一元二次方程公共根问题
一元二次方程公共根
一元二次方程公共根问题若已知若干个一元二次方程有公共根，求方程系数的问题，叫一元二次方程的公共根问题， 两个一元二次方程只有一个公共根的解题步骤：1.设公共根为α，则α同时满足这两个一元二次方程；2.用加减法消去α2的项，求出公共根或公共根的有关表达式；3.把共公根代入原方程中的任何一个方程，就可以求出字母系数的值或字母系数之间的关系式．一、公共根问题二次方程的公共根问题的一般解法：设公共根，代入原方程(两个或以上)，然后通过恒等变形求出参数的值和公共根．二、整数根问题对于一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的实根情况，可以用判别式24b ac ∆=-来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质．方程有整数根的条件：如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠有整数根，那么必然同时满足以下条件：⑴ 2∆=⑵ 2b ak -=或2b ak --，其中k 为整数．以上两个条件必须同时满足，缺一不可．另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根(其中a 、b 、c 均为有理数)三、方程根的取值范围问题先使用因式分解法或求根公式法求出两根，然后根据题中根的取值范围来确定参数的范围1 已知一元二次方程x 2-4x +k =0有两个不相等的实数根， (1)求k 的取值范围．(2)如果k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程x 2-4x +k =0与x 2+mx -1=0有一个相同的根，求此时m 的值．2 若两个关于x 的方程x 2+x +a =0与x 2+ax +1=0只有一个公共的实数根，求a 的值3 已知a ＞2，b ＞2，试判断关于x 的方程x 2-（a +b ）x +ab =0与x 2-abx +（a +b ）=0有没有公共根，请说明理由．4求k 的值，使得一元二次方程210x kx +-=，2(2)0x x k ++-=有相同的根，并求两个方程的根．5二次项系数不相等的两个二次方程222(1)(2)(2)0a x a x a a --+++=和222(1)(2)(2)0b x b x b b --+++=(其中a ，b 为正整数)有一个公共根，求ab b a b a a a --++的值6已知关于x 的两个一元二次方程：方程①：01)2()21(2=-+++x k x k方程②：032)12(2=--++k x k x（1）若方程①有两个相等的实数根，求解方程②；（2）若方程①和②中只有一个方程有实数根，请说明此时哪个方程没有实数根，并化简2)4(1241++-k k （3）若方程①和②有一个公共根a ，求代数式a a k a a 53)24(22++-+的值．练习：1.已知关于x 的一元二次方程062=+-k x x 有两个实数根。
2019年初中数学一元二次方程的公共根
学科：数学专题：一元二次方程公共根主讲教师：黄炜 北京四中数学教师金题精讲题一题面：设方程270x kx --=和()2610x x k --+=有公共根，求k 的值．判别式，考虑参数范围满分冲刺题一题面：三个二次方程20ax bx c ++=，20bx cx a ++=，20cx ax b ++=有公共根．⑴ 求证：0a b c ++=；⑵ 求公共根的值．判别式，整数根题二题面：二次项系数不相等的两个二次方程222(1)(2)(2)0a x a x a a --+++= 和222(1)(2)(2)0b x b x b b --+++=(其中a ，b 为正整数)有一个公共根，求 b ab aa b a b --++的值．讲义参考答案金题精讲题一答案：设公共根为a ，则270a ka --= ①()2610a a k --+= ②①-②得()660k a k -+-=()()610k a --=∴∴61k a ==或当1a =时，2170k --=∴6k =-经检验6k =±均合题意∴6k =±．