奥数新讲义-一元二次方程-整数根公共根4学
一元二次方程的公共根与整数根(讲义)
一元二次方程的公共根与整数根一、公共根问题二次方程的公共根问题的一般解法：设公共根，代入原方程(两个或以上)，然后通过恒等变形求出参数的值和公共根．二、整数根问题对于一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的实根情况，可以用判别式24b ac ∆=-来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质．方程有整数根的条件：如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠有整数根，那么必然同时满足以下条件：⑴ 24b ac ∆=-为完全平方数；⑵2b ak -=或2b ak -=，其中k 为整数．以上两个条件必须同时满足，缺一不可．另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根(其中a 、b 、c 均为有理数)三、方程根的取值范围问题先使用因式分解法或求根公式法求出两根，然后根据题中根的取值范围来确定参数的范围．一、一元二次方程的公共根【例1】 求k 的值，使得一元二次方程210x kx +-=，2(2)0x x k ++-=有相同的根，并求两个方程的根．【例2】 设,,a b c 为ABC ∆的三边，且二次三项式222x ax b ++与222x cx b +-有一次公因式，证明：ABC∆一定是直角三角形．【例3】 三个二次方程20ax bx c ++=，20bx cx a ++=，20cx ax b ++=有公共根．⑴ 求证：0a b c ++=；⑵ 求333a b c abc++的值．【例4】 试求满足方程270x kx --=与26(1)0x x k --+=有公共根的所有的k 值及所有公共根和所有相异根．知识点睛例题精讲【例5】 二次项系数不相等的两个二次方程222(1)(2)(2)0a x a x a a --+++=和222(1)(2)(2)0b x b x b b --+++=(其中a ，b 为正整数)有一个公共根，求b ab a a b a b --++的值．二、一元二次方程的整数根【例6】 k 为什么实数时，关于x 的方程2(6)(9)(11715)540k k x k x ----+=的解都是整数？【例7】 若关于x 的方程()()()26911715540k k x k x ----+=的解都是整数，则符合条件的整数k 的值有_______个．【例8】 已知a 是正整数，如果关于x 的方程32(17)(38)560x a x a x +++--=的根都是整数，求a 的值及方程的整数根．【例9】 若k 为正整数，且关于k 的方程22(1)6(31)720k x k x ---+=有两个相异正整数根，求k 的值．【例10】 关于x 的二次方程2222(68)(264)4k k x k k x k -++--+=的两根都是整数．求满足条件的所有实数k 的值．【例11】 当m 为何整数时，方程222525x mx m -+=有整数解．【例12】 已知关于x 的方程24832x nx n --=和22(3)220x n x n -+-+=，是否存在这样的n 值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，请求出这样的n 值；若不存在，请说明理由．【例13】 求所有有理数r ，使得方程2(1)(1)0rx r x r +++-=的所有根是整数．【例14】 已知关于x 的方程2(6)0x a x a +-+=的两根都是整数，求a 的值．【例15】 已知k 为常数，关于x 的一元二次方程22(2)(46)80k k x k x -+-+=的解都是整数，求k 的值．【例16】 已知p 为质数，二次方程222510x px p p -+--=的两根都是整数，请求出p 的所有可能的值．【例17】 已知1240m <<，且关于x 的二次方程222(1)0x m x m -++=有两个整数根，求整数m ．【例18】 若一直角三角形两直角边的长，a 、b ()a b ≠均为整数，且满足24a b m ab m +=+⎧⎨=⎩．试求这个直角三角形的三边长．【例19】 关于x 的方程22(3)(2)0ax a x a +-+-=至少有一个整数解，且a 是整数，求a 的值．【例20】 已知方程()22238213150ax a a x a a --+-+=(a 是非负整数)至少有一个整数根，那么a = ．【例21】 当m 是什么整数时，关于x 的一元二次方程2440mx x -+=与2244450x mx m m -+--=的根都是整数．【例22】 设m 为整数，且440m <<，方程()2222341480x m x m m --+-+=有两个整数根，求m 的值及方程的根．【例23】 当m 为何整数时，方程222525x mx m -+=有整数解．【例24】 已知方程()22238213150ax a a x a a --+-+=(a 是非负整数)至少有一个整数根，那么a = ．【例25】 若关于x 的方程()()()26911715540k k x k x ----+=的解都是整数，则符合条件的整数k 的值有_______个．【例26】 设方程2(2)(3)0mx m x m --+-=有整数解，试确定整数m 的值，并求出这时方程所有的整数解．【例27】 已知a 是正整数，且使得关于x 的一元二次方程22(21)4(3)0ax a x a +-+-=至少有一个整数根，求a 的值．【例28】 已知关于x 的方程2222(38)213150a x a a x a a --+-+= (其中a 是非负整数)至少有一个整数根，求a 的值．【例29】 已知b ，c 为整数，方程250x bx c ++=的两根都大于1-且小于0，求b 和c 的值．【例30】 已知a ，b 都是正整数，试问关于x 的方程21()02x abx a b -++=是否有两个整数解？如果有，请求出来；如果没有，请给出证明．【例31】 已知方程20x bx c ++=及20x cx b ++=分别各有两个整数根12,x x 及12,x x ''，且120x x >，120x x ''>． ⑴ 求证：10x <，20x <，10x '<，20x '<； ⑵ 求证：11b c b -+≤≤；⑶ 求,b c 所有可能的值．【例32】 设p q 、是两个奇整数，试证方程2220x px q ++=不可能有有理根．【例33】 试证不论n 是什么整数，方程21670s x nx -+=没有整数解，方程中的s 是任何正的奇数．【例34】 求方程33222240a b ab a b -+++=的所有整数解．【例35】 已知a 为整数，关于,x y 的方程组23(2)(1)22x y a x xy a x a +=+⎧⎨=+-+⎩的所有解均为整数解，求a 的值．