二章 一元二次方程专题复习2-根的判别式与韦达定理(含答案)
专题复习二 根的判别式与韦达定理重点提示： (1)根的判别式ac b 42-主要应用于判断方程根的情况.利用判别式判断方程根的情况时要注意方程是不是一元二次方程，如果方程的类型不确定还要进行分类讨论.（2）韦达定理主要反映一元二次方程根与系数的关系，利用韦达定理的前提条件是方程有解，即042≥-ac b .【夯实基础巩固】1． 已知x 1，x 2是方程x 2+2x ﹣5=0的两根，则的值为（ B ）A ．﹣B ．C ．D ．﹣2．已知x 2+px +q =0的两根是3，﹣4，则代数式x 2+px +q 分解因式的结果是（ C ）A ． （x +3）（x +4）B ． （x ﹣3）（x ﹣4）C ． （x ﹣3）（x +4）D ． （x +3）（x ﹣4）3．关于x 的方程x 2﹣2mx ﹣m ﹣1=0的根的情况是（ A ）A ． 有两个不相等的实数根B ． 有两个相等的实数根C ． 有两个实数根D ． 没有实数根4．关于x 的方程x 2﹣（m ﹣1）x +m ﹣2=0的两根互为倒数，则m 的值是（ C ）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 45．关于x 的方程x 2﹣（m ﹣3）x +m 2=0有两个不相等的实数根，则m 的最大整数值是（ B ）A ． 2B ． 1C ． 0D ． ﹣16．已知关于x 的一元二次方程x 2+kx +1=0有两个相等的实数根，则k = ±2 ．7．已知x 1，x 2是方程的两根，则的值为 3 ．8．已知a ，b 是一元二次方程x 2﹣2x ﹣1=0的两个实数根，则代数式（a ﹣b ）（a +b ﹣2）+ab 的值等于 ﹣1 ．9．已知关于x 的方程x 2+2mx +m 2﹣1=0.（1）不解方程，判别方程根的情况.（2）若方程有一个根为3，求m 的值．（1）∵∆=（2m ）2﹣4×1×（m 2﹣1）=4＞0，∴方程x 2+2mx +m 2﹣1=0有两个不相等的实数根.（2）∵x2+2mx+m2﹣1=0有一个根是3，∴32+2m×3+m2﹣1=0，解得m=﹣4或m=﹣2．10．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根．（1）求实数m的最大整数值.（2）在（1）的条件下，方程的实数根是x1，x2，求代数式x12+x22﹣x1x2的值．（1）∵x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，∴ =8﹣4m＞0，解得m＜2，∴m的最大整数值为1.（2）∵m=1，∴此一元二次方程为x2﹣2x+1=0.∴x1+x2=2，x1x2=1.∴x12+x22﹣x1x2=（x1+x2）2﹣3x1x2=8﹣3=5．【能力提升培优】11．若a，b，c为三角形三边，则关于x的一元二次方程x2+（a﹣b）x+c2=0的根的情况是（C）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定12．已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），给出下列命题：①若a+b+c=0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+bx+c=0两根为﹣1和2，则2a+c=0；③若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根．其中真命题有（C）A．1个B．2个C．3个D．0个13．设x1，x2是关于x的方程x2+px+q=0的两根，x1+1，x2+1是关于x的方程x2+qx+p=0的两根，则p，q的值分别为（A）A．﹣1，﹣3 B．1，3 C．1，﹣3 D．﹣1，3【解析】∵x1，x2是x2＋px＋q=0的两根，x1＋1，x2＋1是x2＋qx＋p=0的两根，∴x1＋x2=-p，x1x2=q，x1＋1＋x2＋1= x1＋x2＋2=-q，（x1＋1）（x2＋1）= x1x2+（x1＋x2）＋1=p.∴-p+2=-q，q-p＋1=p.∴p=-1，q=-3.14．若一元二次方程x2﹣（a+2）x+2a=0的两个实数根分别是3，b，则a+b=5．15．已知m，n是方程x2﹣2x﹣1=0的两根，且（7m2﹣14m+a）（3n2﹣6n﹣7）=8，则a的值等于﹣9．16．已知关于x的方程x2﹣（a+b）x+ab﹣1=0，x1，x2是此方程的两个实数根，现给出三个结论：①x1≠x2；②x1x2＜ab；③．则正确结论的序号是①②．17．关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有两个不等实根x1，x2．（1）求实数k的取值范围．（2）若方程两实根x1，x2满足|x1|+|x2|=x1x2，求k的值．（1）∵原方程有两个不相等的实数根，∴∆=（2k+1）2﹣4（k2+1）=4k2+4k+1﹣4k2﹣4=4k﹣3＞0，解得k＞.（2）∵k＞，∴x1+x2=﹣（2k+1）＜0.又∵x1x2=k2+1＞0，∴x1＜0，x2＜0.∴|x1|+|x2|=﹣x1﹣x2=﹣（x1+x2）=2k+1.∵|x1|+|x2|=x1x2，∴2k+1=k2+1.∴k1=0，k2=2.又∵k＞，∴k=2．18．设m是不小于﹣1的实数，关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3=0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）若+=1，求的值.（2）求+﹣m2的最大值．∵方程有两个不相等的实数根，∴∆= 4（m﹣2）2﹣4（m2﹣3m+3）=﹣4m+4＞0，解得m＜1.∴﹣1≤m＜1．（1）∵x1+x2=﹣2（m﹣2），x1x2=m2﹣3m+3，∴+===1，解得m1=，m2=（不合题意，舍去）.∴=﹣2．（2）+﹣m2=﹣m2=﹣2（m﹣1）﹣m2=﹣（m+1）2+3．当m=﹣1时，最大值为3．【中考实战演练】19．【烟台】等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1=0的两根，则n的值为（B）A．9B．10 C．9或10 D．8或10【解析】∵a,b,2是等腰三角形的三边长，∴a=2,b＜4或a＜4，b=2或a=b＞1. ∵a,b是x2-6x+n-1=0的两根，∴a+b=6.∴a=b=3.∴ab=n-1=9.∴n=10.20．已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2ax+a2+a﹣2=0的两实根，那么m+n的最大值是4．【开放应用探究】21．若x1，x2是关于x的方程x2+bx+c=0的两个实数根，且|x1|+|x2|=2|k|（k是整数），则称方程x2+bx+c=0为“偶系二次方程”．如方程x2﹣6x﹣27=0，x2﹣2x﹣8=0，x2+3x﹣=0，x2+6x ﹣27=0，x2+4x+4=0，都是“偶系二次方程”．（1）判断方程x2+x﹣12=0是否是“偶系二次方程”，并说明理由.（2）对于任意一个整数b，是否存在实数c，使得关于x的方程x2+bx+c=0是“偶系二次方程”？请说明理由．（1）不是.理由如下：解方程x2+x﹣12=0得x1=3，x2=﹣4．∴|x1|+|x2|=3+4=7=2×3.5．∵3.5不是整数，∴x2+x﹣12=0不是“偶系二次方程.（2）存在．理由如下：∵x2﹣6x﹣27=0和x2+6x﹣27=0是偶系二次方程，∴假设c=mb2+n.当b=﹣6，c=﹣27时，﹣27=36m+n．∵x2=0是偶系二次方程，∴n=0，m=﹣.∴c=﹣b2．∴可设c=﹣b2．对于任意一个整数b，c=﹣b2时， =b2﹣4c=4b2．∴x1=﹣b，x2=b．∴|x1|+|x2|=2|b|，∵b是整数，∴对于任何一个整数b，当c=﹣b2时，关于x的方程x2+bx+c=0是“偶系二次方程”．。
一元二次方程之判别式专项练习60题（有答案）ok
一元二次方程判别式专项练习60题（有答案）﹣a=01．已知关于x的一元二次方程2x2﹣5x5x﹣的取值范围．（1）如果此方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围．为何值时，方程的两个根互为倒数，求出此时方程的解．（2）当a为何值时，方程的两个根互为倒数，求出此时方程的解．．=0．2．已知关于x的方程（）﹣p p2=0的方程（x x﹣3）（x﹣2）﹣）求证：方程有两个不相等的实数根；（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）当p=2时，求该方程的根．时，求该方程的根．（k﹣2）2=x有两个相等的实数根，求k的值与方程的根．的值与方程的根．+2kx+（3．已知关于x的方程x2+2kx+有实数根．﹣a+3=0有实数根．的方程 x4．若关于x的方程x2+4x+4x﹣的取值范围；（1）求a的取值范围；（2）若a为符合条件的最小整数，求此时方程的根．为符合条件的最小整数，求此时方程的根．5．已知关于x的方程．的取值范围；（1）如果此方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；为符合条件的最大整数，求此时方程的根．）在（11）中，若m为符合条件的最大整数，求此时方程的根．（2）在（．展示你的分析能力：6．展示你的分析能力：有两个不相等的实数根．﹣m=8有两个不相等的实数根．+3x﹣已知关于x的方程x2+3x的最小整数值是多少？（1）求m的最小整数值是多少？﹣m=8中解出x的值．的值．+3x﹣（2）将（）将（11）中求出的m值，代入方程x2+3x7．已知关于x的一元二次方程mx2﹣5x+3=0的判别式为1，求m的值及该方程的根．的值及该方程的根．8．已知关于x 的方程kx 2﹣2x+1=0有两个实数根x 1、x 2． （1）求k 的取值范围；的取值范围；（2）是否存在k 使（使（x x 1+1+1））（x 2+1+1））=k =k﹣﹣1成立？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．的值；如果不存在，请说明理由．9．已知关于x 的方程x 2﹣（﹣（2k+12k+12k+1））x+4x+4（（k ﹣）=0（1）判断方程根的情况；）判断方程根的情况；（2）k 为何值时，方程有两个相等的实数根，并求出此时方程的根．为何值时，方程有两个相等的实数根，并求出此时方程的根．1010．若关于．若关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根．有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围；的取值范围；（2）为k 选取一个符合要求的值，并求出此方程的根．选取一个符合要求的值，并求出此方程的根．1111．已知关于．已知关于x 的一元二次方程的一元二次方程 x x 2+2mx++2mx+（（m+2m+2））（m ﹣1）=0=0（（m 为常数）． （1）如果方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；的取值范围；（2）如果方程有两个相等的实数根，求m 的值；如果方程没有实数根，求m 的取值范围．的取值范围．1212．当．当k 取什么值时，关于x 的一元二次方程（1）有两个不相等的实数根？）有两个不相等的实数根？ （2）没有实数根？）没有实数根？1313．已知关于．已知关于x 的方程是ax 2﹣3（a ﹣1）x ﹣9=09=0．． （1）证明：不论a 取何值，总有一个根是x=3x=3；； （2）当a ≠0时，利用求根公式求出它的另一个根．时，利用求根公式求出它的另一个根．1414．若．若k 是一个整数，已知关于x 的一元二次方程（的一元二次方程（11﹣k ）x 2﹣2x 2x﹣﹣1=0有两个不相等的实数根，则k 最大可以取多少？为什么？多少？为什么？1515．已知关于．已知关于x 的方程x 2+（m+2m+2））x+2m x+2m﹣﹣1=01=0．． （1）求证：方程有两个不相等的实数根．）求证：方程有两个不相等的实数根． （2）当m=m=﹣﹣2时，方程的两根互为相反数吗？并求出此时方程的解．时，方程的两根互为相反数吗？并求出此时方程的解．1616．已知关于．已知关于x 的方程x 2+2x+k +2x+k﹣﹣1=01=0，， （1）若方程有一个根是1，求k 的值；的值；（2）若方程没有实数根，求实数k 的取值范围．的取值范围．1717．已知关于．已知关于x 的方程x 2+（m ﹣2）x ﹣9=0（1）求证：无论m 取什么实数，这个方程总有两个不相等的实数根；取什么实数，这个方程总有两个不相等的实数根； （2）若这个方程两个根α，β满足2α+β=m+1=m+1，求，求m 的值．的值．1818．已知．已知p 为质数，使二次方程x 2﹣2px+p 2﹣5p 5p﹣﹣1=0的两根都是整数，求出p 的所有可能值．的所有可能值．1919．．m 是什么实数时，方程x 2﹣4|x|+5=m 有4个互不相等的实数根？个互不相等的实数根？2020．设关于．设关于x 的方程x 2﹣4x+4x+（（y ﹣1）|x |x﹣﹣2|+22|+2﹣﹣2y=0恰有两个实数根，求y 的负整数值．的负整数值．2121．已知关于．已知关于x 的方程x 2+2mx+m+2=0+2mx+m+2=0．．（1）方程两根都是正数时，求m 的取值范围；的取值范围；（2）方程一个根大于1，另一个根小于1，求m 的取值范围．的取值范围．2222．已知关于．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣2mx+m 2﹣2m=02m=0．． （1）当m=1时，求方程的根．时，求方程的根． （2）试判断方程根的情况．）试判断方程根的情况．2323．已知．已知a 、b 、c 是三角形的三条边长，且关于x 的方程（的方程（c c ﹣b ）x 2+2+2（（b ﹣a ）x+x+（（a ﹣b ）=0有两个相等的实数根，试判断三角形的形状．试判断三角形的形状．2424．已知关于．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣mx+m mx+m﹣﹣2=02=0，求证：无论，求证：无论m 取何值，该方程总有两个不相等的实数根．取何值，该方程总有两个不相等的实数根．2525．已知关于．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（﹣（m m ﹣1）x+m+2=0x+m+2=0．． （1）若方程有两个相等的实数根，求m 的值；的值； （2）若方程的两实数根之积等于m 2﹣9m+29m+2，求，求的值．的值．2626．关于．关于x 的方程x 2﹣2x+k 2x+k﹣﹣1=0有两个不相等的实数根．有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围；的取值范围；（2）若k ﹣1是方程x 2﹣2x+k 2x+k﹣﹣1=0的一个解，求k 的值．的值．2727．已知关于．已知关于x 的方程x 2+2x+m +2x+m﹣﹣1=0 （1）若1是方程的一个根，求m 的值；的值；（2）若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围．的取值范围．2828．若关于．若关于x 的一元二次方程（的一元二次方程（k k ﹣2）2x 2+（2k+12k+1））x+1=0有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．的取值范围．2929．已知关于．已知关于x 的方程x 2+（3k 3k﹣﹣2）x ﹣6k=06k=0，， （1）求证：无论k 取何实数值，方程总有实数根；取何实数值，方程总有实数根； （2）若等腰三角形ABC 的一边a=6a=6，另两边长，另两边长b ，c 恰好是这个方程的两个根，求△恰好是这个方程的两个根，求△ABC ABC 的周长．的周长．3030．已知一元二次方程．