一元二次方程综合培优
(完整版)一元二次方程综合培优(难度大-含参考答案)
一元二次方程拓展提高题1、已知0200052=--x x，则()()211223-+---x x x 的值是 . 2、已知0120042=+-a a ，则_________120044007222=++-a a a . 3、若1≠ab ，且07200552=++a a ，05200572=++b b ，则_________=b a.4、已知方程043222=-+-a ax x 没有实数根，则代数式_____21682=-++-a a a .5、已知x x y -+=62，则y 的最大值为 .6、已知0=++c b a ，2=abc ，0φc ，则（ ）A 、0πabB 、2-≤+b aC 、3-≤+b aD 、4-≤+b a 7、已知8=-b a ，0162=++c ab ，则________=++c b a . 8、已知012=-+m m ，则________2006223=-+m m . 9、已知4=-b a ，042=++c ab ，则________=+b a .10、若方程02=-+q px x 的二根为1x ，2x ，且11φx ，03φ++q p ，则2x ( ) A 、小于1 B 、等于1 C 、大于1 D 、不能确定11、已知α是方程0412=-+x x 的一个根，则ααα--331的值为 .12、若132=-x x ，则=+--+200872129234x x x x （ ）A 、2011B 、2010C 、2009D 、2008 13、方程22323=--+x x 的解为 . 14、已知06222=+-y x x ，则x y x 222++的最大值是（ ）A 、14B 、15C 、16D 、18 15、方程m x x =+-2||22恰有3个实根，则=m （ ）A 、1B 、1.5C 、2D 、2.5 16、方程9733322=-+-+x x x x 的全体实数根之积为（ ）A 、60B 、60-C 、10D 、10-17、关于x 的一元二次方程0522=--a x x （a 为常数）的两根之比3:2:21=x x ，则=-12x x （ ）A 、1B 、2C 、21 D 、23 18、已知是α、β方程012=-+x x 的两个实根，则_______34=-βα. 19、若关于x 的方程xax x x x x a 1122++-=-只有一解，求a 的值。
一元二次方程培优提高题解析
一元二次方程培优提高题解析一、利用判别式判断方程根的情况1. 已知关于x的一元二次方程(m - 1)x^2+2x - 1=0有两个不相等的实数根，求m 的取值范围。
解析：对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)，判别式Δ=b^2-4ac。
在方程(m - 1)x^2+2x - 1=0中，a = m- 1，b=2，c=-1。
因为方程有两个不相等的实数根，所以Δ>0且a≠0。
首先计算Δ = 2^2-4(m - 1)×(-1)>0，4 + 4(m - 1)>0，4+4m-4>0，4m>0，解得m>0。
又因为a=m - 1≠0，即m≠1。
所以m的取值范围是m>0且m≠1。
2. 若关于x的一元二次方程kx^2-2x + 1 = 0没有实数根，求k的取值范围。
解析：对于方程kx^2-2x + 1=0，其中a = k，b=-2，c = 1。
因为方程没有实数根，所以Δ=b^2-4ac<0。
Δ=(-2)^2-4k×1<0，4 - 4k<0，-4k<-4，解得k > 1。
又因为方程是一元二次方程，所以k≠0。
综上，k的取值范围是k>1。
二、一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）1. 已知方程x^2-3x - 4 = 0的两根为x_1，x_2，求x_1^2+x_2^2的值。
解析：对于一元二次方程ax^2+bx + c=0(a≠0)，若两根为x_1，x_2，则x_1+x_2=-(b)/(a)，x_1x_2=(c)/(a)。
在方程x^2-3x - 4 = 0中，a = 1，b=-3，c=-4。
所以x_1+x_2=-(-3)/(1)=3，x_1x_2=(-4)/(1)=-4。
x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=3^2-2×(-4)=9 + 8=17。
2. 已知关于x的方程x^2+kx + k - 1=0的两根为x_1，x_2，且x_1^2+x_2^2=5，求k的值。
一元二次方程专题能力培优含答案
一元二次方程专题能力培优(含答案)第2章 一元二次方程 2.1 一元二次方程专题一 利用一元二次方程的定义确定字母的取值 1.已知2(3)21m xm x -++=是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（ ）A.m ≠3B.m ≥3C.m ≥-2D. m ≥-2且m ≠32. 已知关于x 的方程21(1)(2)10m m x m x +++--=，问：（1）m 取何值时，它是一元二次方程并写出这个方程；（2）m 取何值时，它是一元一次方程？专题二 利用一元二次方程的项的概念求字母的取值3.关于x 的一元二次方程（m-1）x 2+5x+m 2-1=0的常数项为0，求m 的值．4.若一元二次方程2(24)(36)80a xa x a -+++-=没有一次项，则a 的值为 .专题三 利用一元二次方程的解的概念求字母、代数式5.已知关于x 的方程x 2+bx+a=0的一个根是-a （a≠0），则a-b 值为（ ） A.－1 B.0 C.1D.26.若一元二次方程ax 2+bx+c=0中，a －b+c=0，则此方程必有一个根为 .7.已知实数a 是一元二次方程x 2－2013x+1=0的解，求代数式22120122013a a a +--的值.知识要点：1.只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次），等号两边都是整式的方程，叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式是ax 2+bx+c=0（a ≠0），其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项. 3.使一元二次方程的两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，又叫一元二次方程的根.温馨提示：1.一元二次方程概念中一定要注意二次项系数不为0的条件.2.一元二次方程的根是两个而不再是一个.方法技巧：1.ax k+bx+c=0是一元一次方程的情况有两种，需要分类讨论.2.利用一元二次方程的解求字母或者代数式的值时常常用到整体思想，需要同学们认真领会. 答案：1. D 解析：3020m m -≠⎧⎨+≥⎩，解得m ≥-2且m ≠3 2.解：（1）当212,10m m ⎧+=⎨+≠⎩时，它是一元二次方程.解得：m=1．当m=1时，原方程可化为2x 2-x-1=0； （2）当20,10m m -≠⎧⎨+=⎩或者当m+1+（m-2）≠0且m 2+1=1时，它是一元一次方程.解得：m=-1，m=0.故当m=-1或0时，为一元一次方程． 3.解：由题意，得：210,10.m m ⎧-=⎨-≠⎩ 解得：m=－1．4.a=-2 解析：由题意得360,240.a a +=⎧⎨-≠⎩解得a=－2. 5. A 解析：∵关于x 的方程x 2+bx+a=0的一个根是-a （a≠0），∴a 2－ab+a=0.∴a （a －b+1）=0.∵a≠0，∴1-b+a=0.∴a-b=-1．6.x=－1 解析：比较两个式子会发现：（1）等号右边相同；（2）等号左边最后一项相同；（3）第一个式子x 2对应了第二个式子中的1，第一个式子中的x 对应了第二个式子中的-1.故211x x ⎧=⎨=-⎩.解得x=－1.7. 解：∵实数a 是一元二次方程x 2－2013x+1=0的解，∴a 2－2013a+1=0. ∴a 2+1=2013a ，a 2－2013a=－1. ∴2.2 一元二次方程的解法专题一利用配方法求字母的取值或者求代数式的极值1. 若方程25x2-（k-1）x+1=0的左边可以写成一个完全平方式；则k的值为（）A．-9或11 B．-7或8 C．-8或9 C．-8或92.如果代数式x2+6x+m2是一个完全平方式，则m= .3.用配方法证明：无论x为何实数，代数式－2x2+4x－5的值恒小于零．专题二利用△判定一元二次方程根的情况或者判定字母的取值范围4.已知a，b，c分别是三角形的三边，则方程（a+b）x2+2cx+（a+b）=0的根的情况是（）A.没有实数根B.可能有且只有一个实数根C.有两个相等的实数根D.有两个不相等的实数根5.关于x的方程kx2+3x+2=0有实数根，则k的取值范围是（）6.定义：如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）满足a＋b＋c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax2＋bx＋c＝0（a≠0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（）A．a＝c B．a＝b C．b＝c D．a＝b＝c 专题三解绝对值方程和高次方程7.若方程（x2+y2-5）2=64，则x2+y2= .8.阅读题例，解答下题：例：解方程x2－|x－1|－1=0.解：（1）当x－1≥0，即x≥1时，x2－（x－1）－1=0，∴x2－x=0.解得：x1=0（不合题设，舍去），x2=1.（2）当x－1＜0，即x＜1时，x2+（x－1）－1=0，∴x2+x－2=0.解得x1=1（不合题设，舍去），x2=－2.综上所述，原方程的解是x=1或x=－2.依照上例解法，解方程x2+2|x+2|－4=0．