初中数学竞赛讲义一元二次方程公共根问题
八年级奥林匹克竞赛讲义 第06讲：一元二次方程的解法
第六讲：一元二次方程的解法【知识梳理】形如()002≠=++a c bx ax 的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法，而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。
求根公式aac b b x 242-±-=内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美。
【例题精讲】【例1】选用恰当的方法解方程（基础题）：（1）x 2 –2x =0 （2） x 2 –9=0 （3）(1－3x )2＝1；（4）（t －2）（t ＋1）＝0 （5）x 2＋8x ＝2（6）2760x x -+=（7）24210x x --= （8）22150x x --= （9）241290x x -+=（10）24210a a --+=（11）211180x x ++= （12）2230x x --=（13）x （x －6）＝2（14）（2x ＋1）2＝3（2x ＋1） （15）227150b b +-=（16）23440a a +-=（17）23145b b +=（18）20x +=（19）42200x x --= （20）2(35)5(35)60x x +-+-=；【例2】用适当的方法解下列关于x 的方程（提高题）：（1）()()53423=+-x x ； （2）033272312=--x x ；（3）()()35412352-=--x x ； （4）()()()()114113-+=--x x x x ；（5）()()06132322=----x x 。
【巩固】用适当的方法解下列关于x 的方程：（1）()()019222=+--x x ；（2）22296a b ax x -=-；（3）()0632222=--+x x 。
（4）()()()()x x x x --=-+314312。
一元二次方程公共根
一元二次方程公共根问题若已知若干个一元二次方程有公共根，求方程系数的问题，叫一元二次方程的公共根问题， 两个一元二次方程只有一个公共根的解题步骤：1.设公共根为α，则α同时满足这两个一元二次方程；2.用加减法消去α2的项，求出公共根或公共根的有关表达式；3.把共公根代入原方程中的任何一个方程，就可以求出字母系数的值或字母系数之间的关系式．一、公共根问题二次方程的公共根问题的一般解法：设公共根，代入原方程(两个或以上)，然后通过恒等变形求出参数的值和公共根．二、整数根问题对于一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的实根情况，可以用判别式24b ac ∆=-来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质．方程有整数根的条件：如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠有整数根，那么必然同时满足以下条件：⑴ 2∆=⑵ 2b ak -=或2b ak --，其中k 为整数．以上两个条件必须同时满足，缺一不可．另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根(其中a 、b 、c 均为有理数)三、方程根的取值范围问题先使用因式分解法或求根公式法求出两根，然后根据题中根的取值范围来确定参数的范围1 已知一元二次方程x 2-4x +k =0有两个不相等的实数根， (1)求k 的取值范围．(2)如果k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程x 2-4x +k =0与x 2+mx -1=0有一个相同的根，求此时m 的值．2 若两个关于x 的方程x 2+x +a =0与x 2+ax +1=0只有一个公共的实数根，求a 的值3 已知a ＞2，b ＞2，试判断关于x 的方程x 2-（a +b ）x +ab =0与x 2-abx +（a +b ）=0有没有公共根，请说明理由．4求k 的值，使得一元二次方程210x kx +-=，2(2)0x x k ++-=有相同的根，并求两个方程的根．5二次项系数不相等的两个二次方程222(1)(2)(2)0a x a x a a --+++=和222(1)(2)(2)0b x b x b b --+++=(其中a ，b 为正整数)有一个公共根，求ab b a b a a a --++的值6已知关于x 的两个一元二次方程：方程①：01)2()21(2=-+++x k x k方程②：032)12(2=--++k x k x（1）若方程①有两个相等的实数根，求解方程②；（2）若方程①和②中只有一个方程有实数根，请说明此时哪个方程没有实数根，并化简2)4(1241++-k k （3）若方程①和②有一个公共根a ，求代数式a a k a a 53)24(22++-+的值．练习：1.已知关于x 的一元二次方程062=+-k x x 有两个实数根。