已知一元二次方程x 2﹣5x+k=05x+k=0．． （1）当k=6时，解这个方程；时，解这个方程；（2）若方程x 2﹣5x+k=0有两个不相等的实数根，求k 的取值范围；的取值范围；3131．已知关于．已知关于x 的方程x 2﹣（﹣（m+1m+1m+1））x+m=0（1）求证：不论m 取何实数，方程都有实数根；取何实数，方程都有实数根；（2）为m 选取一数，使方程有两个不相等的整数根，并求出这两个实数根．选取一数，使方程有两个不相等的整数根，并求出这两个实数根．3232．已知关于．已知关于x 的方程x 2﹣2x+2k 2x+2k﹣﹣3=0有两个不相等的实数根．有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围；的取值范围；（2）若k 为符合条件的最大整数，求此时方程的根．为符合条件的最大整数，求此时方程的根．3333．已知关于．已知关于x 的方程（的方程（k+1k+1k+1））x 2+（3k 3k﹣﹣1）x+2k x+2k﹣﹣2=02=0．． （1）讨论此方程根的情况；）讨论此方程根的情况；（2）若方程有两个整数根，求正整数k 的值．的值．3434．关于．关于x 的一元二次方程x 2﹣x+p x+p﹣﹣1=0有两个实数根x 1、x 2． （1）求p 的取值范围；的取值范围； （2）若，求p 的值．的值．3535．实数．实数k 取何值时，一元二次方程x 2﹣（﹣（2k 2k 2k﹣﹣3）x+2k x+2k﹣﹣4=0 （1）有两个正根；）有两个正根；（2）有两个异号根，且正根的绝对值较大；）有两个异号根，且正根的绝对值较大； （3）一个根大于3，一个根小于3．3636．已知关于．已知关于x 的方程x 2+（2k+12k+1））x+k 2+2=0有两个不相等的实数根．有两个不相等的实数根． ①求k 的取值范围；的取值范围； ②试判断直线y=y=（（2k 2k﹣﹣3）x ﹣4k+7能否通过点A （﹣（﹣22，5），并说明理由．，并说明理由．3737．已知关于．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣mx mx﹣﹣2=02=0．． （1）若﹣）若﹣11是方程的一个根，求m 的值和方程的另一个根．的值和方程的另一个根． （2）对于任意实数m ，判断方程根的情况，并说明理由．，判断方程根的情况，并说明理由．3838．证明：无论．证明：无论m 为何值，关于x 的方程x 2﹣2mx 2mx﹣﹣2m 2m﹣﹣4=0总有两个不相等的实数根．总有两个不相等的实数根．3939．已知关于．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（﹣（m m ﹣1）x+m+2=0x+m+2=0，若方程有两个相等的实数根，求，若方程有两个相等的实数根，求m 的值．的值．4040．已知关于．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣kx kx﹣﹣2=02=0．．（1）求证：无论k 取何值，方程有两个不相等的实数根；取何值，方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为x 1，x 2，且满足x 1+x 2=x 1•x 2，求k 的值．的值．4141．已知方程．已知方程m 2x 2+（2m+12m+1））x+1=0有实数根，求m 的取值范围．的取值范围．4242．已知关于．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣2x+m=0有两个实数根．有两个实数根． （1）求m 的范围；的范围； （2）若方程两个实数根为x 1、x 2，且x 1+3x 2=8=8，求，求m 的值．的值．4343．如果关于．如果关于x 的一元二次方程（的一元二次方程（11﹣m ）x 2﹣2x 2x﹣﹣1=0有两个不相等的实数根，当m 在它的取值范围内取最大整数时，求的值．的值．4444．若关于．若关于x 的一元二次方程x 2+2kx++2kx+（（k 2+2k +2k﹣﹣5）=0有两个实数根，分别是x 1，x 2． （1）求k 的取值范围；的取值范围； （2）若有x 1+x 2=x 1x 2，则k 的值是多少．的值是多少．4545．已知关于．已知关于x 的方程k 2x 2+（2k 2k﹣﹣1）x+1=0有两个实数根x 1、x 2 （1）求k 的取值范围；的取值范围；（2）是否存在k 的值，可以使得这两根的倒数和等于0？如果存在，请求出k ，若不存在，请说明理由．，若不存在，请说明理由．4646．已知关于．已知关于x 的方程x 2﹣（﹣（k+1k+1k+1））x+k=0x+k=0．．（1）求证：无论k 取什么实数值，这个方程总有实根．取什么实数值，这个方程总有实根． （2）若等腰△）若等腰△ABC ABC 的一腰长a=4a=4，另两边，另两边b 、c 恰好是这个方程的两根，求△恰好是这个方程的两根，求△ABC ABC 的周长．的周长．4747．已知．已知x 2+（2k+12k+1））x+k 2﹣2=0是关于x 的一元二次方程方程．的一元二次方程方程． （1）方程有两根不相等的实数根，求k 的取值范围．的取值范围． （2）方程有一根为1，求k 的取值．的取值．（3）方程的两根两根互为倒数，求k 的取值．的取值．4848．已知关于．已知关于x 的方程（的方程（k k ﹣1）x 2+2x +2x﹣﹣5=0有两个不相等的实数根，求：有两个不相等的实数根，求： ①k 的取值范围．的取值范围．②当k 为最小整数时求原方程的解．为最小整数时求原方程的解．4949．已知关于．已知关于x 的方程（的方程（m m ﹣1）x 2﹣（﹣（2m 2m 2m﹣﹣1）x+2=0x+2=0．． （1）求证：无论m 取任何实数，方程总有实数根；取任何实数，方程总有实数根； （2）若方程只有整数根，求整数m 的值．的值．5050．已知关于．已知关于x 的方程2x 2+kx +kx﹣﹣1=01=0．． （1）小明同学说：“无论k 为何实数，方程总有实数根．”你认为他说的有道理吗？”你认为他说的有道理吗？ （2）若方程的一个根是﹣）若方程的一个根是﹣11，求另一根及k 的值．的值．5151．已知关于．已知关于x 的一元二次方程．（1）m 取什么值时，方程有两个实数根？取什么值时，方程有两个实数根？（2）设此方程的两个实数根为a 、b ，若y=ab y=ab﹣﹣2b 2+2b+1+2b+1，求，求y 的取值范围．的取值范围．5252．已知关于．已知关于x 的一元二次方程x 2+（2k+12k+1））x+k 2﹣2=0有实根有实根 （1）求k 的取值范围的取值范围 （2）若方程的两实根的平方和等于1111，求，求k 的值．的值．5353．如果一元二方程．如果一元二方程x 2+mx+2m +mx+2m﹣﹣n=0有一个根为2，且根的判别式为0，求m 、n 的值．的值．5454．已知，关于．已知，关于x 的一元二次方程：的一元二次方程：ax ax 2+4x +4x﹣﹣1=01=0，， （1）当a 取什么值时，方程有实数根？取什么值时，方程有实数根？（2）设x 1，x 2为方程两根，为方程两根，y=x y=x 1+x 2﹣x 1•x 2，试比较y 与0的大小．的大小．5555．已知关于．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣mx mx﹣﹣2=0（1）x=2是方程的一个根，求m 的值和方程的另一个根．的值和方程的另一个根． （2）对于任意实数m ，判断方程的根的情况，并说明理由．，判断方程的根的情况，并说明理由．5656．已知关于．已知关于x 的方程．（1）若方程只有一个根，求k 的值并求出此时方程的根；的值并求出此时方程的根； （2）若方程有两个相等的实数根，求k 的值．的值．5757．已知关于．已知关于x 的方程4x 2+4+4（（k ﹣1）x+k 2=0和2x 2﹣（﹣（4k+14k+14k+1））x+2k 2﹣1=01=0，它们都有实数根，试求实数，它们都有实数根，试求实数k 的取值范围．围．5858．已知关于．已知关于x 的一元二次方程kx 2+2+2（（k+4k+4））x+x+（（k ﹣4）=0 （1）若方程有实数根，求k 的取值范围的取值范围（2）若等腰三角形ABC 的边长a=3a=3，另两边，另两边b 和c 恰好是这个方程的两个根，求△恰好是这个方程的两个根，求△ABC ABC 的周长．的周长．5959．已知关于．已知关于2x 2+kx +kx﹣﹣1=01=0．．（1）求证：该方程一定有两个不相等的实数根．）求证：该方程一定有两个不相等的实数根． （2）若已知该方程的一个根是﹣）若已知该方程的一个根是﹣11，请求出另一个根．，请求出另一个根．参考答案：1．（1）∵方程有两个不相等的实数根，）∵方程有两个不相等的实数根， ∴△∴△==（﹣（﹣55）2﹣4×2×（﹣×（﹣a a ）＞）＞00，解得a ＞﹣，即a 的取值范围为a ＞﹣；（2）根据题意得=1=1，，解得a=a=﹣﹣2，方程化为2x 2﹣5x+2=05x+2=0，变形为（，变形为（，变形为（2x 2x 2x﹣﹣1）（x ﹣2）=0=0，， 解得x1=，x 2=2=2．．2．（1）证明：方程整理为x 2﹣5x+65x+6﹣﹣p 2=0=0，， △=（﹣（﹣55）2﹣4×1×（×（66﹣p 2） =1+4p 2， ∵4p 2≥0， ∴△＞∴△＞00，∴这个方程总有两个不相等的实数根；∴这个方程总有两个不相等的实数根；（2）解：当p=2时，方程变形为x 2﹣5x+2=05x+2=0，， △=1+4=1+4××4=174=17，，∴x=， ∴x 1=，x 2=．3．方程整理得x 2+（2k 2k﹣﹣1）x+x+（（k ﹣2）2=0=0①，①，①， 由题意得（由题意得（2k 2k 2k﹣﹣1）2﹣4（k ﹣2）2=0=0，， 解得． 将代入①得，解得4．（1）△）△=4=42﹣4（3﹣a ）=4+4a =4+4a．． ∵该方程有实数根，∵该方程有实数根，∴4+4a 4+4a≥≥0． 解得a ≥﹣≥﹣11．（2）当a 为符合条件的最小整数时，为符合条件的最小整数时，a=a=a=﹣﹣1． 此时方程化为x 2+4x+4=0+4x+4=0，方程的根为，方程的根为x 1=x 2=﹣2 2 5．（1）∵该方程有两个不相等的实数根，）∵该方程有两个不相等的实数根， ∴△∴△=3=32﹣4×1×=9=9﹣﹣3m 3m＞＞0．解得m ＜3．∴m 的取值范围是m ＜3； （2）∵）∵m m ＜3，∴符合条件的最大整数是m=2m=2．． 解得x==． ∴方程的根为x 1=，x 2=．故答案为：故答案为：m m ＜3，x 1=，x 2=6．（1）化为一般形式得：）化为一般形式得：x x 2+3x +3x﹣﹣m ﹣8=0△=9+4=9+4（（m+8m+8）＞）＞）＞00， 解得m ＞﹣，∴m 的最小整数值m=m=﹣﹣1010．．（2）把m=m=﹣﹣10代入原方程得x 2+3x+10=8+3x+10=8，， 即x 2+3x+2=0解得：解得：x x 1=﹣1，x 2=﹣27．∵△．∵△==（﹣（﹣55）2﹣4×m ×3=253=25﹣﹣12m 12m，， ∴由题意得：∴由题意得：252525﹣﹣12m=112m=1，， ∴m=2m=2，，当m=2时，方程为2x 2﹣5x+3=05x+3=0，， 两根为x 1=1=1，，x 2=．答：答：m m 的值为2，方程的根为1和．8．（1）根据题意得k ≠0且△≥且△≥00，即4﹣4k 4k≥≥0，解得k ≤1，所以k 的取值范围为k ≤1且k ≠0； （2）存在，）存在，k=k=k=﹣﹣1．理由如下：．理由如下： 根据题意得x 1+x 2=，x 1•x 2=，∵（∵（x x 1+1+1））（x 2+1+1））=k =k﹣﹣1，∴x 1•x 2+x 1+x 2+1=k +1=k﹣﹣1，即++1=k +1=k﹣﹣1， 化为整式方程得k 2﹣2k 2k﹣﹣3=03=0，， ∴（∴（k k ﹣3）（k+1k+1））=0=0，， ∴k 1=3=3，，k 2=﹣1， ∵k ≤1且k ≠0； ∴k=k=﹣﹣1 19．①∵△①∵△==（2k+12k+1））2﹣4×1×4（k ﹣）=4k 2+4k+1+4k+1﹣﹣16k+8=4k 2﹣12k+9=12k+9=（（2k 2k﹣﹣3）2≥0， ∴该方程有两个实根；∴该方程有两个实根；②若方程有两个相等的实数根，则△②若方程有两个相等的实数根，则△=b =b 2﹣4ac=04ac=0，， ∴（∴（2k 2k 2k﹣﹣3）2=0=0，， 解得：解得：k=k=，把k=时代入原式得：时代入原式得：x 2﹣（﹣（22×+1+1））x+4x+4（（﹣）=0 x 2﹣4x+4=04x+4=0，， 解得：解得：x=2x=2x=2；； ∴方程两根均为2．1010．．（1）根据题意得k ≠0且△且△==（k+2k+2））2﹣4k 4k××=4k+4=4k+4＞＞0， 解得k ＞﹣＞﹣11且k ≠0；（2）取k=1k=1，方程化为，方程化为x 2+3x+=0=0，， △=4k+4=8=4k+4=8，， ∴x==， ∴x 1=，x 2=1111．．△=（2m 2m））2﹣4（m+2m+2））（m ﹣1）=4m 2﹣4m 2﹣4m+8=4m+8=﹣﹣4m+84m+8．．（1分）分）（1）因为方程有两个不相等的实数根，）因为方程有两个不相等的实数根，所以﹣所以﹣4m+84m+84m+8＞＞0，所以m ＜2．（2分）分） （2）因为方程有两个相等的实数根，）因为方程有两个相等的实数根， 所以﹣所以﹣4m+8=04m+8=04m+8=0，所以，所以m=2m=2．．（2分）分） 因为方程没有实数根，因为方程没有实数根，所以﹣所以﹣4m+84m+84m+8＜＜0，所以m ＞2 21212．．（1）根据题题意得k ≠0且△且△==（k ﹣2）2﹣4k 4k••＞0， 解得k ＜1且k ≠0；（2）根据题意得k ≠0且△且△==（k ﹣2）2﹣4k 4k••＜0， 解得k ＞1 11313．．（1）证明，将x=3代入方程，得代入方程，得 左边左边=9a =9a =9a﹣﹣9（a ﹣1）﹣）﹣9=99=99=9﹣﹣9=0=9=0=右边，右边，右边， 所以，方程总有一个根是x=3x=3；；（2）当a ≠0时，△时，△=9=9=9（（a ﹣1）2+4+4××9=99=9（（a+1a+1））2， 所以，所以，x x 1==3=3，，x 2==﹣，即方程的另一个根是x=x=﹣﹣．1414．．∵一元二次方程∵一元二次方程（（1﹣k ）x 2﹣2x 2x﹣﹣1=0有两个不相等的实数根，实数根，∴1﹣k ≠0，且△＞，且△＞00，即22﹣4×（×（11﹣k ）×（﹣）×（﹣11）＞）＞00， 解得k ＜2， 又∵又∵k k 是整数，是整数，∴k 的取值范围为：的取值范围为：k k ＜2且k ≠1的整数，的整数， =（m ﹣2）2+4+4，， ∵（∵（m m ﹣2）2≥0，∴（∴（m m ﹣2）2+4+4＞＞0，即△＞，即△＞00， ∴方程有两个不相等的实数根；∴方程有两个不相等的实数根；（2）解：当m=m=﹣﹣2时，方程变形为x 2﹣5=05=0，， 解得x 1=，x 2=﹣，∴方程的两根互为相反数∴方程的两根互为相反数1616．．（1）∵）∵x=1x=1是方程x 2+2x+k +2x+k﹣﹣1=0的一个根，的一个根，∴12+2+2××1+k 1+k﹣﹣1=01=0，，解得，解得，k=k=k=﹣﹣2； （2）∵方程没有实数根，）∵方程没有实数根，∴b 2﹣4ac 4ac＜＜0，即22﹣4（k ﹣1）＜）＜00， 解得k ＞2 21717．．（1）证明：方程的根的判别式△）证明：方程的根的判别式△==（m ﹣2）2﹣4×1×（﹣（﹣99）=（m ﹣2）2+36∵无论m 取何实效（取何实效（m m ﹣2）2+36+36＞＞0恒成立恒成立 ∴这个方程总有两个不相等的实数根∴这个方程总有两个不相等的实数根 （2）解由根与系数的关系．得α+β=2=2﹣﹣m 则2α+β=α+α+β=α+2+2﹣﹣m∵2α+β=m+1=m+1，∴，∴α+2+2﹣﹣m=m+1m=m+1，则，则α=2m =2m﹣﹣1∵α是方程的根，∴α2+（m ﹣2）α﹣9=0 则（则（2m 2m 2m﹣﹣1）2+（m ﹣2）（2m 2m﹣﹣1）﹣）﹣9=0 9=0 整理，得2m 2﹣3m 一2=0 解，得m 1=2=2，，m 2=﹣．