专题四一元二次方程、二次三项式因式分解、不等式组之间的微妙联系9.探究下表中的奥秘，并完成填空：10.请先阅读例题的解答过程，然后再解答：代数第三册在解方程3x（x+2）=5（x+2）时，先将方程变形为3x（x+2）-5（x+2）=0，这个方程左边可以分解成两个一次因式的积，所以方程变形为（x+2）（3x-5）=0．我们知 道，如果两个因式的积等于0，那么这两个因式中至少有一个等于0；反过来，如果两个 因式有一个等于0，它们的积等于0．因此，解方程（x+2）（3x-5）=0，就相当于解方程 x+2=0或3x-5=0，得到原方程的解为x 1=-2，x 2= 53． 根据上面解一元二次方程的过程，王力推测：a﹒b ＞0，则有 0,0a b >⎧⎨>⎩或者0,0.a b <⎧⎨<⎩请判断王 力的推测是否正确？若正确，请你求出不等式51023x x ->-的解集，如果不正确，请说明理由．专题五 利用根与系数的关系求字母的取值范围及求代数式的值11. 设x 1、x 2是一元二次方程x 2+4x －3=0的两个根，2x 1（x 22+5x 2﹣3）+a =2，则a = ． 12.（2012·怀化）已知x 1、x 2是一元二次方程()0262=++-a ax x a 的两个实数根，⑴是否存在实数a ，使－x 1＋x 1x 2=4＋x 2成立？若存在，求出a 的值；若不存在，请你说明理由；⑵求使（x 1＋1）（x 2＋1）为负整数的实数a 的整数值．13.(1)教材中我们学习了：若关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0的两根为x 1、x 2,x 1+x 2=－b a,x 1·x 2=ca .根据这一性质，我们可以求出已知方程关于x 1、x 2的代数式的值．例如：已知x 1、x 2为方程x 2-2x-1=0的两根，则：（1）x 1+x 2=____，x 1·x 2=____，那么x 12+x 22=( x 1+x 2)2-2 x 1·x 2=__ __． 请你完成以上的填空．．．．．．．．．． （2）阅读材料：已知2210,10m m n n --=+-=，且1mn ≠．求1mn n +的值． 解：由210n n +-=可知0n ≠．∴21110n n+-=．∴21110nn --=.又210,mm --=且1mn ≠，即1m n ≠．∴1,m n是方程210xx --=的两根．∴11m n +=．∴1mn n+=1． （3）根据阅读材料所提供的的方法及（1）的方法完成下题的解答．已知222310,320m m n n --=+-=，且1mn ≠．求221mn +的值．知识要点：1.解一元二次方程的基本思想——降次，解一元二次方程的常用方法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法.2.一元二次方程的根的判别式△=b-4ac 与一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根的关系： 当△>0时，一元二次方程有两个不相等的实数解；当△=0时，一元二次方程有两个相等的实数解； △<0时，一元二次方程没有实数解.3.一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根x 1、x 2与系数a 、b 、c 之间存在着如下关系： x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=. 温馨提示：1.x 2+6x+m 2是一个完全平方式，易误以为m=3. 2.若一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根x 1、x 2有双层含义：（1）ax 12+bx 1+c=0，ax22+bx2+c=0；（2）x1+x2=﹣，x1•x2=.方法技巧：1.求二次三项式ax2+bx+c极值的基本步骤：（1）将ax2+bx+c化为a（x+h）2+k；（2）当a>0，k>0时，a（x+h）2+k≥k；当a<0，k<0时，a（x+h）2+k≤k.2.若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1．x2，则ax2+bx+c=a（x﹣x1）（x﹣x2）．3.解绝对值方程的基本思路是将绝对值符号去掉，所以要讨论绝对值符号内的式子与0的大小关系.4.解高次方程的基本思想是将高次方程将次转化为关于某个式子的一元二次方程求解.5.利用根与系数求解时，常常用到整体思想.答案：1.A 解析：根据题意知，-（k-1）=±2×5×1，∴k-1=±10，即k-1=10或k-1=-10，得k=11或k=-9．2. ±3解析：据题意得，m2=9，∴m=±3．3.证明：－2x2+4x－5=－2（x2－2x）－5=－2（x2－2x+1）－5+2=－2（x －1）2－3.∵（x －1）2≥0，∴－2（x －1）2≤0，∴－2（x －1）2－3＜0.∴无论x 为何实数，代数式－2x 2+4x-5的值恒小于零．4.A 解析：△=（2c ）2﹣4（a +b ）（a +b ）=4（a +b +c ）（c ﹣a ﹣b ）.根据三角形三边关系，得c ﹣a ﹣b ＜0，a +b +c ＞0．∴△＜0．∴该方程没有实数根．5.A 解析：当kx 2+3x+1=0为一元一次方程方程时，必有实数根，此时k=0；当kx 2+3x+1=0为一元二次方程且有实数根时，如果有实数根，则203420k k ≠⎧⎨-⨯⨯≥⎩.解得98k ≤且k ≠0.综上所述98k ≤. 6.A 解析：∵一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个相等的实数根，∴△＝b 2－4ac ＝0，又a ＋b ＋c ＝0，即b ＝－a －c ，代入b 2－4ac ＝0得（－a －c ）2－4ac ＝0，化简得（a －c ）2＝0，所以a ＝c ．7.13 解析：由题意得x 2+y 2-5=±8.解得x 2+y 2=13或者x 2+y 2=－3（舍去）.8.解：①当x+2≥0，即x≥－2时，x 2+2（x+2）－4=0，∴x 2+2x=0.解得x 1=0，x 2=－2； ②当x+2＜0，即x ＜-2时，x 2－2（x+2）－4=0，∴x 2－2x －8=0.解得x 1=4（不合题设，舍去），x 2=－2（不合题设，舍去）．综上所述，原方程的解是x=0或x=－2．9.41 ，﹣3；41，3． 发现的一般结论为：若一元二次方程ax 2+bx +c =0的两个根为x 1．x 2，则ax 2+bx +c =a （x ﹣x 1）（x ﹣x 2）．11.8 解析：∵x 1x 2＝－3，x 22+4x 2－3=0， ∴2x 1(x 22+5x 2－3)+a =2转化为2x 1(x 22+4x 2－3+x 2)+a =2.∴2x 1x 2+a =2.∴2×(－3)+a ＝2.解得a ＝8. 12.解：（1）根据题意，得△=（2a ）2－4×a （a －6）=24a ≥0．∴a ≥0． 又∵a －6≠0，∴a ≠6．由根与系数关系得：x 1＋x 2=－62-a a ，x 1x 2=6-a a . 由－x 1＋x 1x 2=4＋x 2 得x 1＋x 2 ＋4=x 1x 2.∴－62-a a ＋4 =6-a a ，解得a =24． 经检验a =24是方程－62-a a ＋4 =6-a a 的解． （2）原式=x 1＋x 2 ＋x 1x 2 ＋1=－62-a a ＋6-a a ＋1=a-66为负整数， ∴6－a 为－1或－2，－3，－6.解得a =7或8，9，12．13.解：（1）2，－1， 6．（3）由n 2+3n-2=0可知n ≠0,∴1+3n －2n 2=0.∴2n2－3n－1=0.又2m2-3m-1=0,且mn≠1，即m≠1n ．∴m、1n是方程2x2-3x-1=0的两根．∴m+1n=32,m·1n=－12,∴m2+1n2=(m+1n)2-2m·1n=( 32)2-2·(－12)=134.2.3 一元二次方程的应用专题一、利用一元二次方程解决面积问题1.在高度为2.8m的一面墙上，准备开凿一个矩形窗户．现用9.5m长的铝合金条制成如图所示的窗框．问：窗户的宽和高各是多少时，其透光面积为3m2（铝合金条的宽度忽略不计）．2.如图：要设计一幅宽20cm，长30cm的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2：3，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？3. 数学的学习贵在举一反三，触类旁通.仔细观察图形，认真思考，解决下面的问题：（1）在长为a m，宽为b m的一块草坪上修了一条1m宽的笔直小路（如图（1）），则余下草坪的面积可表示为2m；（2）现为了增加美感，设计师把这条小路改为宽恒为1m的弯曲小路（如图（2）），则此时余下草坪的面积为2m；（3）聪明的鲁鲁结合上面的问题编写了一道应用题，你能解决吗？相信自己哦！（如图（3）），在长为50m，宽为30m的一块草坪上修了一条宽为xm的笔直小路和一条长恒为xm的弯曲小路（如图3），此时余下草坪的面积为14212m．求小路的宽x.专题二、利用一元二次方程解决变化率问题4.据报道，我省农作物秸杆的资源巨大，但合理利用量十分有限，2012年的利用率只有30%，大部分秸杆被直接焚烧了，假定我省每年产出的农作物秸杆总量不变，且合理利用量的增长率相同，要使2014年的利用率提高到60%，求每年的增长率．（取2≈1.41）5.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？6.（2012·广元）某中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米7000元的价格出售，由于国家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价后，决定以每平方米5670 元的价格销售．