一元二次方程公共根问题
一元二次方程公共根问题若已知若干个一元二次方程有公共根，求方程系数的问题，叫一元二次方程的公共根问题，两个一元二次方程只有一个公共根的解题步骤：（1）设公共根为α，则α同时满足这两个一元二次方程；（2）用加减法消去α2的项，求出公共根或公共根的有关表达式；（3）把共公根代入原方程中的任何一个方程，就可以求出字母系数的值或字母系数之间的关系式．例1已知一元二次方程x2-4x+k=0有两个不相等的实数根，（1）求k的取值范围．（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2-4x+k=0与x2+mx-1=0有一个相同的根，求此时m的值．例2若两个关于x的方程x2+x+a=0与x2+ax+1=0只有一个公共的实数根，求a的值例3已知a＞2，b＞2，试判断关于x的方程x2-（a+b）x+ab=0与x2-abx+（a+b）=0有没有公共根，请说明理由．例4求k 的值，使得一元二次方程210x kx +-=，2(2)0x x k ++-=有相同的根，并求两个方程的根．例5二次项系数不相等的两个二次方程222(1)(2)(2)0a x a x a a --+++=和222(1)(2)(2)0b x b x b b --+++=(其中a ，b 为正整数)有一个公共根，求a b b a b a a a --++的值例6已知关于x 的两个一元二次方程：方程①：01)2()21(2=-+++x k x k 方程②：032)12(2=--++k x k x（1）若方程①有两个相等的实数根，求解方程②；（2）若方程①和②中只有一个方程有实数根，请说明此时哪个方程没有实数根，并化简 2)4(1241++-k k （3）若方程①和②有一个公共根a ，求代数式a a k a a 53)24(22++-+的值．练习：1.已知关于x 的一元二次方程062=+-k x x 有两个实数根。
（1）求k 的取值范围；（2）如果k 取符合条件的最大整数，且一元二次方程062=+-k x x 与012=-+mx x 有一个相同的根，求常数m 的值。
最全最新初中数学竞赛专题讲解一元二次方程的求解
初中数学竞赛专题讲解一元二次方程的求解方程是一种重要的数学模型，也是重要的数学思想之一。
有关方程的解的讨论问题一直是初中数学竞赛试题的热点与难点。
解决有关方程的解的讨论问题往往涉及到分类讨论、数形结合等数学思想。
1.形如方程的解的讨论：⑴若=0，①当=0时，方程有无数个解；②当≠0时，方程无解； ⑵若≠0，方程的解为=。
2.关于一元二次方程()0a ≠根的讨论，一般需应用到根的判别式、根与系数的关系等相关知识。
⑴若，则它有一个实数根1x =；若，则它有一个实数根1x =-。
⑵运用数形结合思想将方程()0a ≠根的讨论与二次函数()0a ≠的图象结合起来考虑是常用方法。
几个基本模型（1）设()()20f x ax bx c a =++≠，则()0f x =的两根12,x x ，满足12,m x x n <<的充要条件是202b m n a b af a ⎧<-<⎪⎪⎨⎛⎫⎪-≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，()()00af m af n >⎧⎪⎨>⎪⎩（2）一般地设m n p <<，设()()20f x ax bx c a =++≠，则()0f x =的两根12,x x ，满足12,m x n x p <<>的充要条件是()()()000af m af n af p >⎧⎪<⎨⎪>⎩（3）一般地设m n p q <≤<设()()20f x ax bx c a =++≠，则()0f x =的两根12,x x ，满足12m x n p x q <<≤<<的充要条件是()()()()0000af m af n af p af q >⎧⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩（4）一般地设m n ≤设()()20f x ax bx c a =++≠，则()0f x =的两根12,x x ，满足12x m n x ≤≤≤的充要条件是()()00af m af n ≤⎧⎪⎨≤⎪⎩3.涉及分式方程根的讨论，一般考虑使公分母为零的整式方程的根(即原分式方程的增根)。