1818．∵已知的整系数二次方程有整数根，．∵已知的整系数二次方程有整数根，．∵已知的整系数二次方程有整数根，∴△∴△=4p =4p 2﹣4（p 2﹣5p 5p﹣﹣1）=4=4（（5p+15p+1）为完全平方数，）为完全平方数，）为完全平方数， 从而，从而，5p+15p+1为完全平方数为完全平方数设5p+1=n 2，注意到p ≥2，故n ≥4，且n 为整数为整数 ∴5p=5p=（（n+1n+1））（n ﹣1）， 则n+1n+1，，n ﹣1中至少有一个是5的倍数，即n=5k n=5k±±1（k 为正整数）为正整数）∴5p+1=25k 2±10k+110k+1，，p=k p=k（（5k 5k±±2）， 由p 是质数，是质数，5k 5k 5k±±2＞1， ∴k=1k=1，，p=3或7当p=3时，已知方程变为x 2﹣6x 6x﹣﹣7=07=0，，解得x 1=﹣1，x 2=7=7；；当p=7时，已知方程变为x 2﹣14x+13=014x+13=0，解得，解得x 1=1=1，，x 2=13 所以p=3或p=7p=7．．1919．∵△．∵△．∵△=b =b 2﹣4ac=164ac=16﹣﹣4（5﹣m ）=4m =4m﹣﹣4＞0 ∴m ＞1当x ≥0时，方程是x 2﹣4x+54x+5﹣﹣m=0m=0，，方程有两个不同的根，则两个的积一定大于0，即5﹣m ＞0，则m ＜5 ∴1＜m ＜5当x ＜0时，方程是x 2+4x+5+4x+5﹣﹣m=0m=0，方程有两个不同的根，，方程有两个不同的根，则两个根的积一定大于0，即5﹣m ＞0，则m ＜5 则1＜m ＜5∴1＜m ＜5时，方程x 2﹣4|x|+5=m 有4个互不相等的实数（|x |x﹣﹣2|2|﹣﹣2）[|x [|x﹣﹣2|+2|+（（1+y 1+y））]=0]=0，， 则|x |x﹣﹣2|=2或|x |x﹣﹣2|=2|=﹣（﹣（﹣（y+1y+1y+1））， 故2=2=﹣（﹣（﹣（y+1y+1y+1））， 则y=y=﹣﹣3，当|x |x﹣﹣2|=22|=2，且，且1+y 1+y＞＞0时，时， 则y ＞﹣＞﹣11，故y 的负整数值为：﹣的负整数值为：﹣3 3 3 2121．．（1）根据题意，）根据题意，mm 应当满足条件…（3分）分）即∴﹣∴﹣22＜m ≤﹣≤﹣11…（7分）分）（2）根据题意，）根据题意，mm 应当满足条件…（10分），即∴m ＜﹣＜﹣1 1 12222．．（1）当m=1时，原方程变为：时，原方程变为：x x 2﹣2x 2x﹣﹣1=0 解得：；（2）△）△=b =b 2﹣4ac=4ac=（﹣（﹣（﹣2m 2m 2m））2﹣4×（×（m m 2﹣2m 2m））=8m =8m，， 当m ＞0时，原方程有两个不相等的实数根；时，原方程有两个不相等的实数根； 当m=0时，原方程有两个相等的实数根；时，原方程有两个相等的实数根； m ＜0时，原方程没有实数根时，原方程没有实数根2323．由已知条件△．由已知条件△．由已知条件△=4=4=4（（b ﹣a ）2﹣4（c ﹣b ）（a ﹣b ）=4=4（（a ﹣b ）（a ﹣c ）=0=0，， ∴a=b 或a=c a=c，， ∵c ﹣b ≠0则c ≠b ，∴这个三角形是等腰三角形∴这个三角形是等腰三角形 2424．△．△．△=m =m 2﹣4（m ﹣2） =m 2﹣4m+8 =（m ﹣2）2+4+4，， ∵（∵（m m ﹣2）2≥0，∴（∴（m m ﹣2）2+4+4＞＞0，即△＞，即△＞00，∴无论m 取何值，该方程总有两个不相等的实数根．取何值，该方程总有两个不相等的实数根． 2525．．（1）∵方程有两个相等的实数根，）∵方程有两个相等的实数根， ∴（∴（m m ﹣1）2﹣4（m+2m+2））=0=0，， ∴m 2﹣2m+12m+1﹣﹣4m 4m﹣﹣8=08=0，， m 2﹣6m 6m﹣﹣7=07=0，， ∴m=7或﹣或﹣11；（2）∵方程的两实数根之积等于m 2﹣9m+29m+2，， ∴m 2﹣9m+2=m+29m+2=m+2，， ∴m 2﹣10m=010m=0，， ∴m=0或m=10m=10，，当m=0时，方程为：时，方程为：x x 2+x+2=0+x+2=0，方程没有实数根，舍去；，方程没有实数根，舍去；，方程没有实数根，舍去； ∴m=10m=10，， ∴=4 =42626．．（1）由题意，知（﹣）由题意，知（﹣22）2﹣4（k ﹣1）＞）＞00， 解得k ＜2，即k 的取值范围为k ＜2．（2）由题意，得（）由题意，得（k k ﹣1）2﹣2（k ﹣1）+k +k﹣﹣1=0 即k 2﹣3k+2=0解得k 1=1=1，，k 2=2=2（舍去）（舍去）（舍去） ∴k 的值为12727．．（1）把x=1代入方程，得1+2+m 1+2+m﹣﹣1=01=0，所以，所以m=m=﹣﹣2； （2）∵方程有两个不相等的实数根，）∵方程有两个不相等的实数根， ∴△＞∴△＞00，即22﹣4（m ﹣1）＞）＞00， 解得m ＜2．所以m 的取值范围为m ＜2 22828．∵关于．∵关于x 的一元二次方程（的一元二次方程（k k ﹣2）2x 2+（2k+12k+1））x+1=0有两个不相等的实数根，有两个不相等的实数根， ∴，解得k ＞．所以k 的取值范围是k ＞且k ≠2．2929．．（1）证明：∵△）证明：∵△=b =b 2﹣4ac=4ac=（（3k 3k﹣﹣2）2﹣4•（﹣6k 6k））=9k 2﹣12k+4+24k=9k 2+12k+4=+12k+4=（（3k+23k+2））2≥0 ∴无论k 取何值，方程总有实数根．取何值，方程总有实数根．（2）解：①若a=6为底边，则b ，c 为腰长，则b=c b=c，则，则△=0=0．．∴（∴（3k+23k+23k+2））2=0=0，解得：，解得：，解得：k=k=k=﹣﹣．此时原方程化为x 2﹣4x+4=0∴x 1=x 2=2=2，即，即b=c=2b=c=2．．此时△此时△ABC ABC 三边为6，2，2不能构成三角形，故舍去；不能构成三角形，故舍去； ②若a=b 为腰，则b ，c 中一边为腰，不妨设b=a=6 代入方程：代入方程：662+6+6（（3k 3k﹣﹣2）﹣）﹣6k=0 6k=0 ∴k=k=﹣﹣2则原方程化为x 2﹣8x+12=0 （x ﹣2）（x ﹣6）=0 ∴x 1=2=2，，x 2=6 即b=6b=6，，c=2此时△此时△ABC ABC 三边为6，6，2能构成三角形，能构成三角形， 综上所述：△综上所述：△ABC ABC 三边为6，6，2． ∴周长为6+6+2=146+6+2=14．．3030．．（1）k=6k=6，方程变为，方程变为x 2﹣5x+6=05x+6=0，即（，即（，即（x x ﹣2）（x ﹣3）=0=0，，∴x 1=2=2，，x 2=3=3；；（2）根据题意△）根据题意△==（﹣（﹣55）2﹣4k 4k＞＞0，解得k ＜；（3）根据题意得x 1+x 2=5=5，，x 1，•x 2=k =k，， 而2x 1﹣x 2=2=2，， ∴x 1=， ∴x 2=， ∴k=×=3131．．（1）∵△）∵△=[=[=[﹣﹣（m ﹣1）]2﹣4m=m 2+2m+1+2m+1﹣﹣4m=4m=（（m ﹣1）2， 又∵不论m 取何实数，总有（取何实数，总有（m m ﹣1）2≥0， ∴△≥∴△≥00，∴不论m 取何实数，方程都有实数根．取何实数，方程都有实数根． （2）∵由求根公式得=∴x 1=m =m，，x 2=1=1，，∴只要m 取整数（不等于1），则方程的解就都为整数且不相等．相等．如取m=2m=2，则原方程有两个不相等的整数根，分别是，则原方程有两个不相等的整数根，分别是x 1=2=2，，x 2=1=1．．3232．．（1）△）△==（﹣（﹣22）2﹣4（2k 2k﹣﹣3）=8=8（（2﹣k ）． ∵该方程有两个不相等的实数根，∵该方程有两个不相等的实数根， ∴8（2﹣k ）＞）＞00，解得k ＜2．（2）当k 为符合条件的最大整数时，为符合条件的最大整数时，k=1k=1k=1．． 此时方程化为x 2﹣2x 2x﹣﹣1=01=0，方程的根为，方程的根为x==1±．即此时方程的根为x 1=1+，x 2=1=1﹣﹣．3333．．（1）当k=k=﹣﹣1时，方程﹣时，方程﹣4x 4x 4x﹣﹣4=0为一元一次方程，此方程有一个实数根；此方程有一个实数根；当k ≠﹣≠﹣11时，方程（时，方程（k+1k+1k+1））x 2+（3k 3k﹣﹣1）x+2k x+2k﹣﹣2=0是一元二次方程，二次方程，△=（3k 3k﹣﹣1）2﹣4（k+1k+1））（2k 2k﹣﹣2）=（k ﹣3）2． ∵（∵（k k ﹣3）2≥0，即△≥，即△≥00，∴k 为除﹣为除﹣11外的任意实数时，此方程总有两个实数根．外的任意实数时，此方程总有两个实数根． 综上，无论k 取任意实数，方程总有实数根；取任意实数，方程总有实数根；（2）∵方程（k+1k+1））x 2+（3k 3k﹣﹣1）x+2k x+2k﹣﹣2=0中a=k+1a=k+1，，b=3k ﹣1，c=2k c=2k﹣﹣2，∴x=，∴x 1=﹣1，x 2=﹣2，∵方程的两个根是整数根，且k 为正整数，为正整数， ∴当k=1时，方程的两根为﹣时，方程的两根为﹣11，0； 当k=3时，方程的两根为﹣时，方程的两根为﹣11，﹣，﹣11． ∴k=1k=1，，3 33434．．（1）∵方程x 2﹣x+p x+p﹣﹣1=0有两个实数根x 1、x 2， ∴△≥∴△≥00，即12﹣4×1×（×（p p ﹣1）≥）≥00，解得p ≤， ∴p 的取值范围为p ≤；（2）∵方程x 2﹣x+p x+p﹣﹣1=0有两个实数根x 1、x 2， ∴x 12﹣x 1+p +p﹣﹣1=01=0，，x 22﹣x 2+p +p﹣﹣1=01=0，， ∴x 12﹣x 1=﹣p+1=0p+1=0，，x 22﹣x 2=﹣p+1p+1，， ∴（﹣∴（﹣p+1p+1p+1﹣﹣2）（﹣（﹣p+1p+1p+1﹣﹣2）=9=9，， ∴（∴（p+1p+1p+1））2=9=9，， ∴p 1=2=2，，p 2=﹣4，∵p ≤， ∴p=p=﹣﹣4 43535．．（1）设方程的两个正根为x 1、x 2，则：，则： △=（2k 2k﹣﹣3）2﹣4（2k 2k﹣﹣4）≥）≥0 0 ①，①， x 1+x 2=2k =2k﹣﹣3＞0，x 1x 2=2k =2k﹣﹣4＞0 ②，②，解①，得：解①，得：k k 为任意实数，为任意实数， 解②，得：解②，得：k k ＞2，所以k 的取值范围是k ＞2；（2）设方程的两个根为x 1、x 2，则：，则： △=（2k 2k﹣﹣3）2﹣4（2k 2k﹣﹣4）＞）＞0 0 ①，①， x 1+x 2=2k =2k﹣﹣3＞0，x 1x 2=2k =2k﹣﹣4＜0 ②，②， 解①，得：解①，得：k k ≠，解②，得：＜k ＜2，所以k 的取值范围是＜k ＜2； （2）设方程的两个根为x 1、x 2，则：，则： △=（2k 2k﹣﹣3）2﹣4（2k 2k﹣﹣4）＞）＞0 0 ①，①， （x 1﹣3）（x 2﹣3）＜）＜0 0 ②，②， 解①，得：解①，得：k k ≠，由②，得：由②，得：x x 1x 2﹣3（x 1+x 2）+9+9＜＜0， 又x 1+x 2=2k =2k﹣﹣3＞0，x 1x 2=2k =2k﹣﹣4，代入整理，得﹣代入整理，得﹣4k+144k+144k+14＜＜0， 解得k ＞． 则k ＞．3636．．（1）∵关于x 的方程x 2+（2k+12k+1））x+k 2+2=0有两个不相等的实数根，等的实数根， ∴△∴△=b =b 2﹣4ac 4ac＞＞0∴（∴（2k+12k+12k+1））2﹣4（k 2+2+2）＞）＞）＞0 0 ∴4k 2+4k+1+4k+1﹣﹣4k 2﹣8＞0， ∴4k 4k＞＞7， 解得，解得，k k ＞；（2）假设直线y=y=（（2k 2k﹣﹣3）x ﹣4k+7能否通过点A （﹣（﹣22，5）， ∴5=5=（（2k 2k﹣﹣3）×（﹣）×（﹣22）﹣）﹣4k+74k+74k+7，即﹣，即﹣，即﹣8=8=8=﹣﹣8k 8k，， 解得k=1k=1＜＜；又由（又由（11）知，）知，kk ＞；∴k=1不符合题意，即直线y=y=（（2k 2k﹣﹣3）x ﹣4k+7不通过点A （﹣（﹣22，5）3737．．（1）把x=x=﹣﹣1代入原方程得：代入原方程得：1+m 1+m 1+m﹣﹣2=02=0，， 解得：解得：m=1m=1m=1，，∴原方程为x 2﹣x ﹣2=02=0．．解得：解得：x=x=x=﹣﹣1或2， ∴方程另一个根是2；（2）∵△）∵△=b =b 2﹣4ac=m 2+8+8＞＞0，∴对任意实数m 方程都有两个不相等的实数根．方程都有两个不相等的实数根． 3838．∵△．∵△．∵△==（﹣（﹣2m 2m 2m））2﹣4×1×（﹣×（﹣2m 2m 2m﹣﹣4） =4=4（（m 2+2m +2m））+16 =4=4（（m 2+2m+1+2m+1﹣﹣1）+16 =4=4（（m+1m+1））2+12+12＞＞0，∴关于x 的方程x 2﹣2mx 2mx﹣﹣2m 2m﹣﹣4=0总有两个不相等的实数根．根．3939．∵关于．∵关于x 的一元二次方程x 2﹣（﹣（m m ﹣1）x+m+2=0有两个相等的实数根，个相等的实数根， ∴△∴△=b =b 2﹣4ac=04ac=0，，即：（m ﹣1）2﹣4（m+2m+2））=0=0，， 解得：解得：m=7m=7或m=m=﹣﹣1， ∴m 的值为7或﹣或﹣1 14040．．1）证明：∵）证明：∵a=1a=1a=1，，b=b=﹣﹣k ，c=c=﹣﹣2∴△∴△=b =b 2﹣4ac=4ac=（﹣（﹣（﹣k k ）2﹣4×1×（﹣×（﹣22）=k 2+8+8，， ∵k 2＞0， ∴△＞∴△＞00，∴无论k 取何值，方程有两个不相等的实数根．取何值，方程有两个不相等的实数根． （2）解：∵，；又∵又∵x x 1+x 2=x 1•x 2 ∴k=k=﹣﹣2．4141．当．当m 2=0=0，即，即m=0m=0，方程变为：，方程变为：，方程变为：x+1=0x+1=0x+1=0，有解；，有解；，有解；当m 2≠0，即m ≠0，原方程要有实数根，则△≥，原方程要有实数根，则△≥00， 即△即△==（2m+12m+1））2﹣4m 2=4m+1=4m+1≥≥0， 解得m ≥﹣，则m 的范围是m ≥﹣且m ≠0； 所以，所以，m m 的取值范围为m ≥﹣ 4242．．（1）△）△=4=4=4﹣﹣4m 4m，，∵有两个实数根，∵有两个实数根， ∴4﹣4m 4m≥≥0， ∴m ≤1； （2）∵，解得，，∴m=x 1x 2=﹣3 34343．∵一元二次方程有两个不相等的实数根，．∵一元二次方程有两个不相等的实数根，．∵一元二次方程有两个不相等的实数根，∴△∴△=4+4=4+4=4+4（（1﹣m ）=8=8﹣﹣4m 4m＞＞0，且1﹣m ≠0，∴，∴m m ＜2，且m ≠1．当m=0时，无意义，故m ≠0， 则m 的最大整数值为﹣的最大整数值为﹣11，所以=4=4××1+1=51+1=5．．答：=5=5．．4444．．（1）∵方程x 2+2kx++2kx+（（k 2+2k +2k﹣﹣5）=0有两个实数根，有两个实数根， ∴△≥∴△≥00，即4k 2﹣4（ k 2+2k +2k﹣﹣5 ）≥）≥00， ∴﹣∴﹣8k+208k+208k+20≥≥0 ∴k ≤；（2）∵）∵x x 1+x 2=﹣2k 2k，，x 1x 2=k 2+2k +2k﹣﹣5， 而x 1+x 2=x 1x 2，∴﹣∴﹣2k=k 2k=k 2+2k +2k﹣﹣5，即k 2+4k +4k﹣﹣5=0 解得k 1=﹣5，k 2=1=1，， 又∵又∵kk ≤， ∴k=k=﹣﹣5或1 14545．．（1）（2k 2k﹣﹣1）2﹣4k 2×1≥0， 解得：解得：k k ≤， 且：且：k k 2≠0， ∴k ≠0， ∴k ≤且k ≠0；（2）不存在，）不存在，∵方程有两个的实数根，∵方程有两个的实数根， ∴x 1+x 2=﹣，x 1x 2=，∴==﹣=﹣2k+1=02k+1=0，，k=，∵k ≤且k ≠0； ∴不存在∴不存在4646．．