（1）求平均每次下调的百分率；（2）房产销售经理向开放商建议：先公布下调5%，再下调15%，这样更有吸引力．请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？专题三、利用一元二次方程解决市场经济问题7.（2012·济宁）一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价为120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元．该校最终向园林公司支付树苗款8800元．请问该校共购买了多少棵树苗？8.（2012·南京）某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的售价与销售量有如下关系：若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元,每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部；月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售10部以内（含10部），每部返利0.5万元；销售量在10部以上，每部返利1万元.(1)若该公司当月售出3部汽车，则每部汽车的进价为万元.(2)如果汽车的售价为28万元/部，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少部汽车？（盈利=销售利润+返利）专题四、利用一元二次方程解决生活中的其他问题9. (1)经过凸n边形(n＞3)其中一个顶点．．．．．．的对角线有条.(2)一个凸多边形共有14条对角线,它是几边形？(3)是否存在有21条对角线的凸多边形？如果存在,它是几边形？如果不存在,说明得出结论的道理.10.如图每个正方形是由边长为1的小正方形组成．（1）观察图形，请填与下列表格：正方形边长 1 3 5 7 …n（奇数）红色小正方形个数…正方形边长 2 4 6 8 …n（偶数）红色小正方形个数…（2）在边长为n（n≥1）的正方形中，设红色小正方形的个数为P1，白色小正方形的个数为P2，问是否存在偶数n，使P2=5P1？若存在，请写出n的值；若不存在，请说明理由．知识要点：列方程解决实际问题的常见类型：面积问题，增长率问题、经济问题、疾病传播问题、生活中的其他问题.温馨提示：1.若设每次的平均增长(或降低)率为x，增长(或降低)前的数量为a，则第一次增长(或降低)后的数量为a(1±x)，第二次增长(或降低)后的数量为a(1±x)2．2.面积(体积)问题属于几何图形的应用题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合、平移成规则图形，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积(体积)公式列出一元二次方程．3.列方程解决实际问题时，方程的解必须使实际问题有意义，因此要注意检验结果的合理性. 方法技巧：1. 变化率问题中常用a （1±x ）n =b ，其中a 是起始量，b 是终止量，n 是变出次数，x 是变 化率.变化率问题用直接开平方法求解简单.2.解决面积问题常常用到平移的方法，利用平移前后图形面积不变建立等量关系. 答案：1.解：设高为x 米，则宽为9.50.523x --米.由题意，得9.50.5233x x --⨯=. 解得121.5,3xx == (舍去,高度为2.8m 的一面墙上).当x=1.5时，宽9.50.529.50.53233x ----==. 答：高为1.5米,宽为2米.2.解：设横、竖彩条的宽度分别为2xcm 、3xcm ，由题意，得（20－6x ）（30－4x ）=（1－13）×20×30.整理，得6x 2－65x ＋50＝0.解，得x 1＝56，x 2＝10（不合题意，舍去）.∴2x ＝53，3x ＝52.答：每个横、竖彩条的宽度分别为53cm，52cm．3.解：(1)(1)a b-（或ab a-）；(2) (1)a b-（或ab a-）；(3)将笔直的小路平移到草坪的左边，则余下部分的长为(50-x)m,将弯曲的小路的两侧重合，则余下部分的宽为（30-x）m,由题意得：(50-x)（30-x）=1421. 解得 x1=1， x2=79（舍去）.答：小路的宽为1m.4.解：设我省每年产出的农作物秸杆总量为a，合理利用量的增长率是x，由题意，得30%a（1+x）2=60%a.∴x1≈0.41，x2≈-2.41（不合题意舍去）．∴x≈0.41．答：每年的增长率约为41%．5.解：设每轮感染中平均每一台电脑会感染x台电脑，依题意，得1＋x＋(1＋x)x＝81.整理得(1＋x)2＝81.∴x1＝8，x2＝－10（舍去）.∴(1＋x)3＝(1＋8)3＝729＞700．答：每轮感染中平均每一台电脑会感染8台电脑，3轮感染后，被感染的电脑会超过700台．6.解：（1）设平均每次下调%p，则有5670%)1(70002=-p.∴81.0%)1(2=-p .∵1—p%>0，∴1—p%=0.9. p%=0.1=10%.答：平均每次下调10%；（2）先下调5%，再下调15%，这样最后单价为7000元×(1—5%)×(1—15%）=5652.5元. ∴ 销售经理的方案对购房者更优惠一些． 7.解：因为60棵树苗售价为120元×60＝7200元<8800元，所以该校购买树苗超过60棵． 设该校共购买了x 棵树苗，由题意，得()1200.5608800x x --=⎡⎤⎣⎦ . 解得12220,80x x ==． 当1220x =时，()1200.52206040100--=<，∴1220x =不合题意，舍去；当280x =时，()1200.58060110100--=>，∴280x =. ∴80x =.答：该校共购买了80棵树苗． 8.解：(1)27－0.3=26.7；（2）设需要销售出x 部汽车可盈利12万元. ①当销售10部以内（含10部）时，依题可得﹝28－27+0.1（x －1）﹞x+0.5x=12.解得6)(2021=-=x x ，不合题意，舍去.当销售6部汽车时，当月可盈利12万元.②当销售10部以上时，依题可得﹝28－27+0.1（x －1）﹞x+x=12.解得24,521-==x x ，均不合题意，应舍去.答：当销售6部汽车时，当月可盈利12万元. 9.解:（1）n －3；(2)设这个凸多边形是n 边形,由题意,得(3)142n n -=.解得127,4n n ==- (不合题意,舍去).答:这个凸多边形是七边形. (3)不存在.理由:假设存在n 边形有21条对角线. 由题意,得(3)212n n -=.解得3177n ±=.因为多边形的边数为正整数，但3177±故不合题意.所以不存在有18条对角线的凸多边形. 10.解：（1）1，5，9，13（奇数）2n －1；4，8，12，16（偶数）2n ．（2）由（1）可知n 为偶数时P 1=2n ．∴P 2=n 2－2n.根据题意得n 2－2n=5×2n ，n 2－12n=0，解得n=12，n=0（舍去）．∴存在偶数n=12使得P 2=5P 12．。
培优专题01 一元二次方程的解法-解析版
培优专题01 一元二次方程的解法◎方法一直接开平方法（1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。
一般地，.对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x1=a,x2=a（2）直接开平方法适用于解形如x2 = p或(mx+a)2 = p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。
（3）用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
（4）直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。
1．（2022·浙江绍兴·八年级期末）一元二次方程x2 -1＝0的根是（）A．x1＝x2＝1B．x1＝1，x2＝-1C．x1＝x2＝-1D．x1＝1，x2＝0【答案】B【分析】先移项，再两边开平方即可．【详解】解：∵x2-1=0，∴x2=1，∴x=±1，即x1=-1，x2=1．故选：B．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．2．（2022·安徽滁州·八年级期末）如果关于x 的方程2(9)4x m -=+可以用直接开平方法求解，那么m 的取值范围是（ ）A ．3m >B ．3m ³C ．4m >-D ．4m ³-【答案】D【分析】根据直接开平方法求解可得．【详解】解：∵2(9)4x m -=+，且方程2(9)4x m -=+可以用直接开平方法求解，∴40m +³，∴4m ³-．故选：D ．【点睛】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，正确化简方程是解题关键．3．（2022·全国·九年级课时练习）关于x 的方程2x p =．（1）当0p >时，方程有__________的实数根；（2）当0p =时，方程有__________的实数根；（3）当0p <时，方程__________．4．（2022·安徽合肥·八年级期末）方程290x -=的解为______．5．（2022·全国·九年级单元测试）将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成a cb d ，定义a cad bcb d=-，上述记号就叫做2阶行列式．(1)若21493xx=，求x的值．(2)若11611x xx x+-=-+，求x的值．◎方法二 配方法1、配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开；2、把常数项移到等号的右边；3、方程两边都除以二次项系数；4、方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；5、若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。