2019年初中数学一元二次方程的公共根
学科：数学专题：一元二次方程公共根主讲教师：黄炜 北京四中数学教师金题精讲题一题面：设方程270x kx --=和()2610x x k --+=有公共根，求k 的值．判别式，考虑参数范围满分冲刺题一题面：三个二次方程20ax bx c ++=，20bx cx a ++=，20cx ax b ++=有公共根．⑴ 求证：0a b c ++=；⑵ 求公共根的值．判别式，整数根题二题面：二次项系数不相等的两个二次方程222(1)(2)(2)0a x a x a a --+++= 和222(1)(2)(2)0b x b x b b --+++=(其中a ，b 为正整数)有一个公共根，求 b ab aa b a b --++的值．讲义参考答案金题精讲题一答案：设公共根为a ，则270a ka --= ①()2610a a k --+= ②①-②得()660k a k -+-=()()610k a --=∴∴61k a ==或当1a =时，2170k --=∴6k =-经检验6k =±均合题意∴6k =±．满分冲刺题一答案：⑴ 设上述三个方程的公共根为0x ，则有2000ax bx c ++=，2000bx cx a ++=，2000cx ax b ++=三式相加并提取公因式可得，200()(1)0a b c x x ++++= 又22000131()024x x x ++=++>，故0a b c ++=， (2)公共根为01x =或01b x a=--． 题二答案：[]222(1)(2)(2)0()(1)(2)0a x a x a a x a a x a --+++=⇒---+=，故两根为a 和21a a +- 同理，222(1)(2)(2)0b x b x b b --+++=的两根为b 和21b b +-． 由题意可知，11a b a b -≠-⇒≠，故21b a b +=-或21a b a +=-． 均可化简为：20ab a b ---=，即(1)(1)3a b --=由a ，b 为正整数，故1113a b -=⎧⎨-=⎩或1311a b -=⎧⎨-=⎩，解得24a b =⎧⎨=⎩，42a b =⎧⎨=⎩． 也可采取与之前相同的解法：设公共根为0x ，则22200(1)(2)(2)0a x a x a a --+++=，22200(1)(2)(2)0b x b x b b --+++= 消去20x 项并因式分解可得，0()(2)(1)0a b ab a b x -----=(由已知可得a b ≠) 若01x =，则有1a =(或1b =)，与已知矛盾；若20ab a b ---=，解法同上．故256b ab a b aa b a b a b --+==+．。
一元二次方程公共根问题
一元二次方程公共根问题1、若两个关于x的方程x2+x+a=0与x2+ax+1=0只有一个公共的实数根，求a的值解：设两个方程的公共根为α，则有α2+α+a=0 ①α2+aα-1=0 ②①-②得（1-a）α+a-1=0，即（1-a）（α-1）=0因为只有一个公共根，所以a≠1，所以α=1把α=1代入x2+x+a=0得12+1+a=0，a=-2解：两个方程相减，得：x+a-ax-1=0，整理得：x（1-a）-（1-a）=0，即（x-1）（1-a）=0，若a-1=0，即a=1时，方程x2+x+a=0和x2+ax+1=0的b2-4ac都小于0，即方程无解；故a≠1，∴公共根是：x=1．把x=1代入方程有：1+1+a=0∴a=-2．2、若两个方程x2+ax+b=0和x2+bx+a=0只有一个公共根，则（）A．a=b B．a+b=0 C．a+b=1 D．a+b=-13、关于x的方程x2+bx+1=0与x2-x-b=0有且只有一个公共根，求b的值．解：设方程的公共根为x=t，则t2+bt+10 (1)t2−t−b＝0 (2)，由（2）得b=t2-t （3）将（3）代入（1）得：t3+1=0，解得，t=-1，当t=-1时，b=2．4、已知关于x的方程x2+x-3m=0与x2-mx+3=0只有一个相同的实数根，求m的值．解：将方程x2+x-3m=0和x2-mx+3=0组成方程组得，x2+x−3m＝0x2−mx+3＝0，解得x=3，m=4．4、若方程x2+mx+1=0和方程x2-x-m=0有一个相同的实数根，则m的值为（）A．2 B．0 C．-1 D．无法确定5、若关于x的方程x2-mx+2=0与x2-（m+1）x+m=0有一个相同的实数根，则m的值为（）A．3 B．2 C．4 D．-36.（2014春•太湖县校级月考）若方程x2+2x+m=0和方程x2+mx+2=0有一个相等的实数根，则m的值为7.已知方程x2+mx+4=0和x2-（m-2）x-16=0有一个相同的根，求m的值及这个相同的根．。