（1）∵△）∵△=[=[=[﹣（﹣（﹣（k+1k+1k+1））]2﹣4k=k 2+2k+1+2k+1﹣﹣4k=4k=（（k ﹣1）2≥0，∴无论k 取什么实数值，这个方程总有实根；取什么实数值，这个方程总有实根；（2）∵等腰△）∵等腰△ABC ABC 的一边长a=4a=4，， ∴另两边b 、c 中必有一个数为4，把4代入关于x 的方程x 2﹣（﹣（k+1k+1k+1））x+k=0中得，中得， ∴1616﹣﹣4（k+1k+1））+k=0+k=0，， 解得：解得：k=4k=4k=4，， 所以b+c=k+1=5∴△∴△ABC ABC 的周长的周长=4+5=9=4+5=9=4+5=9．．4747．．（1）∵方程有两根不相等的实数根，）∵方程有两根不相等的实数根， ∴△∴△==（2k+12k+1））2﹣4×1×（×（k k 2﹣2）＞）＞00， ∴k ＞﹣；（2）把x=1代入原方程得1+1+（（2k+12k+1））+k 2﹣2=02=0，， 整理得k 2+2k=0+2k=0，， 解得k=0或﹣或﹣22；（3）设两实数根为：）设两实数根为：x x 1，x 2，由根与系数的关系：由根与系数的关系：x x 1x 2=k 2﹣2=12=1，，解得k=k=±±4848．①由题意得，．①由题意得，．①由题意得，222﹣4（k ﹣1）•（﹣5）＞）＞00．解得，．且k ﹣1≠0，即k ≠1 故且k ≠1．（2）k 的最小整数是k=2k=2．则原方程为．则原方程为x 2+2x +2x﹣﹣5=0 故此时方程的解为：，4949．．（1）证明：∵△∵△=[=[=[﹣﹣（2m 2m﹣﹣1）]2﹣4×（m ﹣1）×2=4m 2﹣12m+9=12m+9=（（2m 2m﹣﹣3）2≥0，∴无论m 取任何实数，方程总有实数根；取任何实数，方程总有实数根； （2）x==，x 1==2=2，，x 2==，∵方程只有整数根，∵方程只有整数根，∴m ﹣1=1=±±1， 解得：解得：m=0m=0或2 2 5050．．（1）有道理，）有道理，△=k 2﹣4×2×（﹣×（﹣11）=k 2+8+8，， ∴k 2≥0，∴k 2+8+8＞＞0，∴无论k 为何实数，方程总有实数根；为何实数，方程总有实数根；（2）∵方程的一个根是﹣）∵方程的一个根是﹣11， ∴2×（﹣×（﹣11）2﹣k ﹣1=01=0，，解得：解得：k=1k=1k=1，，把k=1代入方程2x 2+kx +kx﹣﹣1=0得方程2x 2+x +x﹣﹣1=01=0，， 解得：解得：x x 1=﹣1，x 2=， 故另一根是，k 的值是1 15151．．（1）∵△≥）∵△≥00，方程有两个实数根，，方程有两个实数根， ∴12﹣4×1×m ≥0，解得m ≤1， ∴当m ≤1时，方程有两个实数根；时，方程有两个实数根； （2）∵方程的两个实数根为a 、b ， ∴b 2﹣b+m=0m=0，，ab=m ， ∴y=m ﹣2（b 2﹣b ）+1 =m ﹣2×（﹣m ）+1 =m+1m+1，， ∵m ≤1， ∴y ≤+1+1，， 即y ≤．5252．．（1）∵关于x 的一元二次方程x 2+（2k+12k+1））x+k 2﹣2=0有实根，有实根，∴△∴△==（2k+12k+1））2﹣4×1×（×（k k 2﹣2）≥）≥00，解得：；（2）设方程x 2+（2k+12k+1））x+k 2﹣2=0设其两根为x 1，x 2，得x 1+x 2=﹣（﹣（2k+12k+12k+1）），x 1•x 2=k 2﹣2， ∵x 12+x 22=11=11，，∴（∴（x x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=11=11，， ∴（∴（2k+12k+12k+1））2﹣2（k 2﹣2）=11=11，， 解得k=1或﹣或﹣33； ∵k ≥﹣， ∴k=1k=1．．5353．∵一元二方程．∵一元二方程x 2+mx+2m +mx+2m﹣﹣n=0有一个根为2， ∴4+4m 4+4m﹣﹣n=0n=0①，①，①， 又∵根的判别式为0， ∴△∴△=m =m 2﹣4×（×（2m 2m 2m﹣﹣n ）=0=0，， 即m 2﹣8m+4n=08m+4n=0②，②，②， 由①得：由①得：n=4+4m n=4+4m n=4+4m，，把n=4+4m 代入②得：代入②得：m m 2+8m+16+8m+16﹣﹣0， 解得m=m=﹣﹣4， 代入①得：代入①得：n=n=n=﹣﹣1212，， 所以m=m=﹣﹣4，n=n=﹣﹣1212．． 5454．．（1）∵方程有实数根，）∵方程有实数根， ∴△≥∴△≥00， 即16+4a 16+4a≥≥0， 解得a ≥﹣≥﹣44．由于ax 2+4x +4x﹣﹣1=0是关于x 的一元二次方程，的一元二次方程， 可知a ≠0，∴a ≥﹣≥﹣44且a ≠0． （2）∵）∵ax ax 2+4x +4x﹣﹣1=0是关于x 的一元二次方程，的一元二次方程， ∴x 1+x 2=﹣， x 1•x 2=﹣， ∴y=y=﹣﹣+=﹣．当﹣当﹣44≤a ＜0时，时，y=y=y=﹣﹣+=﹣＞0； 当a ＞0时，时，y=y=y=﹣﹣+=﹣＜0． 5555．．（1）将x=2代入方程得：代入方程得：44﹣2m 2m﹣﹣2=02=0，， 解得：解得：m=1m=1m=1，，方程为x 2﹣x ﹣2=02=0，即（，即（，即（x x ﹣2）（x+1x+1））=0=0，， 解得：解得：x=2x=2或x=x=﹣﹣1， 则方程的另一根为﹣则方程的另一根为﹣11； （2）∵△）∵△=m =m 2+8+8≥≥8＞0，∴方程有两个不相等的实数根．∴方程有两个不相等的实数根． 5656．．（1）∵方程只有一个根，）∵方程只有一个根，∴此方程是一元一次方程，即k ﹣=0=0，， ∴k=；代入原方程得﹣x=1x=1，解得，解得x=x=﹣﹣；（2）∵方程有两个相等的实数根，）∵方程有两个相等的实数根，∴，∴k 1=0=0，，k 2=﹣6．5757．∵两个一元二次方程都有实数根，．∵两个一元二次方程都有实数根，．∵两个一元二次方程都有实数根， ∴，解得﹣≤k ≤．5858．．（1）∵关于x 的一元二次方程kx 2+2+2（（k+4k+4））x+x+（（k ﹣4）=0方程有实数根，方程有实数根，∴b 2﹣4ac=[24ac=[2（（k+4k+4））]2﹣4k 4k（（k ﹣4）≥）≥00， 解得：解得：k k ≥﹣且k ≠0；（2）①若a=3为底边，则b ，c 为腰长，则b=c b=c，则△，则△，则△=0=0=0．． ∴b 2﹣4ac=[24ac=[2（（k+4k+4））]2﹣4k 4k（（k ﹣4）=0=0，， 解得：解得：k=k=k=﹣﹣．此时原方程化为x 2﹣4x+4=0 ∴x 1=x 2=2=2，即，即b=c=2b=c=2．．此时△此时△ABC ABC 三边为3，2，2能构成三角形，能构成三角形， ∴△∴△ABC ABC 的周长为：的周长为：3+2+2=83+2+2=83+2+2=8；；②若a=b 为腰，则b ，c 中一边为腰，不妨设b=a=3 代入方程：代入方程：kx kx 2+2+2（（k+4k+4））x+x+（（k ﹣4）=0得：得：k k ×32+2+2（（k+4k+4））×3+3+（（k ﹣4）=0 ∴解得：∴解得：k=k=k=﹣﹣，∵x 1×x2=bc====3c =3c，，∴c=，∴△∴△ABC ABC 的周长为：的周长为：3+3+3+3+=．5959．．（1）证明：∵△）证明：∵△=k =k 2﹣4×2×（﹣×（﹣11）=k 2+4+4＞＞0， ∴该方程一定有两个不相等的实数根；∴该方程一定有两个不相等的实数根；（2）解：设另一个根为x 1，根据根与系数的关系可得：，根据根与系数的关系可得：x x 1•x 2=﹣， ∵一个根是﹣∵一个根是﹣11， ∴x 1•（﹣1）=﹣，解得：解得：x x 1=6060．∵一元二次方程．∵一元二次方程x 2﹣2（m+1m+1））x+m 2=0有两个整数根，有两个整数根， ∴△∴△=b =b 2﹣4ac=44ac=4（（m+1m+1））2﹣4m 2=8m+4=8m+4≥≥0， ∴，∵1212＜＜m ＜4040，，由求根公式由求根公式，∵一元二次方程x 2﹣2（m+1m+1））x+m 2=0有两个整数根，有两个整数根， ∴2m+1必须是完全平方数，必须是完全平方数， ∴m=24 m=24。
一元二次方程判别式及根与系数关系专题训练(含答案)
一元二次方程判别式及根与系数关系专题训练10. (2008 甘肃省兰州市) 已知关于x 的一元二次方程220x x a --=．（1）如果此方程有两个不相等的实数根，求a 的取值范围； （2）如果此方程的两个实数根为12x x ，，且满足121123x x +=-，求a 的值．11. (2008 广东省梅州市) 已知关于x 的一元二次方程x 2-mx -2=0． ……①(1) 若x =-1是方程①的一个根，求m 的值和方程①的另一根；(2) 对于任意实数m ，判断方程①的根的情况，并说明理由．12. (2008 广东省中山市) 已知关于x 的方程2(2)210xm x m +++-=．（1）求证方程有两个不相等的实数根．（2）当m 为何值时，方程的两根互为相反数？并求出此时方程的解．13. (2008 湖南省长沙市) 当m 为何值时，关于x 的一元二次方程02142=-+-m x x 有两个相等的实数根？此时这两个实数根是多少？14. (2010 北京市) 已知关于 x 的一元二次方程 2410x x m -+-= 有两个相等的实数根，求m 的值及方程的根．15. (2010 四川省成都市) 若关于x 的一元二次方程2420x x k ++=有两个实数根，求k 的取值范围及k 的非负整数值.16. (2010 四川省绵阳市) 已知关于x 的一元二次方程x 2= 2（1－m ）x －m 2的两实数根为x 1，x 2．（1）求m 的取值范围；（2）设y = x 1 + x 2，当y 取得最小值时，求相应m 的值，并求出最小值．17. (2010 四川省南充市) 关于x 的一元二次方程230x x k --=有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围．（2）请选择一个k 的负整数值，并求出方程的根．18. (2010 广东省茂名市) 已知关于x 的一元二次方程2260x x k --=（k 为常数）．（1）求证：方程有两个不相等的实数根； （3分）（2）设1x ，2x 为方程的两个实数根，且12214x x +=，试求出方程的两个实数根和k 的值． （4分）19. (2009 四川省乐山市) 关于x 的一元二次方程22(23)0xk x k +-+=有两个不相等的实数根αβ、．（1）求k 的取值范围；（2）若6αβαβ++=，求2()35αβαβ-+-的值．20. (2009 四川省绵阳市) 已知关于x 的一元二次方程x 2+ 2（k －1）x + k 2－1 = 0有两个不相等的实数根．（1）求实数k 的取值范围；（2）0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由．21. (2010 重庆市江津区) 在等腰△ABC 中，三边分别为a 、b 、c ，其中5a =，若关于x 的方程()2260x b x b +++-=有两个相等的实数根，求△ABC 的周长．22. (2009 广东省茂名市) 设12x x 、是关于x 的方程2410x x k -++=的两个实数根．试问：是否存在实数k ，使得1212x x x x >+·成立，请说明理由．23. (2007 湖北省襄樊市) 已知关于x 的方程222(2)0xm x m --+=．问：是否存在实数m ，使方程的两个实数根的平方和等于56．若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．24. (2009 湖北省鄂州市) 关于x 的方程2(2)04kkx k x +++=有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围．（2）是否存在实数k ，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．25. (2010 湖北省孝感市) 关于x 的一元二次方程210xx p -+-=有两实数根12x x 、．（1）求p 的取值范围；（4分）（2）若1122[2(1)][2(1)]9x x x x +-+-=，求p 的值．（6分）一元二次方程判别式及根与系数关系专题训练答案第10题答案.解：（1）2(2)41()44a a ∆=--⨯⨯-=+．1分 方程有两个不相等的实数根，0∴∆>． 2分即1a >-．3分 （2）由题意得：122x x +=，12x x a =- ．4分121212112x x x x x x a ++==-，121123x x +=-223a ∴=--． 6分3a ∴=． 7分第11题答案.解：（1） x =-1是方程①的一个根，所以1+m -2=0，1分 解得m =1．2分 方程为x 2-x -2=0， 解得， x 1=-1， x 2=2． 所以方程的另一根为x =2．4分 （2） ac b 42-=m 2+8，5分 因为对于任意实数m ，m 2≥0， 6分 所以m 2+8>0，7分 所以对于任意的实数m ，方程①有两个不相等的实数根． 8分第12题答案.（1）证明:因为△=)12(4)2(2--+m m 1分 =4)2(2+-m3分所以无论m 取何值时， △>0，所以方程有两个不相等的实数根． （2）解：因为方程的两根互为相反数，所以021=+x x ，5分根据方程的根与系数的关系得02=+m ，解得2-=m ， 7分所以原方程可化为052=-x ，解得51=x ，52-=x9分第13题答案.由题意，△=(-4)2-4(m -21)=0…………………………………………（2分）即16-4m+2=0，m=29.………………………………………………（4分）当m=29时，方程有两个相等的实数根x 1=x 2=2.……………………（6分）第14题答案.解：由题意可知 0= ．即 2(4)4(1)0m ---=．解得 5m =．3分当5m =时，原方程化为2440x x -+=． 解得 122x x ==．所以原方程的根为 122x x ==．5分第15题答案.解：∵关于x 的一元二次方程2420x x k ++=有两个实数根， ∴244121680k k ∆=-⨯⨯=-≥． ……3分 解得2k ≤． ……2分 ∴k 的非负整数值为0，1，2． ……3分第16题答案.（1）将原方程整理为 x 2 + 2（m －1）x + m 2 = 0． ∵ 原方程有两个实数根，∴ △= [ 2（m －1）2－4m 2 =－8m + 4≥0，得 m ≤21． （2） ∵ x 1，x 2为x 2 + 2（m －1）x + m 2 = 0的两根，∴ y = x 1 + x 2 =－2m + 2，且m ≤21． 因而y 随m 的增大而减小，故当m =21时，取得极小值1．第17题答案.解：（1）方程有两个不相等的实数根，∴ 2(3)4()k ---＞0． 即 49k >-，解得，94k >-． ……（4分） （2）若k 是负整数，k 只能为－1或－2． ……（5分） 如果k ＝－1，原方程为 2310x x -+=．解得，1x =，2x = （如果k ＝－2，原方程为2320x x -+=，解得，11x =，22x =．） 第18题答案.解：（1）0436)(14)6(42222>+=-⨯⨯--=-k k ac b ，·················2分因此方程有两个不相等的实数根．·································3分（2）12661b x x a -+=-=-= ，·····································4分 又12214x x += ， 解方程组：12126,214,x x x x +=+=⎧⎨⎩ 解得：218.2,x x ==-⎧⎨⎩·····················5分方法一：将21-=x 代入原方程得：0)2(6)2(22=--⨯--k ，················6分解得：4±=k ．·················································7分方法二：将21x x 和代入12c x x a =，得：1822k -=⨯-，······················6分解得：4±=k ．·················································7分第19题答案.