满分冲刺题一答案：⑴ 设上述三个方程的公共根为0x ，则有2000ax bx c ++=，2000bx cx a ++=，2000cx ax b ++=三式相加并提取公因式可得，200()(1)0a b c x x ++++= 又22000131()024x x x ++=++>，故0a b c ++=， (2)公共根为01x =或01b x a=--． 题二答案：[]222(1)(2)(2)0()(1)(2)0a x a x a a x a a x a --+++=⇒---+=，故两根为a 和21a a +- 同理，222(1)(2)(2)0b x b x b b --+++=的两根为b 和21b b +-． 由题意可知，11a b a b -≠-⇒≠，故21b a b +=-或21a b a +=-． 均可化简为：20ab a b ---=，即(1)(1)3a b --=由a ，b 为正整数，故1113a b -=⎧⎨-=⎩或1311a b -=⎧⎨-=⎩，解得24a b =⎧⎨=⎩，42a b =⎧⎨=⎩． 也可采取与之前相同的解法：设公共根为0x ，则22200(1)(2)(2)0a x a x a a --+++=，22200(1)(2)(2)0b x b x b b --+++= 消去20x 项并因式分解可得，0()(2)(1)0a b ab a b x -----=(由已知可得a b ≠) 若01x =，则有1a =(或1b =)，与已知矛盾；若20ab a b ---=，解法同上．故256b ab a b aa b a b a b --+==+．。
一元二次方程公共根问题
一元二次方程公共根问题1、若两个关于x的方程x2+x+a=0与x2+ax+1=0只有一个公共的实数根，求a的值解：设两个方程的公共根为α，则有α2+α+a=0 ①α2+aα-1=0 ②①-②得（1-a）α+a-1=0，即（1-a）（α-1）=0因为只有一个公共根，所以a≠1，所以α=1把α=1代入x2+x+a=0得12+1+a=0，a=-2解：两个方程相减，得：x+a-ax-1=0，整理得：x（1-a）-（1-a）=0，即（x-1）（1-a）=0，若a-1=0，即a=1时，方程x2+x+a=0和x2+ax+1=0的b2-4ac都小于0，即方程无解；故a≠1，∴公共根是：x=1．把x=1代入方程有：1+1+a=0∴a=-2．2、若两个方程x2+ax+b=0和x2+bx+a=0只有一个公共根，则（）A．a=b B．a+b=0 C．a+b=1 D．a+b=-13、关于x的方程x2+bx+1=0与x2-x-b=0有且只有一个公共根，求b的值．解：设方程的公共根为x=t，则t2+bt+10 (1)t2−t−b＝0 (2)，由（2）得b=t2-t （3）将（3）代入（1）得：t3+1=0，解得，t=-1，当t=-1时，b=2．4、已知关于x的方程x2+x-3m=0与x2-mx+3=0只有一个相同的实数根，求m的值．解：将方程x2+x-3m=0和x2-mx+3=0组成方程组得，x2+x−3m＝0x2−mx+3＝0，解得x=3，m=4．4、若方程x2+mx+1=0和方程x2-x-m=0有一个相同的实数根，则m的值为（）A．2 B．0 C．-1 D．无法确定5、若关于x的方程x2-mx+2=0与x2-（m+1）x+m=0有一个相同的实数根，则m的值为（）A．3 B．2 C．4 D．-36.（2014春•太湖县校级月考）若方程x2+2x+m=0和方程x2+mx+2=0有一个相等的实数根，则m的值为7.已知方程x2+mx+4=0和x2-（m-2）x-16=0有一个相同的根，求m的值及这个相同的根．。
一元二次方程的公共根
学科：数学专题：一元二次方程公共根 主讲教师：黄炜 北京四中数学教师金题精讲题一题面：设方程270x kx --=和()2610x x k --+=有公共根，求k 的值．判别式，考虑参数范围满分冲刺题一题面：三个二次方程20ax bx c ++=，20bx cx a ++=，20cx ax b ++=有公共根．⑴ 求证：0a b c ++=； ⑵ 求公共根的值．判别式，整数根 题二题面：二次项系数不相等的两个二次方程222(1)(2)(2)0a x a x a a --+++= 和222(1)(2)(2)0b x b x b b --+++=(其中a ，b 为正整数)有一个公共根，求b ab aa b a b --++的值．