一元二次方程专题能力培优(含答案)
一元二次方程专题能力培优(含答案)解得：m≠2m10当m≠2时，原方程可化为x-m+1=0.2.C解析：将方程化简可得(m-6)x+(m-6)=0，由于常数项为0，所以m-6=0，即m=6.3.a=2解析：由于一次项系数为0，所以根据一元二次方程的求根公式可得：x1=x2=-b/2a，代入a-b+c=0中得a=2.4.a=2解析：将方程化简可得(2a-4)x+(3a+6)x+(a-8)=0，由于一次项系数为0，所以2a-4+3a+6=0，解得a=2.5.D解析：由题可得另一个根为-b，代入x1x2=a/c=-a/b得到b=-2a，代入a-b得到a=2b，所以a-b=2b-b=b=2.6.a/2解析：由于a-b+c=0，所以c=b-a，代入一元二次方程的求根公式可得x1=(b+√(b^2-4ac))/2a，x2=(b-√(b^2-4ac))/2a，代入x1x2=a/c得到a=(b^2-a^2)/(b-a)，解得a/2=b-a，即a=2b-2a，解得a/2.7.2012解析：由一元二次方程的求根公式可得a=2013/2+√(2013^2/4-1)，代入a-2012a-2013/2得到2012.2或者当m+1+（m-2）≠0且m+1=1时，它是一元一次方程。
解得：m=-1，m=0.因此，当m=-1或m=0时，为一元一次方程。
给定方程m^2-1=0，解得m=-1.因为m-1≠0，所以这是一元一次方程。
解方程3a+6=0，得到a=-2.因此，这是一元一次方程。
根据题意，方程x+bx+a=0的一个根是-a（a≠0）。
由此得到a-b=-1.解方程x^2=1，得到x=±1.因此，x=-1.已知实数a是一元二次方程x-2013x+1=0的解，因此a-2013a+1=0.解得a=-1/2012.若方程25x-(k-1)x+1=0的左边可以写成一个完全平方式，则k的值为-8或9.如果代数式x+6x+m是一个完全平方式，则m=9.用配方法证明：无论x为何实数，代数式-2x^2+4x-5的XXX小于零。
一元二次方程培优检测卷九年级数学上册重难点专题提优训练
《第二十一章 一元二次方程》培优检测卷班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________考试范围：全册； 考试时间：120分钟； 总分：120分一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．（2022·吉林· 八年级期中）下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ．2210x x += B ．20ax bx c ++= C ．()()121x x -+= D ．223250x xy y --=【答案】C【解析】【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．【详解】解：A 、2210x x +=是分式方程，选项说法错误，不符合题意； B 、当0a =时，20ax bx c ++=不是一元二次方程，选项说法错误，不符合题意； C 、(1)(2)1x x -+=，即230x x +-=是一元二次方程，选项说法正确，符合题意； D 、223250x xy y --=是二元二次方程，选项说法错误，不符合题意；故选C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握判断一元二次方程应注意的5个方面：一是化简后、二是一个未知数、三是未知数的最高次数为2、四是二次项系数不等于0、五是整式方程．2．（山东省济南市高新区2021-2022学年八年级下学期期末数学试题）已知x ＝1是方程x 2﹣3x +c ＝0的一个根，则实数c 的值是（ ）A ．﹣1B ．0C ．1D ．2【答案】D【解析】【分析】将x ＝1代入已知方程求出c 即可．【详解】解：把x ＝1代入x 2﹣3x +c ＝0得：1﹣3+c ＝0，解得：c ＝2，故选：D ．【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．3．（2022·福建省福州屏东中学八年级期末）新冠疫情牵动人心，若有一人感染了新冠，在每轮传染中平均一个人可以传染x 个人，经过两轮传染后共有400人感染，列出的方程是（ ）A ．21400x x ++=B ．()21400x +=C ．()1400x x x ++=D ．12400x +=【答案】C【解析】【分析】根据题意，正确的理解题意，列出一元二次方程，即可得到答案．【详解】解：根据题意， ()1400x x x ++=,故选：C【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是正确的理解题意，列出一元二次方程． 4．（2021·贵州遵义·一模）已知a ，b 是一元二次方程2320x x +-=的两根，则252a a b ++的值是（ ）A ．-5B ．-4C ．1D ．0【答案】B【解析】【分析】把x =a 代入方程求出a 2+3a 的值，再利用根与系数的关系求出a +b 的值，代入原式计算即可得到结果．【详解】解：把x =a 代入方程得：a 2+3a -2=0，即a 2+3a =2，由根与系数的关系得：a +b =-3，则原式=（a 2+3a ）+2（a +b ）=2-6=-4．故选：B ．【点睛】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键． 5．（2021·黑龙江·塔河县第一中学校九年级期中）若关于x 的一元二次方程2210kx x +-=有实数根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．k ≥－1B ．k ＞－1C ．k ≥－1且k ≠0D ．k ＞－1且k ≠0【答案】C【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式可得0,≥ 一元二次方程有实数根，再解不等式即可．【详解】 解： 关于x 的一元二次方程2210kx x +-=有实数根， 22410k 且0,k ≠解得：1k ≥-且0,k ≠故选C【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，牢记“当0≥时，方程有实数根”是解题的关键，是基础题．6．（2022·江苏·九年级）下列说法正确的是（ ）A ．方程8x 2﹣7＝0的一次项系数为﹣7B ．一元二次方程的一般形式是ax 2+bx +c ＝0C ．只有当k ＝0时，方程kx 2+3x 1x 2为一元二次方程D ．当m 取所有实数时，关于x 的方程(m 2+1)x 2﹣mx ﹣3＝0为一元二次方程【答案】D【解析】【分析】根据一元二次方程的定义及一般形式可进行求解．【详解】解：A 、方程8x 2﹣7＝0的一次项系数为0，故选项错误；B 、一元二次方程的一般形式是ax 2+bx +c ＝0（a ≠0），故选项错误；C 、当k ﹣1≠0，即k ≠1时，方程kx 2+3x ﹣1＝x 2为一元二次方程，故选项错误；D 、当m 取所有实数时，关于x 的方程（m 2+1）x 2﹣mx ﹣3＝0为一元二次方程是正确的． 故选：D ．【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义及一般形式，熟练掌握一元二次方程的定义及一般形式是解题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．（2022·山东德州·九年级期末）已知关于x 的方程（m ﹣2）x |m |﹣3x ﹣4＝0是一元二次方程，则m ＝______【答案】-2【解析】【分析】 根据一元二次方程的定义得到2m =且20m -≠，由此求得m 的值．【详解】 解：依题意得：2m =且20m -≠，解得m =-2．故答案为：-2．【点睛】本题考查了一元二次方程的概念．一元二次方程的最高次项的未知数的指数为2，注意二次项的系数不能等于0．8．（2022·江苏·九年级）若x 1、x 2是一元二次方程x 2﹣4x +3＝0的两个实数根，则x 1+x 2﹣x 1x 2＝_____．【答案】1【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可解答．【详解】解：由根与系数的关系可知：x 1+x 2＝4，x 1x 2＝3，∴x 1+x 2﹣x 1x 2＝（x 1+x 2）﹣x 1x 2＝4﹣3＝1．故答案为：1．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系． 9．（2022·全国·九年级专题练习）《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．甲、乙各走了多少步？”请问甲走的步数是 __． 【答案】492【解析】设甲、乙两人相遇的时间为t ，则乙走了3t 步，甲斜向北偏东方向走了(710)t -步，利用勾股定理即可得出关于t 的一元二次方程，解之即可得出t 值，将其正值代入3t 中即可求出结论．【详解】解：设甲、乙两人相遇的时间为t ，则乙走了3t 步，甲斜向北偏东方向走了(710)t -步，则 依题意得：22210(3)(710)t t +=-，整理得：2401400t t -=， 解得：172t =，20t =（不合题意，舍去）， 7497722t ∴=⨯=，即甲走的步数是492， 故答案为：492． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．10．