解：（1） 方程22(23)0x k x k +-+=有两个不相等的实数根，0∴∆>，即22(23)410k k --⨯⨯>．解得34k <． （2）由根与系数的关系得：2(23)k k αβαβ+=--=，． 262360k k αβαβ++=∴-+-= ，．解得31k k ==-或．由（1）可知3k =不合题意，舍去．151k αβαβ∴=-∴+==，，．故()2235()519αβαβαβαβ-+-=+--=．第20题答案.（1）△= [ 2（k —1）] 2－4（k 2－1）= 4k 2－8k + 4－4k 2 + 4 =－8k + 8． ∵ 原方程有两个不相等的实数根，∴ －8k + 8＞0，解得 k ＜1，即实数k 的取值范围是 k ＜1． （2）假设0是方程的一个根，则代入得 02 + 2（k －1）· 0 + k 2－1 = 0， 解得 k =－1 或 k = 1（舍去）．即当 k =－1时，0就为原方程的一个根．此时，原方程变为 x 2－4x = 0，解得 x 1 = 0，x 2 = 4，所以它的另一个根是4．第21题答案.解：根据题意得：△()()2246b b =+--28200b b =+-=解得：2b = 或10b =-（不合题意，舍去）∴2b =………………………………………………………………………………４分 （1）当2c b ==时，45b c +=<，不合题意（2）当5c a ==时， 12a b c ++=…………………………………………６分第22题答案.解：∵方程有实数根，∴240b ac -≥，∴2(4)4(1)0k --+≥，即3k ≤．解法一：又∵2x ==∴12(2(24x x +=+=，12(2(21x x k ==+ 若1212x x x x >+ ，即14k +>，∴3k >．而这与3k ≤相矛盾，因此，不存在实数k ，使得1212x x x x >+ 成立． 解法二：又∵12441b x x a -+=-=-=， 12111c k x x k a +===+ ， （以下同解法一）第23题答案.解：设方程的两实根为12x x ，， 则：122(2)x x m +=-，212x x m = ．1分 令221256x x +=得：2221212()24(2)256x x x x m m +-=--=．3分即28200m m --=．10m ∴=或2m =-．5分当10m =时，222[2(102)]410164000∆=--⨯=-<，∴10m =不合题意，舍去．6分当2m =-时，222[2(22)]4(2)8160∆=---⨯-=->．故：存在实数m 使原方程的两实根的平方和等于56，m 的值是2-．7分第24题答案.（1）由2(2)404kk k∆=+->·得：1k >- 又0k ≠∴k 的取值范围是1k >-且0k ≠． （2）不存在符合条件的实数k ． 理由：设方程2(2)04kkx k x +++=的两根分别为1x ，2x ，由根与系数的关系有： 121212214110k x x k x x x x ⎧++=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎪⎩则20k k +-=，2k ∴=- 但由（1）知，2k =-时0∆<，原方程无解，故2k ≠-． 因此不存在符合条件的实数k ．第25题答案.解：（1）由题意得：2(1)4(1)0p ∆=---≥．2分 解得，54p ≤． 4分（2）由1122[2(1)][2(1)]9x x x x +-+-=得，221122(2)(2)9x x x x +-+-=．6分12x x 、是方程210x x p -+-=的两实数根，21110x x p ∴-+-=，22210x x p -+-=， 22112211x x p x x p ∴-=--=-，．(21)(21)9p p ∴+-+-=，即2(1)9p +=． 8分 2p ∴=，或4p =-．9分 54p ≤，∴所求p 的值为4p =-．10分说明：1．可利用121x x +=，得121x x =-，211x x =-代入原求值式中求解； 2．把已知等式按多项式乘法展开后求解．。
2020年初升高数学衔接辅导之一元二次方程(含答案)
03一元二次方程高中必备知识点1：根的判别式我们知道，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），用配方法可以将其变形为2224()24b b ac x a a -+=．①因为a ≠0，所以，4a 2＞0．于是（1）当b 2－4ac ＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根x 1，2＝242b b ac a-±-；（2）当b 2－4ac ＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根 x 1＝x 2＝－2b a； （3）当b 2－4ac ＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边2()2b x a+一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根．由此可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的情况可以由b 2－4ac 来判定，我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．综上所述，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有 (1)当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x 1，2＝242b b ac a-±-；（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝－2b a； （3）当Δ＜0时，方程没有实数根．典型考题【典型例题】关于的一元二次方程，其根的判别式为，求的值．【变式训练】已知关于的一元二次方程若方程的一个根为，求的值及另一个根； 若该方程根的判别式的值等于，求的值．【能力提升】方程（x ﹣5）（2x ﹣1）=3的根的判别式b 2﹣4ac = ．高中必备知识点2：根与系数的关系（韦达定理）若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个实数根2142b b ac x a --=，2242b b acx a--=， 则有2212442222b b ac b b ac b bx x a a a a------+=+==-；2222122244(4)42244b b ac b b ac b b ac ac cx x a a a a a-+-----=⋅===． 所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝ca．这一关系也被称为韦达定理．特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0，若x 1，x 2是其两根，由韦达定理可知x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q ， 即p ＝－(x 1＋x 2)，q ＝x 1·x 2，所以，方程x 2＋px ＋q ＝0可化为x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0，由于x 1，x 2是一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两根，所以，x 1，x 2也是一元二次方程x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0．典型考题【典型例题】如果关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．（1）请问一元二次方程x 2﹣6x +8＝0是倍根方程吗？如果是，请说明理由． （2）若一元二次方程x 2+bx +c ＝0是倍根方程，且方程有一个根为2，求b 、c 的值．【变式训练】求方程x 2﹣2x ﹣2＝0的根x 1，x 2（x 1＞x 2），并求x 12+2x 2的值．【能力提升】已知关于x 的一元二次方程x 2+(2m +3)x +m 2＝0有两根α，β (1)求m 的取值范围； (2)若α+β+αβ＝0．求m 的值．专题验收测试题1．已知x 1，x 2是关于x 的方程x 2﹣mx ﹣3＝0的两个根，下面结论一定正确的是（ ） A ．x 1+x 2＞0B ．x 1≠x 2C ．x 1•x 2＞0D ．x 1＜0，x 2＜02．已知关于x 的一元二次方程2x 2+mx ﹣3＝0的一个根是﹣1，则另一个根是（ ） A ．1B ．﹣1C ．23D ．32-3．用配方法解一元二次方程x 2+4x ﹣5＝0，此方程可变形为（ ） A ．（x +2）2＝9B ．（x ﹣2）2＝9C ．（x +2）2＝1D ．（x ﹣2）2＝14．有x 支球队参加篮球比赛，共比赛了90场，每两队之间都比赛2场，则下列方程中符合题意的是（ ） A ．12x （x ﹣1）＝90 B ．12x （x +1）＝90 C ．x （x ﹣1）＝90 D ．x （x +1）＝905．关于x 的一元二次方程x 2﹣x +m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（ ） A ．m ≤3B ．m ＞3C ．m ＜3D ．m ≥36．关于x 的方程（m ﹣2）x 2﹣m -3x +14＝0有实数根，则m 的取值范围（ ）A．m≤52且m≠2B．m＞52C．m≤52D．m≤3且m≠27．关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m＝0根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定8．下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A．2x2+3＝0 B．x2＝2x C．x2+4x﹣1＝0 D．x2﹣8x+16＝0 9．欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax＝b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝2a，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝2a．则该方程的一个正根是（）A．AC的长B．AD的长C．BC的长D．CD的长10．若关于x的一元二次方程ax2+2x﹣5=0的两根中有且仅有一根在0和1之间（不含0和1），则a的取值范围是（）A．a＜3 B．a＞3 C．a＜﹣3 D．a＞﹣311．一元二次方程x（x+5）＝x+5的解为_____．12．一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两根为x1，x2，则x12+3x2+x1x2﹣2的值为_____．13．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+2+m＝0无实数根，则m的取值范围是_____．14．已知x1，x2是一元二次方程x2+3x﹣6＝0的两个实数根，那么直线y＝（1211x x）x﹣（x12+x22）不经过第_____象限．15．已知x=-1是关于x的一元二次方程x2+(m+ 1)x-m2=0的一个实数根,则m=_____. 16．已知α、β是一元二次方程x2﹣2019x+1＝0的两实根，则代数式（α﹣2019）（β﹣2019）＝_____．17．已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣k﹣2＝0．（1）求证：无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两根之和等于3，求k的值以及方程的两个根．18．四川雅安地震牵动着全国人民的心，扬州市教育局开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动，第一天收到捐款10000元，第三天收到捐款14400元(1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率； (2)按照(1)中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？ 19．解方程或不等式： （1）解方程：； （2）解不等式．20．关于x 的一元二次方程x 2﹣(2k ﹣1)x +k 2+1＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2． (1)求实数k 的取值范围；(2)若方程的两实数根x 1，x 2满足|x 1|+|x 2|＝x 1•x 2，求k 的值．21．关于x 的一元二次方程x 2+（2k +1）x +k 2+1=0有两个不等实根x 1，x 2． （1）求实数k 的取值范围；（2）若方程两实根x 1，x 2满足x 1+x 2=－x 1x 2，求k 的值． 22．已知关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根．求k 的取值范围；若k 为负整数，求此时方程的根．专题03一元二次方程高中必备知识点1：根的判别式我们知道，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），用配方法可以将其变形为2224()24b b ac x a a -+=．①因为a ≠0，所以，4a 2＞0．于是（1）当b 2－4ac ＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根x 1，2＝242b b ac a-±-；（2）当b 2－4ac ＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根 x 1＝x 2＝－2b a； （3）当b 2－4ac ＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边2()2b x a+一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根．由此可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的情况可以由b 2－4ac 来判定，我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．综上所述，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有 (1)当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x 1，2＝242b b ac a-±-；（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝－2b a； （3）当Δ＜0时，方程没有实数根．典型考题【典型例题】关于的一元二次方程，其根的判别式为，求的值．【答案】．【解析】 由题意得，，整理得，， 解得：．【变式训练】已知关于的一元二次方程若方程的一个根为，求的值及另一个根；若该方程根的判别式的值等于，求的值．【答案】(1)；即原方程的另一根是．【解析】（1）设方程的另一根是x2．∵一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0的一个根为3，∴x=3是原方程的解，∴9m﹣（m+2）×3+2=0，解得m=；又由韦达定理，得3×x2=，∴x2=1，即原方程的另一根是1；（2）∵△=（m+2）2﹣4×m×2=1∴m=1，m=3．