判别式，整数根讲义参考答案金题精讲题一答案：设公共根为a ，则270a ka --= ①()2610a a k --+= ②①-②得()660k a k -+-= ()()610k a --=∴∴61k a ==或当1a =时，2170k --= ∴6k =-经检验6k =±均合题意 ∴6k =±．满分冲刺题一 答案：⑴ 设上述三个方程的公共根为0x ，则有2000ax bx c ++=，2000bx cx a ++=，2000cx ax b ++=三式相加并提取公因式可得，200()(1)0a b c x x ++++=又22000131()024x x x ++=++>，故0a b c ++=，(2)公共根为01x =或01bx a =--．题二答案：[]222(1)(2)(2)0()(1)(2)0a x a x a a x a a x a --+++=⇒---+=，故两根为a 和21a a +- 同理，222(1)(2)(2)0b x b x b b --+++=的两根为b 和21b b +-． 由题意可知，11a b a b -≠-⇒≠，故21b a b +=-或21a b a +=-．均可化简为：20ab a b ---=，即(1)(1)3a b --= 由a ，b 为正整数，故1113a b -=⎧⎨-=⎩或1311a b -=⎧⎨-=⎩，解得24a b =⎧⎨=⎩，42a b =⎧⎨=⎩．也可采取与之前相同的解法： 设公共根为0x ，则22200(1)(2)(2)0a x a x a a --+++=，22200(1)(2)(2)0b x b x b b --+++= 消去20x 项并因式分解可得，0()(2)(1)0a b ab a b x -----=(由已知可得a b ≠) 若01x =，则有1a =(或1b =)，与已知矛盾； 若20ab a b ---=，解法同上．故256b a b ab aa b a b a b --+==+．。
公共根
一元二次方程是中学代数中最重要的
内容之一，它是代数式简单方程的发展，同时
也是学习其他方程、函数、不等式的重要基
础．尤其，探索一元二次方程的公共根、有理
根、整数根等问题，蕴含着丰富的数学思想．
成为各类竞赛中重要考点之一，近几年的中
考中，逐渐渗透了类似题型及数学思想，值得
观注．
下面简单介绍一下此类题的常用解题方
法及经验。
l 公共根
例1 如果方程x2-px+2q=0,x2-qx+2p=0(p≠q)有公共根，求公共根．解因为两方程有公共根，则两式相
减，整理得(p—q)(菇+2)=0，
因为p≠g，所以茄=一2．
即戈=一2是方程的公共根．
例2 已知两方程菇2+僦+凡=O，石2+
麟+m=O有且仅有一个公共根，求m，凡的
关系．
解两式相减，整理得：
(m—n)(舅一1)=O，
因为方程公共根唯一，所以m一凡≠0．
所以口=1，把Ⅱ=l代入任意一个方程
得m，，n的关系：m+n+l=0且m≠儿．
小结因为有公共根，所以常采用“两
方程相减”的方法解题
2 有理根
例3 设矗为整数，且后≠0，方程k2一
(七一1)戈+l=0有有理根，求Jj}的值．
解若方程有有理根，则△=(忌一1)2
一诎为完全平方数，
设(奄一1)2—4．j}=m2(m为正整数)，
贝0七‘一6后+1一m‘=0。
所以(Ji}一3)2一m2=8，(Jj}一3+m)(尼。
新-34.一元二次方程整数根和公共根
个方程没有公共根．
7. 【中】（平谷区 2010）已知一元二次方程 x2 − 4x + k = 0 有两个不相等的实数根，
⑴求 k 的取值范围；
⑵如果 k 是符合条件的最大整数，且关于 x 的方程 x2 − 4x + k = 0 与 x2 − mx −1 = 0 有一
个相同的根，求此时 m 的值．
【答案】⑴ k < 4 ．
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6. 【中】（河南省中考题已知 a > 2 ,b > 2 ，试判断关于 x 的方程 x2 − (a + b)x + ab = 0 与
x2 − abx + (a + b) = 0 有没有公共根，请说明理由．
【答案】设两方程公共根为 m ，则有
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整理，得 m(3m + 2b) = 0 .