初中数学竞赛讲义一元二次方程公共根问题
一元二次方程公共根问题若已知若干个一元二次方程有公共根，求方程系数的问题，叫一元二次方程的公共根问题，解题方法：1、直接求根法，再讨论根与根之间的公共关系。
2、由题意用以下解题步骤：若两个一元二次方程只有一个公共根，则：（1）.设公共根为α，则α同时满足这两个一元二次方程；（2）.用加减法消去α2的项，求出公共根或公共根的有关表达式；（3）.把共公根代入原方程中的任何一个方程，然后通过恒等变形求出公共根．或求出字母系数的值或字母系数之间的关系式．例1 已知一元二次方程x2-4x+k=0有两个不相等的实数根，1.求k的取值范围．2.如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2-4x+k=0与x2+mx-1=0有一个相同的根，求此时m的值．解：（1）b²－4ac＝16－4k＞0, k<4；（2）由题意得：k＝3.∴x²－4x＋3＝0,即（x－1）（x－3）＝0，解方程，得x1=3，x2=1，当x=3时9＋3m－1＝0, m＝-8/3,当x=1时，1＋m－1＝0,m=0。
∵m²＋4＞0 ∴此时 m 的值为m＝0,或m＝-8/3.例2 若两个关于x的方程x2+x+a=0与x2+ax+1=0只有一个公共的实数根，求a的值解：设两个方程的公共根为α，则有α2+α+a=0 ① α2+aα+1=0 ②①-②得（1-a ）α+a -1=0，即（1-a ）（α-1）=0因为只有一个公共根，所以a≠1，所以α=1把α=1代入x 2+x+a=0得12+1+a=0，a=-2又解：两个方程相减，得：x+a-ax-1=0，整理得：x （1-a ）-（1-a ）=0，即（x-1）（1-a ）=0，若a-1=0，即a=1时，方程x 2+x+a=0和x 2+ax+1=0的b 2-4ac 都小于0，即方程无解；故a≠1，∴公共根是：x=1．把x=1代入方程有：1+1+a=0∴a=-2．例3、已知a ＞2，b ＞2，试判断关于x 的方程x 2-（a+b ）x+ab=0与x 2-abx+（a+b ）=0有没有公共根，请说明理由．解：不妨设关于x 的方程x 2-（a+b ）x+ab=0与x 2-abx+（a+b ）=0有公共根，设为x0，则有x 02−(a+b)x 0+ab ＝0① x 02−abx 0+(a+b)＝02 整理可得（x 0+1）（a+b-ab ）=0．∵a＞2，b ＞2，∴a+b≠ab，∴x 0=-1； 把x 0=-1代入①得1+a+b+ab=0，这是不可能的．所以关于x 的两个方程没有公共根．又解：x 2- (a+b)x + ab = (x-a)(x-b) = 0 所以其两根分别是a 和 b若方程：x 2- abx + (a+b) = 0 有1根x = a,代入,得： a 2 – a 2b + a + b = 0 (b-1)a 2 - a - b = 0( (b-1)a - b ) ( a + 1 ) = 0得：a = b/(b-1) ,或 a = -1（a < 2 ,舍去） 由a = b/(b-1) > 2,（其中b-1>0）,得： b > 2(b-1) 即：b < 2这与 b > 2 矛盾同理,方程：x 2 - abx + (a+b) = 0 有1根x = b,也能推出同样的矛盾所以两个方程没有公共根例4、求k 的值，使得一元二次方程210x kx +-=，2(2)0x x k ++-=有相同的根，并求两个方程的根．解答：不妨设a 是这两个方程相同的根，由方程根的定义有a 2+ka-1=0，①a 2+a+（k-2）=0．②①-②有ka-1-a-（k-2）=0，即（k-1）（a-1）=0，所以k=1，或a=1．（1）当k=1时，两个方程都变为x 2+x-1=0，所以两个方程有两个相同的根，没有相异的根；（2）当a=1时，代入①或②都有k=0，此时两个方程变为x 2-1=0，x 2+x-2=0．解这两个方程，x 2-1=0的根为x 1=1，x 2=-1；x 2+x-2=0的根为x 1=1，x 2=-2．∴x=1为两个方程的相同的根．例5二次项系数不相等的两个二次方程222(1)(2)(2)0a x a x a a --+++=和 222(1)(2)(2)0b x b x b b --+++=(其中a ，b 为正整数)有一个公共根，求ab ba b a a a --++的值。