【能力提升】方程（x﹣5）（2x﹣1）=3的根的判别式b2﹣4ac= ．【答案】105【解析】先把方程（x﹣5）（2x﹣1）=3化为一元二次方程的一般形式，再求出根的判别式即可．方程（x﹣5）（2x﹣1）=3化为一元二次方程的一般形式为：2x2﹣11x+2=0，故△=b2﹣4ac=（﹣11）2﹣4×2×2=105．高中必备知识点2：根与系数的关系（韦达定理）若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个实数根1x =，2x =， 则有1222b bx x a a-+===-；221222(4)444b b ac ac cx x a a a--====．所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝ca．这一关系也被称为韦达定理．特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0，若x 1，x 2是其两根，由韦达定理可知x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q ， 即p ＝－(x 1＋x 2)，q ＝x 1·x 2，所以，方程x 2＋px ＋q ＝0可化为x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0，由于x 1，x 2是一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两根，所以，x 1，x 2也是一元二次方程x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0．典型考题【典型例题】如果关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．（1）请问一元二次方程x 2﹣6x +8＝0是倍根方程吗？如果是，请说明理由． （2）若一元二次方程x 2+bx +c ＝0是倍根方程，且方程有一个根为2，求b 、c 的值． 【答案】（1）该方程是倍根方程，理由见解析；（2）当方程根为1，2时， b ＝﹣3，c ＝2；当方程根为2，4时b ＝﹣6，c ＝8． 【解析】（1）该方程是倍根方程，理由如下：x 2﹣6x +8＝0，解得x 1＝2，x 2＝4， ∴x 2＝2x 1，∴一元二次方程x 2﹣6x +8＝0是倍根方程；（2）∵方程x 2+bx +c ＝0是倍根方程，且方程有一个根为2， ∴方程的另一个根是1或4，当方程根为1，2时，﹣b ＝1+2，解得b ＝﹣3，c ＝1×2＝2； 当方程根为2，4时﹣b ＝2+4，解得b ＝﹣6，c ＝2×4＝8．【变式训练】求方程x 2﹣2x ﹣2＝0的根x 1，x 2（x 1＞x 2），并求x 12+2x 2的值． 【答案】6 【解析】方程x 2﹣2x ﹣2＝0的根x 1，x 2，∴211220x x --=，.221=+x x∴()112122222222262.22x x x x x x =++=++=⨯+=+【能力提升】已知关于x 的一元二次方程x 2+(2m +3)x +m 2＝0有两根α，β (1)求m 的取值范围； (2)若α+β+αβ＝0．求m 的值． 【答案】(1)m ≥﹣；(2)m 的值为3． 【解析】(1)由题意知，(2m +3)2﹣4×1×m 2≥0， 解得：m ≥﹣；(2)由根与系数的关系得：α+β＝﹣(2m +3)，αβ＝m 2， ∵α+β+αβ＝0， ∴﹣(2m +3)+m 2＝0，解得：m 1＝﹣1，m 1＝3， 由(1)知m ≥﹣， 所以m 1＝﹣1应舍去， m 的值为3．专题验收测试题1．已知x 1，x 2是关于x 的方程x 2﹣mx ﹣3＝0的两个根，下面结论一定正确的是（ ） A ．x 1+x 2＞0 B ．x 1≠x 2C ．x 1•x 2＞0D ．x 1＜0，x 2＜0【答案】B 【解析】解：∵△＝（﹣m ）2﹣4×1×（﹣3）＝m 2+4＞0， ∴方程x 2﹣mx ﹣3＝0有两个不相等的实数根， ∴x 1≠x 2． 故选：B ．2．已知关于x 的一元二次方程2x 2+mx ﹣3＝0的一个根是﹣1，则另一个根是（ ） A ．1 B ．﹣1C ．23D ．32【答案】C 【解析】设方程的另一根为x 1，根据根与系数的关系可得：﹣1•x 1＝﹣32， 解得x 1＝32． 故选：C ．3．用配方法解一元二次方程x 2+4x ﹣5＝0，此方程可变形为（ ） A ．（x +2）2＝9 B ．（x ﹣2）2＝9 C ．（x +2）2＝1 D ．（x ﹣2）2＝1【答案】A 【解析】解：x 2+4x ﹣5＝0， x 2+4x ＝5，x2+4x+22＝5+22，（x+2）2＝9，故选：A．4．有x支球队参加篮球比赛，共比赛了90场，每两队之间都比赛2场，则下列方程中符合题意的是（）A．12x（x﹣1）＝90 B．12x（x+1）＝90 C．x（x﹣1）＝90 D．x（x+1）＝90【答案】C【解析】解：由题意可得，x（x﹣1）＝90，故选：C．5．关于x的一元二次方程x2﹣23x+m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）A．m≤3B．m＞3 C．m＜3 D．m≥3【答案】C【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣23x+m＝0有两个不相等的实数根，∴△＝b2﹣4ac＝（﹣23）2﹣4×1×m＞0，解得m＜3．故选：C．6．关于x的方程（m﹣2）x2﹣m3x+14＝0有实数根，则m的取值范围（）A．m≤52且m≠2B．m＞52C．m≤52D．m≤3且m≠2【答案】C 【解析】当m﹣2＝0，即m＝2时，关于x的方程（m﹣2）x2﹣x+14＝0有一个实数根，当m﹣2≠0时，∵关于x的方程（m﹣2）x2﹣x+14＝0有实数根，∴△＝3﹣m ﹣4（m ﹣2）•14≥0， 解得：m ≤52， ∴m 的取值范围是m ≤52， 故选：C ．7．关于x 的一元二次方程x 2﹣（m +2）x +m ＝0根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定 【答案】A【解析】由关于x 的一元二次方程x 2﹣（m +2）x +m ＝0，得到a ＝1，b ＝﹣（m +2），c ＝m ，△＝（m +2）2﹣4m ＝m 2+4m +4﹣4m ＝m 2+4＞0，则方程有两个不相等的实数根，故选A ．8．下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）A ．2x 2+3＝0B ．x 2＝2xC ．x 2+4x ﹣1＝0D ．x 2﹣8x +16＝0 【答案】A【解析】A 、△＝0﹣24＝﹣24＜0，即方程没有实数根，符合题意；B 、△＝4﹣0＝4＞0，方程有两个不相等的实数根，不符合题意；C 、△＝16+4＝20＞0，方程有两个不相等的实数根，不符合题意；D 、△＝64﹣64＝0，方程有两个相等的实数根，不符合题意，故选：A ．9．欧几里得的《原本》记载，形如x 2+ax ＝b 2的方程的图解法是：画Rt △ABC ，使∠ACB ＝90°，BC ＝2a ，AC ＝b ，再在斜边AB 上截取BD ＝2a ．则该方程的一个正根是（ ）A ．AC 的长B ．AD 的长C ．BC 的长D ．CD 的长【答案】B【解析】欧几里得的《原本》记载，形如x 2+ax ＝b 2的方程的图解法是：画Rt △ABC ，使∠ACB ＝90°，BC ＝2a ，AC ＝b ，再在斜边AB 上截取BD ＝2a ， 设AD ＝x ，根据勾股定理得：（x +2a ）2＝b 2+（2a ）2， 整理得：x 2+ax ＝b 2，则该方程的一个正根是AD 的长，故选：B ．10．若关于x 的一元二次方程ax 2+2x ﹣5=0的两根中有且仅有一根在0和1之间（不含0和1），则a 的取值范围是（ ）A ．a ＜3B ．a ＞3C ．a ＜﹣3D ．a ＞﹣3【答案】B【解析】试题分析：当x =0时，y =－5；当x =1时，y =a －3，函数与x 轴在0和1之间有一个交点，则a －3＞0，解得：a ＞3．考点：一元二次方程与函数11．一元二次方程x （x +5）＝x +5的解为_____．【答案】x 1＝﹣5，x 2＝1【解析】解：方程整理得：x （x +5）﹣（x +5）＝0，分解因式得：（x +5）（x ﹣1）＝0，解得：x 1＝﹣5，x 2＝1，故答案为：x 1＝﹣5，x 2＝112．一元二次方程x 2﹣3x ﹣2＝0的两根为x 1，x 2，则x 12+3x 2+x 1x 2﹣2的值为_____．【答案】7【解析】解：∵一元二次方程x 2﹣3x ﹣2＝0的两根为x 1，x 2，∴x 12＝3x 1+2，x 1x 2＝﹣2，x 1+x 2＝3，∴x 12+3x 2+x 1x 2﹣2＝3x 1+2＝3（x 1+x 2）+x 1x 2＝7，故答案为：7．13．若关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +2+m ＝0无实数根，则m 的取值范围是_____． 【答案】14m >【解析】解：根据题意得△＝（﹣3）2﹣4（2+m ）＜0， 解得m ＞14． 故答案为m ＞14． 14．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2+3x ﹣6＝0的两个实数根，那么直线y ＝（1211x x +）x ﹣（x 12+x 22）不经过第_____象限．【答案】二【解析】∵x 1、x 2是一元二次方程x 2+3x ﹣6＝0的两个实数根，∴x 1+x 2＝﹣3，x 1•x 2＝﹣6， ∴121112x x +=， x 12+x 22＝（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2＝32﹣2×（﹣6）＝21，∴y ═221212111()()212x x x x x x +-+=-， ∴该函数经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故答案为：二．15．已知x =-1是关于x 的一元二次方程x 2+(m + 1)x -m 2=0的一个实数根,则m =_____.【答案】0或－1【解析】由题意可知：将1x =-代入方程()22 10x m x m ++-=可得22(1)(1)(1)0m m -++⨯--= 整理可得：20m m +=(1)0m m += ，即01m m ==-或故答案为：01-或16．已知α、β是一元二次方程x2﹣2019x+1＝0的两实根，则代数式（α﹣2019）（β﹣2019）＝_____．【答案】1【解析】∵α、β是一元二次方程x2﹣2019x+1＝0的两实根，∴α2﹣2019α＝﹣1，β2﹣2019β＝﹣1，αβ＝1，2019＝1．∴（α﹣2019）（β﹣2019）＝αβ-2019（α+β）+2故答案为：1．17．已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣k﹣2＝0．（1）求证：无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两根之和等于3，求k的值以及方程的两个根．【答案】（1）见解析；（2）x1＝，x2＝．【解析】（1）证明：因为△＝k2﹣4（﹣k﹣2）＝k2+4k+8＝（k+2）2+4＞0，所以方程有两个不相等的实数根．（2）由题意，得﹣k＝3，所以k＝﹣3．当k＝﹣3时，方程为x2﹣3x+1＝0．所以x1＝，x2＝．根的判别式，解题的关键：（1）正确掌握判别式公式，（2）正确掌握根与系数的关系公式．18．四川雅安地震牵动着全国人民的心，扬州市教育局开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动，第一天收到捐款10000元，第三天收到捐款14400元(1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；(2)按照(1)中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？【答案】(1)捐款增长率为10%；(2)第四天该单位能收到13310元捐款．【解析】(1)设第二天、第三天的增长率为x，由题意，得10000(1+x)2＝12100，解得：x1＝0.1，x2＝﹣2.1(舍去)．则x＝0.1＝10%．答：捐款增长率为10%；(2)第四天收到的捐款为12100×(1+10%)＝13310(元)．答：第四天该单位能收到13310元捐款．19．解方程或不等式：（1）解方程：；（2）解不等式．【答案】（1）；（2）【解析】（1）解：（2）解：由①得，由②得，故20．关于x的一元二次方程x2﹣(2k﹣1)x+k2+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．(1)求实数k的取值范围；(2)若方程的两实数根x1，x2满足|x1|+|x2|＝x1•x2，求k的值．【答案】(1)k＜﹣34；(2)-2．【解析】解：(1)根据题意得△＝(2k﹣1)2﹣4(k2+1)＞0，解得k＜﹣34；(2)x1+x2＝2k﹣1，x1x2＝k2+1，∵k＜﹣34，∴x1+x2＝2k﹣1＜0，而x1x2＝k2+1＞0，∴x1＜0，x2＜0，∵|x1|+|x2|＝x1•x2，∴﹣(x1+x2)＝x1•x2，即﹣(2k﹣1)＝k2+1，整理得k2+2k＝0，解得k1＝0，k2＝﹣2，而k＜﹣34，∴k＝﹣2．21．关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有两个不等实根x1，x2．（1）求实数k的取值范围；（2）若方程两实根x1，x2满足x1+x2=－x1x2，求k的值．【答案】（1）k>；（2）2.【解析】（1）∵原方程有两个不相等的实数根，∴△=（2k+1）2-4（k2+1）＞0，解得：k＞，即实数k的取值范围是k＞；（2）∵根据根与系数的关系得：x1+x2=-（2k+1），x1•x2=k2+1，又∵方程两实根x1、x2满足x1+x2=-x1•x2，∴-（2k+1）=-（k2+1），解得：k1=0，k2=2，∵k＞，∴k只能是2．22．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．求k的取值范围；若k为负整数，求此时方程的根．【答案】（；（时，．【解析】(1)由题意得Δ＞0，即9－4(1－k)＞0，解得k＞.(2)若k为负整数，则k＝－1，原方程为x2－3x＋2＝0，解得x1＝1，x2＝2.。
一元二次方程根的判别式基础练习30题含详细答案
（3）设该方程的两个实数根为x1，x2，若x12+x22+m（x1+x2）＝m2+1，求m的值．
21．已知关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若方程的两根x1，x2满足x12+x22＝16，求k的值．
【点睛】
此题主要考查一元二次方程根的情况，解题的关键是熟知根的判别式特点．
5．B
【分析】
先根据一元二次方程的解的定义得到α2+2α﹣2015＝0，则α2+2α＝2015，于是α2+3α+β可化为2015+α+β，再利用根与系数的关系得到α+β＝﹣2，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】
解：∵α是方程x2+2x﹣2015＝0的根，
16．若关于x的一元二次方程kx2－4x+3=0有实数根，则k的取值范围是_____．
三、解答题
17．关于x的一元二次方程x2+3x﹣k=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）若x1+2x2=3，求|x1﹣x2|的值．
18．已知关于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有实数根．
（1）若方程的一个根为1，求m的值；
7．D
【分析】