∵m ≠ 0，
∴ 3m + 2b = 0 .
解得 m = − 2b . 3
把
m
=
−
2b 3
代入方程③得
−
2 3
b
2
+
2b
−
2 3
b
+
c
=
0
.
∴ − 8b2 + c = 0 ，即 8b2 = 9c . 9
m2 − (a + b)m + ab = 0 m2 − abm + (a + b) = 0
① ．②－①得， (m +1)(a + b − ab) = 0
奥数新讲义-一元二次方程-整数根公共根4学
第三讲一元二次方程4：整数根、公共根一、基础知识1.一元二次方程的根为有理数对于有理系数的一元二次方程ax2+bx + c = o（«^0）,在△=夕_4心二0时，方程有实根，且：方程有有理根匸二△ = /一仏为完全平方数（有理数平方）2.一元二次方程的根为整数（1）对于整系数的一元二次方程+ ° = °（dH（））,如果有整数根，则必须满足以下两个条件：△ =，-4心为完全平方数（自然数平方）；"土一4皿是加的整数倍;（2）在首项系数为1的整系数方程x2 + px + e/ = O （p、q为整数）的判别式△==，-4必为一个完全平方数，则方程的根为整数，反之，亦成立；（3）对于整系数的一元二次方程川+加+ “。
《工°）,若“ b是偶数，c是奇数，则该方程无整数根；⑷ 整系数的一元二次方程局+加+2° （心0）,若a、匕c都是奇数，且△ = /异一心。
＞0, 则方程+hx + © = °⑺工°）无整数根.3.一元二次方程公共根：二次方程的公共根问题的一般解法：设公共根，代入原方程（两个或以上），然后通过恒等变形求出参数的值和公共根.二、整数根问题例1已知方程»-4（加-l）x + 3〃『-2〃? + 4k= 0对任意有理数m都有有理根，求k的值.1.整数根讨论：利用判别式例2不解方程，判定下列各方程的实数根是否是整数根：① / +3.K-18 = 0；② F +8x-59 = 0；（3）2x2 +4x-5 = 0；④ 3/ + 23x-87 = 0例3已知45加＜20,当m为何值时，方程x2 -2(2/n-3)x + 4m2 - 14/H + 8 = 0有两个整数根?例4整数a取何值时，方程%2 - (" - 6)x + " = 0有两个整数根?例5设a n为整数，证明方程疋+ 10〃沈-5允+ 3 =()没有整数根;例6当m为什么整数时,关于x的一元二次方程〃用一4兀+ 4 = 0与十一4mx + 4m2一4也一5 = 0的根都是整数？2.整数根讨论：利用求根公式例7若直角三角形的两条直角边都是整数，且是方程"用—2x-加+ 1 = 0的根，m为整数，这样的三角形是否存在？若存在，求出满足条件的所有三角形的三边长，若不存在，请说明理由.例8设关于x的二次方程伙2一6«+8)疋+(2疋-6k-4)x + I= 4的两根都是整数，求满足条件的所有实数k的值.3.整数根讨论：利用韦达定理例9求所有正实数m使得方程疋一似+ 4" = 0仅有整数根;例10当m为什么整数时，关于x的方程.V2+(/»-!)%+ /» + ! = 0的两根都是整数?例11求满足如下条件的所有k值，使关于x的方程2+伙+小+比-1 = 0的根都是整数;例12试确定所有的有理数“使得关于x的方程/-x2+(r + 2)x + 3r-2 = 0有且只有整数根;4.整数根讨论：变换主元例13试求所有这样的正整数/使方程心2+2“(2a-l)x + 4(a-3) = 0至少有一个整数根.例14设方程+俶+ 1_7/ = 0的两根都是整数，求所有正数a；5.整数根讨论：综合运用例15求所有的正整数a、b、c,使得关于x的方程疋_3心+ ” = 0 ； F —3bx + 2c = 0； x2-3cx + 2ci =0的所有根都是正整数•例16若方程疋-〃皿+川+和=0有整数根，且a n为自然数，则m、n可以分别为多少?三、公共根问题【例1】求£的值，使得一元二次方程F+也-1 = 0, F+x +伙-2) = 0有相同的根■并求两个方程的根•【例2】设a.b.c为A4BC的三边，且二次三项式疋+2心+，与十+2小-，有一次公因式，证明: AABC—定是直角三角形.【例3】三个二次方程cix2 +bx + c = O 9 bx2 +cx + a = O 9 ex2 + or + b = 0有公共根.