（2021·全国·九年级专题练习）求代数式2272x x -+的最小值为_________． 【答案】338-【解析】【分析】直接利用配方法进行整理．【详解】解：∴2272722()22x x x x -+=-+ 2733332()488x =--≥-， ∴最小值为338-， 故答案是：338-． 【点睛】本题考查了配方法，解题的关键是掌握配方法的基本步骤，出的完全平方公式，利用非负性求解．11．（2022·陕西西安·三模）对于任意实数a 、b ，定义一种运算：22a b a b ⊗=+，若(1)3x x ⊗-=-，则x 的值为________．【答案】-1【分析】根据定义即可得到一元二次方程，解方程即可求得．【详解】解：根据题意得：()2(1)213x x x x ⊗-=+-=-得2210x x ++=解得121x x ==-故答案为：-1【点睛】本题考查了新定义运算，一元二次方程的解法，理解题意，列出方程是解决本题的关键． 12．（2022·浙江绍兴·八年级期中）已知等腰三角形的每条边长都是一元二次方程27100x x -+=的根，则这个三角形的周长为_______________；【答案】6或12或15【解析】【分析】先利用因式分解的方法解方程得到x 1=2，x 2=5，根据题意讨论：当腰为2，底边为5时；当腰为5，底边为2时，然后分别计算出等腰三角形的周长．【详解】∴x 2-7x +10=0，∴（x -2）（x -5）=0，∴x -2=0或x -5=0，∴x 1=2，x 2=5，当腰为2，底边为5时，2+2=4<5，不能构成三角形；当腰为5，底边为2时，等腰三角形的周长为2+5+5=12；当腰为2，底边为2时，等腰三角形的周长为2+2+2=6，当腰为5，底边为5时，等腰三角形的周长为5+5+5=15．故答案为6或12或15．【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了三角形三边的关系．三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13．（2022·江苏·九年级专题练习）解下列方程：(1)()24249x -= (2)()()2123x x +-= 【答案】(1)12113,22x x ==- (2)125,12x x ==- 【解析】【分析】（1）直接采用开平方的方法即可求出解．（2）将原方程化为一般形式，后采取因式分解法直接求出解．(1)解：原方程两边都除以4，得()24924x -=两边开平方，得722x -=± 所以，12113,22x x ==- (2) 解：原方程整理得22350x x --=，因式分解的：()()2510x x -+=，解得：11x =-，252x =． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程，熟练掌握开方法，因式分解法是求解一元二次方程的关键．14．（2022·全国·九年级）若关于x 的一元二次方程()222240m x x m -++-=的常数项为0，求m 的值．【答案】m ＝﹣2【解析】【分析】根据常数项为0，二次项系数不为0，确定出m 的值即可．【详解】解：∴关于x 的一元二次方程()222240m x x m -++-=的常数项为0，∴22040m m -≠⎧⎨-=⎩ 解得：2m =-【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式，熟练掌握其定义是解本题的关键．15．（2022·吉林通化·九年级期末）如图，学校建一长方形自行车棚，一边靠墙（墙长18米），另三边用总长50米的栏杆围成，留2米宽的门，若想建成面积为240平方米的自行车棚，则车棚垂直于墙的一边的长为多少米？【答案】20【解析】【分析】根据题意设车棚垂直于墙的一边的长为为x 米，则根据图并利用长×宽=面积，建立方程并求解即可．【详解】解：设车棚垂直于墙的一边的长为x 米，则平行于墙的一边的长为(5022)x +-米， 由题意列方程可得：(5022)240x x +-=，解得20x 或x =6当车棚垂直于墙的一边的长为6米时，平行于墙的一边的长为40米，大于墙长的18米， 答：车棚垂直于墙的一边的长为20米.【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，理解题意，正确的列方程，牢记长方形的面积为长×宽，一元二次方程的求解是本题的关键与重点．16．（2022·河北保定·三模）下面是小颖同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成任务．①小颖解方程的方法是____；②第二步变形的依据是____；(2)任务二：请你用“公式法”解该方程．【答案】(1)配方法，等式性质(2)152x =，21x =- 【解析】【分析】（1）任务一，结合配方法解一元二次方程的步骤求解即可；（2）任务二，利用公式法求解即可．(1)解：小颖是将方程左边配成完全平方形式，∴小颖解方程的的方法是配方法，等式变形的依据是等式性质；(2)解：∴2a =，3b =-，5c =-，∴()()23425490∆=--⨯⨯-=>，则374x ±==， ∴152x =，21x =-． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力， 熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．17．（2022·江苏·九年级）已知a 、b 、c 是ABC 的三边长，关于x 的一元二次方程2()20a c x bx a c +++-=有两个相等的实数根．(1)请判断ABC 的形状；(2)当5a =，3b =时，求一元二次方程的解．【答案】(1)∴ABC 为直角三角形；(2)1213x x ==- 【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式以及勾股定理的逆定理，即可求解；（2）由（1）可得4c =，再代入原方程，利用因式分解法解答，即可求解．(1)∴关于x 的一元二次方程2()20a c x bx a c +++-=有两个相等的实数根，∴()()()2240b a c a c ∆=-+-=，∴222b c a +=，∴∴ABC 为直角三角形；(2)∴222b c a +=，5a =，3b =，∴4c ，∴9261a c b a c +====-=，∴原方程为29610x x ++=， 解得：1213x x ==-． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，勾股定理的逆定理，熟练掌握一元二次方程的解法，一元二次方程根的判别式，勾股定理的逆定理是解题的关键．四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18．（2022·四川攀枝花·x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2﹣4x ﹣1＝0有两个实数根．(1)求k 的取值范围；(2)若方程的两根x 1，x 2，满足（x 1+1）（x 2+1）＝4，求k 的值．【答案】(1)k ≥﹣3且k ≠1(2)2【解析】【分析】（1）由方程有两个实数根，结合根的判别式，即可得出关于k 的一元一次不等式，并使k ﹣1≠0，即可得出结论．（2）根据一元二次方程的根与系数的关系可以得到x 1+x 2＝41k -，x 1x 2＝﹣11k -，再将它们代入（x 1+1）（x 2+1）＝4，即可求出k 的值．(1)解：（1 ）∴关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2﹣4x ﹣1＝0有两个实数根．∴k﹣1≠0，∆＝b2﹣4ac≥0，即（﹣4）2﹣4×（k﹣1）×（﹣1）≥0，∴k≥﹣3且k≠1．(2)解：∴关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1＝0的两根为x1，x2，∴x1+x2＝41k-，x1x2＝﹣11k-．∴（x1+1）（x2+1）＝4，∴（x1+x2）+x1x2+1＝4，即41k-﹣11k-+1＝4，整理，得：k﹣1＝1，解得：k＝2，经检验，k＝2是方程的解，∴k＝2．∴k的值为2．【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，解题关键是熟练运用根与系数关系列出方程或不等式．19．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校八年级期中）将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成a bc d，定义a bad bcc d=-，上述记号就叫做2阶行列式．(1)若764174x=，求x的值；(2)若1211011m mm m--=---，求m的值．【答案】(1)49 16(2)83或-1【解析】【分析】（1）根据新定义得到关于x的一元一次方程，然后利用整式的混合计算法则进行解方程即可；（2）根据新定义得到关于x的一元二次方程，然后解方程即可．(1)解：∴764174x=，∴1496404x -⨯=， ∴4916x =； (2) 解：∴1211011m m m m --=---，∴()()()()11-21110m m m m ----=-，∴222123110m m m m -+--+-=-，∴23580m m --=，∴()()3810m m -+=， ∴183m =，21m =-， ∴m 的值为83或1-． 【点睛】本题主要考查了新定义的知识，涉及到了解一元一次方程，解一元二次方程，整式的混合计算等知识，正确理解题意是解题的关键．20．（2022·浙江·杭州育才中学八年级期中）某商场对某种商品进行销售调整．已知该商品进价为每件30元，售价为每件40元，每天可以销售48件，现进行降价处理．