要判断所给方程是有两个不相等的实数根，只要找出方程的判别式，根据判别式的正负情况即可作出判断．有两个不相等的实数根的方程，即判别式的值大于0的一元二次方程．
【详解】
解：A、x2+1=0中 ，没有实数根，故本选项错误；
一元二次方程根的判别式专题
一元二次方程根的判别式1. (2010 广西钦州市) 已知关于x 的一元二次方程x 2 +kx +1 =0有两个相等的实数根，则k= ．2. (2010 湖北省荆门市) 如果方程2210ax x ++=有两个不等实根，则实数a 的取值范围是____________.3. (2010 江苏省苏州市) 若一元二次方程()2220x a x a -++=的两个实数根分别是3b 、，则a b +=_________.4. (2010 江苏省苏州市) 下列四个说法中，正确的是（ ）A ．一元二次方程2452x x ++=有实数根；B. 一元二次方程245x x ++=C. 一元二次方程245x x ++=有实数根； D. 一元二次方程()2451x x a a ++=≥有实数根.5. (2010 湖南省益阳市) 一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有两个不相等的实数根，则ac b 42-满足的条件是Ａ．ac b 42-＝0 Ｂ．ac b 42-＞0Ｃ．ac b 42-＜0 Ｄ．ac b 42-≥0 6. (2010 山东省烟台市) 方程x2-2x-1=0的两个实数根分别为x1，x2，则（x1-1）（x2-1）= .7. (2010 北京市) 已知关于 x 的一元二次方程 2410x x m -+-= 有两个相等的实数根，求m 的值及方程的根．8. 当k 是什么整数时, 方程(k2–1)x2–6(3k –1)x+72=0有两个不相等的正整数根？ 答案： k=29. 关于x 的一元二次方程()011222=-+--m x m x 与0544422=--+-m m mx x 的根都是整数，求m 的整数值, 并求出两方程的整数根.答案： 当m=1时，x=0, 1,–1,5; 当m=–1时，x=0,–3,–1,–310. (2010 重庆市江津区) 在等腰△ABC 中，三边分别为a 、b 、c ，其中5a =，若关于x的方程()2260x b x b +++-=有两个相等的实数根，求△ABC 的周长．11. (2010 四川省乐山市) 若关于x 的一元二次方程012)2(222=++--k x k x 有实数根βα、．（1）求实数k 的取值范围；（2）设k t βα+=，求t 的最小值．解：（1）∵一元二次方程012)2(222=++--k x k x 有实数根βα、，∴0∆≥， ………………………………………………………………………2分即224(2)4(12)0k k --+≥，解得2k -≤． …………………………………………………………………………4分（3）由根与系数的关系得：k k 24)]2(2[-=---=+βα， ……………………… 6分 ∴2424-=-=+=kk k k t βα， …………………………………………7分 ∵2k -≤，∴420k-<≤， ∴4422k --<-≤， 即t 的最小值为－4． ………………………………………………………10分12. (2010 甘肃省天水市) 已知ABC △的两边AB 、AC 的长是关于x 的一元二次方程22(23)320x k x k k -++++=的两个实数根，第三边BC 的长为5．（1）当k 为何值时，ABC △是直角三角形；（2）当k 为何值时，ABC △是等腰三角形，并求出ABC △的周长．解：（1）解方程22(23)320x k x k k -++++=得∵1∆=，∴无论k 取何值，方程均有实数根．11x k =+，22x k =+． 不妨设12AB k AC k =+=+， 2分因为第三边5BC =所以，当ABC △为直角三角形时，分两种情况：①当5BC =是斜边时，有222AB AC BC += 即22(1)(2)25k k +++=解得1225k k ==-，（舍去）4分②当AC 为斜边时，有222AB BC AC +=即22(1)5(2)k k 2++=+解得11k =6分 所以，当2k =和11时，ABC △为直角三角形．（2）∵12AB k AC k =+=+，，5BC = ∴当ABC △是等腰三角形时，有两种情况①5AC BC ==时，25k +=，∴3k =∴ABC △的周长为55114k +++=8分 ②5AB BC ==时，15k +=，∴4k =∴ABC △的周长为55216k +++=．10分 故，当3k =和4时，ABC △是等腰三角形，ABC △的周长分别是14和16．13．已知关于x 的两个一元二次方程： 方程：02132)12(22=+-+-+k k x k x ① 方程：0492)2(2=+++-k x k x ② (1)若方程①、②都有实数根，求k 的最小整数值；(2)若方程①和②中只有一个方程有实数根；则方程①，②中没有实数根的方程是______(填方程的序号)，并说明理由；(3)在(2)的条件下，若k 为正整数，解出有实数根的方程的根．答案： (1)7；(2)①； 2－ 1＝（k －4)2＋4>0，若方程①、②只有一个有实数根，则 2>0>1；(3)k ＝5时，方程②的根为;2721==x x k ＝6时，方程②的根为x 1＝⋅-=+278,2782x 14．已知：关于x 的方程2x 2＋2(a －c )x ＋(a －b )2＋(b －c )2=0有两相等实数根．求证：a ＋c =2b ．(a ，b ，c 是实数)15．设两个方程的判别式分别为x 1，x 2，则x 1＝a 2－4c ，x 2＝b 2－4d ．∴x 1＋x 2＝a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0．从而x 1，x 2中至少有一个非负数，即两个方程中至少有一个方程有实数根．16．求证：不论k 取任何值，方程(k 2＋1)x 2－2kx ＋(k 2＋4)=0都没有实根。
九年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第二讲 一元二次方程根的判别式(含答案)
第二讲 一元二次方程根的判别式趣通引路】话说小精灵拜数学高手为师，苦练了十八般数学技艺．一日师傅韦达对小精灵道：“师傅给你一件随身法宝——“Δ”，出去闯荡一下吧！”“小精灵拜别师傅韦达，来到“方程堡”，守门将喝道：“来者何人？”小精灵拱手答道：“晚辈小精灵奉师傅之命前来方程经见识见识．”守门将道：“先要破我一方程方能进堡！“说时迟，那时快，只见守门将挥手将许多数字、字母和符号排成2x 2＋2xy ＋7y 2－10x －18y ＋19＝0，并且问道：“你能说出实数x 、y 的值吗？”小精灵取出法宝灵机一动，将上式中的y 看成已知数，把它整理成关于x 的一元二次方程2x 2＋(2y －10)x ＋(7y 2－18y ＋19)＝0．好哇！因为x 是实数，上面的方程必有实数根，所以Δ≥0，即(2y －10)2－4×2(7y 2－18y ＋19)≥0，可得(y －1)2≤0，一下子便得到了y ＝1，再将y ＝1代人原方程就可得x ＝2． 小精灵这里用的法宝“Δ”是什么呢？它就是一元二次方程根的判别式．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），当Δ＞0时，有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，有两个相等的实数根；当Δ＜0时，没有实数根，反过来也成立．知识延伸】例1 已知关于x 的二次方程x ²＋p 1x ＋q 1＝0与x 2＋p 2x ＋q 2＝0，求证：当p 1p 2＝2(q 1＋q 2)时，这两个方程中至少有一个方程有实根．证明 设这两个方程的判别式为Δ1，Δ2，则Δ1＋Δ2＝2212p p +－4(q 1＋q 2)．∵p 1p 2＝2(q 1＋q 2)，∴Δ1＋Δ2＝2212p p +－2p 1p 2＝(p 1－p 2)2≥0．∴Δ1≥0与Δ2≥0中至少有一个成立，即两个方程中必有一个方程有实根．点评：两个方程中至少有一个方程有实根，可转化为证明Δ1＋Δ2≥0；本题还可用反证法来证明，即假设Δ1＜0且Δ2＜0，则Δ1＋Δ2＜0，但Δ1＋Δ2＝(p 1－p 2)2≥0，两者矛盾，从而导出原题结论成立．例2 求函数y ＝(4－x )＋解析 设u ＝x ，则u ＞0且y ＝4＋u ． ∴(u ＋x )2＝4(x 2＋9)，即3x 2－2ux ＋36－u 2＝0． ∵x ∈R ，故以上方程有解．∴Δ＝(2u )2－4×3×(36－u 2)≥0，即u ≥27． 又u ＞0，∴u4y x =-+ 的最小值为4+x .好题妙解】佳题新题品味例 已知实数1234,,,a a a a 满足22222124213423()2()0a a a a a a a a a +-+++= ，求证：2213=a a a ⋅ 解析 把已知等式看成关于a 4的方程。
中考复习——一元二次方程的根的判别式(解析版)
中考复习——一元二次方程的根的判别式一、选择题1、一元二次方程2x2-3x+1=0的根的情况是（）．A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C. 只有一个实数根D. 没有实数根答案：B解答：∵Δ=b2-4ac=（-3）2-4×2×1=1＞0，∴该方程有两个不相等的实数根．2、已知关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2，则实数k的取值范围是（）．A. k＜14B. k≤14C. k＞4D. k≤14且k≠0答案：B解答：∵关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2，∴Δ=b2-4ac≥0，∵a=1，b=-（2k+1），c=k2+2k，∴[-（2k+1）]2-4×1×（k2+2k）≥0，∴-4k≥-1，∴k≤14．选B.3、若一次函数y=kx+b的图象不经过第二象限，则关于x的方程x2+kx+b=0的根的情况是（）．A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 无实数根D. 无法确定答案：A解答：∵一次函数y=kx+b的图象不经过第二象限，∴k＞0，b≤0，∴Δ=k2-4b＞0，∴方程有两个不相等的实数根．选A.4、关于x的一元二次方程x2+2（m-1）x+m2=0的两个实数根分别为x1，x2，且x1+x2＞0，x1x2＞0，则m的取值范围是（）．A. m≤12B. m≤12且m≠0C. m＜1D. m＜1且m≠0答案：B解答：∵Δ=[2（m-1）]2-4m2=-8m+4≥0，∴m≤12．∵x1+x2=-2（m-1）＞0，x1x2=m2＞0，∴m＜1，m≠0，∴m≤12且m≠0．5、关于x的方程x2+2（m-1）x+m2-m=0有两个实数根α，β，且α2+β2=12，那么m的值为（）．A. -1B. -4C. -4或1D. -1或4答案：A解答：由题意知α+β=-2（m-1）=2-2m，αβ=m2-m，且Δ=[2（m-1）]2-4（m2-m）≥0，4（m2-2m+1）-4m2+4m≥0，4m2-8m+4-4m2+4m≥0，-4m≥-4，m≤1，由α2+β2=12可有（α+β）2-2αβ=12，（2-2m）2-2（m2-m）=12，4m2-8m+4-2m2+2m-12=0，2m2-6m-8=0，m2-3m-4=0，（m-4）（m+1）=0，解得m1=-1，m2=4，∵m ≤1故m =-1． 故答案为：A.6、关于x 的一元二次方程x 2+2mx +2n =0有两个整数根且乘积为正，关于y 的一元二次方程y 2+2ny +2m =0同样也有两个整数根且乘积为正．给出四个结论：①这两个方程的根都是负根；②（m -1）2+（n -1）2≥2；③-1≤2m -2n ≤1．其中正确结论的个数是（ ）．A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个答案：D解答：①两个整数根且乘积为正，两个根同号，由韦达定理有，x 1·x 2=2n ＞0，y 1·y 2=2m ＞0，y 1+y 2=-2n ＜0，x 1+x 2=-2m ＜0，这两个方程的根都为负根，①正确； ②由根判别式有：Δ=b 2-4ac =4m 2-8n ≥0，Δ=b 2-4ac =4n 2-8m ≥0， ∵4m 2-8n ≥0，4n 2-8m ≥0，∴m 2-2n ≥0，n 2-2m ≥0，m 2-2m +1+n 2-2n +1=m 2-2n +n 2-2m +2≥2，（m -1）2+（n -1）2≥2，②正确；③由根与系数关系可得2m -2n =y 1y 2+y 1+y 2=（y 1+1）（y 2+1）-1，由y 1、y 2均为负整数，故（y 1+1）（y 2+1）≥0，故2m -2n ≥-1，同理可得：2n -2m =x 1x 2+x 1+x 2=（x 1+1）（x 2+1）-1，得2n -2m ≥-1，即2m -2n ≤1，故③正确． 7、若关于x 的不等式x -2a＜1的解集为x ＜1，则关于x 的一元二次方程x 2+ax +1=0根的情况是（ ）． A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根C. 无实数根D. 无法确定答案：C解答：解不等式x -2a ＜1得x ＜1+2a ， 而不等式x -2a＜1的解集为x ＜1， 所以1+2a=1，解得a =0， 又因为Δ=a 2-4=-4，所以关于x 的一元二次方程x 2+ax +1=0没有实数根．8、已知命题“关于x 的一元二次方程x 2+bx +1=0，当b ＜0时必有实数解”，能说明这个命题是假命题的一个反例可以是（ ）．A. b=-1B. b=2C. b=-2D. b=0答案：A解答：Δ=b2-4，由于当b=-1时，满足b＜0，而Δ＜0，方程没有实数解，所以当b=-1时，可说明这个命题是假命题．9、在平面直角坐标系中，已知函数y1=x2+ax+1，y2=x2+bx+2，y3=x2+cx+4，其中a，b，c 是正实数，且满足b2=ac．设函数y1，y2，y3的图象与x轴的交点个数分别为M1，M2，M3，（）A. 若M1=2，M2=2，则M3=0B. 若M1=1，M2=0，则M3=0C. 若M1=0，M2=2，则M3=0D. 若M1=0，M2=0，则M3=0答案：B解答：设3个函数的判别式分别为Δ1=a2-4，Δ2=b2-8，Δ3=c2-16，∵b2=ac，∴c=2ba，A选项，若M1=2，M2=2，则Δ1=a2-4＞0，Δ2=b2-8＞0，∵a＞2，b2＞8，∴c=2ba与4无法比较大小，∴Δ3=c2-16无法确定，故A错误；B选项，若M1=1，M2=0，则Δ1=a2-4=0，Δ2=b2-8＜0，∴a=2，0＜b2＜8，∴c=282ba＜=4，∴Δ3=c2-16＜0，∴M3=0，故B正确；C选项，若M1=0，M2=2，则Δ1=a2-4＜0，Δ2=b2-8＞0，∴0＜a＜2，b2＞8，∴C =2b a＞4，∴Δ3=c 2-16＞0， ∴M 3=2，故C 错误； D 选项，若M 1=0，M 2=0， 则Δ1=a 2-4＜0，Δ2=b 2-8＜0， ∴0＜a ＜2，0＜b 2＜8，∴c =2b a与4无法比较大小，∴Δ3=c 2-16无法确定，故D 错误． 选B.10、已知抛物线y =ax 2+bx +c （b ＞a ＞0）与x 轴最多有一个公共点． 有下列结论：①该抛物线的对称轴在y 轴左侧； ②关于x 的方程ax 2+bx +c +2=0无实数根； ③a -b +c ≥0； ④a b cb a++-的最小值为3．其中，正确结论的个数是（ ）．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个答案：D解答：∵b ＞a ＞0， ∴-2ba＜0， 所以①正确；∵抛物线与x 轴最多有一个交点， ∴b 2-4ac ≤0，∴关于x 的方程αx 2+bx +c +2=0中，Δ=b 2-4a （c +2）=b 2-4ac -8a ＜0， 所以②正确；∵a ＞0及抛物线与x 轴最多有一个交点， ∴x 取任何值时，y ≥0，∴当x =-1时，a -b +c ≥0， 所以③正确；· 当x =-2时，4a -2b +c ≥0 a +b +c ≥3b -3a a +b +c ≥3（b -a ）a b cb a++-≥3，所以④正确． 