(1)求证：a + b + c = Q；⑵求—的值.abc【例4】试求满足方程/ _总_ 7 = 0与疋- 6x -伙+1) = 0有公共根的所有的k值及所有公共根和所有相异根.【例5】二次项系数不相等的两个二次方程(a-\)x2-(a2+2)x + (a2+2“) = 0和(―(“2)Z")訓其和，方为正整数)有-个公共根，求得的值.练习题1.b、C是整数，如果一元二次方程x2-2bx-c = 0有整数根，那么，必有()A. b = c = 0B. b2 +c = 0c.戸+c是整数的平方 D. b2+c是偶数的平方2.若・0+〃技_6 = 0的两根都是整数，则m可以取值的个数是()A. 2B. 4C. 6D.以上都不对3.设二次方程疋+2风+ 2§ = 0有实根，其中a q都是奇数，那么它的根一定是()A.奇数B.偶数C.分数D.无理数4己知关于x的一元二次方程x2 + p.x + q = 0有两个不相等的整数根，p、q是自然数，且是质数，这个方程的根为_______ :5.方程x2 + px + q = O的两根都是正整数，且p+ @ = 1992,则方程较大根与较小根的比等于_________ ；6.已知p为质数，且方程x2 + /7X-444p = 0有两个整数根，则戸= ________ ；7.已知方程(/一1庆一2(5o + l)x + 24 = 0有两个不等的负整数根，则a的值是多少？&方程(x_a)(x_8)_l= 0有两个整数根，求a的值;9.若关于工的方程(67)(9 7)川-(117-15灯“54 = 0的解都是整数，则符合条件的整数k的值有个.10.已知关于x的方程(°-1)，+2—1 = 0的根都是整数，那么符合条件的整数d有_________ 个.11.当加为整数时，关于兀的方程⑵〃-1)/-(加+ 1)乂 + 1 = 0是否有有理根？如果有，求出加的值；如果没有，请说明理由.。
初中数学 一元二次方程的公共根与整数根
内容 基本要求略高要求较高要求一元二次方程了解一元二次方程的概念，会将一元二次方程化为一般形式，并指出各项系数；了解一元二次方程的根的意义能由一元二次方程的概念确定二次项系数中所含字母的取值范围；会由方程的根求方程中待定系数的值一元二次方程的解法 理解配方法，会用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解简单的数字系数的一元二次方程，理解各种解法的依据能选择恰当的方法解一元二次方程；会用方程的根的判别式判别方程根的情况能利用根的判别式说明含有字母系数的一元二次方程根的情况及由方程根的情况确定方程中待定系数的取值范围；会用配方法对代数式做简单的变形；会应用一元二次方程解决简单的实际问题公共根问题：二次方程的公共根问题的一般解法：设公共根，代入原方程(两个或以上)，然后通过恒等变形求出参数的值和公共根． 整数根问题：对于一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的实根情况，可以用判别式24b ac ∆=-来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质． 方程有整数根的条件：如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠有整数根，那么必然同时满足以下条件： ⑴ 24b ac ∆=-为完全平方数；⑵ 242b b ac ak -+-=或242b b ac ak ---=，其中k 为整数． 以上两个条件必须同时满足，缺一不可．另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根(其中a 、b 、c 均为有理数) 方程的根的取值范围问题：先使用因式分解法或求根公式法求出两根，然后根据题中根的取值范围来确定参数的范围．【例 1】 求k 的值，使得一元二次方程210x kx +-=，2(2)0x x k ++-=有相同的根，并求两个方程的根． 中考要求例题精讲一元二次方程的公共根与整数根【例 2】 ⒈ 设,,a b c 为ABC ∆的三边，且二次三项式222x ax b ++与222x cx b +-有一次公因式，证明：ABC ∆一定是直角三角形．