(1)若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求这两次中平均每次下降的百分率．(2)经调查，该商品每降价0.5元，平均每天可多销售4件．若要使每天销售该商品获利510元，则每件商品应降价多少元？【答案】(1)该商品平均每次下降的百分率为10%；(2)每件商品应降价1.5元或2.5元．【解析】【分析】（1）设每次降价的百分率为x ，根据该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32．4元，列一元二次方程，求解即可；（2）设每件商品应降价m 元，根据每天要想获得510元的利润，列一元二次方程可得（40-30-m ）（48+8m ）=510，再解方程即可．(1)解：设每次降价的百分率为x ， 根据题意，得40（1-x ）2=32.4，解得x 1=0.1=10%，x 2=1.9=190%（不合题意，舍去），答：该商品平均每次下降的百分率为10%；(2)设每件商品应降价m 元， 根据题意，得（40-30-m ）（48+8m ）=510，整理得：2416150m m ，解得121.5, 2.5,m m答：每件商品应降价1.5元或2.5元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立合适的等量关系是解题的关键．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21．（2022·江苏·九年级专题练习）解方程时，把某个式子看成一个整体，用一个新的未知数去代替它，从而使方程得到简化，这叫换元法．先阅读下面的解题过程，再解出右面的两个方程：例：解方程：30=．t =（t ≥0）∴原方程化为2t ﹣3＝0 ∴32t = 而32t =＞032=∴94x = 请利用上面的方法，解出下面两个方程：(1)80x +=(2)60x =【答案】(1)x ＝4(2)x ＝5【解析】【分析】（1t ，将方程变形为2280t t +-=，解出t 即可求出x ；（2()0t t ≥，将方程变形为220t t +-=，解出t 即可求出x ．(1)t =，将原方程转化为2280t t +-=，解得，12t =，24t =-，而20t => ，2=，4x ∴=；(2)解：()0t t =≥，∴原方程化为220t t +-= ，解得11t =，22t =-，而10t =>，1，5x ∴=．【点睛】本题主要考查换元法在解一元二次方程中的应用．换元法是借助引进辅助元素，将问题进行转化的一种解题方法．这种方法在解题过程中，把某个式子看作一个整体，用一个字母去代表它，实行等量替换．这样做，常能使问题化繁为简，化难为易，形象直观22．（2022·河南濮阳·八年级期中）如果关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程x 2﹣6x +8＝0的两个根是2和4，则方程x 2﹣6x +8＝0就是“倍根方程”．请解决下列问题：(1)若一元二次方程x 2﹣9x +c ＝0是“倍根方程”，则c ＝______；(2)若（x ﹣1）（mx ﹣n ）＝0（m ≠0“倍根方程”，求代数式222223m mn n m n -++的值． 【答案】(1)18(2)0或35【解析】【分析】（1）根据倍根方程的定义以及根与系数的关系即可求出答案．（4）根据定义可求出n =2m 或n =12m ，代入原式后即可求出答案； (1)由题意可知：x ＝m 与x ＝2m 是方程x 2﹣9x +c ＝0的解，∴m +2m ＝9，m •2m ＝c ，∴m ＝3，c ＝18，故答案为18；(2)由（x﹣1）（mx﹣n）＝0（m≠0）是“倍根方程”，且该方程的两根分别为x＝1和xnm =，∴nm=2或12nm=，当n＝2m时，222222222323244m mn n m m m mm n m m-+-⋅+==++0，当n12=m时，22222222112323324154m m m mm mn nm n m m-⋅+-+==++；故代数式222223m mn nm n-++的值0或35．【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“倍根方程”的定义．六、（本大题共12分）23．（2022·江苏·九年级专题练习）阅读下面的材料，回答问题：解方程x4﹣5x2＋4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2﹣5y＋4＝0①，解得y1＝1，y2＝4当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1；当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2；原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，3＝2，x4＝﹣2(1)在由原方程得到方程①的过程中，利用法达到的目的，体现了数学的转化思想．(2)解方程：（x2＋x）2﹣4（x2＋x）﹣12＝0(3)已知非零实数a，b满足a2﹣ab﹣12b2＝0，求ab的值．【答案】(1)换元法；降次(2)x1＝2，x2＝﹣3(3)4或﹣3【解析】【分析】（1）根据解答过程归纳出银法为换元法，换元法的目的是将高次方程降为低次方程求解；（2）运用换元法求解，（3）运用因式分解法求得a＝4b或a＝﹣3b，再代入计算即可．(1)解：在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想；故答案为：换元法，降次；(2)解：设x2+x＝y，原方程可变为y2﹣4y﹣12＝0，解得y1＝﹣2，y2＝6．当y＝﹣2时，x2+x＝﹣2，方程没有实数解；当y＝6时，x2+x＝6，∴x＝2或﹣3；原方程有两个根：x1＝2，x2＝﹣3；(3)解：（a﹣4b）（a+3b）＝0，a﹣4b＝0或a+3b＝0，所以a＝4b或a＝﹣3b，当a＝4b时，4a bb b==44；当a＝﹣3b时，3a bb b-==-33．即ab的值为4或﹣3．【点睛】本题考查了高次方程：通过换元法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．。
2021-2022人教版九年级上册 《一元二次方程》培优练习(解析版)
《一元二次方程》培优练习一．选择题1．下列方程中是一元二次方程的是（）A．2x+1＝0B．y2+x＝1C．x2+1＝0D．2．将方程3x2+1＝6x化成一元二次方程的一般形式，其中二次项系数、一次项系数和常数项分别是（）A．3，﹣6，1B．3，6，1C．3，1，﹣6D．3，1，63．已知关于x的方程x2+kx﹣2＝0的一个根是1，则它的另一个根是（）A．﹣3B．3C．﹣2D．24．用配方法解方程x2﹣6x﹣4＝0，下列配方正确的是（）A．（x﹣3）2＝13B．（x+3）2＝13C．（x﹣6）2＝4D．（x﹣3）2＝55．若实数x，y满足（x2+y2+3）（x2+y2﹣3）＝0，则x2+y2的值为（）A．3或﹣3B．3C．﹣3D．16．关于x的一元二次方程（2﹣a）x2+x+a2﹣4＝0的一个根为0，则a的值为（）A．2B．0C．2或﹣2D．﹣27．一元二次方程﹣x2+6x﹣10＝0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根8．某地区举办的篮球比赛共有x支球队参加，每两队之间都只进行一场比赛，共进行了45场比赛，则下列方程中符合题意的是（）A．x（x﹣1）＝45B．x（x+1）＝45C．x（x﹣1）＝45D．x（x+1）＝459．8月23号到校前，小希将收到学校的一条短信通知发给若干同学，每个收到的同学又给相同数量的同学转发了这条短信，此时收到这条短信的同学共有157人，小希给（）个同学发了短信．A．10B．11C．12D．1310．已知m是方程3x2﹣2x﹣2＝0的一个实数根，则代数式的值（）A．2B．C．D．二．填空题11．若（m+1）x|m|+1+6mx﹣2＝0是关于x的一元二次方程，则m ＝．12．若关于x的一元二次方程x2+x﹣m＝0有两个实数根，则m的取值范围是．13．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0满足a﹣b+c＝0，则方程一定有一个根是x＝．14．某超市一月份的营业额为36万元，三月份的营业额为48万元，设每月的平均增长率为x，则可列方程为．15．方程x2﹣9x+18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰的长，则这个等腰三角形的周长为．16．已知方程2x2+kx﹣2k+1＝0的两个实数根的平方和为，则k 的值为．三．解答题17．用适当的方法解下列方程：（1）2x2+1＝3x（2）x2+6x+4＝018．已知关于x的方程（a﹣1）x2+2x+a+1＝0．（1）若该方程有一根为0，求a的值及方程的另一根；（2）当a为何值时，方程仅有一个实数根？求出此时a的值．19．一个矩形的长为a，宽为b（a＞0，b＞0），则矩形的面积为a•b．代数式xy（x＞0，y＞0）可以看作是边长为x和y的矩形的面积．我们可以由此解一元二次方程：x2+x﹣6＝0（x＞0）．具体过程如下：①方程变形为x（x+1）＝6；②画四个边长为x+1、x的矩形如图放置；③由面积关系求解方程．∵S ABCD＝（x+x+1）2，又S ABCD＝4x（x+1）+12．∴（x+x+1）2＝4x（x+1）+1，又x（x+1）＝6，∴（2x+1）2＝25，∵x＞0，∴x＝2．参照上述方法求关于x的二次方程x2+mx﹣n＝0的解（x＞0，m ＞0，n＞0）．（要求：画出示意图，标注相关线段的长度，写出解题步骤）20．