选D. 二、填空题11、若关于x 的一元二次方程（x +2）2=n 有实数根，则n 的取值范围是______． 答案：n ≥0解答：∵关于x 的一元二次方程（x +2）2=n 有实数根， ∴x 2+4x +4-n =0有实数根， ∴Δ=b 2-4ac =16-4（4-n ）=4n ≥0， ∴n ≥0， 故答案为：n ≥0．12、已知关于x 的一元二次方程x 2+k =0有两个相等的实数根，则k 值为______． 答案：3解答：∵关于x 的一元二次方程x 2+k =0有两个相等的实数根，∴Δ=（）2-4k =0，∴12-4k =0，解得k =3．13、已知x =4是一元二次方程x 2-3x +c =0的一个根，则另一个根为______． 答案：-1解答：设另一个根为t ， 根据题意得4+t =3， 解得t =-1， 即另一个根为-1．14、若一元二次方程x 2+4x +c =0有两个不相等的实数根，则c 的值可以是______（写出一个即可）． 答案：3解答：若一元二次方程x2+4x+c=0有两个不相等的实数根，则Δ=42-4c＞0，故c＜4．15、若关于x的一元二次方程（k-1）x2+4x+1=0有实数根，则k的取值范围是______．答案：k≤5且k≠1解答：∵一元二次方程（k-1）x2+4x+1=0有实数根，∴k-1≠0，且b2-4ac=16-4（k-1）≥0，解得：k≤5且k≠1．16、已知关于x的一元二次方程x2-4x+m-1=0的实数根x1，x2，满足3x1x2-x1-x2＞2，则m 的取值范围是______．答案：3＜m≤5解答：由一元二次方程根与系数的关系，得x1x2=m-1，x1+x2=4，代入3x1x2-x1-x2＞2，得3（m-1）-4＞2，解得m＞3，又Δ=16-4（m-1）≥0，解得m≤5，综上可知：3＜m≤5．17、已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2-2=0的两根为x1和x2，且（x1-2）（x1-x2）=0，则k的值是______．答案：-2或-9 4解答：∵（x1-2）（x1-x2）=0，∴x1-2=0或x1-x2=0．①如果x1-2=0，那么x1=2，将x=2代入x2+（2k+1）x+k2-2=0，得4+2（2k+1）+k2-2=0，整理，得k2+4k+4=0，解得k=-2．②如果x1-x2=0，那么（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=[-（2k+1）]2-4（k2-2）=4k+9=0，解得k=-94．又∵Δ=（2k+1）2-4（2k+1）≥0．解得：k≥-94．所以k的值为-2或-94．18、关于x的方程x2-（2m-1）x+m2-1=0的两实数根为x1，x2，且x12+x22=3，则m=______．答案：0解答：∵方程x2-（2m-1）x+m2-1=0的两实数根为x1，x2，∴x1+x2=2m-1，x1x2=m2-1，∵x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=（2m-1）2-2（m2-1）=3，解得：m1=0，m2=2，∵方程有两实数根，∴Δ=（2m-1）2-4（m2-1）≥0，既m≤5 4∴m2=2（不合题意，舍去），∴m=0．19、关于x的方程mx2+x-m+1=0，有以下三个结论：①当m=0时，方程只有一个实数解；②当m≠0时，方程有两个不等的实数解；③无论m取何值，方程都有一个负数解．其中正确的是______（填序号）．答案：①③解答：当m=0时，x=-1，方程只有一个解，①正确；当m≠0时，方程mx2+x-m+1=0是一元二次方程，1-4m（1-m）=1-4m+4m2=（2m-1）2≥0，方程有两个实数解，②错误；把mx2+x-m+1=0分解为（x+1）（mx-m+1）=0，当x=-1时，m-1-m+1=0，即x=-1是方程mx2+x-m+1=0的根，③正确；故答案为∶①③．20、对于函数y=x n+x m，我们定义y’=nx n-1+mx m-1（mn为常数）．例如y=x4+x2，则y’=4x3+2x．已知：y=13x3+（m-1）x2+m2x．（1）若方程y’=0有两个相等实数根，则m的值为______．（2）若方程y’=m-14有两个正数根，则m的取值范围为______．答案：（1）1 2（2）m≤34且m≠12解答：（1）y’=x2+2（m-1）x+m2=0方程有两个相等的实数根，则Δ=0，即Δ=4（m-1）2-4m2=-8m+4=0，则m=12．（2）y’=x2+2（m-1）x+m2=m-14，∴x2+2（m-1）x+m2-m+14=0．要使方程有两个实数根，则Δ=4（m-1）2-4（m2-m+14）≥0，∴m≤34．要使方程有正根，则当x=0时x2+2（m-1）x+m2-m+14＞0，∴m≠12．答案为m≤34且m≠12．三、解答题21、已知关于x的一元二次方程（m-1）x2+2x-1=0有两个不相等的实数根，求m的取值范围．答案：m＞0且m≠1．解答：∵一元二次方程有两个不等实根，∴Δ=22-4（m-1）×（-1）＞0，即m＞0，又m-1≠0，∴m≠1，∴m＞0且m≠1．22、已知关于x的一元二次方程x2-3x+m=0有两个不相等的实数根x1、x2．（1）求m的取值范围．（2）当x1=1时，求另一个根x2的值．答案：（1）m＜9 4（2）2解答：（1）由题意得：Δ=（-3）2-4×1×m=94m0，解得：m＜94．（2）∵x1+x2=-ba=3，x1=1，∴x2=2．23、已知关于x的方程x2+（2k-1）x+k2-1=0有两个实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围．（2）若x1，x2满足x12+x22=16+x1x2，求实数k的值．答案：（1）k≤54．（2）k=-2．解答：（1）有两个实数根x1，x2，∴Δ=b2-4ac=（2k-1）2-4（k2-1）=-4k+5，∴-4k+5≥0，∴k≤54．（2）∵x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2，∴（x1+x2）2-2x1x2=16+x1x2，∴（2k-1）2=16+3（k2-1）k2-4k-12=0，∴k=-2或k=6（舍），∴k=-2．24、已知关于x的一元二次方程x2-6x+m+4=0有两个实数根x1，x2．（1）求m的取值范围．（2）若x1，x2满足3x1=|x2|+2，求m的值．答案：（1）m的取值范围为m≤5．（2）符合条件的m的值为4．解答：（1）∵关于x的一元二次方程x2-6x+m+4=0有两个实数根x1，x2，∴Δ=（-6）2-4（m+4）=20-4m≥0，解得：m≤5，∴m的取值范围为m≤5．（2）∵关于x的一元二次方程x2-6x+m+4=0有两个实数根x1，x2，∴x1+x2=6①，x1·x2=m+4②．∵3x1=|x2|+2，当x2≥0时，有3x1=x2+2③，联立①③解得：x1=2，x2=4，∴8=m+4，m=4．当x2＜0时，有3x1=-x2+2④，联立①④解得：x1=-2，x2=8（不合题意，舍去）．∴符合条件的m的值为4．25、已知：一元二次方程12x2+kx+k-12=0．（1）求证：不论k为何实数时，此方程总有两个实数根．（2）设k＜0，当二次函数y=12x2+kx+k-12的图象与x轴的两个交点A、B间的距离为4时，求此二次函数的解析式．（3）在（2）的条件下，若抛物线的顶点为C，过y轴上一点M（0,m）作y轴的垂线l，当m为何值时，直线l与△ABC的外接圆有公共点？答案：（1）证明见解答．（2）此二次函数的解析式是y=12x2-x-32．（3）-2≤m≤2．解答：（1）∵Δ=k2-4×12×（k-12）=k2-2k+1=（k-1）2≥0，∴关于x的一元二次方程12x2+kx+k-12=0，不论k为何实数时，此方程总有两个实数根．（2）令y=0，则12x2+kx+k-12=0，∵x A+x B=-2k，x A·x B=2k-1，∴|x A-x B=2|k-1|=4，即|k-1|=2，解得k=3（不合题意，舍去），或k=-1，∴此二次函数的解析式是y=12x2-x-32．（3）由（2）知，抛物线的解析式是y =12x 2-x -32， 易求A （-1,0），B （3,0），C （1,-2），∴AB =4，AC，BC， 显然AC 2+BC 2=AB 2，得△ABC 是等腰直角三角形，AB 为斜边，∴外接圆的直径为AB =4，∴-2≤m ≤2．26、设m 是不小于-1的实数，使得关于x 的方程x 2+2（m -2）x +m 2-3m +3=0有两个不相等的实数根x 1，x 2．（1）若11x +21x =1，求132m-的值． （2）求111mx x -+221mx x --m 2的最大值． 答案：（1（2）当m =-1时，最大值为3．解答：（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ=b 2-4ac =4（m -2）2-4（m 2-3m +3）=-4m +4＞0，∴m ＜1，结合题意知：-1≤m ＜1．∵x 1+x 2=-2（m -2），x 1x 2=m 2-3m +3 ∴11x +21x =1212x x x x +=()22233m m m ---+=1 解得：m 1=12，m 2=12（不合题意，舍去） ∴132m-． （2）111mx x -+221mx x --m 2 =()()1212121221m x x mx x x x x x +--++-m 2=-2（m-1）-m2=-（m+1）2+3．当m=-1时，最大值为3．。
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一元二次方程根的判别式 姓名
◆课前预习
1．一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根的情况可用b 2－4ac•来判定，•b 2－4ac•叫做________，通常用符号“△”为表示．（1）b 2－4ac>0⇔方程_________；（2）b 2－4ac=0⇔方程_________；
（3）b 2－4ac<0⇔方程_________．
2．使用根的判别式之前应先把方程化为一元二次方程的________形式．
◆互动课堂
【例1】不解方程，判别下列方程根的情况：
（1）x 2－5x+3=0； （2）x 2；（3）3x 2+2=4x ； （4）mx 2+（m+n ）x+n=0（m ≠0，m ≠n ）．
【例2】若关于x 的方程（m 2－1）x 2－2（m+2）x+1=0有实数根，求m 的取值范围．
【例3】已知关于x 的一元二次方程x 2－（2k+1）x+4（k －12
）=0．（1）求证：无论k 取什么实数
值，这个方程总有实数根；（2）如果等腰△ABC 有一边长a=4，另两条边长b ，c 恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC 的周长．
【例4】已知关于x 的方程x －2（m+1）x+m 2=0．（1）当m 取何值时，方程有两个实数根？
（2）为m 选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求这两个根．
◆跟进课堂
1．方程2x 2+3x －4=0的根的判别式△=________．
2．已知关于x 的一元二次方程mx 2－10x+5=0有实数根，则m 的取值范围是______．
3．如果方程x 2－2x －m+3=0有两个相等的实数根，则m 的值为_______，此时方程的根为________．
4．若关于x 的一元二次方程kx 2+2x －1=0没有实数根，则k 的取值范围是______．
5．若关于x 的一元二次方程mx 2－2（3m －1）x+9m －1=0有两个实数根，则实数m•的取值范围是_______．
6．下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）．
A ．x 2+2x －1=0
B ．x 2
C ．x 2
D ．－x 2+x+2=0
7．如果方程2x （kx －4）－x 2－6=0有实数根，则k 的最小整数是（ ）．A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2
8．下列一元二次方程中，有实数根的方程是（ ）．
A ．x 2－x+1=0
B ．x 2－2x+3=0
C ．x 2+x －1=0
D ．x 2+4=0
9．如果关于x 的一元二次方程kx 2－6x+9=0有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ）．
A ．k<1
B ．k ≠0
C ．k<1且k ≠0
D ．k>1
10．关于x 的方程x 2+（3m －1）x+2m 2－m=0的根的情况是（ ）．
A ．有两个实数根
B ．有两个相等的实数根
C ．有两个不相等的实数根
D ．没有实数根 ◆课外作业
1.在下列方程中，有实数根的是（ ）
（A ）x 2+3x+1=0 （B （C ）x 2+2x+3=0 （D ）1x x -=11
x -
2．关于x 的一元二次方程x 2＋kx －1=0的根的情况是
A 、有两个不相等的同号实数根
B 、有两个不相等的异号实数根
C 、有两个相等的实数根
D 、没有实数根
3．关于x 的一元二次方程(a －1)x 2＋x ＋a 2＋3a －4＝0有一个实数根是x ＝0．则a 的值为（ ）．
A 、1或－4
B 、1
C 、－4
D 、－1或4
4．若关于x 的一元二次方程230x x m -+=有实数根，则m 的取值范围是 ．
5．若0是关于x 的方程（m -2）x 2+3x+m 2-2m -8=0的解，求实数m 的值，并讨论此方程解的情况．
6.不解方程，试判定下列方程根的情况．
（1）2+5x=3x 2 （2）x 2-（+4=0 (3 )x 2-2kx+（2k-1）=0 (x 为未知数)
7．关于x 的一元二次方程mx 2－（3m －1）x+2m －1=0，其根的判别式的值为1，求m•的值及该方程的解．
8．已知a 、b 、c 分别是△ABC 的三边长，当m>0时，关于x 的一元二次方程c （x 2+m ）+b （x 2－m ）－
有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状．
9．等腰△ABC 中，BC=8，AB 、AC 的长是关于x 的方程x 2－10x+m=0的两根，求m 的值．
10．如果关于x 的方程mx 2－2（m+2）x+m+5=0没有实数根，试判断关于x 的方程（m －•5）x 2－2（m －1）x+m=0的根的情况．
11．已知关于x 的方程（n －1）x 2+mx+1=0 ①有两个相等的实数根．
（1）求证：关于y 的方程m 2y 2－2my －m 2－2n 2+3=0 ②必有两个不相等的实数根；
（2）如果方程①的一个根是－12
，求方程②的根．
12.若关于x 的一元二次方程2
(2)210a x ax a --++=没有实数解，求30ax +>的解集（用含a 的式子表示）．
13.要建一个面积为150m 2的长方形养鸡场，为了节约材料，•鸡场的一边靠着原有的一堵墙，墙长
为am ，另三边用竹篱笆围成，如果篱笆的长为35m ．
（1）求鸡场的长与宽各是多少？ （2）题中墙的长度a 对解题有什么作用．
*14. 若a ，b ，c ，d 都是实数，且ab =2(c ＋d )，求证：关于x 的方程x 2＋ax ＋c =0，x 2＋bx ＋d =0中至少有一个方程有实数根．
答案:
1．41 2．m≤5且m≠0 3．2，x1=x2=1 4．k<－1 5．m≤1
5
且m≠0
6．C 7．B 8．•C •9．C 10．A
11．m=2，x1=1，x2=3
2
12．Rt△13．m=25或16
14．当m=5时方程有一个实根；当m>4且m≠5时，方程有两个不等实根．15．略。