初中数学竞赛精品标准教程及练习45一元二次方程的根
初中数学竞赛精品标准教程及练习45一元二次方程的根一、一元二次方程的定义及基本知识回顾一元二次方程是指形如ax²+bx+c=0的方程，其中a、b、c为已知数，且a≠0。
求解一元二次方程的根需要运用二次根公式：x=(-b±√(b²-4ac)) / (2a)。
其中，当b²-4ac>0时，方程有两个不相等的实根；当b²-4ac=0时，方程有两个相等的实根；当b²-4ac<0时，方程无实根，但有两个共轭复根。
二、一元二次方程的解法解一元二次方程主要有以下几种方法：1.因式分解法：当方程为(x-p)(x-q)=0时，利用“互为相反数”的性质，得出方程的解为x=p或x=q。
2.公式法：对于一般的一元二次方程ax²+bx+c=0，带入二次根公式，即可求解方程的根。
3.完全平方公式法：对于形如(x+p)²=q的方程，利用完全平方公式可解出方程。
三、一元二次方程的根与系数的关系对于一元二次方程ax²+bx+c=0，根与系数之间有一定的关系，如下所示：1. 判别式：Δ=b²-4ac判别式Δ可以用来判断一元二次方程的根的情况。
当Δ>0时，方程有两个不相等的实根；当Δ=0时，方程有两个相等的实根；当Δ<0时，方程无实根，但有两个共轭复根。
2.根与系数的关系：设方程ax²+bx+c=0的根为x₁和x₂，则有以下关系成立：x₁+x₂=-b/ax₁x₂=c/a四、一元二次方程的应用题1.平方差公式的应用：已知两个数的和与差，求这两个数。
设这两个数为x和y，已知x+y=A，x-y=B，则由平方差公式可得x=(A+B)/2，y=(A-B)/22.求解图形问题：已知一元二次方程的解为一些图形的边长、面积或体积等，利用解二次方程可以求解出图形的相关信息。
3.求解时间问题：已知一些过程中的速度和时间，求解该过程的距离。
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一元二次方程公共根问题若已知若干个一元二次方程有公共根，求方程系数的问题，叫一元二次方程的公共根问题，解题方法：1、直接求根法，再讨论根与根之间的公共关系。
2、由题意用以下解题步骤：若两个一元二次方程只有一个公共根，则：（1）.设公共根为α，则α同时满足这两个一元二次方程；（2）.用加减法消去α2的项，求出公共根或公共根的有关表达式；（3）.把共公根代入原方程中的任何一个方程，然后通过恒等变形求出公共根．或求出字母系数的值或字母系数之间的关系式．例1 已知一元二次方程x2-4x+k=0有两个不相等的实数根，1.求k的取值范围．2.如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2-4x+k=0与x2+mx-1=0有一个相同的根，求此时m的值．解：（1）b2－4ac＝16－4k＞0, k<4；（2）由题意得：k＝3.∴x2－4x＋3＝0,即（x－1）（x－3）＝0，解方程，得x1=3，x2=1，当x=3时9＋3m－1＝0, m＝-8/3,当x=1时，1＋m－1＝0,m=0。
∵m2＋4＞0 ∴此时 m 的值为m＝0,或m＝-8/3.例2 若两个关于x的方程x2+x+a=0与x2+ax+1=0只有一个公共的实数根，求a的值解：设两个方程的公共根为α，则有α2+α+a=0 ① α2+aα+1=0 ②①-②得（1-a）α+a-1=0，即（1-a）（α-1）=0因为只有一个公共根，所以a≠1，所以α=1把α=1代入x2+x+a=0得12+1+a=0，a=-2又解：两个方程相减，得：x+a-ax-1=0，整理得：x（1-a）-（1-a）=0，即（x-1）（1-a）=0，若a-1=0，即a=1时，方程x2+x+a=0和x2+ax+1=0的b2-4ac都小于0，即方程无解；故a≠1，∴公共根是：x=1．把x=1代入方程有：1+1+a=0∴a=-2．例3、已知a＞2，b＞2，试判断关于x的方程x2-（a+b）x+ab=0与x2-abx+（a+b）=0有没有公共根，请说明理由．