【例36】 求方程2237x y x xy y +=-+的所有正整数解．【例37】 求所有的整数对(,)x y ，使32232244447x x y xy y x xy y -+-=-++．【例38】 设m 是不为零的整数，关于x 的二次方程2(1)10mx m x --+=有有理根，求m 的值．【例39】 当m 是什么整数时，关于x 的一元二次方程2440mx x -+=与2244450x mx m m -+--=的根都是整数．【例40】a 是正整数，关于x 的方程32(17)(38)560x a x a x +++--=的根都是整数，求a 的值及方程的整数根．【例41】 已知,a b 是实数，关于,x y 的方程组32y x ax bx y ax b⎧=--⎨=+⎩有整数解(,)x y ，求,a b 满足的关系式．【例42】 已知p 为质数，使二次方程222510x px p p -+--=的两根都是整数，求出所有可能的p 的值．【例43】 设关于x 的二次方程2222(68)(264)4k k x k k x k -++--+=的两根都是整数，求满足条件的所有实数k 的值．【例44】 b 为何值时，方程 220x bx --=和22(1)0x x b b ---=有相同的整数根？并且求出它们的整数根？【例45】 已知关于x 的方程2(1)210a x x a -+--=的根都是整数，那么符合条件的整数a 有___________个．【例46】 求所有正实数a ，使得方程240x ax a -+=仅有整数根．【例47】 方程()(8)10x a x ---=有两个整数根，求a 的值．【例48】 求所有的正整数a ，b ，c 使得关于x 的方程222320,320,320x ax b x bx c x cx a -+=-+=-+=的所有的根都是正整数．【例49】n 为正整数，方程21)60x x -++-=有一个整数根，则n =__________．【例50】 求出所有正整数a ，使方程22(21)4(3)0ax a x a +-+-=至少有一个整数根．【例51】 已知方程22(1)2(51)240a x a x --++=有两个不等的负整数根，则整数a 的值是__________．【例52】 不解方程，证明方程2199719970x x -+=无整数根【例53】 已知方程219990x x a -+=有两个质数根，则常数a =________．【例54】 已知方程210x mx m +-+=有两个不相等的正整数根，求m 的值．【例55】 当m 是什么整数时，关于x 的方程2(1)10x m x m --++=的两根都是整数？【例56】 设方程2(2)(3)0mx m x m --+-=有整数解，试确定整数m 的值，并求出这时方程所有的整数解．【例57】 已知a 是正整数，如果关于x 的方程()()321738560x a x a x +++--=的根都是整数，求a 的值及方程的整数根．【例58】 若k 为正整数，且关于k 的方程()()221631720k x k x ---+=有两个相异正整数根，求k 的值．【例59】 设a 为质数，b c ，为正整数，且满足()()2922509410225112a b c a b c b c ⎧+-=+-⎪⎨-=⎪⎩ 求()a b c +的值．。
一元二次方程公共根
一元二次方程公共根问题若已知若干个一元二次方程有公共根，求方程系数的问题，叫一元二次方程的公共根问题， 两个一元二次方程只有一个公共根的解题步骤：1.设公共根为α，则α同时满足这两个一元二次方程；2.用加减法消去α2的项，求出公共根或公共根的有关表达式；3.把共公根代入原方程中的任何一个方程，就可以求出字母系数的值或字母系数之间的关系式．一、公共根问题二次方程的公共根问题的一般解法：设公共根，代入原方程(两个或以上)，然后通过恒等变形求出参数的值和公共根．二、整数根问题对于一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的实根情况，可以用判别式24b ac ∆=-来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质．方程有整数根的条件：如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠有整数根，那么必然同时满足以下条件：⑴ 2∆=⑵ 2b ak -=或2b ak --，其中k 为整数．以上两个条件必须同时满足，缺一不可．另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根(其中a 、b 、c 均为有理数)三、方程根的取值范围问题先使用因式分解法或求根公式法求出两根，然后根据题中根的取值范围来确定参数的范围1 已知一元二次方程x 2-4x +k =0有两个不相等的实数根， (1)求k 的取值范围．(2)如果k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程x 2-4x +k =0与x 2+mx -1=0有一个相同的根，求此时m 的值．2 若两个关于x 的方程x 2+x +a =0与x 2+ax +1=0只有一个公共的实数根，求a 的值3 已知a ＞2，b ＞2，试判断关于x 的方程x 2-（a +b ）x +ab =0与x 2-abx +（a +b ）=0有没有公共根，请说明理由．4求k 的值，使得一元二次方程210x kx +-=，2(2)0x x k ++-=有相同的根，并求两个方程的根．5二次项系数不相等的两个二次方程222(1)(2)(2)0a x a x a a --+++=和222(1)(2)(2)0b x b x b b --+++=(其中a ，b 为正整数)有一个公共根，求ab b a b a a a --++的值6已知关于x 的两个一元二次方程：方程①：01)2()21(2=-+++x k x k方程②：032)12(2=--++k x k x（1）若方程①有两个相等的实数根，求解方程②；（2）若方程①和②中只有一个方程有实数根，请说明此时哪个方程没有实数根，并化简2)4(1241++-k k （3）若方程①和②有一个公共根a ，求代数式a a k a a 53)24(22++-+的值．练习：1.已知关于x 的一元二次方程062=+-k x x 有两个实数根。
人教版九年级数学预录班讲义_第4讲：一元二次方程的整数根docx
第四讲：一元二次方程整数解一、因式分解法利用因式分解的方法，将方程一边分解因式，另一边为常数的形式，根据每一个大于1的正整数都可以惟一地分解成素数的乘积，将问题转化为二元方程组或二元一次不定方程，从而求出原方程的整数解。
【例1】设关于x 的方程()4)462(862222=+--++-k x k k x k k 的至少有一个根是整数，求满足条件的所有整数k 的值。
练习：已知关于x 的方程（k ²-1）x ²-6(3k -1)x +72=0至少有一个整数根，求满足条件的整数k 的值。