“一带一路”为我们打开了交流、合作的大门，也为沿线各国在商贸等领域提供了更多的便捷，2018年11月5日至10日，首届中国国际进口博览会在国家会展中心（上海）举办，据哈外贸商会发布消息，博览会期间，哈Paseka公司与重庆某国际贸易公司签订了供应蜂蜜合同：哈Paseka公司于2019年6月前分期分批向重庆某国际贸易公司供给优质蜂蜜共3000万件，该公司顺应新时代购物流，打算分线上和线下两种方式销售．（1）若计划线上销售量不低于线下销售量的25%，求该公司计划在线下销售量最多为多少万件？（2）该公司在12月上旬销售优质蜂蜜共240万件，且线上线下销售单件均为100元/件．12月中旬决定线上销售单价下调m%，线下销售单价不变，在这种情况下，12月中旬销售总量比上旬增加了m%，且中旬线上销售量占中旬总销量的，结果中旬销售总金额比上旬销售总金额提高了m%．求m的值．21．某批发城在冬天到来之际进了一批保暖衣，男生的保暖衣每件价格60元，女生的保暖衣每件价格40元，第一批共购买100件．（1）第一批购买的保暖衣的总费用不超过5400元，求女生保暖衣最少购买多少件？（2）第二批购买保暖衣，购买男、女生保暖衣的件数比为3：2，价格保持第一批的价格不变；第三批购买男生保暖衣的价格在第一批购买的价格上每件减少了元，女生保暖衣的价格比第一批购买的价格上每件增加了元，男生保暖衣的数量比第二批增加了m%，女生保暖衣的数量比第二批减少了m%，第二批与第三批购买保暖衣的总费用相同，求m的值．参考答案一．选择题1．解：A、未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，故本选项错误；B、含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项错误；C、符合一元二次方程的定义，故本选项正确；D、分母中含有未知数，不是一元二次方程，故本选项错误；故选：C．2．解：方程整理得：3x2﹣6x+1＝0，二次项系数为3；一次项系数为﹣6，常数项为1，故选：A．3．解：设方程的另一个根为t，根据题意得1•t＝﹣2，解得t＝﹣2．故选：C．4．解：方程x2﹣6x﹣4＝0变形得：x2﹣6x＝4，配方得：x2﹣6x+9＝13，即（x﹣3）2＝13，故选：A．5．解：设t＝x2+y2（t≥0），则原方程转化为（t+3）（t﹣3）＝0，所以t+3＝0或t﹣3＝0．所以t＝﹣3（舍去）或t＝3，即x2+y2的值为3．故选：B．6．解：∵（2﹣a）x2+x+a2﹣4＝0是关于x的一元二次方程，∴2﹣a≠0，即a≠2①由一个根是0，代入（2﹣a）x2+x+a2﹣4＝0，可得a2﹣4＝0，解之得a＝±2；②由①②得a＝﹣2．故选：D．7．解：∵△＝62﹣4×（﹣1）×（﹣10）＝36﹣40＝﹣4＜0，∴方程没有实数根．故选：D．8．解：∵有x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，∴共比赛场数为x（x﹣1），∴共比赛了45场，∴x（x﹣1）＝45，故选：A．9．解：设小希给x个同学发了短信，依题意，得：1+x+x2＝157，解得：x1＝﹣13，x2＝12．故选：C．10．解：∵m是方程3x2﹣2x﹣2＝0的一个实数根，∴3m2﹣2m＝2，3m2﹣2＝2m，∴3m﹣＝2，∴原式＝＝，故选：C．二．填空题（共6小题）11．解：由（m+1）x|m|+1+6mx﹣2＝0是关于x的一元二次方程，得，解得m＝1，故答案为：1．12．解：∵关于x的一元二次方程x2+x﹣m＝0有两个实数根，∴△≥0，∴△＝1﹣4（﹣m）≥0，即m≥﹣，故答案为：m≥﹣．13．解：将x＝﹣1代入ax2+bx+c＝0的左边得：a×（﹣1）2+b×（﹣1）+c＝a﹣b+c，∵a﹣b+c＝0，∴x＝﹣1是方程ax2+bx+c＝0的根．故答案为：﹣1．14．解：二月份的营业额为36（1+x），三月份的营业额为36（1+x）×（1+x）＝36（1+x）2，即所列的方程为36（1+x）2＝48，故答案为：36（1+x）2＝48．15．解：x2﹣9x+18＝0，（x﹣3）（x﹣6）＝0，所以x1＝3，x2＝6，所以等腰三角形的底为3，腰为6，这个等腰三角形的周长为3+6+6＝15．故答案为15．16．解：∵方程2x2+kx﹣2k+1＝0有两个实数根，∴△＝k2﹣4×2（﹣2k+1）≥0，解得k≥6﹣8或k＜﹣6﹣8．设方程2x2+kx﹣2k+1＝0两个实数根为x1、x2．则x1+x2＝﹣，x1•x2＝﹣k+，∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝+2k﹣1＝，即k2+8k﹣33＝0，解得k1＝3，k2＝﹣11（不合题意，舍去）．故答案是：3．三．解答题（共5小题）17．解：（1）∵2x2+1＝3x，∴（2x﹣1）（x﹣1）＝0，∴x＝或x＝1；（2）∵x2+6x+4＝0，∴a＝1，b＝6，c＝4，∴△＝36﹣16＝20，∴x＝＝﹣318．解：（1）将x＝0代入方程（a﹣1）x2+2x+a+1＝0得a+1＝0，解得：a＝﹣1．将a＝﹣1代入原方程得﹣2x2+2x＝0，解得：x1＝0，x2＝1．∴a＝﹣1，方程的另一根为1．（2）当a＝1时，方程为2x+2＝0，解得：x＝﹣1；故a的值为﹣1．19．解：①方程变形为x（x+m）＝n；②画四个边长为x+m、x的矩形如图放置；③由面积关系求解方程．∵S ABCD＝（x+x+m）2，又S ABCD＝4x（x+m）+m2．∴（x+x+m）2＝4x（x+m）+m2，又x（x+m）＝n，∴（2x+m）2＝4n+m2，∵x＞0，∴x＝（﹣m）（m＞0，n＞0）．20．解：（1）设该公司计划在线下销售量为x万件，则3000﹣x≥25%x天天向上独家原创解得：x≤2400∴该公司计划在线下销售量最多为2400万件；（2）由题意得：×240（1+m%）×100（1﹣m%）+（1﹣）×240（1+m%）×100＝240×100（1+m%）化简得：m2﹣25m＝0解得：m1＝0（不合题意，舍去），m2＝25∴m的值为25．21．解：（1）设女生保暖衣购买x件．40x+60（100﹣x）≤5400解之得x≥30答：女生保暖衣最少购30件；（2）设购买男、女生保暖衣的件数分别为3a、2a．根据题意，得设m%＝t，则m＝100t.3a×（1+t）×（60﹣20t）+2a×（1﹣t）×（40+30t）＝3a×60+2a×406t2﹣5t＝0解得：t1＝0（舍去），∴m＝100t＝．答：m的值是．。
(完整版)一元二次方程培优提高例题
考点一、概念(1)定义:①只含有一个未知数．．．．．．．．，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．,这样的③整式方程．．．．就是一元二次方程。
（2）一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax⑶难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”: ①该项系数不为“0"； ②未知数指数为“2”；③若存在某项指数为待定系数,或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。
典型例题:例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是( ）A ()()12132+=+x x B 02112=-+x xC 02=++c bx axD 1222+=+x x x变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。
例2、方程()0132=+++mx x m m是关于x 的一元二次方程,则m 的值为 。
针对练习:★1、方程782=x 的一次项系数是 ,常数项是 。
★2、若方程()021=--m xm 是关于x 的一元一次方程，⑴求m 的值;⑵写出关于x 的一元一次方程.★★3、若方程()112=•+-x m x m 是关于x 的一元二次方程,则m 的取值范围是 。
★★★4、若方程nx m+x n—2x 2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ )A 。
m=n=2 B.m=2，n=1 C.n=2，m=1 D.m=n=1考点二、方程的解⑴概念:使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。
⑵应用:利用根的概念求代数式的值;典型例题：例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 .例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。
说明：任何时候，都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制.例3、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+,则此方程必有一根为 。
说明：本题的关键点在于对 “代数式形式”的观察,再利用特殊根“-1”巧解代数 式的值。