解：不妨设关于x的方程x2-（a+b）x+ab=0与x2-abx+（a+b）=0有公共根，设为x0，则有x02(a+b)x0+ab＝0① x02abx0+(a+b)＝02整理可得（x0+1）（a+b-ab）=0．∵a＞2，b＞2，∴a+b≠ab，∴x0=-1；把x0=-1代入①得1+a+b+ab=0，这是不可能的．所以关于x的两个方程没有公共根．又解：x2- (a+b)x + ab = (x-a)(x-b) = 0？所以其两根分别是a 和 b？若方程：x2- abx + (a+b) = 0 有1根x = a,代入,得：a2– a2b + a + b = 0？(b-1)a2 - a - b = 0？( (b-1)a - b ) ( a + 1 ) = 0？得：a = b/(b-1) ,或 a = -1（a < 2 ,舍去）？ 由a = b/(b-1) > 2,（其中b-1>0）,得： b > 2(b-1)？ 即：b < 2？ 这与 b > 2 矛盾？同理,方程：x 2 - abx + (a+b) = 0 有1根x = b,也能推出同样的矛盾？所以两个方程没有公共根例4、求k 的值，使得一元二次方程210x kx +-=，2(2)0x x k ++-=有相同的根，并求两个方程的根． 解答：不妨设a 是这两个方程相同的根，由方程根的定义有a 2+ka-1=0，①a 2+a+（k-2）=0．②①-②有ka-1-a-（k-2）=0，即（k-1）（a-1）=0，所以k=1，或a=1．（1）当k=1时，两个方程都变为x 2+x-1=0，所以两个方程有两个相同的根，没有相异的根；（2）当a=1时，代入①或②都有k=0， （3）此时两个方程变为x 2-1=0，x 2+x-2=0．解这两个方程，x 2-1=0的根为x 1=1，x 2=-1；x 2+x-2=0的根为x 1=1，x 2=-2．∴x=1为两个方程的相同的根．例5二次项系数不相等的两个二次方程222(1)(2)(2)0a x a x a a --+++=和222(1)(2)(2)0b x b x b b --+++=(其中a ，b 为正整数)有一个公共根，求ab ba b a a a --++的值。
解答：由方程（a-1）x 2-（a 2+2）x+（a 2+2a ）=0得，[（a-1）x-（a+2）]（x-a ）=0x 2=a ；同理可由方程（b-1）x 2-（b 2+2）x+（b 2+2b ）=0解得 x 2=b ；∵a，b 为不相等的正整数，而两个方程有一个公共根．所以a-1只能为1或3，即a=2，b=4，或a=4，b=2．（若有也是同样的结果）当a=2，b=4，（把a=4，b=2代入计算的结果一样）例6已知关于x 的两个一元二次方程：方程①：01)2()21(2=-+++x k x k方程②：032)12(2=--++k x k x（1）若方程①有两个相等的实数根，求解方程②；（2）若方程①和②中只有一个方程有实数根，请说明此时哪个方程 没有实数根，并化简（3）若方程①和②有一个公共根a ，求代数式a a k a a 53)24(22++-+的值． 解答： 练习：1.已知关于x 的一元二次方程062=+-k x x 有两个实数根。
（1）求k 的取值范围；（2）如果k 取符合条件的最大整数，且一元二次方程062=+-k x x 与012=-+mx x 有一个相同的根，求常数m 的值。
解（1） ∵，∴k≤9；（2） ∵k 是符合条件的最大整数且k≤9， ∴k=9，当k=9时，方程x2-6x+9=0的根为x1=x2=3； 把x=3代入方程x2+mx-1=0得9+3m-1=0， ∴m=-8/32.已知一元二次方程042=+-k x x 有两个实数根。
（1）求k 的取值范围；（2）如果k 取符合条件的最大整数，且一元二次方程042=+-k x x 与012=-+mx x 有一个相同的根，求此时m 的值。
解答： (1)△>0 解得k<4(2)k 是最大整数,说明k=3 x 2-4x+k=0的根是1和3 x 2+mx-1=0的根是1时,m=0 x 2+mx-1=0的根是3时,m=-8/33.已知21,x x 是一元二次方程032)1(2=-+++k kx x k 有两个不相等的实数根。
（1）求k 的取值范围；（2）在（1）的条件下，当k 取符合条件的最小整数时一元二次方程02=+-k x x 与022=-+m mx x 只有一个相同的根，求m 的值。