二、判别式法因为一元二次方程20ax bx c ++=在△≥0时有根，所以要使方程有整数根，必须△为完全平方数，并且为2a 的整数倍，这是基本思想。
【例2】当x 为何有理数时，代数式的值恰为两个连续正偶数的乘积？24b ac =-x 24b ac =-b -29232x x +-【练习】 设关于x 的二次方程的两个根是正整数，求整数m 。
三、韦达定理法如果在判别式中，未知系数的次数较高或未知系数不是整数时，则不便于使用求根公式法，此时可以考虑使用韦达定理构造未知系数或未知数的方程，从而解决本题。
【例3】设关于x 的方程的两个根都是整数，求实数m 的值。
【例4】设关于x 的二次方程()4)462(862222=+--++-k x k k x k k 的两根都是整数，求满足条件的所有实数k 的值。
210x mx m -++=2(3)650mx m x m -++-=测试题：1、对于任意实数x ，二次三项式22134x mx m m ++-+是一个完全平方式，求m 的值2、已知关于x 的一元二次方程22131(1)0444x mx k m k k +-+--+=有有理根，求k 的值。
3、求满足如下条件的所有实数k 值，使关于x 的方程的根都是整数。
2(1)(1)0kx k x k +++-=4、已知正整数m 满足3052++m m 是完全平方数，求m 的值。
一元二次方程整数根-教师版
板块一.元二次方程的整数根问题1.有理数根问题方程20ax bx c ++=（0a ≠，a 、b 、c 均为有理数）的根为有理数的条件是：∆为有理数 2.整数根问题一元二次方程有正（负、非正、非负）整数根，用十字相乘或公式法求出两个根，并将两根化简，分子部分不能有字母，再讨论整数根， 并考虑根为正（负、非正、非负）数。
例如：3x=m2m-1x=m 2m-3x=m+1a-3+9-4a x=a一元二次方程有整数根，但用十字相乘或公式法求出的两个根含有根号时，如a -39-4ax=a±，要利用换元法，设9-4a =k ，得出29-k a=4，将x 中的a 全部替换，得出两个不含根号的解，再讨论整数根问题，方法同上；若△=4a 2-9且a 为整数，则设4a 2-9=k 2，4a 2- k2=9，可得（2a-k ）(2a+k)=9,则讨论整数X 整数=9，讨论出所有满足情况的整数即可，注意k ≥0注意：若方程至少有一实数根，那么通过x1，x2推出的相关字母的值，应该取全部情况；若方程有两个实数根（已经确定方程为一元二次方程），那么通过x1，x2推出的相关字母的值，应该取公共解。
板块二.一元二次方程的应用1.增长率问题2.商品利润问题3.图形面积问题4.传播问题5.动点问题一.元二次方程的整数根问题1.有理数根问题【例1】 已知关于x 的一元二次方程22131(1)0444x mx k m k k +-+--+=有有理根，求k 的值。
【答案】∵原方程的根为有理根221314[(1)]444m k m k k ∆=-⨯⨯-+--+2231(1)44m k m k k =+++++所以∆为完全平方式，因此22131()244k k k +=++，整理得230k k +=一元二次方程整数根与实际应用新知学习基础演练解得0k =或13k =-【练一练】设m 是不为零的整数，关于x 的二次方程2(1)10mx m x --+=有有理根，求m 的值． 【解析】一个整系数的一元二次方程有有理根，那么它的判别式一定是完全平方数．令22(1)4m m n ∆=--=，其中n 是非负整数，于是2261m m n -+=，所以22(3)8m n --=， 由于33m n m n -+--≥，并且(3)(3)8m n m n -+--=是偶数， 所以3m n -+与3m n --同奇偶，所以 3432m n m n -+=⎧⎨--=⎩，或3234m n m n -+=-⎧⎨--=-⎩． 所以61m n =⎧⎨=⎩，或01m n =⎧⎨=⎩(舍去)．所以6m =，这时方程的两个根为12，13．点评：一个整系数的一元二次方程如果有整数根或有理根，那么它的判别式一定是完全平方数，然后利用平方数的性质、解不定方程等手段可以将问题解决．【答案】6m =【例2】 对于任意实数x ，二次三项式22134x mx m m ++-+是一个完全平方式，求m 的值 【解析】略【答案】由题意得2231()24m m m =-+，整理得25410m m +-=解得15m =或1m =- 2.整数根问题【例3】 已知方程21404x x n -+=的根都是整数，求正整数n 的值；【答案】根据题意得，16n ∆=-416821612nx n ±-==±-∵原方程的根均为整数，且n 为正整数 ∴7n =或12n =或15n =【例4】 设m 为整数，且440m <<，方程()2222341480x m x m m --+-+=有两个整数根，求m 的值及方程的根．【解析】4(21)m =+△为完全平方数，又m 为440m <<的整数，则12m =或24．当12m =时，116x =，226x =；当24m =时，338x =，452x =．点评：测及一元二次方程的整数根问题，一般用公式法把根表示出来，再让其为整数即可；或先让24b ac -为完全平方数，再检验．当然测及二次项系数的讨论更容易错．【答案】当12m =时，116x =，226x =；当24m =时，338x =，452x =．【练一练】已知1240m <<，且关于x 的二次方程222(1)0x m x m -++=有两个整数根，求整数m ．【解析】由原方程由整数解可知，224(1)44(21)m m m ∆=+-=+必然是一个完全平方数．又1240m <<可知，252181m <+<，又21m +为奇数，故214924m m +=⇒=． 此时原方程的两个实数根为：1,22(1)501422m x +±∆±==，不妨设12x x >，则132x =，218x =故24m =．满足∆为完全平方数只是条件之一，另外一个条件也必须同时满足，要引起注意．【答案】24m =【例5】 已知方程()22238213150ax a a x a a --+-+=(a 是非负整数)至少有一个整数根，那么a = ．【解析】∵0a ≠，∴由公式法可得()2212382322a a a a x a a -++==-，()2222382512a a a a x a a --+==-．即135a =，，． 【答案】1、3、5【练一练】b 为何值时，方程 220x bx --=和22(1)0x x b b ---=有相同的整数根？并且求出它们的整数根？【解析】两式相减，整理得(2)(2)(1)b x b b -=-+，当2b ≠时，1x b =+，代入第一个方程，得2(1)(1)20b b b +-+-= 解得1b =，2x =当2b =时，两方程无整数根． ∴1b =，相同的整数根是2 【答案】1b =，相同的整数根是2【例6】 已知关于x 的方程2(6)0x a x a +-+=的两根都是整数，求a 的值．