(北京数学竞赛试题)⒉ 三个二次方程20ax bx c ++=，20bx cx a ++=，20cx ax b ++=有公共根． ⑴ 求证：0a b c ++=；⑵ 求333a b c abc++的值．【例 3】 试求满足方程270x kx --=与26(1)0x x k --+=有公共根的所有的k 值及所有公共根和所有相异根．【例 4】 三个二次方程20ax bx c ++=，20bx cx a ++=，20cx ax b ++=有公共根．(1)求证：0a b c ++=；(2)求333a b c abc++的值．【例 5】 二次项系数不相等的两个二次方程222(1)(2)(2)0a x a x a a --+++=和222(1)(2)(2)0b x b x b b --+++=(其中a ，b 为正整数)有一个公共根，求b ab aa b a b --++的值．【例 6】 k 为什么实数时，关于x 的方程2(6)(9)(11715)540k k x k x ----+=的解都是整数？【巩固】 若关于x 的方程()()()26911715540k k x k x ----+=的解都是整数，则符合条件的整数k 的值有_______个．【例 7】 (2007年全国初中数学联合竞赛)⒈ 已知a 是正整数，如果关于x 的方程32(17)(38)560x a x a x +++--=的根都是整数，求a 的值及方程的整数根．⒉ 若k 为正整数，且关于k 的方程22(1)6(31)720k x k x ---+=有两个相异正整数根，求k 的值． (2000年全国联赛试题)⒊ 关于x 的二次方程2222(68)(264)4k k x k k x k -++--+=的两根都是整数．求满足条件的所有实数k 的值．⒋ 当m 为何整数时，方程222525x mx m -+=有整数解．⒌ 已知关于x 的方程24832x nx n --=和22(3)220x n x n -+-+=，是否存在这样的n 值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，请求出这样的n 值；若不存在，请说明理由．【例 8】 求所有有理数r ，使得方程2(1)(1)0rx r x r +++-=的所有根是整数．【例 9】 ⒈已知关于x 的方程2(6)0x a x a +-+=的两根都是整数，求a 的值．⒉已知k 为常数，关于x 的一元二次方程22(2)(46)80k k x k x -+-+=的解都是整数，求k 的值．【例11】 已知p 为质数，二次方程222510x px p p -+--=的两根都是整数，请求出p 的所有可能的值．【例12】 (2007—2008清华附中初三第一次月考试题)⒈ 已知1240m <<，且关于x 的二次方程222(1)0x m x m -++=有两个整数根，求整数m ．⒉ 若一直角三角形两直角边的长，a 、b ()a b ≠均为整数，且满足24a b m ab m +=+⎧⎨=⎩． 试求这个直角三角形的三边长．【例13】 关于x 的方程22(3)(2)0ax a x a +-+-=至少有一个整数解，且a 是整数，求a 的值．【巩固】 已知方程()22238213150ax a a x a a --+-+=(a 是非负整数)至少有一个整数根，那么a = ．【例14】 (2008年西城区初三抽样试题)当m 是什么整数时，关于x 的一元二次方程2440mx x -+=与2244450x mx m m -+--=的根都是整数．【例15】 (2007—2008清华附中初三第一次月考试题)已知1240m <<，且关于x 的二次方程222(1)0x m x m -++=有两个整数根，求整数m ．【巩固】 设m 为整数，且440m <<，方程()2222341480x m x m m --+-+=有两个整数根，求m 的值及方程的根．【例16】 当m 为何整数时，方程222525x mx m -+=有整数解．【例17】 已知方程()22238213150ax a a x a a --+-+=(a 是非负整数)至少有一个整数根，那么a = ．