第二章一元二次方程培优奥赛讲义

九上第二章一元二次方程培优讲义一．填空题（共15小题）

1．已知a是方程x2﹣2013x+1=0一个根，求a2﹣2012a+的值为．2．附加题：已知m，n都是方程x2+2007x﹣2009=0的根，则（m2+2007m﹣2008）（n2+2007n﹣2010）的值为．

3．若m为实数，方程x2﹣3x+m=0的一个根的相反数是方程x2+3x﹣3=0的一个根，则x2﹣3x+m=0的根是．

4．已知x=﹣1是方程ax2+bx+c=0根，那么的值是．

5．已知a，b是等腰三角形ABC的两边长，且a、b满足a2+b2+29=10a+4b，则这个等腰三角形的周长为．

6．若实数a、b、c满足a2+b2+c2+4≤ab+3b+2c，则200a+9b+c=．

7．已知关于x的方程x2+（a﹣6）x+a=0的两根都是整数，则a的值等于．8．若方程x2﹣4|x|+5=m有4个互不相等的实数根，则m应满足．9．已知：a2+b2=1，a+b=，且b＜0，那么a：b=．

10．方程（x2+3x﹣4）2+（2x2﹣7x+6）2=（3x2﹣4x+2）2的解是．11．对于一切正整数n，关于x的一元二次方程x2﹣（n+3）x﹣3n2=0的两个根记为a n、b n，则++…+=．12．已知关于x的方程x2+2kx+k2+k+3=0的两根分别是x1、x2，则（x1﹣1）2+（x2﹣1）2的最小值是．

13．α，β为关于x的一元二次方程x2﹣x+2=0的两个根，则代数式2α2+β2+β﹣3的值为．

14．中新网4月26日电，据法新社26日最新消息，墨西哥卫生部长称，可能已有81人死于猪流感（又称甲型H1N1流感）．若有一人患某种流感，经过两轮传染后共有81人患流感，则每轮传染中平均一人传染了人，若不加以控制，以这样的速度传播下去，经三轮传播，将有人被感染．

15．一个两位数，个位数字比十位数字的平方大3，而这个两位数字等于其数字之和的3倍，如果这个两位数的十位数字为x，则方程可列为．

二．解答题（共18小题）

16．已知：关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+3m+2=0．

（1）已知x=2是方程的一个根，求m的值；

（2）以这个方程的两个实数根作为△ABC中AB、AC（AB＜AC）的边长，当BC=时，△ABC是等腰三角形，求此时m的值．

17．已知3是关于x的方程x2﹣（m+1）x+2m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为多少？18．完成下列问题：

（1）若n（n≠0）是关于x的方程x2+mx﹣2n=0的根，求m+n的值；

（2）已知x，y为实数，且y=2+3﹣2．求2x﹣3y的值．

19．若方程x2﹣6x﹣k﹣1=0与x2﹣kx﹣7=0仅有一个公共的实数根，试求k的值和相同的根．

20．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．

解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0

∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，∴n=4，m=4．

根据你的观察，探究下面的问题：

（1）已知a2+6ab+10b2+2b+1=0，求a﹣b的值；

（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2﹣4a﹣6b+11=0，求△ABC的周长；

（3）已知x+y=2，xy﹣z2﹣4z=5，求xyz的值．

21．已知关于x的方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；

（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2﹣4x+k=0与x2+mx﹣1=0有一个相同的根，求此时m的值．

22．关于x的一元二次方程kx2﹣（2k﹣2）x+（k﹣2）=0（k≠0）．

（1）求证：无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；

（2）要使得方程的两个实数根都是整数，求k可能取值．

23．阅读下面例题的解题过程，体会、理解其方法，并借鉴该例题的解法解方程．例：解方程：x2﹣|x|﹣2=0

解：当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2=0．解得：x1=2，x2=﹣1

∵x≥0，故x=﹣1舍去，∴x=2是原方程的解；

当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2=0．解得：x1=﹣2，x2=1

∵x＜0，故x=1舍去，∴x=﹣2是原方程的解；

综上所述，原方程的解为x1=2，x1=﹣2．

解方程x2+2|x+2|﹣4=0．

24．阅读材料并解决下列问题：

因为x2+5x+6=x2+（3+2）x+3×2，所以x2+5x+6=（x+3）（x+2），所以方程x2+5x+6=0用因式分解法解得：x1=﹣2，x2=﹣3．又如x2﹣5x+6=（x﹣2）（x﹣3），所以方程x2﹣5x+6=0用因式分解法解得x1=2，x2=3．

一般地，因为x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）

，所以x2+（a+b）x+ab=0，即（x+a）（x+b）=0的解为x1=﹣a，x2=﹣b．

请依照上述方法，用因式分解法解下列方程：

（1）x2+8x+7=0

（2）x2﹣11x+28=0．

25．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣2）x+k2=0有两个实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围；

（2）若方程的两实数根x1、x2满足|x1+x2|=x1x2﹣1，求k的值

26．某旅游景点的年游客量y（万人）是门票价格x（元）的一次函数，其函数图象如图．

（1）求y关于x的函数解析式；

（2）经过景点工作人员统计发现：每卖出一张门票所需成本为20元．那么要想获得年利润11500万元，且门票价格不得高于230元，该年的门票价格应该定为多少元？

27．某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元．

（1）连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同，求每次下降的百