【解析】本题的难点在于a 并不是整数，如果在采用求根公式，然后讨论∆是否为完全平方数，难度不小，因此本题采用韦达定理来求解【答案】设方程2(6)0x a x a +-+=的两个根为1x 、2x根据题意得12126x x a x x a +=-⎧⎨⋅=⎩①②，将②代入①，整理得12126x x x x +=- ∴212267111x x x x -==-++∵1x 、2x 均为整数 ∴21x +的值为1±或7± 当211x +=时，20x =，16x =，0a = 当211x +=-时，22x =-，18x =-，16a = 当217x +=时，26x =，10x =，0a = 当217x +=-时，28x =-，12x =-，16a = 综上所述，0a =或16a =【例7】 求方程2237x y x xy y+=-+的所有正整数解． 【解析】原方程可化为关于x 的一元二次方程223(37)370x y x y y -++-=．由于x 为实数，则判别式不小于0，即[]22(37)43(37)0y y y ∆=-+-⨯-≥． 化简得227126490y y --≤，解得211439-≤211439y +≤．由于y 是正整数，则y 只能取1,2,3,4,5．分别将1,2,3,4,5y =代入原方程， 得原方程的两组正整数解为1145x y =⎧⎨=⎩，2254x y =⎧⎨=⎩．【答案】1145x y =⎧⎨=⎩，2254x y =⎧⎨=⎩【例8】 当m 是什么整数时，关于x 的一元二次方程2440mx x -+=与2244450x mx m m -+--=的根都是整数．【解析】由题意可知，方程2440mx x -+=的判别式21(4)1616(1)01m m m ∆=--=-≥⇒≤ 方程2244450x mx m m -+--=的判别式为222(4)4(445)4(45)0m m m m ∆=---=+≥故54m ≥-，又m 为整数，0m ≠，故1m =-或1m =当1m =时，题干中的两个方程分别为2440x x -+=、2450x x --=，满足题意； 当1m =-时，题干中的两个方程分别为2440x x +-=、2430x x ++=，不合题意．故1m =．也可通过方程是否有整数根的条件来判断出1m =，此时两个判别式都要是完全平方数．【答案】1m =【练一练】一直角三角形的两直角边长均为整数，且满足方程2(2)40x m x m -++=，试求m 的值及此直角三角形的三边长【解析】略【答案】由题意得，2124m m ∆=-+，∴2(2)1242m m m x +±-+=，∵该方程的根均为整数∴2124m m -+必为平方数，令22124m m n -+=（n 为正整数） 整理得22(6)32m n --=，∴(6)(6)32m n m n -+--= ∴6m n -+与6m n --同奇同偶 因此61662m n m n -+=⎧⎨--=⎩或6864m n m n -+=⎧⎨--=⎩ 解得157m n =⎧⎨=⎩或144m n =⎧⎨=⎩当157m n =⎧⎨=⎩时，方程2(2)40x m x m -++=为217600x x -+=，解得5x =或12x =∴直角三角形斜边为13当122m n =⎧⎨=⎩时，方程2(2)40x m x m -++=为214480x x -+=，解得6x =或8x =∴直角三角形斜边为10【练一练】已知a 是正整数，如果关于x 的方程32(17)(38)560x a x a x +++--=的根都是整数，求a 的值及方程的整数根．【解析】观察易知方程有一个整数根11x =，将方程的左边分解因式，得：2(1)(18)560x x a x ⎡⎤-+++=⎣⎦． 因为a 是正整数，所以关于x 的方程：2(18)560x a x +++= ……①的判别式2(18)2240a ∆=+->，它一定有两个不同的实数根．而原方程的根都是整数，所以方程①的根都是整数，因此它的判别式2(18)224a ∆=+-应该是一个完全平方数． 设22(18)224a k +-=(其中k 为非负整数)，则22(18)224a k +-=，即：(18)(18)224a k a k +++-=． 显然18a k ++与18a k +-的奇偶性相同，且1818a k ++≥，1818a k a k +++-≥． 而2241122564288=⨯=⨯=⨯，所以：18112182a k a k ++=⎧⎨+-=⎩，或1856184a k a k ++=⎧⎨+-=⎩，或1828188a k a k ++=⎧⎨+-=⎩ 解得3955a k =⎧⎨=⎩，或1226a k =⎧⎨=⎩，或010a k =⎧⎨=⎩．而a 是正整数，所以只可能3955a k =⎧⎨=⎩，或1226a k =⎧⎨=⎩．当39a =时，方程①即257560x x ++=，它的两根分别为1-和56-．此时原方程的三个根为1，1-和56-．当12a =时，方程①即230560x x ++=，它的两根分别为2-和28-．此时原方程的三个根为1，2-和28-．【答案】当39a =时，原方程的三个根为1，1-和56-；当12a =时，原方程的三个根为1，2-和28-【例9】 若关于x 的方程()()()26911715540k k x k x ----+=的解都是整数，则符合条件的整数k 的值有_______个．【解析】当6k =时，得2x =；当9k =时，得3x =-，当9k ≠时，解得196x k =-，269x k =-，当6139k -=±±±，，时，1x 是整数，这时753153k =-，，，，；当91236k -=±±±±，，，时，2x 是整数这时10811712153k =，，，，，，综上所述，367915k =，，，，时原方程的解为整数．【答案】367915k =，，，，【练一练】若k 为正整数，且关于k 的方程22(1)6(31)720k x k x ---+=有两个相异正整数根，求k 值．【解析】原方程变形、因式分解为2(1)(1)6(31)720k k x k x +---+=，[(1)12][(1)6]0k x k x +---=．即1121x k =+，261x k =-．由121k +为正整数得1,2,3,5,11k =；由61k -为正整数得2,3,4,7k =．所以2,3k =使得1x ，2x 同时为正整数，但当3k =时，123x x ==，与题目不符，所以，只有2k = 为所求．【答案】2k =【例10】 当m 为何整数时，方程222525x mx m -+=有整数解． 