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一元二次方程拓展提高题1、已知0200052=--x x，则()()211223-+---x x x 的值是 . 2、已知0120042=+-a a ，则_________120044007222=++-a a a . 3、若1≠ab ，且07200552=++a a ，05200572=++b b ，则_________=b a.4、已知方程043222=-+-a ax x 没有实数根，则代数式_____21682=-++-a a a .5、已知x x y -+=62，则y 的最大值为 .6、已知0=++c b a ，2=abc ，0 c ，则（ ）A 、0 abB 、2-≤+b aC 、3-≤+b aD 、4-≤+b a 7、已知8=-b a ，0162=++c ab ，则________=++c b a . 8、已知012=-+m m ，则________2006223=-+m m . 9、已知4=-b a ，042=++c ab ，则________=+b a .10、若方程02=-+q px x 的二根为1x ，2x ，且11 x ，03 ++q p ，则2x ( ) A 、小于1 B 、等于1 C 、大于1 D 、不能确定11、已知α是方程0412=-+x x 的一个根，则ααα--331的值为 .12、若132=-x x ，则=+--+200872129234x x x x （ ）A 、2011B 、2010C 、2009D 、2008 13、方程22323=--+x x 的解为 . 14、已知06222=+-y x x ，则x y x 222++的最大值是（ ）A 、14B 、15C 、16D 、18 15、方程m x x =+-2||22恰有3个实根，则=m （ ）A 、1B 、1.5C 、2D 、2.5 16、方程9733322=-+-+x x x x 的全体实数根之积为（ ）A 、60B 、60-C 、10D 、10-17、关于x 的一元二次方程0522=--a x x （a 为常数）的两根之比3:2:21=x x ，则=-12x x （ ）A 、1B 、2C 、21 D 、23 18、已知是α、β方程012=-+x x 的两个实根，则_______34=-βα. 19、若关于x 的方程xax x x x x a 1122++-=-只有一解，求a 的值。
中考真题1、若11=-x x ，则331xx -的值为（ ） 2、已知实数α、β满足0132=-+αα，0132=--ββ，且1≠αβ，则βα32+-的值为（ ） A 、1 B 、3 C 、－3 D 、10 3、实数x 、y 满足方程0132222=+-+-+y x xy y x ，则y 最大值为（ ） A 、21 B 、23 C 、43D 、不存在 4、方程()1132=-++x x x 的所有整数解的个数是（ ）A 、2B 、3C 、4D 、55、已知关于x 的方程02=++c bx ax 的两根分别为3-和1，则方程02=++a cx bx 的两根为（ ） A 、31-和1 B 、21和1 C 、31和1- D 、21-和1-6、实数x 、y 满足222=++y xy x ，记22y xy x u +-=，则u 的取值范围是（ ） A 、632≤≤u B 、232≤≤u C 、61≤≤u D 、21≤≤u 7、已知实数m ，n 满足020092=-+m m ，()102009112-≠=--mn nn ，则_____1=-n m .9、已知方程()021222=-+++k x k x 的两实根的平方和等于11，k 的取值是（ ） A 、3-或1 B 、3- C 、1 D 、310、设a ，b 是整数，方程02=++b ax x 有一个实数根是347-，则______=+b a . 13、已知方程()03324=+--a x a ax 的一根小于2-，另外三根皆大于1-，求a 的取值范围。
14、已知关于x 的方程022=+-k x x 有实数根1x ，2x 且3231x x y +=，试问：y 值是否有最大值或最小值，若有，试求出其值，若没有，请说明理由。
15、求所有有理数q ，使得方程()()0112=-+++q x q qx 的所有根都是整数。
一元二次方程培优题及参考答案1、已知0200052=--x x，则()()211223-+---x x x 的值是（ D ） A 、2001 B 、2002 C 、2003 D 、2004 答案：D解析：由0200052=--x x 得：200042+=-x x x()()()()20042004224421122112222223=-+=-+-++-=-+--+-=-+---x x x x x x x x x x x x x归纳：本题解决的方法是通过降次达到化简的目的。
2、已知0120042=+-a a ，则_________120044007222=++-a a a . 答案：2002解析：由0120042=+-a a 得：a a 200412=+，120042-=a a ，20041=+aa 原式()200212200420044007120042=+-=+--=aa a a a 归纳：本题解决的方法是通过降次达到化简的目的。
3、若1≠ab ，且07200552=++a a ，05200572=++b b ，则_________=ba. 答案：57 解析：由05200572=++b b 得：0712005152=+⨯+⎪⎭⎫⎝⎛b b∵1≠ab ，即ba 1≠ ∴把a 和b 1作为一元二次方程07200552=++x x 的两根∴571==⨯b a b a 归纳：本题是通过构造一元二次方程的两根，利用根与系数的关系解决问题。
4、已知方程043222=-+-a ax x 没有实数根，则代数式_____21682=-++-a a a . 答案：2 考点：。
分析：由方程043222=-+-a ax x 没有实数根，得0 ∆，求的a 的范围，然后根据此范围化简代数式。
解答：解：∵已知方程043222=-+-a ax x 没有实数根5、已知x x y -+=62，则y 的最大值为 . 答案：897 考点：。
专题：；．分析：此题只需先令06≥=-t x ，用x 表示t ，代入求y 关于t 的二次函数的最值即可。
解答：令06≥=-t x ，26t x -=则811241212221262222+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=++-=+-=-+=t t t t t x x y又0≥t ，且y 关于t 的二次函数开口向下，则在41=t 处取得最大值 即y 最大值为8112，即897归纳：本题考查了二次函数的最值，关键是采用换元法，将x -6用t 来表示进行解题比较简便。
6、已知0=++c b a ，2=abc ，0 c ，则（ ）A 、0 abB 、2-≤+b aC 、3-≤+b aD 、4-≤+b a 答案：B 考点：。
专题：。
分析：由0=++c b a ，2=abc ，0 c ，得到a ，b 两个负数，再由c b a -=+，cab 2=，这样可以把a ，b 看作方程022=++c cx x 的两根，根据根的判别式得到0242≥⨯-=∆cc ，解得2≥c ，然后由c b a -=+得到2-≤+b a .解答：∵0=++c b a ，2=abc ，0 c ∴0 a ，0 b ，0 c ∴c b a -=+，cab 2=∴可以把a ，b 看作方程022=++ccx x ∴0242≥⨯-=∆cc ，解得2≥c ∴()2≥+-=b a c ，即2-≤+b a点评：本题考查了一元二次方程根的判别式：如方程有两个实数根，则0≥∆．也考查了一元二次方程根与系数的关系以及绝对值的含义。
7、已知8=-b a ，0162=++c ab ，则________=++c b a . 答案：0 考点：；。
分析：本题乍看下无法代数求值，也无法进行因式分解；但是将已知的两个式子进行适当变形后，即可找到本题的突破口。
由8=-b a 可得8+=b a ；将其代入0162=++c ab 得：016822=+++c b b ；此时可发现1682++b b 正好符合完全平方公式，因此可用非负数的性质求出b 、c 的值，进而可求得a 的值；然后代值运算即可。
解答：∵8=-b a ∴8+=b a又∵0162=++c ab ∴016822=+++c b b ，即()0422=++c b∴4-=b ，0=c ∴4=a ∴0=++c b a归纳：本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了非负数的性质以及代数式求值的方法． 8、已知012=-+m m ，则________2006223=-+m m . 答案：2005- 考点：。
专题：。
分析：根据已知条件可得到12=+m m ，然后整体代入代数式求值计算即可。
解答：∵012=-+m m ∴12=+m m∴原式()2005200612006200622-=-=-+=-++=m m m m m m点评：这里注意把要求的代数式进行局部因式分解，根据已知条件，整体代值计算。
9、已知4=-b a ，042=++c ab ，则________=+b a . 答案：0 考点：。
专题：．分析：先将字母b 表示字母a ，代入042=++c ab ，转化为非负数和的形式，根据非负数的性质求出a 、b 、c 的值，从而得到b a +的值。
解答：∵4=-b a ∴4+=b a代入042=++c ab ，可得（()0442=+++c b b ，即()0222=++c b∴2-=b ，0=c ∴24=+=b a ∴0=+b a归纳：本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了非负数的性质以及代数式求值的方法。
解题关键是将代数式转化为非负数和的形式。
10、若方程02=-+q px x 的二根为1x ，2x ，且11 x ，03 ++q p ，则2x ( ) A 、小于1 B 、等于1 C 、大于1 D 、不能确定答案：A 考点：． 专题：．分析：方程02=-+q px x 的二根为1x ，2x ，根据根与系数的关系及已知条件即可求解。
解答：∵方程02=-+q px x 的二根为1x ，2x ∴p x x -=+21，q x x -=21 ∵11 x ，3-+ q p ∴32121 x x x x ++ ∴231212 x x x x -+ ∴()2112 +x x ∵211 +x ∴12 x归纳：本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键掌握1x ，2x 是方程02=-+q px x 的两根时，p x x -=+21，q x x -=21．11、已知α是方程0412=-+x x 的一个根，则ααα--331的值为 .答案：5 考点：。