【例18】 若关于x 的方程()()()26911715540k k x k x ----+=的解都是整数，则符合条件的整数k 的值有_______个．【例19】 设方程2(2)(3)0mx m x m --+-=有整数解，试确定整数m 的值，并求出这时方程所有的整数解．【例20】 设m 为整数，且440m <<，方程()2222341480x m x m m --+-+=有两个整数根，求m 的值及方程的根．【例21】 ①已知a 是正整数，且使得关于x 的一元二次方程22(21)4(3)0ax a x a +-+-=至少有一个整数根，求a 的值．②已知关于x 的方程2222(38)213150a x a a x a a --+-+= (其中a 是非负整数)至少有一个整数根，求a 的值．【例22】 (1999年全国联赛试题)已知b ，c 为整数，方程250x bx c ++=的两根都大于1-且小于0，求b 和c的值．【例23】 (2007年“数学周报”杯全国数学竞赛试题)⒈ 已知a ，b 都是正整数，试问关于x 的方程21()02x abx a b -++=是否有两个整数解？如果有，请求出来；如果没有，请给出证明．(1993年全国数学联赛试题)⒉ 已知方程20x bx c ++=及20x cx b ++=分别各有两个整数根12,x x 及12,x x ''，且120x x >，120x x ''>． ⑴ 求证：10x <，20x <，10x '<，20x '<； ⑵ 求证：11b c b -+≤≤； ⑶ 求,b c 所有可能的值．⒊ 设p q 、是两个奇整数，试证方程2220x px q ++=不可能有有理根．(北京市数学竞赛)⒋ 试证不论n 是什么整数，方程21670s x nx -+=没有整数解，方程中的s 是任何正的奇数．【例24】 求方程33222240a b ab a b -+++=的所有整数解．【例25】 ⒈ 已知a 为整数，关于,x y 的方程组23(2)(1)22x y a xxy a x a +=+⎧⎨=+-+⎩的所有解均为整数解，求a 的值． ⒉ 求方程2237x y x xy y+=-+的所有正整数解． ⒊ 求所有的整数对(,)x y ，使32232244447x x y xy y x xy y -+-=-++．【例26】 设m 是不为零的整数，关于x 的二次方程2(1)10mx m x --+=有有理根，求m 的值．【例27】 (2008年西城区初三抽样试题)当m 是什么整数时，关于x 的一元二次方程2440mx x -+=与2244450x mx m m -+--=的根都是整数．【例28】 (2007年全国联赛试题)a 是正整数，关于x 的方程32(17)(38)560x a x a x +++--=的根都是整数，求a 的值及方程的整数根．【例29】 (2004年“信利杯”全国初中数学竞赛)已知,a b 是实数，关于,x y 的方程组32y x ax bxy ax b⎧=--⎨=+⎩有整数解(,)x y ，求,a b 满足的关系式．【例30】 (2002年上海市初中数学竞赛)已知p 为质数，使二次方程222510x px p p -+--=的两根都是整数，求出所有可能的p 的值．【例31】 (2000年全国联赛)设关于x 的二次方程2222(68)(264)4k k x k k x k -++--+=的两根都是整数，求满足条件的所有实数k 的值．【例32】 b 为何值时，方程 220x bx --=和22(1)0x x b b ---=有相同的整数根？并且求出它们的整数根？【例33】 (2000年全国竞赛题)已知关于x 的方程2(1)210a x x a -+--=的根都是整数，那么符合条件的整数a 有___________个．【例34】 (1998年全国竞赛题) 求所有正实数a ，使得方程240x ax a -+=仅有整数根．【例35】(1996年全国联赛)方程()(8)10---=有两个整数根，求a的值．x a x【例36】(2000年全国联赛C卷) 求所有的正整数a，b，c使得关于x的方程222-+=-+=-+=的所有的根都是正整数．x ax b x bx c x cx a320,320,320【例37】(1993年安徽竞赛题) n为正整数，方程21)60-+-=有一个整数根，则n=__________．