【解析】解法1：将方程222525x mx m -+=左边因式分解可得 (2)(2)5x m x m --=故2521x m x m -=⎧⎨-=⎩，或2125x m x m -=⎧⎨-=⎩，或2521x m x m -=-⎧⎨-=-⎩，或2125x m x m -=-⎧⎨-=-⎩解得31x m =⎧⎨=⎩，13x m =-⎧⎨=-⎩，31x m =-⎧⎨=-⎩，13x m =⎧⎨=⎩解法2：将方程222525x mx m -+=整理成标准形式：2225250x mx m -+-=由原方程有整数解，首先必须满足222(5)42(25)940m m m ∆=-⨯⨯-=+为一个完全平方数， 不妨设2(0)n n ∆=>，则有22940(3)(3)40m n n m n m +=⇒-+=，又3n m -、3n m +的奇偶性相同，故它们必然同为偶数，则有32320n m n m -=⎧⎨+=⎩，32032n m n m -=⎧⎨+=⎩，32320n m n m -=-⎧⎨+=-⎩，32032n m n m -=-⎧⎨+=-⎩， 34310n m n m -=⎧⎨+=⎩，31034n m n m -=⎧⎨+=⎩，31034n m n m -=-⎧⎨+=-⎩，34310n m n m -=-⎧⎨+=-⎩解得311m n =⎧⎨=⎩，311m n =-⎧⎨=⎩，17m n =⎧⎨=⎩，17m n =-⎧⎨=⎩代入552222m m n±∆±=⨯⨯中检验可知，均满足题意，故1m =±或3m =±． 注意，题中要求有整数解即可，没要求所有的根都是整数，要注意区分这一点．点评：解法2看似复杂，但却是一元二次方程的整数根问题的通用解法，“希望杯”等考试中也常考到这种方法，值得引起注意．解法1看似简单，但使用起来有较多的局限性，如果无法进行因式分解，或者所分解的整数的因数过多，使用起来将很复杂．【答案】1m =±或3m =±【练一练】（2009密云）关于x 的方程22(3)(2)0ax a x a +-+-=至少有一个整数解，且a 是整数，求a 的值.【解析】当a=0时，原方程为620x --=,解得13x =-，即原方程无整数解.当0a ≠时，方程为一元二次方程，它至少有一个整数根， 说明判别式24(3)4(2)4(94)a a a a ∆=---=-为完全平方数，从而94a -为完全平方数，设294a n -=，则n 为正奇数，且3n ≠否则（0a =），所以，294n a -=.由求根公式得 22(3)234(3)1129a n n n x a a n --±±±==-+=-+- 所以 12441,1.33x x n n=-+=-++-要使1x 为整数，而n 为正奇数，只能1n =，从而2a =;要使2x 为整数,n 可取1，5，7，从而2,4,10.a =-- 综上所述，a 的值为2,4,10.--【练一练】（2013东城区）已知关于x 的一元二次方程x 2＋(m ＋3)x ＋m ＋1＝0．（1）求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （2）当m 为何整数时，原方程的根也是整数．【解析】(1)证明： Δ=23)4(1)m m +-+（ =26944m m m ++-- =225m m ++ =2(1)4m ++．∵ 2(1)m +≥0， ∴ 2(1)4m ++＞0．∴ 无论m 取何实数时，原方程总有两个不相等的实数根. （2） 解关于x 的一元二次方程x 2＋(m ＋3)x ＋m ＋1＝0，得 23(1)42m m x --±++=.要使原方程的根是整数，必须使得2(1)4m ++是完全平方数.设22(1)4m a ++=，则(1)(1)4a m a m ++--=. ∵ a +1m +和1a m --的奇偶性相同， 可得12,1 2.a m a m ++=⎧⎨--=⎩或12,1 2.a m a m ++=-⎧⎨--=-⎩解得2,1.a m =⎧⎨=-⎩或2,1.a m =-⎧⎨=-⎩.将m=－1代入23(1)42m m x --±++=，得122,0x x =-=符合题意. ∴ 当m=－1 时 ，原方程的根是整数.二.一元二次方程的应用1.增长率问题【例11】某校去年对实验器材的投资为2万元，预计今明两年的投资总额为12万元，求该校这两年在实验器材投资上的平均增长率是多少？【解析】注意“累计”等名词【答案】设平均增长率为x ，根据题意得22(1)2(1)12x x +++=整理得2340x x +-=，解这个方程得：11x =，24x =-（舍） 答：该校这两年在实验器材投资上的平均增长率是100%【练一练】某公司成立3年以来，积极向国家上交利税，由第一年的200万元增加到800万元，则平均每年增长的百分数是【解析】略【答案】设平均每年增长的百分数是x根据题意得：2200(1)800x += 解得1x =或3x =-（舍）∴平均每年的增长的百分数是100%【练一练】北京市政府为了迎接2008年奥运会，决定改善城市面貌，绿化环境，计划经过两年时间，绿地面积增加44%，则这两年平均每年绿地面积的增长率是（ ）A.10%B.20%C.30%D.40%【解析】略【答案】设绿地面积的增长率是x ，原有绿地面积为a ，根据题意得2(1)(144%)a x a +=+ 解得20%x =或220%x =-（舍） 则平均增长率为20% ∴选B【例12】 某个体户以50000元资金经商，在第一年中获得一定的利润，已知这50000元资金加上第一年的利润在第二年共获利润2612.5元，而且第二年的利润率比第一年多0.5%，则第一年的利润是多少元？【解析】略【答案】设第一年的利润为x 元，根据题意得(50000)(0.5%)2612.550000xx +⋅+=解得12250x =，252500x =-（舍） 答：第一年的利润为2250元【练一练】某商品两次价格下调后，单价从5元变成4.05元，则平均每次调价的百分率为（ ）A.9%B.10%C.11%D.12%【解析】略【答案】设平均每次调价的百分率为x ，根据题意得，25(1) 4.05x -=，解得0.1x =或 1.9x =（舍） 因此选B【练一练】某商场2002年的营业额比2001年上升10%，2003年比2002年又上升10%，而2004年和2005年连续两年比上一年降低10%，那么2005年的营业额比2001年的营业额（ ）A.降低了2%B. 没有变化C.上升了2%D.降低了1.99%【解析】注意题目要求，还有注意是比较“2005年的营业额与2001年的营业额”【答案】设2001年的营业额为a 元，则2002年的营业额为1.1a 元，2003年的营业额1.21a 元，所以2005年的营业额为21.21(110%)0.9801a a ⨯-= 因此2005年的营业额比2001年的营业额降低了0.9801100% 1.99%a aa -⨯= 所以选择D2.商品利润问题【例13】某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可以销售出20件，每件盈利40元，为扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降低多少元？【答案】解：设每件衬衫降价x 元，则每件所获得的利润为(40)x -元，但每天可多售2x 件，每天可卖(202)x +件，根据题意得(40)(202)1200x x -+=，方程化简整理得2302000x x -+=解得120x =，210x = ∵要尽快减少库存，∴20x =答：若商场每天要盈利1200元，每件应降价20元【练一练】吉安国光商场在销售中发现：某品牌衬衫平均每天可售出60件，每件赢利40元．