解答：（1）∵方程有两个不相等的实数根， ∴△=b 2-4ac=（2k ）2-4（k+1）（k-3）＞0 解得k ＞-3/2∵方程是一元二次方程 ∴k+1≠0， ∴k≠-1．∴实数k 的取值范围为：k ＞-3/2且k≠-1． （2）由（1）可得：k 取最小整数时k=0． ∴x 2-x+0=0， 解得x 1=0，x 2=1．①把x=0代入x 2+mx-m 2=0，m=0． ②把x=1代入x 2+mx-m 2=0得， m 2-m-1=0，解得m=4、已知方程072=--kx x 与方程0)1(62=+--k x x 有公共根，求k 的值及两方程的所有公共根和所有的相异根。
解答：设两个方程公共根为x ，依题意得 X 2kx7＝0① X 26x(k+1)＝0②②-①得，（-6+k ）x+（6-k ）=0，当-6+k=0，即k=6时，x 取任意值，两个方程得解都相同．两个方程是同一个式子．方程得解是x 1=7，x 2=-1； 当k≠6时，解得x=1．把x=1代入x 2-kx-7=0得，1-k-7=0，k=-6． 于是两方程为：x 2+6x-7=0③，x 1=1，x 2=-7．X 2-6x+5=0④，x 1=1，x 2=5．故答案为：k=-6；其公共根为1，相异根为：-7和5．5.关于x 的方程x 2+bx+1=0与x 2-x-b=0有且只有一个公共根，求b 的值．解：设方程的公共根为x=t ，则 T 2+bt+1＝0 (1) T 2tb ＝0 (2)， 由（2）得b=t 2-t （3）将（3）代入（1）得：t 3+1=0，解得，t=-1，当t=-1时，b=2． ●变式：若两个方程x 2+ax+b=0和x 2+bx+a=0只有一个公共根，则（ ）A ．a=bB ．a+b=0C ．a+b=1D ．a+b=-1.解：设公共根为x 0，则x 02+ax 0+b=0 ① x 02+bx 0+a=0 ②． ①-②，得（a-b ）（x 0-1）=0，当a=b 时，方程可能有两个公共根，不合题意；当x 0=1时，所以1+a+b=0，a+b=-1．故选D ．●变式：已知实数a,b 满足a2+b2=1,且方程x2+ax+b=0和x2+bx+a=0至少有一个公共根,求a 、b 的值解:第一种情况：有两个相同的根，则a=b,即a=b=±2第二种情况：有一个相同的根，则x2+ax+b=0和x2+bx+a=0，两式作差，得（a-b ）（x-1）=0可得x=1可得a+b+1=0 加上a 2+b 2=1,可解得a=-1,b=o 或a=0，b=-16.若方程02=++b ax x 和02=++a bx x 只有一个公共根，求2012)(b a +的值。
解答：设公共根为t ， 则t 2+at+b=0，t 2+bt+a=0， ∴（a-b ）t=a-b ， ∵t 有唯一的值， ∴a -b≠0， ∴t=1，把t=1代入x 2+ax+b=0得a+b+1=0．a+b=-1 故答案是（-1）2012=1 7.当p 是什么实数时，方程032=-+px x 与方程0)1(42=---p x x 有一个公共根。
解答：X 2-4x-p+1=0.(1)？ x 2+px-3=0.(2)？(2)-(1):(x+1)p+4x-4=0？ p=4(1-x)/(x+1)？ 代入（2）：x 2+4x(1-x)/(1+x)-3=0？ x 3-3x 2+x-3=0？ (x 2+1)(x-3)=0？ x=3？p=4(1-3)/(1+3)=-28.设a 、b 、c 为三个互不相等的实数，且1≠c ，已知关于x 的方程012=++ax x 和方程02=++c bx x 有一个公共根，方程02=++a x x 和方程02=++b cx x 有一个公共根，试求c b a ++的值。
分析：设x12+ax1+1=0，x12+bx1+c=0，得x1=，同理，由x22+x2+a=0，x22+cx2+b=0，得x2=（c≠1），再根据韦达定理即可求解．解答：解：设x12+ax1+1=0，x12+bx1+c=0，两式相减，得（a-b ）x1+1-c=0，解得x1=，同理，由x22+x2+a=0，x22+cx2+b=0，得x2=（c≠1），∵x2=，∴是第一个方程的根，∵x1与是方程x12+ax1+1=0的两根，∴x 2是方程x2+ax+1=0和x2+x+a=0的公共根， 因此两式相减有（a-1）（x2-1）=0， 当a=1时，这两个方程无实根， 故x2=1，从而x1=1， 于是a=-2，b+c=-1， 所以a+b+c=-3．9.已知方程①：02=++c bx ax ，（其中0≠c ）有整数根，是否存在整数p ，使得方程②：0)()(23=+++++c x p b x p a x 与方程①有相同的整数根如果存在，请求出p 的值及相应的公共根，若不存在，请说明理由。