x x【例38】(第三届《祖冲之杯》竞赛题)求出所有正整数a，使方程22(21)4(3)0+-+-=至少有一个整ax a x a数根．【例39】(第三届《祖冲之杯》竞赛题) 已知方程22a x a x--++=有两个不等的负整数根，则整(1)2(51)240数a的值是__________．【例40】不解方程，证明方程2199719970-+=无整数根x x【例41】(1999年江苏第14届竞赛题)已知方程219990-+=有两个质数根，则常数a=________．x x a【例42】 (1996年四川竞赛题)已知方程210x mx m +-+=有两个不相等的正整数根，求m 的值．【例43】 (1994年福州竞赛题) 当m 是什么整数时，关于x 的方程2(1)10x m x m --++=的两根都是整数？【例44】 设方程2(2)(3)0mx m x m --+-=有整数解，试确定整数m 的值，并求出这时方程所有的整数解．【例45】 (2007年全国初中数学联合竞赛)已知a 是正整数，如果关于x 的方程()()321738560x a x a x +++--=的根都是整数，求a 的值及方程的整数根．【例46】 若k 为正整数，且关于k 的方程()()221631720k x k x ---+=有两个相异正整数根，求k 的值．【例47】 (2008年全国初中数学联赛)设a 为质数，b c ，为正整数，且满足()()2922509410225112a b c a b c b c ⎧+-=+-⎪⎨-=⎪⎩ 求()a b c +的值．。
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一元二次方程公共根问题
若已知若干个一元二次方程有公共根，求方程系数的问题，叫一元二次方程的公共根问题，
两个一元二次方程只有一个公共根的解题步骤：
（1） 设公共根为α，则α同时满足这两个一元二次方程；
（2） 用加减法消去α2的项，求出公共根或公共根的有关表达式；
（3） 把共公根代入原方程中的任何一个方程，就可以求出字母系数的值或字母系数之
间的关系式．
例1 （2006年广西桂林模拟探究）已知一元二次方程x 2-4x +k =0有两个不相等的实数根，
（1） 求k 的取值范围．
（2） 如果k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程x 2-4x +k =0与x 2+mx -1=0有一个相
同的根，求此时m 的值．
解析：（1）∵一元二次方程x 2-4x +k =0有两个不相等的实数根
∴△=16-4k ＞0，∴k ＜4
（2）当k =3时，解x 2-4x +3=0得x 1=3，x 2=1
当x =3时，32+m ·3-1=0，m =-3
8 当x =1时，12+m ·1-1=0，m =0
例2 若两个关于x 的方程x 2+x +a =0与x 2+ax +1=0只有一个公共的实数根，求a 的值 解：设两个方程的公共根为α，则有α2+α+a =0 ①
α2+a α-1=0 ②
①-②得（1-a ）α+a -1=0，即（1-a ）（α-1）=0
因为只有一个公共根，所以a ≠1，所以α=1
把α=1代入x 2+x +a =0得12+1+a =0，a =-2
例3 已知a ＞2，b ＞2，试判断关于x 的方程x 2-（a +b ）x +ab =0与x 2-abx +（a +b ）=0有没有公共根，请说明理由．
分析：判断两个方程是否有公共解，常假设有公共根，代入两个方程整理，求出这个解，再检验，如有矛盾方程的公共根不存在．
解：不妨设关于x 的方程x 2-（a +b ）x +ab =0与x 2-abx +（a +b ）=0有公共根，设有x 0，则
有⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++-0
)(0)(020020b a abx x ab x b a x 整理，可得（x 0+1）（a +b -ab ）=0 ∵a ＞2，b ＞2，∴a +b ≠ab ，∴x 0=-1
把x 0=-1代入①得，1+a +b +ab =0这是不可能的
所以，关于x 的两个方程没有公共根． ① ②。