为了迎接“十•一”黄金周，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加赢利，减少库存．经市场调查发现：如果每件衬衫降价1元，那么平均每天就可多售出6件．要想平均每天销售这种衬衫赢利3600元，那么每件衬衫应降价多少元？【解析】本题可设每件衬衫应降价x 元，则每件赢利(40)x -元，平均每天可售出(606)x +件，根据每件的盈利×销售的件数=衬衫的盈利，据此即可可列出方程，求出答案．【答案】设每件衬衫应降价x 元，根据题意得(40)(606)3600x x -+=整理得2302000x x -+=解得110x =，220x = ∵要尽快减少库存 ∴20x =答：每件衬衫应降价20元【例14】商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件． （1）问商场经营该商品原来一天可获利润多少元？（2）若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品售价应为多少元？【答案】（1）若商店经营该商品不降价，则一天可获利润100(10080)2000⨯-=（元）．（2）设后来该商品每件降价x 元，依题意，得(10080)(10010)2160x x --+=整理得210160x x -+=解得12x =，28x = 当2x =时，售价为98元 当8x =时，售价为92元答：商店经营该商品一天要获利润2160元时，每件商品应售价为98元或92元【练一练】西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了促销，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元．该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？【解析】设应将每千克小型西瓜的售价降低x 元．那么每千克的利润为：(32)x --，由于这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克．所以降价x 元，则每天售出数量为：402000.1x +千克．本题的等量关系为：每千克的利润×每天售出数量-固定成本=200．【答案】设应将每千克小型西瓜的售价降低x 元．根据题意，得40(32)(200)242000.1xx --+-=原式可化为：2502530x x -+=解这个方程，得10.2x =，20.3x =答：应将每千克小型西瓜的售价降低0.2或0.3元．【例15】某商店以2400元购进某种盒装茶叶，第一个月按进价增加20%作为售价，售出50盒；第二个月每盒以低于进价5元作为售价，售完余下的茶叶，在整个买卖过程中盈利350元，求每盒茶叶的进价【解析】略【答案】设每盒进价x 元，依题意可列下列方程：24005020%5(50)350x x ⨯--=整理得21012000x x --=，解得130x =、240x =经检验130x =-、240x =都是原方程的解，但进价不能为负数，所以只取40x = 答：每盒茶叶进价为40元【练一练】某玩具厂生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且产出的产品全部售出，已知生产x 只玩具熊猫的成本为R （元），售价为每只P （元），且R 、P 与x 的关系式为50030R x =+，1702P x =-，当日产量为多少时，每日获得的利润为1750元？【解析】略【答案】根据题意得(1702)(50030)1750x x x --+=，解之，得125x =，245x =（舍），即日产量为25只时，每月获得利润为1750元【练一练】宏达汽车出租公司共有出租车120辆，每辆汽车的日租金为160元，出租业务天天供不应求，为适应市场需求，经有关部门批准，公司准备适当提高日租金，经市场调查发现，一辆汽车日租金每增加10元，每天出租的汽车相应地减少6辆。
新-34.一元二次方程整数根和公共根
个方程没有公共根．
7. 【中】（平谷区 2010）已知一元二次方程 x2 − 4x + k = 0 有两个不相等的实数根，
⑴求 k 的取值范围；
⑵如果 k 是符合条件的最大整数，且关于 x 的方程 x2 − 4x + k = 0 与 x2 − mx −1 = 0 有一
个相同的根，求此时 m 的值．
【答案】⑴ k < 4 ．
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6. 【中】（河南省中考题已知 a > 2 ,b > 2 ，试判断关于 x 的方程 x2 − (a + b)x + ab = 0 与
x2 − abx + (a + b) = 0 有没有公共根，请说明理由．
【答案】设两方程公共根为 m ，则有
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整理，得 m(3m + 2b) = 0 .
∵m ≠ 0，
∴ 3m + 2b = 0 .
解得 m = − 2b . 3
把
m
=
−
2b 3
代入方程③得
−
2 3
b
2
+
2b
−
2 3
b
+
c
=
0
.
∴ − 8b2 + c = 0 ，即 8b2 = 9c . 9
m2 − (a + b)m + ab = 0 m2 − abm + (a + b) = 0
① ．②－①得， (m +1)(a + b − ab) = 0
一元二次方程的根课件
一元二次方程的一般形式
一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b和c是实数，a ≠ 0。
一元二次方程的解的判别式
判别式的计算
一元二次方程的判别式Δ = b^2 - 4ac。
判别式的含义
当Δ > 0时，方程有两个不相等的实根；当Δ = 0时， 方程有两个相等的实根；当Δ < 0时，方程没有实根。
一元二次方程的根
一元二次方程是一种常见的数学方程，它可以用来解决各种实际问题。在本 课件中，我们将探讨一元二次方程的定义、一般形式以及求解的方法。
一元二次方程的定义
1 方程的形式
一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程。
3 二次项
方程中的ax^2称为二次项。
2 系数的含义
a、b和c是实数，其中a ≠ 0。
求一元二次方程的解的公式
求根公式
对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，其实根和虚根 的公式为：x = (-b ± √Δ) / (2a)。
实根和虚根
当Δ > 0时，方程有两个不相等的实根；当Δ = 0时， 方程有两个相等的实根；当Δ < 0时，方程没有实根。
一元二次方程解的特点分析
1
求解方法
通过求解一元二次方程的公 式和判别式，我们可以得到 方程的解。
实际应用
一元二次方程可以应用于各 种实际问题，例如物理、经 济和工程等领域。
实根的性质
实根的数值可以是整数、小数或分数。
2
解的个数
方程的解的个数取决于判别式Δ的值。
3
抛物线的开口方向
Hale Waihona Puke 方程的二次项系数a决定了抛物线的开口方向。
奥数新讲义-一元二次方程-整数根公共根4学
第三讲一元二次方程4：整数根、公共根一、基础知识1.一元二次方程的根为有理数对于有理系数的一元二次方程ax2+bx + c = o（«^0）,在△=夕_4心二0时，方程有实根，且：方程有有理根匸二△ = /一仏为完全平方数（有理数平方）2.一元二次方程的根为整数（1）对于整系数的一元二次方程+ ° = °（dH（））,如果有整数根，则必须满足以下两个条件：△ =，-4心为完全平方数（自然数平方）；"土一4皿是加的整数倍;（2）在首项系数为1的整系数方程x2 + px + e/ = O （p、q为整数）的判别式△==，-4必为一个完全平方数，则方程的根为整数，反之，亦成立；（3）对于整系数的一元二次方程川+加+ “。
《工°）,若“ b是偶数，c是奇数，则该方程无整数根；⑷ 整系数的一元二次方程局+加+2° （心0）,若a、匕c都是奇数，且△ = /异一心。
＞0, 则方程+hx + © = °⑺工°）无整数根.3.一元二次方程公共根：二次方程的公共根问题的一般解法：设公共根，代入原方程（两个或以上），然后通过恒等变形求出参数的值和公共根.二、整数根问题例1已知方程»-4（加-l）x + 3〃『-2〃? + 4k= 0对任意有理数m都有有理根，求k的值.1.整数根讨论：利用判别式例2不解方程，判定下列各方程的实数根是否是整数根：① / +3.K-18 = 0；② F +8x-59 = 0；（3）2x2 +4x-5 = 0；④ 3/ + 23x-87 = 0例3已知45加＜20,当m为何值时，方程x2 -2(2/n-3)x + 4m2 - 14/H + 8 = 0有两个整数根?例4整数a取何值时，方程%2 - (" - 6)x + " = 0有两个整数根?例5设a n为整数，证明方程疋+ 10〃沈-5允+ 3 =()没有整数根;例6当m为什么整数时,关于x的一元二次方程〃用一4兀+ 4 = 0与十一4mx + 4m2一4也一5 = 0的根都是整数？2.整数根讨论：利用求根公式例7若直角三角形的两条直角边都是整数，且是方程"用—2x-加+ 1 = 0的根，m为整数，这样的三角形是否存在？若存在，求出满足条件的所有三角形的三边长，若不存在，请说明理由.例8设关于x的二次方程伙2一6«+8)疋+(2疋-6k-4)x + I= 4的两根都是整数，求满足条件的所有实数k的值.3.整数根讨论：利用韦达定理例9求所有正实数m使得方程疋一似+ 4" = 0仅有整数根;例10当m为什么整数时，关于x的方程.V2+(/»-!)%+ /» + ! = 0的两根都是整数?例11求满足如下条件的所有k值，使关于x的方程2+伙+小+比-1 = 0的根都是整数;例12试确定所有的有理数“使得关于x的方程/-x2+(r + 2)x + 3r-2 = 0有且只有整数根;4.整数根讨论：变换主元例13试求所有这样的正整数/使方程心2+2“(2a-l)x + 4(a-3) = 0至少有一个整数根.例14设方程+俶+ 1_7/ = 0的两根都是整数，求所有正数a；5.整数根讨论：综合运用例15求所有的正整数a、b、c,使得关于x的方程疋_3心+ ” = 0 ； F —3bx + 2c = 0； x2-3cx + 2ci =0的所有根都是正整数•例16若方程疋-〃皿+川+和=0有整数根，且a n为自然数，则m、n可以分别为多少?三、公共根问题【例1】求£的值，使得一元二次方程F+也-1 = 0, F+x +伙-2) = 0有相同的根■并求两个方程的根•【例2】设a.b.c为A4BC的三边，且二次三项式疋+2心+，与十+2小-，有一次公因式，证明: AABC—定是直角三角形.【例3】三个二次方程cix2 +bx + c = O 9 bx2 +cx + a = O 9 ex2 + or + b = 0有公共根.(1)求证：a + b + c = Q；⑵求—的值.abc【例4】试求满足方程/ _总_ 7 = 0与疋- 6x -伙+1) = 0有公共根的所有的k值及所有公共根和所有相异根.【例5】二次项系数不相等的两个二次方程(a-\)x2-(a2+2)x + (a2+2“) = 0和(―(“2)Z")訓其和，方为正整数)有-个公共根，求得的值.练习题1.b、C是整数，如果一元二次方程x2-2bx-c = 0有整数根，那么，必有()A. b = c = 0B. b2 +c = 0c.戸+c是整数的平方 D. b2+c是偶数的平方2.若・0+〃技_6 = 0的两根都是整数，则m可以取值的个数是()A. 2B. 4C. 6D.以上都不对3.设二次方程疋+2风+ 2§ = 0有实根，其中a q都是奇数，那么它的根一定是()A.奇数B.偶数C.分数D.无理数4己知关于x的一元二次方程x2 + p.x + q = 0有两个不相等的整数根，p、q是自然数，且是质数，这个方程的根为_______ :5.方程x2 + px + q = O的两根都是正整数，且p+ @ = 1992,则方程较大根与较小根的比等于_________ ；6.已知p为质数，且方程x2 + /7X-444p = 0有两个整数根，则戸= ________ ；7.已知方程(/一1庆一2(5o + l)x + 24 = 0有两个不等的负整数根，则a的值是多少？&方程(x_a)(x_8)_l= 0有两个整数根，求a的值;9.若关于工的方程(67)(9 7)川-(117-15灯“54 = 0的解都是整数，则符合条件的整数k的值有个.10.已知关于x的方程(°-1)，+2—1 = 0的根都是整数，那么符合条件的整数d有_________ 个.11.当加为整数时，关于兀的方程⑵〃-1)/-(加+ 1)乂 + 1 = 0是否有有理根？如果有，求出加的值；如果没有，请说明理由.。
一元二次方程整数根问题公开课PPT课件
一元二次方程整数根问题的解决方法 1、求根法 2、判别式法 3、韦达定理法
还有：主元法，奇偶分析法等
谢谢！再见！
2. 边长为整数的直角三角形，若其两直角边是方程 x2 (k 2)x 4k 0 的两根，求k的值，并确定直角 三角形的三边之长. 3. 若k为整数，使得关于x的方程 kx2 (2k 3)x 3 0 有有理根，则称k为“好数”，试求“好数” k的值.
4.试求实数 k ，使得关于x的方程 (k 2 1)x2 6(3k 1)x 72 0 的两根都是正整数.
x1
2m m
3
2
3 m
，x2
1
∵解都是整数， ∴ x1 2 m3 是整数
∴整数m=1，-1，3，-3.
2、判别式法
练一练：已知关于 x的方程 x2 2x 2k 4 0
有两个不相等的整数根，求正整数k的值. 归纳一下步骤：
例2．已知方程 x2 mx m 1 0
ax2 bx c 0 (a 0)
一元二次方程的根与判别式的情况
△= b2-4ac > 0
一元二次方程有两个不相等的实数根
△= b2-4ac = 0
一元二次方程有两个相等的实数根
△= b2-4ac < 0
一元二次方程没有实数根
△= c ≥0
一元二次方程有两个实数根
韦达定理 设x₁、x₂是方程的两个实数根
3、韦达定理法
例3.试确定一切有理数r，使得关于x的方程 rx 2 (r 2)x r 1 0 有根且只有整数根 . 归纳一下步骤：
①由韦达定理列式 ②消去参数 ③左边分解因式， 右边分解因数 ④列出方程组 （列表）求解
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第三讲 一元二次方程4：整数根、公共根
一、 基础知识
1．一元二次方程的根为有理数
对于有理系数的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，在240b ac ∆=-≥时，方程有实根，且：
方程有有理根−−→←−−
24b ac ∆=-为完全平方数（有理数平方） 2．一元二次方程的根为整数
（1）对于整系数的一元二次方程20(0)
ax bx c a ++=≠，如果有整数根，则必须满足以下两个条件：24b ac ∆=-为完全平方数（自然数平方）；24b b ac -±-是2a 的整数倍；
（2）在首项系数为1的整系数方程20x px q ++=（p 、q 为整数）的判别式24b ac ∆=-为一个完
全平方数，则方程的根为整数，反之，亦成立；
（3）对于整系数的一元二次方程
20(0)ax bx c a ++=≠，若a 、b 是偶数，c 是奇数，则该方程无整数根；
（4）整系数的一元二次方程
20(0)ax bx c a ++=≠，若a 、b 、c 都是奇数，且240b ac ∆=->，则方程20(0)ax bx c a ++=≠无整数根.
3. 一元二次方程公共根：
二次方程的公共根问题的一般解法：设公共根，代入原方程(两个或以上)，然后通过恒等变形求出参数的值和公共根．
二、 整数根问题
例1已知方程22
4(1)3240x m x m m k --+-+=对任意有理数m 都有有理根，求k 的值.
1．整数根讨论：利用判别式
例2不解方程，判定下列各方程的实数根是否是整数根：
○123180x x +-=；○228590x x +-=；○322450x x +-=；○42323870x x +-=
例3已知420m ≤<，当m 为何值时，方程22
2(23)41480x m x m m --+-+=有两个整数根？
例4整数a 取何值时，方程2(6)0x a x a --+=有两个整数根？
例5设m 、n 为整数，证明方程210530x mx n +-+=没有整数根；
例6当m 为什么整数时，关于x 的一元二次方程2440mx x -+=与2244450x mx m m -+--=的根都是整数？
2．整数根讨论：利用求根公式
例7 若直角三角形的两条直角边都是整数，且是方程2210mx x m --+=的根，m 为整数，这样的三角形是否存在？若存在，求出满足条件的所有三角形的三边长，若不存在，请说明理由.
例8 设关于x 的二次方程2222
(68)(264)4k k x k k x k -++--+=的两根都是整数，求满足条件的所有实数k 的值.
3．整数根讨论：利用韦达定理
例9 求所有正实数a ，使得方程240x ax a -+=仅有整数根；
例10 当m 为什么整数时，关于x 的方程2(1)10x m x m +-++=的两根都是整数？
例11 求满足如下条件的所有k 值，使关于x 的方程2(1)10kx k x k +++-=的根都是整数；
例12 试确定所有的有理数r ，使得关于x 的方程2(2)320rx r x r +++-=有且只有整数根；
4．整数根讨论：变换主元
例13试求所有这样的正整数a ，使方程2
2(21)4(3)0ax a a x a +-+-=至少有一个整数根.
例14设方程222170a x ax a ++-=的两根都是整数，求所有正数a ；
5．整数根讨论：综合运用
例15 求所有的正整数a 、b 、c ，使得关于x 的方程2320x ax b -+=；2320x bx c -+=；2320x cx a -+=的所有根都是正整数.
例16 若方程20x mnx m n -++=有整数根，且m 、n 为自然数，则m 、n 可以分别为多少？
三、公共根问题
【例1】 求k 的值，使得一元二次方程210x kx +-=，2(2)0x x k ++-=有相同的根，并求两个方程的根．
【例2】 设,,a b c 为ABC ∆的三边，且二次三项式222x ax b ++与222x cx b +-有一次公因式，证明：
ABC ∆一定是直角三角形．
【例3】 三个二次方程20ax bx c ++=，20bx cx a ++=，20cx ax b ++=有公共根．
⑴ 求证：0a b c ++=；
⑵ 求333
a b c abc
++的值．
【例4】 试求满足方程270x kx --=与26(1)0x x k --+=有公共根的所有的k 值及所有公共根和所有相
异根．
【例5】 二次项系数不相等的两个二次方程222(1)(2)(2)0a x a x a a --+++=和
222
(1)(2)(2)0b x b x b b --+++=(其中a ，b 为正整数)有一个公共根，求b a
b a a b a b --++的值．
练习题
1． b 、c 是整数，如果一元二次方程220x bx c --=有整数根，那么，必有（ ）
A ．0b c ==
B ．20b c +=
C ．2b c +是整数的平方
D ．2b c +是偶数的平方
2．若260x mx +-=的两根都是整数，则m 可以取值的个数是（ ）
3．设二次方程2220x px q ++=有实根，其中p 、q 都是奇数，那么它的根一定是（ ）
A ．奇数
B ．偶数
C ．分数
D ．无理数 4已知关于x 的一元二次方程20x px q ++=有两个不相等的整数根，p 、q 是自然数，且是质数，这个方
程的根为_______；
5．方程2
0x px q ++=的两根都是正整数，且1992p q +=，则方程较大根与较小根的比等于_________；
6．已知p 为质数，且方程24440x px p +-=有两个整数根，则p ＝________；
7．已知方程22(1)2(51)240a x a x --++=有两个不等的负整数根，则a 的值是多少？
8．方程()(8)10x a x ---=有两个整数根，求a 的值；
9. 若关于x 的方程()()()26911715540k k x k x ----+=的解都是整数，则符合条件的整数k 的值有_______个．
10. 已知关于x 的方程()21210a x x a -+--=的根都是整数，那么符合条件的整数a 有______个．
11. 当m 为整数时，关于x 的方程()()2212110m x m x --++=是否有有理根？如果有，求出m 的值；如果没有，请说明理由．。